Spotkania z Matematyk ˛ a Cała prawda o powierzchniach

(1)

Spotkania z Matematyk ˛ a Cała prawda o powierzchniach

Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl

Uniwersytet Warmi ´nsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki

ul. Słoneczna 54, pok. E1/7 10-561 Olsztyn

Spotkania z Matematyk ˛a – p. 1

Cała prawda o powierzchniach

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm/

Topologia

Wła´sciwo´sci geometryczne, niezmiennicze przy ci ˛agłych deformacjach

Mo˙zna:

rozci ˛aga´c gi ˛a´c Nie mo˙zna:

rozcina´c złama´c

Jednak mo˙zna rozci ˛a´c wzdłu˙z linii, a potem sklei´c wzdłu˙z tej˙ze linii:

rozwi ˛aza´c supeł

Wła ´sciwo ´sci nietopologiczne

prostolinijno´sć prostok ˛atno´sć trójk ˛atno´sć

(2)

Trójk ˛ at i okr ˛ ag

Trójk ˛at i okr ˛ag s ˛a równowa˙zne topologicznie

Wła ´sciwo ´sci topologiczne

kraw ˛ed´z:

sfera nie ma kraw ˛edzi półsfera ma

dziurka p ˛aczka

zwró´c uwag ˛e: dziurka nie nale˙zy do p ˛aczka!

Przestrzenie topologiczne

zbiory matematyczne z okre´slon ˛a dodatkow ˛a struktur ˛a, topologi ˛a, która pozwala okre´sli´c poj ˛ecie ci ˛agło´sci powierzchnie

Równowa˙zno ´s ´c topologiczna

mo˙zna przej´s´c od jednej przestrzeni do drugiej i z powrotem za pomoc ˛a ci ˛agłej deformacji

p ˛aczek (torus) jest równowa˙zny (homeomorficzny) z fili˙zank ˛a

(3)

Równowa˙zno ´s ´c topologiczna

f : A → B jest równowa˙zno´sci ˛a topologiczn ˛a (homeomorfizmem), je˙zeli

f jest bijekcj ˛a f jest ci ˛agłe

odwzorowanie odwrotne do f te˙z jest ci ˛agłe sklejanie dwóch kawałków gliny nie jest

równowa˙zno´sci ˛a topologiczn ˛a:

Przykład

podziel powierzchnie na klasy homeomorficznych:

Wst ˛ega Möbiusa

nie jest homeomorficzna z wst ˛eg ˛a cylindryczn ˛a (powierzchni ˛a walca):

ma tylko jedn ˛a kraw ˛ed´z

Wst ˛ega Möbiusa. Ilo ´s ´c boków

wst ˛ega Möbiusa ma tylko jeden bok: nie mo˙zna pokolorowa´c w dwa kolory

czy ilo´s´c boków jest wewn ˛etrzn ˛a wła´sciwo´sci ˛a topologiczn ˛a?

czy nie zale˙zy od zagnie˙zd˙zenia do przestrzeni?

ile boków ma nasza przestrze ´n?

(4)

Wst ˛ega Möbiusa. Orientacja

powierzchnia nieorientowalna

orientowalno´s´c jest wewn ˛etrzn ˛a wła´sciwo´sci ˛a topologiczn ˛a

Butelka Kleina

nie ma kraw ˛edzi:

jest nieorientowalna mo˙zna sklei´c z kwadratu:

Butelka Kleina a wst ˛ega Möbiusa

butelk˛e Kleina mo˙zna sklei´c z dwóch wst ˛eg Möbiusa:

Torus

mo˙zna sklei´c z kwadratu:

(5)

Płaszczyzna rzutowa

Płaszczyzna rzutowa a wst ˛ega Möbiusa

sklei´c po kraw ˛edzi koło i wst ˛eg ˛e Möbiusa zrobi´c kraw ˛ed´z wst ˛egi okr ˛egiem:

doklei´c koło

Rogata sfera Alexandera

homeomorficzna ze sfer ˛a

Rogata sfera Alexandera

obszar przestrzeni na zewn ˛atrz rogatej sfery

Alexandera nie jest homeomorficzny z obszarem na zewn ˛atrz zwykłej sfery

(6)

Niezmienniki topologiczne

aby udowodni´c, ˙ze powierzchnie s ˛a homeomorficzne, wystarczy ustali´c mi ˛edzy nimi homeomorfizm

jak udowodni´c, ˙ze powierzchnie nie s ˛a homeomorficzne?

trzeba znale´z´c niezmienniki topologiczne, które odró˙zniaj ˛a te dwie powierzchnie

dziura w torusie jest cz˛e´sci ˛a obszaru poza torusem

Torus i sfera

ka˙zda domkni ˛eta krzywa na sferze dzieli j ˛a na dwie cz˛e´sci:

na torusie s ˛a domkni ˛ete krzywe, które nie dziel ˛a torusa:

Grafy

wierzchołki, kraw ˛edzie, obrazek grafu:

Struktura topologiczna grafu

(7)

Grafy spójne

Grafy planarne, ´sciany

Graf planarne, przykłady

Wzór Eulera

W + S − K = 1

(8)

Usun ˛ a ´c kraw ˛ed´z

W + S − K jest niezmiennicze

Usun ˛ a ´c wierzchołek

W + S − K jest niezmiennicze

Dowód wzoru Eulera

W + S − K jest niezmiennicze (czyli jeden)

Domki i studnie

Ma by´c 9 ´scian

Sprawd´z, ˙ze to jest niemo˙zliwe

(9)

Wzór Eulera na sferze

W + S − K = 2

Wzór Eulera jest niezmiennikiem topologicznym

Wzór Eulera na torusie

W + S − K = 0

Triangulacja

powierzchnia = triangulowalna, spójna przestrze ´n topologiczna, bez kraw ˛edzi

sfera, torus, butelka Kleina, płaszczyzna rzutowa wst ˛ega Möbiusa, płaszczyzna — nie

Triangulacja płaszczyzny rzutowej

W + S − K = 1

(10)

Niezmienniki topologiczne

1. charakterystyka Eulera χ(P ) = W + S − K 2. orientowalno´s´c

P χ(P ) orientowalna?

sfera 2 tak

torus 0 tak

torus podwójny -2 tak

płaszczyzna rzutowa 1 nie

butelka Kleina 0 nie

Doklejanie r ˛ aczki

standardowa orientowalna powierzchnia rodzaju n (genus n) to jest sfera z doklejonymi n r ˛aczkami sfera, torus, podwójny torus, etc

Doklejanie wst ˛egi Möbiusa

standardowa nieorientowalna powierzchnia rodzaju n to jest sfera z doklejonymi n wst ˛egami Möbiusa płaszczyzna rzutowa, butelka Kleina, etc

χ(P ) dla orientowalnych powierzchni

po doklejaniu r ˛aczki χ(P ) zmniejszy si ˛e o dwa.

(11)

Powierzchnie nieorientowalne

po doklejaniu wst ˛egi Möbiousa χ(P ) zmniejszy si ˛e o 1.

dla powierzchni rodzaju n: χ(P ) = 2 − n

Klasyfikacja powierzchni

χ(P ) oraz orientowalno´s´c rozró˙zniaj ˛a standardowe powierzchnie

w szczególno´sci, wszystkie standardowe powierzchnie nie s ˛a homeomorficzne Twierdzenie. Ka˙zda powierzchnia jest homeomorficzna z jedn ˛a ze standardowych powierzchni

Dowód:

rozetniemy powierzchni ˛e na kawałki

skleimy kawałki z powrotem, aby wynik został homeomorficzny z powierzchni ˛a pierwotn ˛a, otrzymamy powierzchni ˛e standardow ˛a

Rozcinamy

znajd´zmy domkni ˛et ˛a krzyw ˛a na powierzchni, która nie dzieli powierzchni na dwie cz˛e´sci

je˙zeli takiej krzywej nie ma, to si ˛e zatrzymamy w ˛aski pasek powierzchni po obu bokach od takiej krzywej jest homeomorficzny z paskiem ze sklejonymi kraw ˛edziami

a wi ˛ec to jest:

walec

lub wst ˛ega Möbiusa

Je˙zeli pasek jest walcem

wycinamy pasek, a w miejsce dziur wklejamy po kółeczku

zaznaczamy strzałk ˛a kierunek, aby poprawnie wklei´c z powrotem

(12)

Je˙zeli pasek jest wst ˛eg ˛ a Möbiusa

wycinamy pasek, a w miejsce jednej dziury wklejamy kółeczko

charakterystyka Eulera si ˛e zwi ˛eksza o jeden

Dwa twierdzenia

Twierdzenie A Charakterystyka Eulera dowolnej powierzchni nie jest wi ˛eksza od 2

Twierdzenie B Je˙zeli ka˙zda domkni ˛eta krzywa na

powierzchni dzieli t ˛e powierzchni ˛e na dwa kawałki, to taka powierzchnia jest homeomorficzna ze sfer ˛a Wniosek: w wyniku rozci ˛ecia dojdziemy do sfery

Sklejanie. Trzy operacje

1. dane s ˛a dwa kółka o przeciwnych kierunkach: doklei´c

r ˛aczk˛e

2. dane jest jedno kółko: doklei´c wst ˛eg ˛e Möbiusa 3. dane s ˛a dwa kółka o zgodnych kierunkach: doklei´c

butelk˛e Kleina (czyli dwa razy operacja 2)

Powierzchnia orientowalna

potrzebne s ˛a tylko doklejania r ˛aczek wynik b ˛edzie sfer ˛a z r ˛aczkami

wynik b ˛edzie homeomorficznym z powierzchni ˛a pierwotn ˛a

(13)

Powierzchnia nieorientowalna

potrzebna jest przynajmniej jedna operacja 2 (doklejanie wst ˛egi Möbiusa)

operacj ˛e 3 zamieniamy na dwie operacje 2

w przypadku dwóch kółek przeciwnie zorientowanych:

obnie´s´c jedno kółko dookoła wst ˛egi Möbiusa orientacja si ˛e zmieni

mamy dwa kółka zgodnie zorientowane jedna operacja 3

czyli dwie operacje 2

wynik b ˛edzie sfer ˛a z wst ˛egami Möbiusa

wynik b ˛edzie homeomorficznym z powierzchni ˛a

pierwotn ˛a Spotkania z Matematyk ˛a – p. 49

Dowód twierdzenia A. χ grafu

charakterystyka Eulera grafu N : χ(N ) = W − K sam graf nie ma ´scian

χ(N ) ≤ 1 (dla spójnego grafu) sprowadzamy do drzewa

´sci ˛agamy do jednego wierzchołka

Dualna mapa triangulacji

powierzchnia S jest triangulowalna

okre´slmy dla triangulacji map ˛e dualn ˛a, jak na obrazku

Maksymalne dualne drzewo

drzewo z dualnych wierzchołków

nie mo˙zna rozszerzy´c, aby zostało drzewem

maksymalne dualne drzewo zawiera wszystkie dualne wierzchołki

(14)

Dowód twierdzenia A

niech M b ˛edzie maksymalnym dualnym drzewem, a C — uzupełnieniem, zbiorem wierzchołków i kraw ˛edzi triangulacji, nie przecinaj ˛acych M

C jest spójnym grafem W(P ) ↔ W (C)

S(P ) ↔ W (M )

K(P ) ↔ K(M ) ∪ K(C) χ(P ) = χ(M ) + χ(C) ≤ 2

Dowód twierdzenia B. χ(P ) = 2

χ(P ) = χ(M ) + χ(C)

Załó˙zmy ˙ze χ(P ) 6= 2 ⇒ χ(C) 6= 1 ⇒ C nie jest drzewem

wi ˛ec C zawiera cykl

cykl dzieli P na dwie cz˛e´sci

ka˙zda z tych cz˛e´sci zawiera wierzchołek mapy dualnej te dwa wierzchołki mo˙zna poł ˛aczy´c ´scie˙zk ˛a z M

taka ´scie˙zka przetnie C

Dowód twierdzenia B

otoczenie drzewa jest homeomorficzne z kołem

podzielmy P na dwie cz˛e´sci

X — zbiór punktów, bli˙zszych do M Y — zbiór punktów, bli˙zszych do C X i Y s ˛a homeomorficzne z kołem P jest sklejaniem X i Y , czyli sfer ˛a