Dzia Arytmetyka ł ania na liczbach, pot ę ga, pierwiastek, logarytm

(1)

Arytmetyka

Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

(2)

Zbiory liczbowe

•

Zbiór liczb naturalnych

•

Zbiór liczb całkowitych

ℕ = {1,2,3,4,…} .

ℤ = {…, − 3, − 2, − 1,0,1,2,3,…} .

(3)

Zbiory liczbowe

•

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem . Liczbą wymierną jest każdy ułamek dziesiętny skończony

lub nieskończony okresowy c0 — liczba całkowita,

c1, c2, … — cyfry części dziesiętnej, setnej itd.

(o1o2…om) — okres złożony z cyfr o1, o2, …, om. ℚ c₀, c₁c₂…c_n

c₀, c₁c₂…c_n(o₁o₂…o_m)

(4)

Zbiory liczbowe

•

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem . Liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci rozwinięcia

(skończonego lub nie) na ułamek dziesiętny.

c0 — liczba całkowita

c1, c2, … — cyfry części dziesiętnej, setnej itd.

ℝ

c₀, c₁c₂c₃…

(5)

Zbiory liczbowe

ℝ ℚ

ℤ ℕ

1,2,3,… 0

−1

0,5

−234,025

2 π e

(6)

Działania na liczbach rzeczywistych

∙ a + (b + c) = (a + b) + c,

∙ a + b = b + a,

∙ 0 + a = a,

∙ a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c,

∙ a ⋅ b = b ⋅ a,

∙ 1 ⋅ a = a,

∙ a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c .

(7)

Porządek

W zbiorze liczb rzeczywistych określona jest relacja < zwana relacją mniejszości (lub porządkiem) spełniająca warunki:

•

dla pary różnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi relacja a < b albo relacja b < a,

•

z prawdziwości dwóch relacji a < b i b < c wynika relacja a < c,

•

jeśli relacja a < b jest prawdziwa, to relacja b < a jest fałszywa.

(8)

Porządek

Relacja > zwana jest relacją większości. Para liczb a, b jest w relacji a > b, gdy b < a.

Relacja a ≤ b oznacza, że a < b lub a = b. Podobnie relacja a ≥ b oznacza, że a > b lub a = b.

Jeśli a > 0, to mówimy, że a jest liczbą dodatnią. Jeśli a < 0, to mówimy, że a jest liczbą ujemną. Jeśli a ≥ 0, to mówimy, że a jest liczbą nieujemną. Jeśli a ≤ 0, to mówimy, że a jest liczbą niedodatnią.

(9)

Związek mniejszości z działaniami

Dla liczb rzeczywistych a, b, c i liczby dodatniej d:

•

jeśli zachodzi a < b, to zachodzi również a + c < b + c,

•

jeśli zachodzi a < b, to zachodzi również a・d < b・d,

•

Jeśli zachodzi a < b, to zachodzi również - b < - a,

•

suma liczb dodatnich jest dodatnia; suma liczb ujemnych jest ujemna,

•

iloczyn liczb jednakowego znaku jest dodatni; iloczyn liczb różnych znaków jest ujemny.

(10)

Odejmowanie

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b równanie

ma dokładnie jedno rozwiązanie zwane różnicą a i b, które oznaczamy symbolem a - b.

Funkcję, która każdej parze liczb przyporządkowuje ich różnicę nazywamy odejmowaniem.

x + b = a

(11)

Dzielenie

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej b równanie

ma dokładnie jedno rozwiązanie zwane ilorazem a i b, które oznaczamy symbolem a : b albo a / b.

Funkcję, która każdej parze liczb (dla której istnieje iloraz) przyporządkowuje ich iloraz nazywamy dzieleniem.

x ⋅ b = a

(12)

Ułamki

Iloraz a : b oznaczamy zwykle jako

i nazywamy ułamkiem o liczniku a i mianowniku b.

a b

a

b + c

d = ad + bc

bd , a

b ⋅ c

d = ac bd , a

b − c

d = ad − bc bd ,

ab dc

= adbc .

(13)

Ułamki

Każdą liczbę wymierną (reprezentowaną w postaci rozwinięcia dziesiętnego) można przedstawić w postaci ułamka

gdzie p i q są liczbami całkowitymi, przy czym q nie jest zerem.

Z własności ułamków wynika, że liczby p i q można dobrać tak, by:

•

liczba q była dodatnia,

•

obie liczby p i q nie miały wspólnego dzielnika całkowitego.

p q

(14)

Procenty

Procent to sposób wyrażenia liczby jako ułamka o mianowniku 100. Procent oznaczmy symbolem %.

Jeden procent to setna część jedności:

Sto procent to jedność:

1 % = 1

100 .

100 % = 100

100 = 1.

(15)

Zamiana procentu na ułamek

Procenty możemy zamieniać na ułamki zwykłe lub dziesiętne.

W tym celu liczbę procentową należy podzielić przez 100.

Na przykład,

p % = p 100

3 % = 3

100 = 0,03 87 % = 87

100 = 0,87

(16)

Zamiana procentu na ułamek

Warto zapamiętać, że:

10 % = 1

10 20 % = 1

5 25 % = 1

4 12,5 % = 1

8 50 % = 1

2 75 % = 3

4

(17)

Zamiana ułamka na procent

Ponieważ dla dodatnich a i b

to

na przykład

a

b = a ⋅ ¹⁰⁰_b

b ⋅ ¹⁰⁰_b =

ab ⋅ 100 100 ,

a

b = a

b ⋅ 100 % ,

2

5 = 2

5 ⋅ 100 % = 200 %

5 = 40 % .

(18)

Obliczanie procentu danej liczby

Aby obliczyć p% danej liczby a, należy procent przedstawić w postaci ułamka i przemnożyć go przez daną liczbę a.

Przykład

Oblicz 30% liczby 20.

Oblicz 75% liczby 60.

0,3 ⋅ 20 = 6.

0,75 ⋅ 60 = 3

4 ⋅ 60 = 45.

(19)

Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Aby obliczyć, jakim procentem pierwszej liczby a jest druga liczba b, należy obliczyć, jakim ułamkiem pierwszej liczby jest druga liczba, czyli obliczyć a / b i ułamek ten

przedstawić w postaci procentu.

Przykład

Jakim procentem liczby 12 jest liczba 3.

3

12 = 1

4 ⋅ 100 % = 25 % .

(20)

Obliczanie liczby, gdy znany jest jej procent

Aby obliczyć liczbę x, gdy znanych jest p% tej liczby, powiedzmy b, należy rozwiązać równanie

czyli równanie

Rozwiązaniem tego równania jest

p % x = b,

p ⋅ x

100 = b .

x = b

p ⋅ 100.

(21)

Procenty w finansach

(22)

Rodzaje stóp procentowych

•

Nominalna stopa procentowa, rn — stopa podawana przez banki lub inne instytucje finansowe.

•

Realna stopa procentowa rreal — stopa uwzględniająca inflację. Jeśli i oznacza stopę inflacji, to

•

Faktyczna stopa procentowa, rf — stopa uwzględniająca podatek dochodowy od zysków z inwestycji kapitałowych. Jest to rzeczywiste oprocentowanie,

wg którego zostaną naliczone odsetki już po zapłaceniu od nich należnego podatku dochodowego. Jeśli T oznacza stopę podatku dochodowego, to

r_real = r_n − i 1 + i .

r_f = r_n ⋅ (1 − T) .

(23)

Przykłady

•

Załóżmy, że stopa nominalna banku centralnego wynosi 2,5%, a roczna stopa inflacji (dane z 2018 roku) jest równa 1,6%.

Wówczas realna stopa procentowa wynosi

•

Obliczmy faktyczne oprocentowanie lokaty bankowej o oprocentowaniu nominalnym równym 3,5% rocznie.

Przypomnijmy, że stopa podatku dochodowego od zysków z inwestycji kapitałowych w Polsce to T = 19%.

r_real = r_n − i

1 + i = 2,5% − 1,6 %1 + 1,6 % = 0,025 − 0,0161 + 0,016 = 0,0091,016 = 0,89 % .

r_f = r_n(1 − T) = 3,5 % (1 − 19%) = 3,5% ⋅ 0,81 = 2,835 % .

(24)

Procent a punkt procentowy, 

czyli porównywanie stóp procentowych

•

Procent jest setną częścią całości. Mówi o ile procent

początkowa stopa procentowa wp zmieniła w stosunku do końcowej wartości stopy procentowej wk:

•

Punkt procentowy (w skrócie pp.) jest zaś bezwzględną różnicą między wielkościami wyrażonymi w procentach.

Δ_b = w_k − w_p . Δ_w = w_k − w_p

w_p ⋅ 100 % = Δ_b

w_p ⋅ 100 % .

(25)

Przykłady

•

Zakładając, że stopa bezrobocia wynosi dziś 7% a w roku 2013 wynosiła aż 14% można od razu powiedzieć, że

obniżyła się o połowę, czyli o 50%. Można również

powiedzieć, że obniżyła się o 7 punktów procentowych.

•

Załóżmy, że rok temu bank centralny podawał wartość stopy procentowej na poziomie 3%. Jeśli powiedziano, że bank centralny podniósł stopę procentową o 10%, to

znaczy, że dzisiejsza stopa procentowa wynosi

3% + 3% ⋅ 10 % = 0,03 + 0,03 ⋅ 0,1 = 0,033 = 3,3 % .

(26)

Potęgowanie

(27)

Potęga o wykładniku naturalnym

aⁿ = a ⋅ a ⋯ a

n czynników

∙ a¹ = a,

∙ a² = a ⋅ a,

∙ a^m ⋅ aⁿ = a^m+n,

∙ a^m

aⁿ = a^m−n,

∙ (a^m)ⁿ = a^m⋅n,

a — podstawa potęgi  n — wykładnik potęgi

∙ 0ⁿ = 0,

∙ 1ⁿ = 1,

∙ (−1)²ⁿ⁻¹ = − 1,

∙ (−1)²ⁿ = 1.

(28)

Przykłady

W dobie komputerów warto zapamiętać niektóre potęgi 2.

∙ 2¹ = 2,

∙ 2² = 4,

∙ 2³ = 8,

∙ 2⁴ = 16,

∙ 2⁵ = 32,

∙ 2⁶ = 64,

∙ 2⁷ = 128,

∙ 2⁸ = 256,

∙ 2⁹ = 512,

∙ 2¹⁰ = 1024.

(29)

Potęga o wykładniku naturalnym

∙ jeśli a > 1, to aⁿ > 1;

Niech a i b będą liczbami dodatnimi. Wówczas:

∙ jeśli a < 1, to aⁿ < 1;

∙ jeśli a < b, to aⁿ < bⁿ .

∙ jeśli m < n, to a^m < aⁿ . Niech a > 1. Wówczas:

Niech 0 < a < 1. Wówczas:

∙ jeśli m < n, to a^m > aⁿ .

(30)

Potęga o wykładniku naturalnym

Z definicji potęgi i własności mnożenia wynika, że potęga liczby ujemnej jest dodatnia dla wykładników parzystych, a ujemna dla wykładników nieparzystych. Potęga liczby dodatniej o dowolnym wykładniku jest dodatnia.

Z powyższego wynika, że dla liczby ujemnej a równanie xⁿ = a

ma rozwiązanie tylko w przypadku, gdy n jest liczbą nieparzystą.

(31)

Pierwiastek

Niech a będzie liczbą rzeczywistą dodatnią, a n niech

będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem stopnia n z liczby a nazywamy jedyne dodatnie rozwiązanie równania

xⁿ = a .

Pierwiastek stopnia n z liczby a oznaczamy

n a .

Wprost z definicji pierwiastka wynika, że ( ⁿ a)ⁿ = a .

Oczywiście xⁿ = 0 tylko dla x = 0, więc ⁿ 0 = 0.

(32)

Przykłady

∙ 16 = 4, gdyż 4² = 16;

∙ ³ 8 = 2, gdyż 2³ = 8;

∙ ³ 125 = 5, gdyż 5³ = 125;

∙ 225 = 25 ⋅ 9 = 25 ⋅ 9 = 5 ⋅ 3 = 15;

∙ −4 nie istnieje. Istotnie, x² ⩾ 0 dla wszystkich liczb x, więc nie istnieje x takie, że x² = − 4.

(33)

Pierwiastek

Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, a m i n niech — liczbami naturalnymi.

∙ ⁿ a ⋅ ⁿ b = ⁿ ab,

∙

n a

n b = ⁿ a

b ,

∙ ⁿ aⁿ = a, ∙ ⁿ a^m = ( ⁿ a)^m,

∙ ^{n m} a = ^mn a .

∙ a² = |a| .

Ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej a:

(34)

Potęga o wykładniku wymiernym dodatnim

Niech x będzie dodatnią liczbą wymierną postaci x = p

q ,

gdzie p i q są liczbami naturalnymi.

a^x = ^q a^p .

Potęgą o podstawie a i wykładniku x nazywamy

(35)

Potęga o wykładniku

wymiernym dowolnego znaku

Niech x będzie liczbą wymierną (dowolnego znaku). Każdą taką liczbę można przedstawić w postaci różnicy

x = x₁ − x₂,

gdzie x₁ i x₂ są dodatnimi liczbami wymiernymi.

Potęgą o podstawie a i wykładniku x nazywamy a^x = a^x¹

a^x² .

(36)

Własności potęgi o wykładniku wymiernym

∙ a^x ⋅ a^y = a^x+y, ∙ a^x

a^y = a^x−y, ∙ (a^x)^y = a^x⋅y . Dla x > 0 :

∙ jeśli a > 1, to a^x > 1;

∙ jeśli a < 1, to a^x < 1;

∙ jeśli a < b, to a^x < b^x .

Dla x < 0 :

∙ jeśli a > 1, to a^x < 1;

∙ jeśli a < 1, to a^x > 1;

∙ jeśli a < b, to a^x > b^x .

(37)

Własności potęgi o wykładniku wymiernym

∙ jeśli x > y, to a^x > a^y . Dla a > 1 :

∙ jeśli x > y, to a^x < a^y . Dla 0 < a < 1 :

∙ a⁰ = 1,

∙ a^−x = 1 a^x .

(38)

Potęga o wykładniku rzeczywistym

Niech x będzie liczbą rzeczywistą i a > 0 a^x = lim

n→∞ a^xⁿ,

gdzie (x_n) jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do x . Występujące tu pojęcia granicy i zbieżności wyjaśnimy później.

(39)

Własności potęgi

∙ a^x ⋅ a^y = a^x+y,

∙ a^x

a^y = a^x−y,

∙ (a^x)^y = a^x⋅y,

∙ jeśli a > 1, to a^x > 1;

∙ jeśli a < 1, to a^x < 1;

∙ jeśli a < b, to a^x < b^x .

Niech x będzie liczbą rzeczywistą dodatnią. Wtedy:

(40)

Logarytm

(41)

Logarytm

Niech a będzie liczbą rzeczywistą dodatnią różną od 1, i niech b będzie liczbą rzeczywistą dodatnią. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy rozwiązanie równania

a^x = b .

Logarytm ten oznaczamy symbolem log_a b .

Wprost z definicji logarytmu wynika, że

a^log^a ^b = b, log_a(a^b) = b .

(42)

Przykłady

Inaczej:

log₂ 8 = 3, gdyż 2³ = 8;

log₃ 81 = 4, gdyż 3⁴ = 81;

log₂ 8 = log₂(2³) = 3;

log₃ 81 = log₃(3⁴) = 4.

log¹₂ 16 = − 4, gdyż ( 1 2 )

−4 = 16.

log¹₂ 16 = log¹₂ ( 1 2 )

−4 = − 4.

(43)

Własności logarytmu

∙ log_a(b₁ ⋅ b₂) = log_a b₁ + log_a b₂,

∙ log_a ( b₁

b₂ ) = log^a b₁ − log_a b₂,

∙ log_a b = log_c b log_c a ,

∙ log_a(bⁿ) = n ⋅ log_a b,

∙ log_a 1 = 0.

(44)

Własności logarytmu

Dla logarytmów o podstawie a > 1 :

∙ jeśli b₁ < b₂, to log_a b₁ < log_a b₂,

Dla logarytmów o podstawie a ∈ (0,1) :

∙ jeśli b₁ < b₂, to log_a b₁ > log_a b₂ .