5.1 Zadan ia 15

16 5.1 Zadan ia a) n = 2 ,r = 5% b) n = 2 ,r = 5%

c) n = 5 ,r = 5% d) n = 5 , r = 5%

e) n = 10 ,r = 3% f) n = 10 ,r = 5% Zadanie 38. Jak ą kw otę n ależ y u lok o w ać na k on c ie , ab y p o p ięc iu latac h uzy- sk ać 1217 zł, je śli ro c zne op ro ce n to w ani e wyn os i 4% ? J ak ą kw otę n ale żałob y zł ożyć, ab y uzysk ać te n sam k api tał k oń c o wy p o trze ch latac h? Zadanie 39. Bank p rzyjął kw otę 50 000 zł na 5% ro cz n ie i p ożycz ył ją na 6% ro c znie. Ile zys k ał bank w c ią gu pięc iu lat, a ile b y zys k ał w c ią gu dzies ięciu lat? Zadanie 40. Ob licz , d o jakiej wysok oś ci w zrośni e p o p ię ciu latac h k ap itał 600 zł , je że li opro c en to w an ie wyn os i: a) w pierws zym roku : 6%, w d ru gim : 5 .5%, a w trze ch os tatn ic h : 4% , b) w pi e rw sz y m rok u: 5 .5%, w dr ugim: 4%, a w trze ch os tatn ic h : 6% . Zadanie 41. Op ro ce n to w ani e lok at w b anku Ździer ca B a nk. COM wynosiło w k olejn y ch lat ac h: 9% , 8% , 7% , 6%. Stop a p ro ce n to w a w b anku NiezłyPrzekr ęt - Bank b yła w tym sam ym cz asie stała i wyn os iła r . Obli c z r , jeś li wpłace n ie k apit ał u na c ztery lata b yło w obu b ank ac h ró w n ie (n ie)opłacalne (oba ban ki k apit alizują o d setki ro c znie). Zadanie 42. Fir m a Mal w er san ci .pl zac ią gnę ła w b anku kr e d yt wysok oś ci 10 000 zł. Co roku ban k nalicza o d setki w wys ok ośc i 10%. K re d yt w raz z o dse t- k am i ma b yć spłac on y je d norazo w o, p o n latac h. Na ile lat z ostał z acią gn ięt y kr e d yt, jeż eli fir m a Mal w er san ci .pl m u si ał spłacić 13 310 zł? Zadanie 43. W arun ki ofero w ane prze z ban ki dl a lok at d wuletni ch są nastę - pu jące : ńBank 5 .44% ro c zni e , o d setki k apit alizo w ane c o m ie siąc e, vil lage bank 5 .5% ro c zni e , o d setki k apit alizo w ane c o kw artał, Getout Bank 5 .6% ro c zni e , o d setki k apit alizo w ane c o p ół roku , BLE Bank 5 .65% ro c zni e , o d setki k apit alizo w ane co roku . Któr y z ban k ó w oferu je n a jk orz y stn iejsz e w aru nki osz cz ędzani a? Zadanie 44. Na lok atę te rm in o w ą (18-mie sięc zną) wp łacono 5000 zł. P o 18 mie siącac h , b ank wypłacił 5495,52 zł. Ile (w sk ali roku ) wyn os iło op ro ce n to- w anie lok at y , jeś li b ank k api talizo w ał o dse tk i c o p ół roku ?

Ci ą gi Ku rs matem at y ki w Or atoriu m (http://www.salezjani e.rumia.pl/math ) Spis tre ści 1 Cią gi li czb o w e 1 1.1 P o d st a w o w e własnośc i cią gó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Gr anica cią gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Zadan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Cią g arytme tyczn y 5 2.1 Defin ic je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Własnośc i cią gu ary tm et ycz n e go . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Su ma cią gu ar ytme tycz n e go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Zadan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Cią g geom etryczn y 8 3.1 Defin ic je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Własnośc i cią gu geom etry c znego . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Su ma cią gu geom etry c znego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4 Zadan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Zadanie r óżne 12 5 Eleme n ty mat emat yki finans o w ej 14 5.1 Zadan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 C ią g i liczb o w e Definicj a 1. 1 (cią g li c zb o wy sk ończ on y ). Cią giem licz b o w y m sk ończ on ym , nazyw am y d o w oln ą fu nk cję o w ar toś ciac h rze cz y w is tyc h, k tórej d z iedziną jes t zbiór { 1 , 2 , . .. , k } dl a p e wn e go k ∈ N . Definicj a 1. 2 (cią g li c zb o wy n ies k oń c zon y) . Cią giem licz b o wym nies k oń c zo- n ym, n az y w am y d o w oln ą fu nk cję o w artośc iac h rz ec zywist y ch, któr e j dziedziną jest cały z b iór licz b n atur aln yc h. Cz ęs to na c ią gi n ies k oń c zone b ę d z ie m y mó w ić p o prostu c ią gi. Ws zelkie cią gi, sk ończ on e i ni e sk ończ on e , b ę d z ie m y oz n ac zać k olejn y m i, małymi literami

5.1 Zadan ia 15

Pro cen t s kładan y Cz ęs to je d nak zdar z a się , że co roku (lub z in ną okr e -

śloną cz ęs tot liw oś cią), o d setki d olicz an e są do k api tał u o d k tórego licz on y je st pr o ce n t. Biorąc to p o d u w agę, nasz k apit ał p o u pływie roku ró wn y je st (p o- dob nie jak p op rze d nio) k (1 + p 10 0 ). W nastę p n ym roku jedn ak, op ro cen to w an iu p o dl e ga ju ż n o w a kw ota. P o d w ó ch latac h stan k on ta ró wn y je st k (1 + p 100 ) 2

i p o k aż dy m n as tępn ym roku zos ta je p om n oż on y przez (1 + p 10 0 ). Zau w aż a- m y wiec , że mam y tu do cz yn ie n ia z cią giem geome tr yc zn ym, któr e go n -t ym wyraze m jes t:

k n = k  1 + p

100  n .

T aki sp osób nal ic zani a o dse tek nazyw an y je st pro c en tem s kładan y m .

Kapi tali zacj a o d setek W matem at y c e fin anso w ej, d opi syw ani e o ds etek d o p o dsta w y k api tału o d k tórego n alicz an e je st dalsz e op ro ce n to w ani e nazyw a si ę

k apit ali zacją o ds ete k . W przyp adku lok at, gdzie wystę p uj e opi san a wyże j sytuacja z pr o ce n tem skład an ym, o d setki są k api talizo w an e z okreś loną cz ęs to- tli w ośc ią (n a p rzykład co roku). W p rzypad ku p ro ce n tu pr os tego, k ap itali z acja

o d sete k n as tępu je ty lk o raz , w m ome n c ie z ak oń c zenia os zcz ędzania.

Pr oblem 5.1 . Zas tanó w się, który ze sp osob ó w nali c zania o d sete k je st bar - dziej opłacaln y d la klien ta b anku , w p rzypad ku lok at osz cz ędn oś cio w y ch or az

kr e d ytó w .

Pr oblem 5.2 (? ). P o d ane w zory n a p ro ce n t skład an y są p opra wne w p rzypad ku ro c znej k ap itali z acji o d sete k . Z astan ó w si ę , jak n ale ży je zmo dy fik o w ać, ab y

b yły p opr a w n e d la do w ol nej c zę stotli w ośc i k ap italizac ji o d sete k wyn os ząc ej m mie sięc y . P amię ta j, że opr o ce n to w anie p p o da je się zaz wycza j w sk ali rok u.

Uw aga 5. 1. Większ ość lok at b ank o wyc h stosuj e pr o c en t skład an y d o n a lic za-

ni a o d setek. Je śli wię c w z ad aniu n ie spr e cyz o w ano jak nal ic zane są o dse tki, nal e ży przyj ąć ż e cho dzi o p ro ce n t składan y .

5. 1 Z adani a

Zadanie 36. Do jakiej kw ot y wz roś n ie k apit ał w wysok oś ci 3000 z ł, zł ożon y na tr z y lata, je że li ro c zna stopa wynosi 6% , a o d setki są k api talizo w ane:

a) co p ół roku, b ) kw artaln ie , c ) m iesię cz n ie, d) co dzienn ie .

Zadanie 37. Ob licz ile b ędzie w y nos ił k ap itał w wysok oś ci 2000 z ł z łożon y na p ro ce n t skład an y na n lat, p rzy opro c en to w an iu ro c zn ym wynosz ącym r pr o ce n t. 2 1.1 P o dsta w o w e w łasnośc i cią gó w

alf ab etu. P rzyjęło się ró wn ie ż ż eb y argu m en t oz n ac zać p rz ez n (a nie jak tam

ma miejsc e w przyp adku „zw y kłyc h ” fun k c ji x ) oraz pi sać go b ez n a wiasó w w n as tępu jący (z n an y k ażdem u ) sp osób: a n . Nale ży jedn ak p am ię tać że nap is taki znacz y d okładni e to samo co a (n ) – cz y li w ar toś ć fun k c ji a dl a ar gume n tu n . Na w art oś ć tak ą b ę dziem y mó w ić n -t y wyr az cią gu a .

1 .1 P o ds ta w o w e w łasno ści ci ą gó w

Ze wz gl ę d u na defini c ję c ią gu jak o fu nk cji, moż em y mó wić o taki ch włas n o-

śc iac h c ią gó w jak: monoton ic zność , ogran icz on oś ć, róż n o w artościo w ość . Można ró wni e ż ryso w ać wyk re sy cią gó w. P oni ż ej, p okrót c e om ó wim y te p o dsta w o w e włas n oś ci. Ze w zględu na wygo d ę i pr os tot ę form u ło w an ia defin icji, p on iż ej m ó wim y tylk o o cią gac h n ies k oń c zon yc h. Ws zystkie p oni ż sz e d e fi nicje można b ard z o łat w o pr z erob ić n a p rz y pad e k cią gu sk ończ on e go.

Monotoniczność

• Cią g a jest ros nący jeśli sp e łn ion y je st w aru nek:

n < k ⇒ a n < a k

dl a d o w oln yc h li c zb natu raln yc h n, k .

• Cią g a jest mal ejący jeśli sp e łn ion y jest w aru nek:

n < k ⇒ a n > a k

dl a d o w oln yc h li c zb natu raln yc h n, k .

• Cią g a jest stał y jeśli w szys tk ie je go wyrazy są sob ie ró wne.

Ogr a n iczoność

Definicj a 1.3. Mó wim y ż e c ią g a jest ograni c zon y je śli istn ie je tak a li c zba rze czywis ta M , ż e jes t sp ełnion y w aru nek:

|a n | ¬ M

dl a k ażdego n nat uraln e go.

Pr oblem 1.1 . Sp rób uj omó wić , jak wygląda wykr e s do w ol nego cią gu ogra- ni c zonego – lub d okładn ie : c o ws zystkie te wykr e sy ma ją ze sob ą wsp ól ne- go/p o dob nego?

14 Zadanie 31. Licz b y 3 .6; 2 .5; .. . tw or z ą n ies k oń c zon y cią g geome tr yc zn y . Ob - licz sumę tyc h w szys tk ic h li c zb. Zadanie 32. Dla jak ic h w artośc i p arame tr u k ró wnan ie: 3 sin x + 9 sin 2 x + 27 sin 3 x + .. . = k + 4 , gdzie lew a strona jes t su mą ni e sk ończ on e go c ią gu geome tr yc znego, m a rozw ią- zanie? Zadanie 33. Dla jakic h w art oś ci x cią g geom etry c zn y nies k oń c zon y 2 , 3 x − x 2 ,. .. jest zbi e żn y? Zadanie 34. W ku lę o pr om ieni u R wpisano sz eś cian , w sz eś cian ten wpi- sano ku lę , itd . w nies k oń c zoność . Obl ic z gran ic ę, d o której d ąż y su m a p ól p o wierzc h ni ws zystkic h kul. Zadanie 35. Okr e s p oło w ic znego rozkład u p ierwias tk a to ok re s, p o który m z dan e j ilośc i p ierwias tk a p oz osta je je go p oło w a. Dla radu (R a 226) wynosi on 1560 lat. Ile lat c o na jmniej tr z eba cz ek ać , ab y z 1 g rad u zos tał o mn ie j ni ż 1 mg ? 5 El e m e n ty mat e m at yki finanso w e j Z cią gami sp ot yk am y się c zę sto w ż yciu c o d z ie n n ym w sytu ac jac h związan yc h z lok atami ban k o wymi i k re d yto wymi. Wp łaca jąc d o bank u kw otę p ieniędzy na lok atę d ługotermino w ą, m oże m y m ie ć d o czynieni a z tz w. pr o c en tem p ros ty m (stałym) lub składan y m . Załóż m y , że wpłacam y d o b anku k ap itał k , opr o ce n to w an y na p % w st o- sunk u ro cz n ym. Pro cen t pr ost y Załóż m y , że o d setki nie są dop is y w an e do k apitału p o upły - wie k aż d e go roku, tz n . co roku p ro cen t p liczon y je st o d kw ot y k api tału p o cz ąt- k o w ego. P o roku osz cz ędzani a, nasz k apitał wyniesie k (1 + p 100 ). W następn ym rok u, k ap itał wyniesie : k (1 + p 10 0 ) + k · p 100 = k (1 + 2 · 10 0 ). O gólnie p o up ływie k aż d e go roku d o nasze j lok at y dop is y w an a jes t stała kw ota wynosz ąca: k · p 10 0 . Zau w aż m y , ż e m am y tu do c zyni e n ia z c ią gie m ary tm et ycz n y m o w y raz ie ogól - n ym: k n = k ^ 1 + n · p 100

 . T aki sp osób n alicz an ia o dse tek nazyw am y pro c en tem p rost ym (stałym).

1.2 Gr anica c ią gu 3 Cz ase m d e fi nicję cią gu ogran ic zonego form u łuj e się ni e co in ac ze j p o da jąc p o ję cia ogran icz enia górnego i d oln e go cią gu . Rze cz y w iście , m ó wiąc o cią gu , że jest ograni c zon y można p o wiedzieć , ż e m u szą istnieją licz b y m i M rze czywis te, takie, ż e dla do w olnego n zac ho dzi: m ¬ a n ¬ M . Licz b y m i M nazyw am y wtedy o dp o wiedn io ogran icz eniem d oln y m i gór n ym cią gu. Oczywiś cie ob ie d e fi nicje są ró wno w ażne. Pr oblem 1.2 . Dlacz ego obie defini c je c ią gu ogran ic zonego są ró wno w ażne? Pr oblem 1.3 . Cz y w defin icji cią gu ogr anicz on e go moż n a z mienić nieró wność ¬ na < ? Różno w artościo w ość Definicj a 1. 4. Mó wim y , ż e cią g a jest różno w artośc io wy jeś li je st sp ełnion y w arun e k: a n = a k ⇐ ⇒ n = k Pr oblem 1.4 . Cz y pra wdą je st, że w cią gu różno w ar toś cio wym k ażdy wyraz wys tę p uje dokład nie jeden raz? 1. 2 Granica ci ą gu W p on iż sz y m p o drozdziale za jm iem y się p o jęc ie m zbież n oś ci cią gó w. Od te go mom en tu b ędzie m y z ak ład ać , że roz p atryw ane c ią gi są ni e sk ończ on e . P o jęc ie zbież n oś ci nie m a b o wiem se n su d la c ią gó w sk oń c zon yc h. Definicj a 1.5 (gran ica cią gu ). Licz b ę rz ec zywistą g nazyw am y gr anicą c ią gu a gdy sp e łni on y jes t w arun e k : ^ ε> 0

_ n

∈ N

^ n>n

|a n − g | < ε. Gr anicę cią gu a oznacz am y cz ęsto p rze z lim n → ∞ a n lu b lim a n . Pr oblem 1.5 . Sp rób uj włas n y m i sło w ami omó w ić w ar un ki jakie m usi sp e łn iać liczba g ab y b y ć gran ic ą p e wnego c ią gu. Z p o wyżs ze j defin ic ji wynik a ki lk a b ard z o w aż n yc h faktó w . Ni e b ę d z ie m y ic h tuta j w żaden sp osób uzas ad ni ać (moż n a spr ób o w ać pr z epro w adzić o d p o - wiedni e do w o dy jak o ćwic ze n ia dla am b itn y ch i o d w ażn yc h).

13 Zadanie 24. Cią g li c zb o wy (a n ) je st okreś lon y wz or e m a n = 3 − 5 n 2 . Uzas ad nij

z d e fi nicji, że je st to cią g aryt m et yc zn y .

Zadanie 25. Wit e k zjeż d ż a n a san k ac h ze stoku. W pi e rwsz ej se k und z ie san- ki prze b yły d rogę 3 m , a w k ażdej nastę p nej se k und z ie o 0 .2 m więc ej n iż w

p oprze d ni e j. Jak ą drogę pr z eb yły sanki p o 9 seku nd ac h, p rzy z ałoże n iu , ż e na torze sanek nie zna jd o w ały si ę ż ad ne p rze sz k o dy (n p. dr z ew a)?

Zadanie 26. Wyr az y p ewnego c ią gu geom etry c znego (a n ) sp ełnia ją w aru nki :

( a 1 + a 2 + a 3 = 2 a 4 + a 5 + a 6 = − 2

Ab y wyznacz yć iloraz q tego cią gu , m ożna p os tą p ić w nastę p uj ąc y sp osób:

1. Zap is ać dru gie ró wnan ie w p ostaci: q 3 (a 1 + a 2 + a 3 ) = − 2.

2. Kor z y sta jąc z ró w n ania p ie rw sze go: a 1 + a 2 + a 3 = 2 .. . 3. .. . z ap is ać ró w n anie: q 3 = − 1.

4. S tąd wylicz y ć , że q = − 1.

P ostę p uj ąc an alogicz n ie , w y z n ac z iloraz q cią gu geome tr yc znego (b n ), kt ó- rego k ol e jne wyr az y b 3 , b 4 ,. . . , b 8 sp ełnia ją w ar un ki:

( b 3 + b 4 + b 5 + b 6 = 2 b 5 + b 6 + b 7 + b 8 = 8

Zadanie 27. Mar ta ku piła n a rat y te lewiz or . Każda k ol e jna rata b yła mni e j- sz a o d p op rz edn iej o tak ą samą k w otę. Il e zapłaciła M arta za telewiz or , je śli spłac ił a go w 7 ratac h, a c zw ar ta rata b yła ró w n a 350 zł?

Zadanie 28. Ile wyr az ó w cią gu o w y razie ogóln ym a n = 13 n − 4 30 − 2 n jest większ yc h ni ż 80? P o da j te wyrazy .

Zadanie 29. Uzas ad nij , ż e c ią g (a n ) d an y wz or e m ogóln ym a n = 2 3 n − 1 jest cią giem geom etryczn ym.

Zadanie 30. Ob licz gran ic ę:

lim n → ∞ 3 + 7 + 11 + .. . + (4 n − 1)

3 n 2 − 4 n + 10 4 1.2 Gr anica c ią gu

F akt 1. 6. Każdy ciąg ma co n aj w y żej je dn ą gr anic ę.

Definicj a 1. 7. Jeś li cią g a n p os iad a gr anicę to mó wim y , że je st zbi e żn y .

F akt 1. 8. Ci ąg stał y jest zbi eżny. Je go gr anic ą jest je go je dyna wartość.

F akt 1.9. Do danie lub usu nię cie z ciągu dowo lnej, skończonej ilości wyr azów nie wpł y w a na je go zbieżność ani n a w artość gr an icy (o ile takowa istniej e).

F akt 1. 10. Jeśl i ciągi a n or az b n są zbi eżne, to ciągi a n ± b n , a n ·b n są rów nież zbież n e. Gdy do dat kowo lim b n 6= 0 , to zbieżny jest ciąg a

b

.

Pon adto zacho dzą równości:

lim( a n ± b n ) = lim a n ± lim b n

lim( a n · b n ) = lim a n · lim b n

lim a n b n = lim a n lim b n

Wniosek 1.1 . Jeś li c ∈ R oraz c ią g a n jest zbi e żn y to c ią g c · a n jest zbi e żn y oraz:

lim( c · a n ) = c · lim a n

F akt 1. 11. Każdy ciąg który jest monoton iczny i o gr aniczony jest zbi eżny.

F akt 1. 12. Każdy ciąg zbi eżn y jes t o gr aniczony.

Cią gi rozbieżne Z p o w y ż sz ego fak tu łat w o wywniosk o w ać, że is tnieje bar - dzo wie le c ią gó w , k tóre n ie są z b ież n e (są to n a p rzykład wsz ystkie c ią gi, któr e ni e są ogran ic zone). Ok az u je się, że jes t na w e t gorze j – istnieją c ią gi ograni -

cz on e , któr e ni e są zbież n e .

Przykł ad 1.13. Cią g a n = (− 1) n jest ograni c zon y , b o d la k aż d e go n zac ho dzi |a n | = 1. Ni e jes t n atom ias t z b ież n y (żadn a lic zba n ie sp ełnia defin icji gran icy cią gu) .

Cią g który ni e je st z b ie żn y , cz y li n ie p os iad a sk ończ on e j gr anicy , nazyw a

się cią giem rozbi e żn ym. Wśró d c ią gó w roz b ież n y ch, w y różniam y sp ec jalną klasę cią gó w rozbieżn yc h do ∞ oraz −∞ .

Definicj a 1.14. Mó wim y , ż e cią g a n jest rozbi e żn y do ∞ (lu b do −∞ ) gdy dla do w olnej licz b y rz ecz ywistej x istni e je tak i wyraz c ią gu, ż e w szys tk ie nastę p ne

12 Zadanie 14. Cz tery lic zb y tw orzą c ią g ge ome trycz n y . Znal e źć ten cią g wie- dząc, że su m a w y raz ó w skra jn y ch jes t ró wna 36, zaś suma wyr az ó w śro d k o wyc h 24. Zadanie 15. Mi ę d z y lic zb y 27 i 1 3 ws ta w trzy tak ie lic zb y , ab y z dan ymi liczbami tw orzyły c ią g g eome tr yc zn y . Zadanie 16 (? ). Cz tery li c zb y tw orzą c ią g geom etryczn y . Ilo czyn logary tm ó w dzies ię tn y ch pierwsz ej i cz w artej licz b y wynosi 8, a ilo cz y n logarytmó w dr ugiej i trze ciej licz b y w y nosi 0. Zn a jd ź te lic zb y . Zadanie 17 (? ). Su m a trzec h licz b tw orząc yc h c ią g geom etryczn y je st ró w n a 62. Su m a logar ytmó w dzies iętn yc h tyc h lic zb jest ró wn a 3. Wy z n ac z ten cią g. Zadanie 18. Dan y je st c ią g geom etry c zn y p ostaci: 2 , 2 p − 1 , 2 (p − 1) 2 , 2 (p − 1) 3 ,. .. Wyznacz wsz ystkie w ar toś ci p , dl a któr yc h gr anicą te go cią gu je st lic zba: a) 0, b) 2. 4 Zadani e różne Zadanie 19. T rzy k olejn e li c zb y tw or z ą cią g geom etry c zn y . Ic h suma w y - nosi 3 1 2 . Jeż eli d o dru giej do dam y 1 4 , a p oz ostałe zos ta wim y b e z z mian y , to otrzymam y tr z y k olejn e wyrazy c ią gu arytmet yc znego. Zna jdź te licz b y . Zadanie 20. T rzy li c zb y x, y , z, któr yc h su m a je st ró wna 26 tw orzą c ią g geom etryczn y . Li c zb y x+ 1, y+6, z+3 tw orz ą cią g ar ytme tycz n y , Zn a jdź te liczb y . Zadanie 21. Mi ę d z y licz b y 2 i 12 ws ta w d w ie licz b y tak, ab y trzy p ierws ze tw or z y ły cią g geom etrycz n y , a trzy os tatn ie cią g aryt m et yc zn y . Zadanie 22. Wyznacz d w a cią gi: ar ytme tyczn y a 1 , a 2 ,a 3 i geom etryczn y b 1 ,b 2 ,b 3 taki e , ż e: a 1 b 1 = 1 ,a 2 b 2 = 4 ,a 3 b 3 = 12 , a 1 + a 2 + a 3 = 6 . Zadanie 23. Balon wz n iósł się w p ie rw sze j min uc ie n a wysok oś ć 64m a w k aż d e j n as tępn e j, przyrost w y sok ośc i b y ł dw a raz y mniejszy n iż w p opr z edn iej. Na jaki e j wysok oś ci b ył balon p o 8 min utac h ?

1.3 Zadan ia 5 wyrazy są wię k sze (mn ie js ze ) o d te go x . P isz em y w ó w cz as: lim n →∞ a n = ∞ (li m n → ∞ a n = −∞ ) i m ó wim y , że c ią g p osiada gran ic ę „niewłaś ciw ą” 1 . Więce j inf ormac ji o grani c ac h cią gó w, w ty m meto dy ic h ob licz an ia m u- sis z znaleź ć w e wł asn ym zakresie . P olec am y w ty m c elu str onę: http://www. matematyka.org . 1. 3 Z adani a Zadanie 1. Wśró d p on iżs zyc h c ią gó w wsk aż c ią gi: ogr anicz on e , m on otoniczne (n apisz jaki to ro dza j m on otoni c znośc i) , różno w artośc io w e , z b ież n e , roz b ież n e do ±∞ : a) a n = 2 · n − 1 b) b n = 2 n +1

c) c n =

 1 2

 n +1 d) d n = (− 2) n

e) e n = sin (n ) f) f n = n 2 + 4 n + 4 Zadanie 2. Ob licz gran ic ę c ią gó w (lu b nap is z ż e n ie istn ie je ). a) a n = 1 2 n +1 b) b n = n

− 100 n

+1 n

+1 0

c) c n = 5 n

− 100 00 n +1 3 2 n

+2 56 n − 11 d) d n = ^ 1 2  n

e) e n = √ 2 n + 3 f) f n = ^q 10 n

− 1 5 n +2 2 C ią g ar y tm e tyczn y 2. 1 Definicj e Cią g aryt m et yc zn y je st szc ze góln ym cią giem, który sp ełnia p oniższ ą (z u p e łni e ni e for m aln ą) defin ic ję . Definicj a 2.1 (cią g arytmet y c zn y) . Cią g aryt m et yc zn y jest to cią g, w k tó- ry m k ażdy (p oz a pi e rwsz y m ) wyraz p o w sta je p oprze z d o d anie stałe j, u st alonej licz b y r do wyrazu p opr z edn ie go: a 1 + r −− → a 2 + r −− → a 3 + r −− → a 4 + r −− → .. . Licz b ę r nazyw am y wte d y różnicą c ią gu arytmet y c znego.

W niektóry ch p o dręczni k ac h moż na sp otk ać si ę z o k reś leniem , że cią g jes t zbi eżn y do ∞ . My b ędziem y je dna k m ó wić , że c ią g jes t rozbieżn y d o ∞ co z naczy ty le sam o, jednak p o dk reśla, ż e dan y ci ą g ni e sp eł ni a p o danej w cześ ni ej definicji zbi eżności.

3.4 Zadan ia 11

Przykł ad 3.13. Kor z ysta jąc z d anego wzoru, p oliczym y następu jącą sumę :

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + . . . + 1024 + 2048 .

Zau w aż m y że do da w an e licz b y tw orzą cią g ge ome tr ycz n y a 1 ,a 2 , . . . ,a n , w któr ym a 1 = 2, q = 2, a n = 2048. Ab y ob licz y ć licz b ę wyrazó w tego cią gu wyk orzystam y wz ór :

a n = a 1 · q n − 1 . Zatem : 2048 = 2 · 2 n − 1

2048 = 2 n

n = 11

St ąd, szuk an a suma ró w n a jes t:

S 11 = 2 · 1 − 2 11

1 − 2 = 2 · 1 − 2048

1 − 2 = 2 · 2047 = 4094 . Wsk azó w k a: W c zas ie rozw iąz yw ania z ad ań dot ycz ącyc h cią gu geom e- try c znego, ws ze lk ie „d ane” i „s zuk ane” przedsta w w p ostaci oz n ac ze ń : a 1 , q

itp . Ułat wia to k on c en trację i k o jarzenie o d p o wiedni ch wzoró w i relacji m iędzy wielk oś ciami.

3. 4 Z adani a

Zadanie 9. T ró jk a licz b cał k o wit yc h tw orzy cią g ge ometrycz n y o ilor az ie cał-

k o wit ym . Gd y n a jm n ie js zą z n ic h zw ię ksz y m y o 9, to p o wstanie cią g arytme- tycz n y . Jakie to lic zb y?

Zadanie 10. Pi łk a, o db ij a jąc się o d z ie mi osią ga z a k ażdym raz em w y so- k ość wyn os ząc ą 3 5 p oprzedni e j. Jak w y sok o wzniosła si ę p iłk a p o pierws zym ud e rz eniu , jeś li p o c zw ar tym o d biła się na wysok oś ć 27 cm ?

Zadanie 11. P o d a j wzór ogóln y c ią gu ge ome trycz n e go (a n ) o wyr az ac h : 12 , 4 , 4 3 .

Zadanie 12. Licz b y b, c, d tw or z ą c ią g geom etry c zn y . Wi e lomian : W (x ) = x 3 − bx 2 + cx + d jest p o d z ieln y p rze z x 2 − 1. Zna jd ź licz b y b, c, d .

Zadanie 13. Su ma trz ec h licz b tw orząc y ch cią g geom etry c zn y jest ró w n a 62, a ilo cz y n jes t ró wn y 1000. Wyznacz ten c ią g. 6 2.2 Własnośc i cią gu ar ytme tycz n e go

Uw aga 2.2. Cią g ar ytme tyczn y moż e b y ć sk ończ on y bąd ź nies k oń c zon y . Jeś li

jest to cią g niesk ończ on y to:

dl a k ażdego n ∈ N + a n +1 = a n + r.

Jeś li cią g jes t sk ończ on y i ma p o wiedzm y k wyrazó w , to:

dl a k ażdego n =1,2,3, . . . ,k -1 a n +1 = a n + r.

2 .2 Włas ności cią g u ar y tm e tycznego

F akt 2. 3. Dla ciągu a rytmetycz n ego o pierwszy m wyr azie a 1 i różnicy r wzór o gólny ciągu ma p ostać: a n = a 1 + (n − 1) r

Pr oblem 2.1 . Cz y p otrafi sz ud o w o d nić p o wyżs zy fakt? (Wsk az ó wk a: p rze p ro- w adź d o w ó d indu k c y jn y) .

Cią g ar ytme tycz n y nal e ży u toż sam iać z funk cją lini o w ą. Zau w ażm y b o- wiem , ż e z faktu p o dan e go w y ż ej wyn ik a, że : a n = nr + a 1 − r , J e śli teraz, mó wiąc obrazo w o, zam ieni m y literk ę n na x a literk ę a na okr e śle n ie jakieś fu nk cji , np . f to otr z ymam y w zór b ardzo p o dob n y d o typ o w e go wzoru fun k-

cji linio w e j. Reas u m uj ąc , c ią g aryt m et yc zn y je st fun k c ją dan ą w zorem fu nk cji lin io w ej z d z ie d z in ą lic zba nat ural n yc h .

F akt 2.4. Ci ąg jest ar ytmetyczny wt edy i ty lko wte dy, gdy m oże być zada ny

wzor em funkcji li n iow ej.

Uw aga 2.5. T rzy li c zb y a, b, c tw or z ą cią g ary tm et ycz n y w tedy i tylk o wte d y , gdy : c − b = b − a

a stąd b = a + c 2 (cz yl i wyr az śro d k o wy jes t średni ą ar ytme tycz n ą wyr az ó w sąs iedn ic h ).

Uw aga 2.6. Ogóln ie, c ią g (a n ) je st arytmet y c zn y , gdy d la k aż d e go n zac ho dz i:

a n +1 − a n jest stałe (tzn. n ie zale ży o d n ).

Przykł ad 2. 7. Cią g d an y wz orem ogóln ym a n = 4 n − 3 jes t cią gi e m arytme - tycz n y m , b o

a n +1 − a n = 4( n + 1) − 3 − (4 n − 3) = 4 . Natomiast cią g a n = n 2 ni e jes t cią giem ar ytme tycz n ym , gd yż:

a n +1 − a n = (n + 1) 2 − n 2 = 2 n + 1 .

10 3.3 S uma cią gu geome tr yc znego A stąd wyn ik a w zór: b 2 = a · c. F akt 3. 7. Każdy wyr az ciągu ge ometr yczne go, opr ó cz pi erwsze go i ostat ni ego (o il e taki is tniej e) ma tę wł asność, że je go kwadr at jest ró wny ilo czy n owi wyr azów sąsi edn ich: a 2 n = a n − 1 a n +1 . F akt 3. 8. Jeżel i wyr azy ci ągu ge om et ryczne go są n ieujem n e, to każdy w y raz ciągu , op ró cz pierwsze go i osta tnie go (o il e taki is tniej e) jest śr ednią ge ome- try czn ą w y razów sąsie dnich: a n = √ a n − 1 a n +1 . Przykł ad 3.9. Cią g dan y wzore m ogóln ym a n = 7 · 10 n jest cią giem geom e- try c zn ym, b o a n +1 a n = 7 · 10 n +1 7 · 10 n = 10 . Natomiast cią g a n = 1 + 10 n ni e jes t cią giem geome try c zn ym gdyż: a n +1 a n = 1 + 10 n +1 1 + 10 n ni e jes t stałe . F akt 3.10 (monoton icz n oś ć cią gu ge ome trycz n e go) . Jeśl i q > 1 to ciąg ge o- metry czny jest monot oniczny : • jeśl i q > 1 ∧ a 1 > 0 lu b jeśl i 1 > q > 0 ∧ a 1 < 0 , to ci ąg jest rosną cy , • jeśl i q = 1 ∨ q = 0 , to ci ąg jest stały, • jeśl i 1 > q > 0 ∧ a 1 < 0 lu b jeśl i q > 1 ∧ a 1 < 0 , to ci ąg jest m a lejący . 3 .3 Sum a ci ą g u geo metrycznego F akt 3. 11. Suma k p o czątkow y ch wyr azów ci ągu ge ometry czne go (a n ) jest równa: S k = a 1 1 − q k 1 − q . Wzór jest p opr awny gdy q 6= 1 . Uw aga 3. 12. Ocz y w iś cie gd y q = 1, c ią g ge ome tr yc zn y je st c ią giem stałym i sumę k wyrazó w li c zym y z wzoru S k = k · a 1 .

2.3 S uma cią gu ar ytme tycznego 7 F akt 2. 8. Każdy ciąg ary tmetyczny jest monoto ni czn y : • jeśl i r > 0 , to ci ąg jest rosną cy , • jeśl i r = 0 , to ci ąg jest stały, • jeśl i r < 0 , to ci ąg jest m a lejący . 2. 3 Sum a cią g u ar y tm e tyczneg o F akt 2. 9. Suma k p o czątkow y ch wyr azów ci ągu ar ytmetyczne go (a n ) jest rów- na: S k = a 1 + a k 2 k . Sens p o w y ż sz ego fak tu je st p ros ty . S uma p e wnej licz b y k ole jn yc h wyr az ó w cią gu arytme ty c znego ró wna się śre d ni e j arytmet yc znej pierws zego i ostatni e go z tyc h w y razó w, p om n oż on e j p rze z lic zb ę tyc h wyr az ó w. Przykł ad 2.10. Kor z ysta jąc z d anego wzoru, p olicz y m y następu jącą sumę : 5 + 11 + 17 + . . . + 65 . Zau w aż m y że do da w an e liczb y tw orzą cią g aryt m et yc zn y a 1 , a 2 , . . . , a n , w któr ym a 1 = 5, r = 6, a n = 65. A b y obli c zyć li c zb ę w y raz ó w te go cią gu wyk orzystam y wz ór : a n = a 1 + (n − 1) r. Zatem : 65 = 5 + (n − 1) · 6 n = 11 St ąd, szuk an a suma ró w n a jes t: S 11 = 5 + 65 2 · 11 = 385 . Jak p ok azuj e p rzykład, cią gi arytme ty c zne są c zęs to p omo cne w zadan iac h , w któr yc h treś ci n ie ma mo wy nic o żadn ym c ią gu (zau w aż , ż e zadan ie z pr z yk ładu br z miało, „oblicz dan ą sumę ”) . Dl ate go, ab y ułat wić rozw iąz yw ani e różn yc h z ad ań, w któr yc h p o ja wia si ę c ią g ary tm et ycz n y , w ar to p am iętać o tym, c o m ó wi p oniżs za w sk az ó wk a.

9

3 C ią g geom etryczn y

3. 1 Definicj e

Cią g geom etrycz n y , p o d obni e ja k arytme tyczn y , je st szcz ególn ym c ią gie m, któ- ry sp ełnia p oniższ ą (z u p e łni e ni e formaln ą) defini c ję .

Definicj a 3.1 (cią g ge ometrycz n y) . Cią g ge ometrycz n y jes t to c ią g, w k tórym k aż d y (p oz a p ie rw szym ) wyr az p o w sta je p op rz ez p omnoże n ie p rze z p ewną stałe j, u stal oną licz b ę q wyrazu p oprze d ni e go:

a 1 ·q −→ a 2 ·q −→ a 3 ·q −→ a 4 ·q −→ .. .

Licz b ę q nazyw am y wtedy ilor az em cią gu geom etry c znego.

Uw aga 3.2. Cią g ge ome tr ycz n y moż e b y ć sk ończon y b ądź n ie sk ończon y . Jeś li jest to cią g nies k oń c zon y to:

dl a k ażdego n ∈ N + a n +1 = a n · q .

Jeś li cią g jest sk ończ on y i ma p o wiedzm y k wyrazó w , to:

dl a k ażdego n =1,2,3, . . . ,k -1 a n +1 = a n · q .

3. 2 Włas ności cią g u geom e tr y czne g o

F akt 3. 3. Dla ci ągu ge ometry czn ego o pier w sz ym wyr a zie a 1 i ilor azi e q wzór o gólny ciągu ma p ostać: a n = a 1 · q n − 1

Pr oblem 3.1 . Cz y p otrafi sz ud o w o d nić p o wyżs zy fakt? (Wsk az ó wk a: p rze p ro-

w adź d o w ó d in du k c y jn y) .

F akt 3. 4. Ci ąg jest ciągiem ge ometrycz n y m w te dy i tyl ko w te dy gdy jest dan y wzor em funkcji w y kł adniczej .

F akt 3. 5. Ogól n ie, ci ąg (a n ) jest ge o m et ryczny , gdy d la każde go n zacho dzi:

a n +1 a n = q il or az jest stał y (tzn. nie za leży o d n) .

Uw aga 3.6. T rzy lic zb y a, b, c (p rz y z ałoże n iu a 6= 0 ∧ b 6= 0) tw orzą cią g ary tm et yc zn y wtedy i tylk o wte d y , gdy :

c

b = b

a . 8 2.4 Zadan ia

Ws k azó w k a: W c zas ie roz wiązyw ania zadań d ot yc ząc y ch c ią gu ar ytme - tycz n e go, ws ze lkie „d ane” i „sz u k an e ” pr z edsta w w p os tac i oz n ac zeń: a 1 , r itp . Ułat wia to k once n trację i k o jarze n ie o d p o wiedn ic h wzoró w i relacji mię- dzy wie lk oś ciami.

2 .4 Z adani a

Zadanie 3. Ob licz wyr az p ierws zy , różnicę cią gu ary tm et ycz nego i su m ę 10

pi e rw sz y ch wyrazó w, gd y:

a) a 6 = 20 ,a 10 = 4, b) a 5 = 20 ,a 9 = 36, c) a 4 = 5 , a 11 = 34.

Zadanie 4. Dla jakic h w artośc i x p o dan e lic zb y są k olejn y m wyr az ami cią gu ary tm et ycz n e go? P o da j te wyr az y:

a) 2 x − 1 , 2 x + 5 , 3 x + 4,

b) (x + 1) 2 , (2 x + 1) 2 , (3 x − 1) 2 .

Zadanie 5. Ob licz su mę ws zys tk ic h lic zb dwu c yf ro wyc h k tóre:

a) są p o d z ieln e pr z ez 3,

b) są niep o dzielne prze z 5,

c) przy dziele n iu p rz ez 6 da ją res ztę 4.

Zadanie 6. Cz w art y wyraz cią gu ar ytme tycznego je st ró w n y 6. Ob licz sumę sie d m iu p o c zątk o w y ch wyrazó w tego cią gu .

Zadanie 7. Dru gi wyr az cią gu ary tm et ycz n e go je st ró wn y 4, a czw art y wynosi 16. Ob licz su m ę dzie sięc iu p o czątk o wyc h wyrazó w o n ume rac h p arzys tyc h.

Zadanie 8. Cią g aryt m et yc zn y składa się z 16 wyr az ó w. Su m a wyrazó w o n u - me rac h p arzyst y ch jes t ró w n a 256, a suma wyr az ó w o n u m erac h n ie p arzys tyc h jest ró wn a 240. Ob licz pi e rw sz y i ostatni wyr az tego cią gu .