Bewegungen und belastungen des schiffes im seegang

BEWEGUNGEN UND BELASTUNGEN DES SCHIFFES IM SEEGANG

O GRIM

BEARBEITET VON

P SCHENZLE

V0IBERKUNGEN. . . . ..

Seeverhalten als. Antwort des Schiffes

auf den natUriicheh Seegang .

Schiff als.lineares System undUberlagerung

seirier harmonischen Antwortefl Darstellung harmonischer Vorgärige

WELLEN. ..

9 1. Flache Schwerewelleri auf tiefem Wasser

25 2. Flache Schwerewellefl in flachernWasser 29 3.Zustz1iche Bemerkungen zur Welientheorie

ANTWORTEN DES SCHIFFES AUF .HARMONISCHE ELEMENTARWELLEM I BEGRIFFE UND ZUSAMT'NHXNGE

34 1. Antworten .

38 2. Koordinatensystem und Freiheitsgrade 39 3. Modeliversuch

£15 14 Quaáistatische "Langsfestigkeit" und dynamisches

Gieichgewicht . ...

49 5. Beispiel: Tauehbewegung einer Boje

5.6. II THEOPLETISCHE ERMITTLtJNG DER HYDRODYMAMISCHEN KRFTE

57 1. Kreiszylirider querbewegt in unbegrenzter Fltlssigkeit 60 2. Kreiszyiinder querbeschleunigt in unbegrenzter

F1f1sigkeit . . .

62 . 3. Hydrodynamische Masse von

zylindrisehen Krpern

mit elliptischern Profil und mit Lewls-Profil 66. .

14 Zylindris.che .K5rper Oszillierend an der

ruhenden freen Wasse,roberf1che .

76 . 5. Zylindrische Körper festgehalten in ether harmonischefl Elementarwelie . . .

80 6. Symmetrisehe und antirnetriscbe Kr.fte auf zylindrlsche K3rper an der freien 0berf1.che infoige von .

Osziiiationen und Welien .

83 7. Streifenmethbde für die Kräfte amachianken

Schiffskörper . .

. .

antimetrische Freiheitsgrade

100

2. Darstellung der als Lsungen resultierenden

Bewe gun geri

10.7 3. Lokale Absolut- und Relativbewegung 110 14, Schnittkr&fte:

Querkraft, Biegemoment und Torsionsmornerit

BEGTJNGEN UND BELASTUNGEN IN NATURLICHEM SEEGANG

113 1. Anwendung der Ergebnisse für rege1rnäfige Wellen auf' die E].ernentarwellen des unregelmä2igen

See gangs

118 _{2. Beschreibung des Seegangs}

135 3. Statistische Aussagen Uber das Verhalten von

Schiffen in Seegarig

1.46 ?AKTISCHE AUSSAGEN UBER DAS SEEVERHALTEN 1147 1. Wasser an Deck und 'Slamming'

i5L 2. Geschwindigkeit in Seegang

Arthang A

Hydrodynamische Koeffizienten für die Vertikalbewegung von Lewis-Profilen

Anhang B

Beispiele von Ergebnislisten berechneter

Ubertragungsfunktioneri

knharig C

3eispie1e von Erebnislisten einer

Kurz-und Lanpzeitstatistik

Anhang D

AUF DEN NATURLIC HEN SEEGANG

Der natUrliche Seegang, dieses gewaltige

Naturschauspiel, mit dessen kUnstlerischer

Darstellung selbst bekannte

Zeichner

und Ma].er ihre Schwierigkeiten haben,

er-schien dem Menschen bis weit in wiser Jahrhundert

hinein als em unbeschreiblich

unregel-rnLssiger Vorgang, der sich jeder

quantita-tiven Darstellung entzieht. Damit schien

auch jede theoretisehe Beschäftigung mit dem Verhalten der Schiffe im Seegang von

vorneherein aussichtslos, solange schon

der Seegang selbst sich jeder Beschreiburig entzog.

Bei diesern Stand des Wissens musste sich der Schiffbauer, aufbauend auf seemLtnni-scheri Erfahrungen mit gebauten Schiffen,

auf sein "GefUhl" für die ric'ntigen

Linien elnes guten Seeschiffes verlassen.

Auf diese Weise entstanderi immerhiri

brauchbare Schiffe, solange die

Entwick-lung langsam und stetig vor sich ging,

aber es wurderi auch Vorurteile

kulti-viert, wie z.B. "em

Bugwulst 1st gut in glattem Wasser, aber unbrauchbar im

See gang"!

Nun hat uns aber die mathematische

Sta-tistik gezeigt, dass sich der

natUrli-che Seegang in elnem gewissen Sinne doch

quantitativ beschreiben lässt, nicht im

determiriistischen Sinne, aber doch

wenigstens im statistischen Sinne,

nämlich durch em Seegangsspektrum.

LiT

H.K. Kloess, "Uber Schiffs-formen und ihre Entwick-lung", JSTG 1951, S. Z3,

[LITI

M. St. Denis and W.J. Pierson, "On the Motions of Ships in

Confused Seas", Trans. SNAME,

schiedenenWellenlängen urid Lauf-richtungen und mit zufäl].igeri Phasen-winkein zugrunde.

Wenn man nun den Zusammenhang zwischen

dem Seegang und dem Verhalten des

Schiffes im Sinne der Regelurigstech-nik als den zwischen Eingangssignal und Aritwortsignal fl eines Systems S

darstelit, so 1st uns mit der

Be-schreibung des. unregelxnässigen See-gangs in diesem Modell das EinSee-gangs-

Eingangs-signal bekannt.

gING.PNG9INPL YCTM

INPUT

S

IINTVVOQTS1GNI1L. OLTTPLIr

SG.PN

G-ii-+-

VPJ-4Pu N

(cuNc, Q1J11JNG.

.

rb

-.--,---.

3 4 1+2l3+4+5

p

von vielen harmonischen (also

tJND L1BERLAGERUNG SEINER HARMONISCHEN ANTWORTEN

Die nächste Aufgabe ist nun die

Be-schreibung des Systems ?tSchjfftt Das bedeutet hier, dass ausser den Träg-heitseigenschaften von Schiff und

Ladung die hydrodynamischen und hydro-statischeri DrUcke und Krãfte in alien Situationen im Seegang ut hinreichen-der Genauigkeit bëkannt sein mUssen. Selbst dann, wenn diese besonders im hydrodynamischen Tell sehr komplizier-ten Eigenschafkomplizier-ten des Schiffes bis in alle Einzelheiten bekannt wären,

könnte damit der ietzte Schritt, die

Bestimrnung der Antwort dieses

kom-plizierten Systems auf den

uriregel-rnässigen Seegang, noch nicht ohne

weiteres getan werden.

Wenn es aber möglich ist, das System

"Schiff" in ausreicherider Weise als t1lineares System" zu idealisieren,

dann 1st der ietzte Schritt zur Systemantwort sehr einfach zu

you-ziehen. Bei elnem ttlinearen System"

sind, grob gesprochen, alle Wir-kungen ihren Ursachen proportional. Em lineares System reagiert auf em harmonisches Eingangssignal mit

einerebenfalls harmonischen Antwort

gleicher Frequenz und proportionaler

Amplitude. Der

Proportionalitts-faktor zwischen Antwort und

Em-gang 1st die

"Jbertragungs-funktionT' LJ), die zusammen mit der

Phasenverschiebung Ew)die Wirkung

des Systems darsteilt:

n komplexer Darstellung kann die Phasenversohiebung

durch eine komplexe

Ubertragungsfunktjon "

ausgedrückt werden.

(E)=

cos(.,t)

cos(c.t-harnlonischen Antwortenauf die

harmo-rTlischen Elementarwellen ebenso

zusam-merigesetzt, wie der unrgelinässige Seegang selbst aus semen

Elementar-wellen.

Wenn also diese Idea].isierung des

Schif-fes als lineares System m5glich ist, dann.

ann sich die hydrodynaniische Betrachtung aif den Fall harmoriischer Schiffsbewegung in einer harnionisehen Elementarwel].e

be-schrnken, und in diesem Sinne ist die

mm Titel gebrauchteFormulierung Schiffes. in regelmAssigem See-gang" zu verstehen.

Im folgenden wird also auf nichtlineare

Effekte nicht eingegangen; es wird nur

das linearisierte System betrachtet.

Dabei wjrddas hydrodynamische Problem riach dem f4odell der idealeri (also

zilhigkeitsfreien) Flttssigkeit behandelt,

cIa glUcklicherweise bei den meisten

periodischen Strörnungsprob lemen die

Zihigkeit nur einen relativ kleinen

Einfluss hat.Dass dieses Vozgehen

be-rechtigt ist, beweisen die

erhebli-chen praktiserhebli-chen Erf'olge der Theorie des Verhaltens der Schiffe im Seegang

in regelm.ssigem Seegang komnit der Darstellung harmonischer Vorgänge be-sondere Bedeutung zu. Hierzu wird eine kurze Obersicht vorangesteilt.

Elne zeitlich harmonisch oszillierende Grösse

y()

ist gekennzeichnet:durch:

Amplitude

Kreisfrequenzc1.znit der PeriodeT,

urid Phasendifferenz

Der Vorgang kann mit Hilfe einer dex' Kreisfuriktionen Sinus oder Cosinus

dargestelit werden, z.B.:

y() YRC0S()_

YRCOSS

A

.st

In vielen F.11en ist aber die Schreib-weise als Realteil einer komplexen Exponentialfunktion sehr vorteilhaft:

y(E) =

yco(b

c)

=

12e{yq ep(;(,b+))J

;c'

KQSRJNICflON

Ycos(w +)

= Ycos Ccos(Jt)

Yq.S1 £ .Sifl (&)

=ycos()+Yssir(L4t)

COS- tIND SJII - (OHPONNT

WO9EI: = E = y,.

y=-.yqSriE =-y

YRjYG2Ys

y

Ubergegangen. Im folgenden wird also das Zeicheri ttRealteil": efJweggeias-sen, dabei wird aber dem Imaginärteil keine physikalisehe Bedeutung

zuge-messen.

Die Phasendifferenz _E kann auch durch

Zerlegung in zwei urn

f

g0

versetzte

Komponenten dargestelit werden:

(PONENTI PLFUN Cr1ON Y,

e&+

=ye e

=(ygze+iyqsr)e"

gONP->(. J1HPLrrUDE W09E1 _Yr COS £ y;

=ysri&=-y

W1Iya+yi2O

kann, erscheinen die Amplitude

y

und der Phasenwinkel E als

Polar-koordinaten, während die Komponenteny

und oder _{Y,. und y%} die cartesischen

Koordinaten sind.

Der Vorteil der komplexen Schreibweise wird besonders deutlich beim Arbeiten

mit Komponenten, wenn zeitliche Ablei-tungen gebraucht werden:

VP.ISF4JrJKDON =

ycos(wysin(wb)

,()=-wysin()+y5cos(i..L) = , ()= WyCcos(tu)JySsir)(c4)L) C- J)cos(4t)(-c¼)sin(w) EXPONENTJPTLIZUNJCrION

y()

(Yr ;y) e

= iw(y1.+ iy,) e"'

=(_wIi+iwyr)ewt

(t) =J(iy;)k

keit urn 9Q0 voraus.

Ebenso wie eirie Schwingunp als

harmoni-sche Funktion der Zeit 1 durch

Kreis-funktioneri oder komplexe Exponential-funktionèn dargestel].t werden kann,

so kann auch eine Weile als harmonische

Funktion des OrtesX und der Zeit

t

auf beide Weisen dargestelit werden.:.

iiit der "We11en1nge" 7 ,

der "Wellenzah]." =2T/ ,

urid der TTp5flgeschwjndigkeit C =

= y cos( = y

exp{(7t-zx+.)1

;E

;ux+ct)

= cos(e(

ct))-

_YA e e

py =oi

Dabei bewegt sich die (stationre) Wellenkoritur qCo$ (xx)

mit der konstanten

Phasengeschwindig-keit C in. Richtung der negativen

X-Aebse fort.

Die "Wel].erizahl"

ZJT/\

im

rLurn1ichen Bereich entspricht

ge-nau der Kreisfrequenz w=21r/T

Die freie Wasseroberfläche bildet sich

als Gleichgewichtszustand der schwereri

F]ilssigkeit im Schwerefeld derErde aus.

Urn diesen Gleichgewichtszustand 1st die

freie Oberf1che 8ChWingungsfähig; wenn

die Oberflãche unend].ich ausgedehnt ist, pf].arizen sich die Schwingungen in Form

von Wellen entlang der Oberfläche fort.

(Irn Falle endlich begrenzter Oberfläche

bi].den sich Eigenschwingungen oder

stehende We].len aus, z.B. Schlinger-tank.)

Da aber das schwingende Medium (das Wasser) nicht nur in der freien Ober-fläche ausgedehnt 1st (wie etwa elne

schw.ingende Membran), nimmt auch die

FlUssigkeit unter der Oberfläche mehr oder weniger an der Wellenbewegung

teil. Es bi].det sich eine periodisehe

Strömung aus, die mit dem Modell der idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit relativ einfach und in guter.Ober-einstimmung nit der Natur zu

beschrei-ben ist.

Grundsätz].ich sind beliebig

kompli-zierte Wellenbilder (z.B. Schiffs-wellensystem) durch Uberlagerung

von einfachen. Elernentarwellen dar-zustellen. Als Elementarwe].len eignen sich:

WLL

ElNIt'JG(Jt4JG

Lc*rge sie'Lath11&rcL C

Ringwellen, die mit kreisfornigen Wel].enkmxnen von

einem Punkt ausgehen (Huygens'sches Prinzip,

z.B. Erklärung von Brechungs- und Beugungserschei-nungen in der Optik).

Ebene Wellen mit unendlich langen geraden Wellen-kärnnien senkrecht zur Wellenlaufriehtung.

Soiche eberien Elementarwellen, wie sie z.B. durcheineri geraden Wellenerreger in eiriem rechteckigen Kanal zu erzeugen sind, werden im folgenden behandelt.

Zur Darstellung der ebenen Oberf].ächen-wellen diene em Carthesisches

Koordinaten-system x,y,z, dessen Ursprung in der

un-gestrten freieri Wasseroberfläche. liegt,

dessen x-Achse in der .Oberfläche in Welleniaufrichtung zeigt und dessen z-Achse normal zur Oberfl.che nach oben weist. Dariri 1st das Strömungsbildunab-h.ngig von y.

Die Wellenerhebung Uber die ungestörte Wasseroberfläche sei _(x,L).

Der Strömunsvorgang 1st beschrieberi, wenn elne Potentialfunktion

gefunden ist, die der

Kontinuitãtsbe-dingung und den RandbeKontinuitãtsbe-dingungen genUgt. Dann 1st nm1ich die

Strömungsgeschwin-digkeit

7

anjeder Stelle und zujeder

Zeit gleich dem Gradieriten des Potentials.

fr,z,i)

= gracLcJlfr,z,L)

cL.h.: _{vk(xlz, L) =.}

çz,)

verschwindet RANDBEDINGUNGEN

Die Bedingungen sind:

Kontinuittsbedingung:

Randbedingung am Gewässerboden:

VO fr z=-oo

p=po

cdrz=

Die letzte Bedingung, dass der FlUssigkeitsdruck p an der freien Oberfläche gleich den konstanten Luftdruck p0 sein soil, lâsst sich mit Hilfe der Bernowlli'schen

Glei-chung für die Potentia].strömung

umformen:

Für Poteritialtrömung:

för=co

?z

Randbedingungeri an der freien Oberfliche (fUr raumfestes System):

2

urz

vz

ft

4, ;

I

F5rz=

Bernoulli'sche Gleichurig mit der FlUssigkeitsdichte I? und der

Erdbeschleunigung g

=

Z!

=0

Die Bedirigungen an der freien Oberfläche:

und p=p0.beiz=.

!i5r

z

die "kinematische Bedingung" , dass keine Fltlssigkeit durch die bewegte. Oberfläche hindurchtritt und

3b die "dynamische Bedingung", dass kein Drucksprung an der

freien Oberfläche existiert,

sind beide nichtlinear.

Fir kleine Neigungeri der freien

Oberfläche , d.h. für flache ax

Wellen, lassen sich beide Gleichungen

linearisieren, d.h. die. Glieder

2.Ordnung lassen sich gegenüber den

anderen verriachlässigen und beide Bedingungenkönnen bei Z=O statt

WennI..) partiel]. nach der Zeit

abgeleitet wird, dann kann

eingesetzt werden und die

you-ständige Randbedingung an der freien

Oberfläche lautet (linearisiert und für raumfestes System):

15rzO

POTENTIAL

Damit sind die 3 Bedingungen für

das Potential

in Form von 3 linearen

partiellen Differentialg].eichungen

for-muliert. Soiche G].eichungen sind durch Lösungsansätze mit Kreis- und Hyperbel-funktionen zu lösen.

Hier genUgt der Ansatz:

R

Eingesetzt in®

2

in®VV>Q

)j2

Da die Welle in Richtung der positiven

X-Achse laufen soil, muss X>O sein. Damit ist die Wellenzahl:

2

-

=

9

#-,4 4,cos(cizx

mie

Aus der Vertikalgeschwindigkeit an der Oberf'läche:

"

/z*o

4X/=0

ex'hält man die

Oberflchendefor-nation: ( L1NIN GJEICI-IN POTJ'JT1 RLS 0 4

ec1t)=jcv)

=

und deren Amplitude mit der

Phasen-geschwindigkeit C

i(bthI

_cJTc 'r4' q

Damit karin das Potential geschrieben werden:

LINET2IS1RTE SC4WERWLL /P TIt1 WcISSE':

GESCHWINDIGKEITSFELD IN DER WELLE Aus dem Potential lassen sich dann alle Eigenschaften des

Geschwindig-keitsfe].des in der Welle ableiten,

z.B. die Vertikalgeschwindigkeit:

vz =

cat;

ecos(coe-x)

und die Horizontalgeschwindigkeit:

V)C

Beide Geschwindigkeitskomponenten sind periodisch in Zeit und Ort mit der Kreisfrequenz (..)

und der Wellenzahl =

beziehungsweise

mit der Periode

T2r/w

und der We1lenl.nge ? -21T/X

Sie haben beide die Amplitude Z wobei die Vertikalgeschwindigkeit

der Horizontalgeschwindigkeit im

I t--iO

Phasenwinkel urn vorauseilt.

Das ergibt für jeden Punkt eine Geschwindigkeit vom konstanten

Betrag co deren Richtung mit der Winkelgeschwindigkeit W

rotiert.

-srRor1LINJN

- - PrNrIPLL(NlN

Em Wassertelichen einer flachen Wei].e

durchläuft also elne Kreisbahn vom

Radius _Re mit der konstanten

f )ez

Geschwindigkeit wre , die bekannte

'tOrbitalbewegung", deren

Geschwindig-keit urid Radius mit wachsenderTiefe

(-z)proportiorial e.abriimmt.

FUr praktische Begrif'fe kann man damit rechnen, dass die Bewegung in einer TiefeZ0gleich der halberi Wellerilänge

soweit abgeklungen 1st, dass dort em

fester Boden die Wellenbewegung nicht

mehr stört:

2W

_T

--

e

= e

= 40433

Das bedeutet, dass man bei Wassertie-fen grosser als etwa die halbe

Wel].en-i.inge mit den Formein fUr tiefes Wasser rechnen kann.

DRUCK IN DER WELLE

I'it der linearisierten

Bernoulli-Jleichung:

P?-

9Z

und dem Wellenpotentia].:

-ergibt sich die

_{Druckdifferenz zum}

Luftdruck:

= ç9Z +g

Zsifl(x)

z

Zum hydrostatjschen Druck

-tritt also eiri hydrodynalnjscher

Druckanteil, der mit

wachsender

Tiefe ebenso exponentiel].

ab-klingt wie die Bewegung. Dieser

dynaznische Druckantei]. 1st _unter

einem Wellenberg positiv, unter elnem Wellenta]. negativ.

_Er

ver-ringert durch sein rasehes Abklingen

aber den Druckanstieg mit der Tiefe unter dem Wellenberg und erhöht den Druckanstieg unter dem

Wellenta]. (Smith-Effekt )

PHASE MGE SCHWINDIGKEIT

Die Gesehwindigkeit, mit

der sich

die einzelrien Phasen des'

Welleri-profils (Berge und Tle]') in

elner Welle fortbewegen, 1st _die

"PhasengeschwindigkejtTt C Die Darstel].ung der Wel].e

_als

örtlich und zeitlich periodiseher

Vorgang 1tsst 8ich umformen in

einen örtlich periodisehen

Vor-gang, der sich mit konstanter

Gesôhwiridigkeit C verschiebt:

frt)

sir (t-xx)

DINrn1.

DRVCK

SMITH-EFFEKT:

Der Druckanstieg mit der Wassertiefe

p

_3p

1st im statischen Fall

gleich dem spezifisehen

Gewicht _{und bewirkt}

nach dem "Archimedjschen

P'inzip" einen "Auftrieb"

auf einen eingetauchten

Körper gleich dem Gewicht

des verdrngten Wassers. Dieser "Auftrieb" ndert sich in der Welle gemä

Dabei gilt aligemein für beliebige'

Wellen:

und speziell für flache

Schwere-wellen auf tiefem Wasser:

9

Yair Die Phasengeschwiridigkeit ist also umgekehrt proportional zur

Wellen-frequeriz und proportional zur Wurzel aus der Wellenlänge. Diese Abhängig-keit dér PhasengeschwindigAbhängig-keit von

der Wellenlänge heisst "Dispersion"

und i8t auth ãhnlich bei der

Aus-breitung von Licht in optisch

dich-teren Medien zu beobachten (spek-trale Trennung der Lichtfrequenzen

durch em Prisma). Bei Schallwel].en

aber gibt es glUcklicherweise keine

'Dispersion', sonst.wäre das Hören

von Sprache und Musik in einiger Entfernung nicht mehr möglich.

ENERGIE UND GRUPPENGESCHWINDIGKEIT

Eine Schwerewelle enthält kinetische

Eriergie. in der Bewegung der

F].Ussig-keit und potentielle Energie in der

Deformation der Oberfiache.

Em Wassertelichen mit dem Volumen

dydz hat die kinetische Energie:

KIN obc'ciy EKI1J ctcLy

-J dxdj Z-CO

Mit dem konstanten.

Geschwindigkeits-betrag :

/Z 2XZ

=

r,e

wird

dE,.2e

dc'd,d

Damit wird die kinetisehe Energie in einer unendlich tiefen Wasser-säule vom Querschnitt _dx.cL

oder anders formuliert: die kineti-. sche Energie pro Einheit der

Wasser-oberf]che

dji:

0 Zc,ZI2ZZ

-JcRje

ctz 2 4

Die kirietisehe Energie pro Oberflächen-einheit in einer flachen Schwerewel].e

auf tiefem Wasser 1st also zeitlich

id örtlich konstant.

H

Die potentielle Energie pro Einheit

derWasseroberfläche dxcL 1st gleich der Hub- oder Verdrngungsarbeit zur Deformation der Oberfläche:

por-c9,dxcL1

.porgb)

2. = çg - sir2(

-cx)

(-li =

j.

_{sir1(-(c-cL))}

Die potentielle Energie oszilliert

also zeitlich und örtlich oder die

-,p

Energieberge wandern mit der

Phasengeschwirldigkeit C Die

mitt-lere potentielle Energie pro Ober-flächeneinheit ist:

poT - z

4 c&cLp

also gleich der konstanten kinetisehen

Eriergie pro Flächeneinheit.

Die gesarnte Energie pro Eiriheit der

Wasseroberfliche in elner flachen

Schwerewelle auf tiefem Wassr 1st

also irn :'iitteI:

bcL cLcL,f

dwoL9

2

Da sich die Hälfte der

_gesamten

mitt-leren Energie mit der

Phasengeschwin-digkeit C fortbewegt, ist

_die

mitt-lere Energietransportgeschwjndjgj C/a:

+porC =

Diese rriittlere

Energietransportge-schwindigkeit 1st zu beobachteri an

der Vorderkanteder We].lenfrortt nach dem plötzlichen Beginn der Arbeit

eines Wellenerzeugers. Die

Wellen-front bewegt sich nur mit der halben

Geschwindjgkeit der Phasen, wàhrend die Berge und Täler égen diese Front laufen ui-id dort verschwinden.

Entaprechendes 1st zu beobachten nach dem plötzliclien Abschalten des Wellen-erzeugers: Die ganze erzeugte We lien-gruppe bewegt sich mit der halben Phasengeschwjndjgkejt fort wie auch

die Gruppen einer Schwebung. Daher

wird die mittiere

Energietrarisport-geschwindigkeit einer Welle meistens

"Gruppengeschwincijgkeit" genannt

Ailgemein für beliebige Wellen folgt aus der Theorie der Wellengruppen die Gruppengeschwindigkeit:

C

Für flache Schwerewel].en auf tiefem

Wasser gilt speziel].:

C

(4)_4.f

C

also das gleiche Ergebnis, das für die

mittlere Energietransportgeschwjndjg-keit gefunden wurde.

BEGE G NUNG SFREQUEN Z

Für die Betrachturig eines fahrenden

Schiffes im Seegang ist es wichtig,

vom raumfesten Koordiriaterisystem _x,j,z

auf em mit dem Schiff mitfahrendes

System X,.yJZ5 Uberzugehen.

Werin das Schiff mit der

Geschwindig-keit

V unter dem Begegnungswinke1/L

zur Wellenlauñ'ichtung )( fhrt, 50

lautet die Koordinatentransformation:

(x +v 1) c/E +

_c SIfl1Mg

cosj.

(x+v)sin,E

z= z

Mit der Welle im raumfesteri System:

(), )

= 1fl Xfr-. c

wird die Welle im schiffsfestn System:

, = sri c (xcoa ₊ sin,u

-

(c

- Vcoji.)

tjJ

= _{SiY{((i-XVCOSJ(E)fr}

_-

(sc0r)J

Dabei heisst der Ausdruck:

= (a..XvCoy4E)

"Begegnungsfrequenz" well die Wellen dem fahrenden Schiff mit dieser Fre-quenz begegnen. Besonders wichtig 1st die Begegnungsfrequenz deshaib, well

das Schiff in regelmässigen Wellén mit dieser Frequenz zu semen Be-f wegungen angeregt wird.

Far Schwerewellen auf tiefem Wasser gilt speziell wegen (A)2

WE 4) 2 V _COS,QE

oder. dimensions los:

(cE*)

=

()

()2cos

Bei Fahrt gegen die See _ç,,LE >900)

ist die Begegnungsfrequenzimmer hher als die Wellenfrequenz C...)

ei Fahrt mit der See CAE<90°)

1st die Begegnungsfrequenz _{(A)E im}

ailgemeinen niedriger als die WeLlen-frequenz. Es gibt einen Bereich

mässiger Fahrgeschwindigkeit oder langer Wellen _{in dem das Schiff} von der Welle Uberholt wird.

In Wellen vergleichbarer Lange mit der Schiffs].angtkommen nur

sehr schnelle Schiffe in den

zweiten Bereich,. wo das Schiff

die Welle Uberholt. Der

Grenz-fall(WE=O ),in dem das Schiff

mit der Welle rnitläuft (oder auf

ihr reitet analog zTum 'Surfing'),

kann gefähruiQh werden, wenn

in- --*z_ 4

.1

0,4-WLL _-i 1, (.'2UOL.T_ SCM1 S(J-11FI UJ. (QERJ4OLT 9 I WELLE

stabile Zustände auftreten, die dana

lange andauern. Das System hat dann Zeit, aus dem Gleichgewicht zu

ge-raten; das Schiff kann querschlagen

oder kentern.

Eine weitere Besonderheit bei der

Fahrt mit der See ist es, dass bei

, gegebener Geschwindigkeit jede

Be-gegnungsfrequeriz vom Betrag:

(A)

125

durch drei verschiedene

Wellenfre-quenzen C.) und damitWellenlängen.

hervorgerufert worderi sein kann. Man kanri hier aus Begegñurigsfrequenz CIJE, BegeFnungswinkel,A( und

Fahrge.-schwindigkeit V riicht mehr eindeutig

auf die Wellenfrequenz C.) oder die

Wellenlänge 2

schliessen.

,I4eOQ

'j4 0,5

POTENTIAL

FUr eine flache Schwerewelle in flachem Wasser der Tiefe H gelten die gleichen

Randbedingungen wie im tiefen Wasser, nur muss hier die Randbedingung am Gewàsserboden in der Tiefe H

erfUllt

werden. Das bedeutet eine zustzliche

Komplizierung gegenUber der

Tiefwasser-welle, weil alle Zusarninenhänge zwischen zeitlichem und örtlichem Verlauf des

Vorgangs sowie Phaseri und

Gruppen-geschwiridigkeit zusätzlich von der Wassertiefe J-I als weiteren Parameter

abhärigen. (Das braucht âber in der

Praxis nur bei Wassertiefenkleiner

als die halbe Wellenlänge

berUcksich-tigt werden),

Raridbedingung am Gewässerboden:

Analog wie im tiefen Wasser erh.1t _{L1N1IErJ GLsCJ-jJ POTEWfltL...S}

man das Potential:

EIGENSCHAFTEN DER FLACHWASSERWELLE

Vertikalgeschwindigkeit:

sirih bf(z+I-1)) _{cos (cA.*-x)}

R _sinh(e1-i)

Horizontalgeschwindigkeit

coshbc(z+))

g

6ir)()CI-I)

LI N ISIQT SC1-4WEEWLL

ILlC-1I1 WS:

c _n cosh (cz-f-Io) _{COS(Ot ex)} sirTh(e-j)

-Beide Geschwindigkeitskomponenten .. sind.wieder periodisch in Ort und Zeit und die Vertikalkomponente elit

der horizontalen urn voraus.

Aber die Amplituden sind verschieden. Die grössere horizontale Amplitude

verringet't sich mit wachsender.

Tiefe (-z) proportional COSh((z+i-i)) auf einen endlich grossen Wert

am Boden. Die kielnere. vertikale

Amplitude 1st proportional sinh(x.(z+1-1) und verschwindet am Gewässerboden.

Die im tiefen Wasser kreisförmigen

Orbitalbahrieri der Wasserteilchen

entarten also im flachen Wasser

zu breiten Ellipsen und am Gewässer-boden bleibt nur noch eine gerade horizontale Hin- und Herbewegung

Ubrig.

Die horizontale Ellipsenachse ist

,. cosh((z-I44))

die vertikale Achse ist

(.X(z-e--J)

sinh(XW).

Der Druck in der Welle 1st:

SrQOt-1L:NIN -- - - POPE TItL.LiNt&IsJ -43- OR8IrLRJ-.N ..e..-.6.

pp =

ç'g z + qg

ch

(C(z4w)) 51r3 (

x

sinh (c i-i)

Dez' hydrodynarnische Druckanteil varjiert mit der Wassertiefe

pro-portional cash (X(z-.'I-4)) wie die Horizontalbewegung. Am Gewässerboden 1st also in

flachem .Wasser noch eine eridliche

I

(Dabe5. entstehen auf grossen Flächen erhebliche Kräfte, wie man auch aus

Bes chädigungen an Kanalbetteri durch

Schiffswellen schilessen kann).

Die Phasengeschwindigkeit auf flachem

Wasser ist:

c =

= anh(eW) = Lanh(21r-)

Grenzfã11e:

tiefes Wasser : '..q cinh(XJ-4)--i

sehr flaches Wasser:

d.4,o

.-

''C_'gI4

Die Gruppengeschwindigkit auf flachöm

Wasser ist:

4 L

(xuj

_sfr,h(2(I-1) )e14

]

c {--'-

_sIrh(2XW) Grenzfälle:

tie fes Wasser sirh (2 &i) - 00 '-'.Y

2. 21

sehr flaches Wasser: ?e4-l"O - Siflh(2XI1)-2d'1 ' C Für immer 1ngere Wellen auf flachem

Wasser nhert sich die Phasengeschwin digkeit und die Gruppengeschwindigkeit dem gleichen Maximalwert, der

soge-narinteri "Schwa11geschwindigkeit9I-P. Die

inittlere Energietransportgeschwindig-4

keit ist dann gleich der

Phasenge-schwindigkeit. (Dieser Zustarid ist

praktisch erreicht, wenn die

Wasser-tiefe -.

kleiner als 4/20

der We11en1.nge ist.) 120 112W

Die mittlere Energie pro Einheit der Wasseroberfläche ist im flachen Wasser wie im tiefen Wasser:

EGO

thcL )9

2

Sie setzt sich.wie un tiefen Wasser je zur Hälfte aus potentieller und

kirietischer Energie zusammen,

wo-bei aber im flachen Wasser die kineT tisché Energie nicht zeitlich und örtlich konstant 1st, da die

Wasser-teilchen auf ihren Ellipsenbahneri

nicht mit konstanter Geschwindigkeit

umlaufen.

3. ZUS1TZLICHE BEMERKtJNGEN ZUR WELLENT}ORIE

KAP ILLARWELLEN

Neben der Schwerkraft existiert noch

eine andere Kraft, die einer Deformation

der Wasseroberfläche entgegenwirkt, die Oberflchenspannung.

Der Einfluss der Oberflächenspannung

auf die Welienbewegung der

Wasserober-fläche ist bei grossen Welienlãngen

vernachlãssigbar, so dass das

theore-tische Modell der reineri Schwerewellen

in idealer FiUssigkeit die Natur sehr

gut wiedergibt.

Bei kleineren Wellenlàingen in der

Grösseriordnung Dezimeter wird der

Einfluss der Oberflãchenspannung

spflrbar und bel extrem kleirien Wellen- _1fl

iängen Uberwiegt er über die Schwer-

0,4-kraft, man spricht dann von

"Kapillar-we lien".

0,2

Die Phasengeschwindigkeit C hat eiri

Minimum von C,1,, C232 bei ? = O,0173rr1

und einerFrequenz vonCJ=84S

KUrzere Weilen bewegen sich

wieder achneller unter dem

Qberzie-genderi Einfluss der Oberflächenspannung. Steile Kapillarwellen zeigen umgekehrt wie steile Schwereweilen rundere Wellen-kamme und schürfere Wellentäler. CDie-ses Verhalten von Wellen sehr kleiriex'

Lange ist em Grund für die

Unbrauch-barkeit sehr kleiner Masstabe bei

Schiffs-Modeliversuchen)..

KTPJLLWLLEN

02 Lm

srElL. SCPW5WELLE

INTERNE WELLEN

Schwerewellen können nicht nur an der freien FlUssigkeitsoberfläche (Grenz-fläche. zwischen Wasser und Luft oder Wasser und Vakuum) existieren, soñdern

an alien Grenzfl.chen von FlUssigkeits-.

schichtungen versehiedener Dichte. (ZB. Wasser verschiedenen Salzgehaits oder Luft versehiedener Temperatur).

Soiche Wellenbewegungen von

Schich-tungsgrenzflchen heissen "interne

Welleri".

Die Phaserigeschwindigkeit solcher

in-terner Welien an der

Grenzflche.zwi-schén FlUsslgkeiten der Dichteç0und

ist:

-Bei kleinen relativen Dichteunterschie

den gehört zu einer bestimmten

Wellen-lange

eine sehr kleine

Phasen-geschwindigkeit C, oder zu einer

be-stixnrnten Phasengeschwindigkeit eine

sehr grosse Welleniänge.

Es wird vermulet, dass bei Probefahrten

in tiefen Fjorden gelegentlich

Wasser-schichtungen angetroffen werden, die durch den zusätzlic,hen Wellenwiderstand

interner Welien die Probefahrtsergeb-nisse verfälschen können.

C

QQ

Streng genommen, sind auch unsere Oberulächenwellen

interne We lien an. der Schichtungsgrerize

Luft-Wasser. Dabei ist aber

=--

gegeritiber

ç,= 5u

ver-nachiassigen.

Für QO

und

ergibt sich die bekannte

der Schwerewellen fUhrt zu harmonischen Wellen mit sinusförmigern Wellenprofil, also gleicher Krüinmung am Wellenkamm

und im Wellental. Als Elementarwellen, die ja ihrem Wesen nach linear

super-poriierbar sein mUssen, sind diese

har-monischen Wellen in jedem Fall geeignet. Zur Darsteliung eirier alleine

existieren-den regelrnässigen. We lie ist die line

an-sierte harmonische Welle nur solange eine gute Näherung, wie die Wellensteilheit

nicht grosser als'. 4/GOwird. Steilere Weilen zeigen schrfere Kärnme und flachere Täler.

Diese Eigenschaft wind für znässige Steil-heit gut von den Trochoidenwelle wieder-gegeben (Gerstner '1802) in der die

Wasser-2

teiichen , mit konstanter

Winkelge-schwindigkeit auf Orbitalkreisen umX02'

rotieren.

Parameterdarstellung der

Teilchenbewe-gung:

z

x - e 0cos(c t- xx0)

Parameterdarstellung den Wellenkontur an den 0berflãche:

LEVELS

'R

5(wt-0)

Die Trochoidenwelie weicht aber in

3 Punkten von den Natur ab:

Sie zeigt die gleiche Phasengeschwindigkeit

C=V9hC

wie die lineanisierte Welle unabhärigig von der Steilheit /?

STILL WATER

UT.

P.ZJ. Gerstner, "Theorie der Welleri". Abhandlungen den

kOniglich bOhmischen Ges. der Wissensehaften 1802.

I:l(JS: PRINCIPLES

TQOCJ4OIDAL WA

-.-DIRECTION OF WAVE ADVANCE

p

P

A VOLUME SUCH AS ABCO IN STILL WATER IS

Die maximale Steilheit 1st ;

-14

Ihre maximale Steilheit 1st (I/2)=

wobei die Wellenkmzne in. Spitzen

mit dem Winkel Null aus1aufen und .die Was sertelichen rot leren mit konstanter Winkelgeschwindig-keit auf geschlossenen Kreisbahrien;

es findet also auch in steilen Wellen

kein Massentransport statt.

Ausserdem hat die Trochoidenwelle

einen graviereñdenMangel:sie

er-fihlt zwar die

Kontinuitätsbedin-gung, sie hat aber kein Potential.

Zur theoretischeri Darstellung steiler

Einzelwellen muI also konsequenterweise

die lineare Potentialtheorie der

Schwerewellen durch zusitzliche

nicht-lineare Glieder abhngig von der

Steil-heit erweitert werden. Das Ergebnis

1st eine nichtlineare Potentialtheorie

der Schwerewellen, deren Wellenkontur

fUr rn.ssige Steliheit

(bis../2=4/25 )

recht gut mit .der der Trochoidenwelle Ubereinstimrflt, die Elgertheiten steiler

Wellen in der Natur aber richtig

wieder-gibt. (Stokes 484' ).

Die Wellenkontur ist dabel:

(L)=

{sii

-x)-(X)CoS(2(Wt-XX))+.

.. ]

Die Phasengeschwindigkeit hängt von der

Steilheitab:

c=1I'-1+(X.)+

S

S)

Ihre Strömung ist

ni-cht drehungsfrei I

LIT.

G.G. Stokes, "On the

Theory of Oscillatory

Waves", Trans. Cambrid

Philosophic Society, 1847.

wobei die Wellenkrnme kantig werden a

mit einem Kantenwirikel von 420

Wird. solehen Welleri noch weitere

Energie zugefUhrt, so brechen die

Wellenkämme und die ttberschüssige

Energie geht Uber Spritzer und

Wirbel in Wärme Uber.

der Nähe dieser Kante kann die

Wellenströmung in mitlaufenden

Bezugssystem durch eine einfache stationre Eckenströmung ange-nähert werderi. Man kann aligeinein

zeigen, dass diese nur bei einem

Kantenwinke]. von 1200 die nicht-.

linearisierte 0berfl.cheribedingung

erfUlit. Em

soicher stationärer

kantiger Kamm kann also nur mit

einem Kantenwinkel von 1200 in

konstaritem AusSendruck existieren) .i Und die Wasserteilchen bewegen sich im oberen Teil der Orbitalbahn

schneller ala im unteren, wobei sie

offerie Schleifen durchlaufen und

nen leichten I4assentransport mit

ei-ner mittleren Geschwindigkeit U abh.ngig von der Tiefe (_z) bewirken:

QCZ

e

:'\

STEILE WLL.

ANTWORTEN DES SCHIFFES AUF HARMONISCHE ELE?NTARWELLEN

I BEGRIFFE UND ZUSANMENHANGE

1 ANTWORTEN

Im Sirine der Regelungstechnilc kann

das Schiff in Seegang als System

betrachtetwerdefl, das die

Elemeritar-wellen als Eingangssignal empfängt

urid als Reaktion darauf Antwortsignale

aussendet.

TSHNL

INGNGSSIGNPL),

STN

SEECNG. 5CI-IF

IN giPONENrN

Das Eingangssigrial ist in Form der

harmoniseheri Elementarwelle aus dem Kapitel WELLENbekannt. Ala

Antwort-signale treten eine grosse Arizahi

physikaliacher Vorgänge auf, die im

folgenden kurz qualitativ geschildert

werden. Alle diese physikalischerl

Ant-worteri sind aber ebenso wie

die

Ele-mentarwelle harmonisch von der Zeit abhängig, wenri das.System Schiff ala

lirieares Sy3tem betrachtet wird.

Alle Antworten des Systems lassen sich

ala inechaniache Wechselwirkung zwi-schen den beiden bekannterk Komponenten

der ungestörten Elementarwel].e und dem

Schiff mit seiner Geometrie und

Trgheit

beschreiberi.

-In der Welle herrscht

_{aber zustz1jch}

_zum

hydrostatjschen das hydrodynamjsche

Druckfeld der ungestörten Welle, _das

eine zusätzljche

_pulsierende

Druck-kraft auf das Schiff

_{ausUb'c (Froude}

Kryloff-Hypothese).

Gleichzeitig behindert aber

die

Schiffsoberfläche den

Strömungsvor-rang in der Welle. Dadurch wird _eine

pulsierende Störströmung _{und eirie}

Deformation de r We lie _{hervorgerufen,}

so dass die resultierende

_Strörnung

Rücksjcht nimrnt auf die _Anwesenheit

und Form des ruhenden

_Schiffes.

Die-se Störung der Welle beitzt

_natUrlich

wieder em _{zUsitz1jches pulsierendes}

hydrodynamjsches Druckfeld, _{das einen}

wejteren Ariteil der _{Druckkraft auf}

das Schjff ausmacht,

Die Oberfläche des _{schwimmenden Schiffes} taucht zu einem gewissen _{Grad unter die}

Wasseroberfläche, so dass sich die

Re-sultierende der hydrostatjschen

Drucl&-wirkung auf das Schiff mit der

Schwer-kraft im Gleichgewicht _befindet

(Archimedes).

Da das Schiff in seiner

_{Lage nicht}

festgehalten 1st, wird

es durch

diese pulsierende Krfte besbhleunigt

und in schwingende Bewegung

_versetzt,

was eine Oszjflatjori des

hydrostatj-schen Druckfeldes und eine

Diese Schiffsbeweguflg stört natUr].ich

wieder die Strömung. Elne weitere zu-sätzliche Storströmung sorgt dafUr,

dass die resultiereride Strömung mit

dem bewegten Schiff vertrãglich

1st.

Das Druckfeld dieser Störströinung beeiriflusst wieder die Druckkraft,

auf das Schiff und damit die

Schiffs-bewegung und so welter .. .

Diese sequentiel].e Darstellung der

-Wechselwirkurigefl könnte nur ±teratiV

zu einem Gleichgewicht von bewegtem

Schiff und gestörter Welle fUhren. In Wirklichkeit geachehen diese

Vor-gänge alle glélchzeitig und es wird

sich zeigen, dass dank der

Lineari-sierung des Problems das dynamisohe

Gleichgewichtam bewegten Schiff in

der Welle gesehiossen darstellbar 1st.

Festzuhalten bleibt, dass die

physi-kalischeri Antworten des Schiffes be-stehen aus: Storströinungen WellendeformatiOflen Druckfeldern Resultierenderl Kräften und Schiffsbeweguflgefl.

HinzuzufilgenWärefl noch die inneren Kräfte in der SchiffskOnstruktiOfl,

die durch die verschiedene Verteilung

von Druckkr.ften urid Tx'ägheit skrften

entsteheri,auchwenn das ganze Schiff

FUr das Schiff als Balken:

Querkräfte

Biegemomente

Torsionsmomente

urid damit verbundene Beanspruchungeri.

Schwieriger und seltener durchgefUhrt. sind Betrachtungeri der lokalen Festip-keit unter BerUcksichtigurig der

lokalen Druckverteilunp im Seegang. Ausser diesen liriearen und harrnoni-schen Antworten des Schiffes auf den Seegang gibt es noch eirie Reihe

spezielle

nichtlinearer Phtnomene:

Dasbedeutendste 1st der zustzliche

Widerstand, den em Schiff im

See-gang erfährt und der im wesentlichen quadratisch von der Weilenhöhe abhàngt.

Wichtig sind auch die sehr kurzzeitigén

und heftien hydrodynarnischen Stösse auf den ausgetauchten Schiffsboden

("slamrning"und an Deck (Seeschla)2

sowie das Durchdrehen.

des teilweise

ausgetauchten Propellers (TTracing)

Aber auch die linearen Bewegungen können, besonders

in achter].icher See, in gefähriiche nichtlineare

Exzesse entarten:

Eel extremen Lngsbewegungeri (urgin') kann das

Schiff von der We lie mitgenornmen werden und auf

ihr reiten (urfin');

bei extremen Gierbewegungen kann das Schiff in der Weile quersehiagen;

und bei extremen Roilbewegungen kann die Gefahr des Kenterns eritatehen.

2 KOORDINATENSYSTEM IJND FREIHEITSGRADE

Für die Darstellung der Bewegungen des Schiffes irn Seegang hat sich em

Koor-dinatensystern bewährt, das die gerad-linige Fahrbewegung des Schiffes mit konstanter Geschwindigkeit mitmacht,

nicht aber die .translatorischen und.

rotatoriseheri Schwingungsbewegungen'

des Schiffes. Im Ruhezustand des

Schiffes liegen die Achsen des

carte-sisôhen Systems X,,Z in den

Schnitt-linien der ungestörten Wasse.roberf].äche, der Syrnmetrieebene des Schiffes und der Hauptspantebene. Der tjrsprurig 1st also

der Schnittpunkt aller drei Ebenen. Die

X-Achse zeigt nach vorne, die-Achsa

nach Backbord und die Z-Achse nach oben.

Die Seegangsbewegungen des starren

Schiffes in a]len

6 Freiheitsgraden.

sind dann definiert als die

Ver-schieburigen und Verdrehungen 'elnes

im Ruhezustand deckungsgleichen, aber echt schiffskörperfesten Systems gegen-tiber diesem nur mitfahrenden System:

die horizontale Lirigsverschiebung ç

die horizontale Querverschiebung y0

die vetikale Querverschiebung

Z0

die Drehung urn die Längsachse

die Drehurig urn die hor.Querachse

0

die Drehurig urn die vert.Querachse

1/

Langsbewegung (surging) Schwoj en Tauchen Ro].len Stampfen Gieren (swaying) (heaving)

(rolling)

(pitching)

Cyawing)

Em naheliegender Weg zur

Vorher-sage der Schiffsbewegungen im

See'-gang ist der SeeSee'-gangs-Modellversuch

hnlich den Modeliversucheri zur Vorhersàge von Widerst and und

Propulsion im glatten Wasser. :iH1IcHKEITsGEsETzE

Beirn Seegangsmodellversuch fährt

em geometrisch .hnliches Schiffs-modell in geometrisch ähnlichen Wellen. Da die Seegangswellen

ausser von der Trgheit fast

vollstäridig von der Schwerkraft bestiinmt sind, gilt hier genauso

wie beim Wellenwiderstand das Froude sche Xhnlichkeitsgesetz:

fV

-. 9L )' gL )çtjp

,'

(EI

_v5' 2 L

fI

-und mit; V

TI

L

Das heisst: die Quadrate der

Geschwindigkeiteri oder die

Cuadrate der Zeiten mUssen sich wie die _Lärigen von Modell und

GrossausfUhrung verhalten. Anders ausgedrUckt: der

Ge-schwindigkeitsmasstab ist gleich

de.m Zeitmasstab gleich der Wurzel

aus dem Lngenrnastab: V5 r VL5

Der Frequenzrnastab ist reziprok

zum Zejtms1h!

fast irrirner von vernachlässigbarem

Einf].uss 1st, .1st man hier in einer

wesentlich glttcklicheren Lage als z.B. beim Widerstands-Modeliversuch. Die Nichtbeachtung des Reynolds'schen

1hnli,chkeitsgesetzes hat praktisch

keine Konsequenzen.

V RSUC HSANLA GEN

Voraussetzurig für soiche Versuche

ist eine Einrichtung zur Erzeugung

von regelmässigen Wellen vorgegebener Wellenlänge und Amplitude oder sogar

von unregelmässigen Wel].en vorgegebe-nen Spektrums.

Soiche Wellenerzeuger arbeiten

pneu-matiscli1oder mit TauchkorpernZoder Klappen und werden harmonisch oder

mit Uberlagerten harmonischen

Be-//

wegungen gesteuert. (Em

idealer.

'Wellenerzeuger müss.te die Variation seiner Arnp1itue Uber der Wassertiefe je nach Wellenlänge,der mit der Tiefe

abklingenden Orbitaibewegung anpassen.

Das kann durch gelenkig verbundene

/

zeitei1ige Klappen4angenhert werden. Meisteris werden soiche Wellenerzeuger

an der schmalen Stirnseite eines

nor-malen Schlepptanks installiert. Damit

lassen sich dann zweidimensionale

(also "langkämmig) längslaufende.

regel-m:issige oder uriregelmLtssige Wellen _gz5 tflCHWRSE;

erzeugen. Damit lassen sich aber keirie

kurzkLlmmigen (.dreidimensionalen)

See-gince erzeugen, die Komponenten ver-schiederier Laufrichtungen erithalten.

Em wesentlich bedeutenderer Nachteil

i3t es aber, dass bei dieser Anordriung,

3

z

./_z

VERSUCHSTECHNIK

BEWEGU NGE N

00 _'1E 20° (3Q0)

und

>. 460D(45O)

erreicht werden können, je nach Tank-breite, Modellgrösse und

Fahr-geschwindigkeit.

Dieser Mangel lässt sich. nur

besei-tigen durch eine grôssf]chige

spe-zielle Versuchsanlage für Seegangs-versuche. Moglichst an zwei anein-andergrenzenden Seiten eiries soichen

rechteckigen Wasserbeckens müssten

sich Wellenerzeuger befinden, die

durch Unterteilung in kleine Sektionen

und phasenverschobene Steuerung

Elemen-tarweileri mit einem Bereich von Lauf-richtungen von annblernd 1800 _erzeugen

könnten. Auf. den jeweils gegenUberlie-genden Seiten des Beckens milssten sich Welleritilger befinden. Werin man sich

dabei nicht auf Versuche mit völlig

freifahrenden, ferngesteuerten Mo-dellen beschränken will, muss die grosse Beckenbreite auch noch durch einen riesigen Wagen Uberspannt

werden.

Solche ähnlich aufwendigen

Versuchs-anlàgen gibt es leider bisher riur

an wenigeri Punkten der Erde.

Wenn nur die Bewegungen im Seegan.g

gemessenwerden sollen, muss das Modell

geometrisch und beztlglich Schwerpunkt

und Trägheitsmomenten ähnlich se.in.

Wenn das Modell unter elnem Wagen fährt, k3nnen die Tránslationsbewegungen und Drehbewegungeri z.B. Uber Drähte.gegen-Uber dem Wagen gemessen

werden,Dreh-WELLNTILCE

z° ₂ G S4-S2

bewegungen, besonderS die Roilbewegung,

lassen sich auch

vorteilhaft mit Hilfe

von Kreiseln messen.

INNERE KRFTE

Sollen auch innere Kräfte,

aLso

Quer-kräfte, Biegemomente und

Torsions-momente in bestirninten Querschnitten

bestiinmt werden, so muss das Modell

in diesen Querschnittefl

geteilt werden.

Al].e Sektionen mUssen dann

für sich

bezUglich Schwerpunkt und TrägheitsmO

menten ähnlich sein, was praktisch schwer zu verwirklichefl

ist, zumal diese de-.

taillierteri Angaben selten für

die

Gross-ausfUhrung bekannt sind.

Die Sektionen müssen dann wasserdicht Uber Kraftmesswaagefl für

je 3 bis 6

Komponenten verbunden werden, die mit

Kraftaufriehme.rfl auf induktiVer Basis

oder mit Dehnmesstreifefl

arbeiten.

VERSUCHSSTRATEGIE

Zur experimentellen Ermittlung des

vollständigefl VerhaltenS eiries Schiffes im Seegang bezUglich einer bestimmterl

Antwort (z.B. Tauchen und Stámpfen),

also zur Ermittlung der

sogeriannten

ttubertragungsfunktionh' abh.ngig von We1lenl.nge (oder -Frequenz),

Begeg-nungswinkel und Geschwindigkeit gibt

es zwei Wege:

1. Man rnisst die Amplitude der gesuchten

Antwort Z, in regelmissigefl WellerL

einer bestimmten Amplitude und

Wellerilänge 'X be.i einern bestiniintefl

p,cI.rr.,I9E KRrERE'E

Begegnungswinkel,l(L und einer bestimmten Geschwindigkeit V . Der Quotient aus den

Amplituden von Antwort und Welle ist dann

em Wert der ibertragungsfunktion(.9.Tcu.chen):

v

L

Zc ( ."

,v)

i/4'

Dabei ist h.ufig.fUr jede interessierende

Kombination (,/4G,V) eine Messfahrt not-wendig (bei langen Tanks lassen sich

vielleicht auf einer Fahrt mehrere

icht

zu grosse Geschwindigkeiten erledigen).

2. Man registriert die gesuchte Antwort z(t)

in unregelmssigeri Wellen. (L). Wenn die

Registrierungen von und I genQgend

lang sind (gegebenenfalls aus mehreren gleichartigen Fahrten), so karin man daraus

die Spektren 5() und

S(w)

bestimnien.

Der Quotient der Spektren von Antwort und Seegang is.t dann das Quadrat der Ubertra-gungsfunktion:

2 SC")

Y(E,v)

(z)()

Dabei erhält man also die Information für

alle Wellenlängen oder Frequenzen aus einer

die

Fahrt, wobei allerdings Auswertung

automati-siert sein muss und die Genauigkeit sehr von

der Registrierungslthige und der Lage der jeweiligen Frequenz im Spektrum abhängt. Seegangsmodellversuche sirid sehr aufwendig, damit routinemssig für komplizierte Antworten

oder in sehr vo1lstLndiger Form (z.B. für alle

Begegnungs.winkelstufen) aus vesuchstechnischen oder zeitliôhen GrUnden garnicht dux'chfUhrbar.

c

_{Zur vollständ1en}

Beschreibung ehört

auch die Phasen-. verschiebung

E(

,v)

z=ze't

Nan wird auch in Zukunft nicht auf soiche Versuche verzichten können für spezielle Fragestellungen und besonders zur

fiber-prUfung und Weiterentwicklurig von Theorien.

Aber man wird routinemässig vielleicht im Vorprojektstadium in steigendeni Masse die bequemen Möglichkeiten der theoretischen

r3erechnung von Bewegungen und Belastungen

im Seegang nutzen, die es geatatten, in

kurzer Zeit und mit geringem Aufwand die vollständigeUbertragungsfunktion der meistén Antworten zu berechrien und das Verhalten im natürlichen kurzkämmigen

Seegang in befriedigender Weise

: QUASISTATISCHE "LXNGSFESTIGKEIT"

UND DYNAMISCHES GLEICHGEWICHT

Seit Archimedes 1st das nach ibm benannte

Pririzip bekannt, dass em ruhender Körper

im Wasser einen hydrostatischen Auftrieb erfährt, der gleich dem Gewicht des

durch ihn verdrngten Wassers 1st. Die

Kenntnis dieses Prinzlps setzte'den

Schiffbauer schon sehr f rUb in die Lage,

für eine vorgegebene Schwimmlage aus

der Schiffsgeometrie sehr einfach auf.

das zulässige Schiffsgewicht zu

schlies-sen. Das statisehe Problem war auf em

geometrisehes zurUckgefUhrt.

In ähnlicher Weise liessen sich die

Probleme des Trimms, der Stabilität

der aufrechten Schwimmlage und des aufrichtenden Moments im gekrängten

Zustand, alle im glatteri Wasser, durch

konsequente Anwendung des archimedischen

Prinzips zurUckfilhren auf die

geometri-schen Problems der Bestimmurig von Vo-lumen und VoVo-lumenmittelpurikt. DafUr

wurden im Schiffbau zahilose graphische, instrumentelle und numerische Verfah-ren entwjckelt und für soiche Berech-nungen wurden die ersten

schiffbauli-chen Comouterprogramme entwickelt,

die die Schiffsform bis in die letzten

Feinheiten berUcksichtigen.

Als irn letzten Jahrhundert die

Schiffs-längen irnrner grosser wurden, wurde der Schiffbauer mit dem Problem der

soge-riannten "Längsfestigkeit" konfrontiert,

der Festigkeit gegen Schub- und Biege-belastung des SchiffskOrpers als Balken.

Diese Belastung setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:

der Glattwasserbelastung infolge unterschiedlicher Verteilung von

Gewicht urid Auftrieb im glatten

Wasser und

der zusätzlichen Belastung im

Seegang.

Der erste Anteil, die Belastung im glatten Wasser, 1st rein statischer Natur und daher nach dem archimedischen Prinzip exakt zu behandein.

Der zweite Anteil, die zusätzliche Be-lastung in Seegang, ist dynamischer Natur, da sich sowohi das Schiff als

auch der Seegang in Bewegung befinden. QUASISTATISCHE BETRACHTUNG

Da man dieses dynamiache Problem nicht lösen konnte, schuf man nach guter

schi.ffbaulicher Tradition em

quasi-hydrostatisches Ersatzproblem, das mit bewährten Methoden nach dem archi-medischen Prinzip zu lösen war unter BerUcksichtigung aller Feinheiten der

geometrisolien Schiffsform. Diesem

Er-satzproblem liegt das physikalisch

unrealistische Modell einer tterstarrten

Welle" von Schiffslärige mit lokal hydro-statischer Druckverteilung zugrunde. In dieser fiktiven Welle wird einmal auf

Wellenberg (hogging) und einrnal im We].lental (sagging) eine quasi-j

des Schiffes betrachtet. Die

zustz-liche Seegangsbelastung besteht dariri nur aus der Xnderung der

Auftriebs-verteilurig ilber die Schiffsl.nge.

Dabei lassen sich einige nichtlineare

Effekte bericksichtigen, verursacht

einmal durch die Schiffs form (ausfallende Spant-kontur) und auch durch die Kontur einer

steilen regelmässigen Welle (Trochoide, Stokes-Welle). Das Ergebnis härigt ganz von der gewhlten Wellenhöhe ab und werin man, wie die Klassifikàtionsge-sells chaften, ausreichende Erfahrungen mit bisherigeri Schiffstypen in bestimm-ten Gewässern hat, darin kann maridiese

zu w.1-ilende Wellenhöhe so vorschreiben,

dass daraus brauchbare Lastannahmer für die Dimensioriierurig dieser

Schiffs-typen für diese Seegebiete resultieren.

DYNA4ISCHE BETRACHTUNG

Em physikalisch zutreffendes Modell

der zusätz1ichen Belastung im Seegang

muss dagegen eirien dynarnischen

Gleichgewichtszustand des tauchenden und stampferiden Schiffes in Fahrt

unter einem gewissen Begegnungswirikel

zu elner Elementarwelle des Seegangs betrachten.

Diese physikaliach vollständige

Be-trachtung 1st heqte mitHilfe der

Theorie des Severha1tens möglich,

allerdings nur in linearisierter Form,

d.h. das Ergebnis 1st proportional zur

Wellenhöhe, und die Lastenin der

"hogging"-Phese sind vor gleichem

Ausserdern hängt das Ergebnis der vollstäridigen Theorie riicht nur von

der Wellenlänge, sonderri auch von ler Schiffsgeschwindigkeit und der Massenverteilurtg Uber die Schiffs-lange a_b.

PCir einen Uberblick werden die wich-tigsten TJnterschIede beider Verfahren

urz gegenUbergestelit Qupslgr'JTIScI-4. I WTJ- UP11iES -t4DQi/NG, (wI_L) 3. Sr.SC.RE 5CS4W1t1?'tLMN--N17EJi1II4

(N1CiTJV)

4. wL-LEN .só'-i (NscS.ITLJN)

(2. wL1c)

('3. _WHJi(Lr MCi.fl (3UC1-I EL1SZK WEL.LE

gINJc.

SGP1GSNODaL

ZUSS1ZL1O- QLS1UN. Ir, SNc2.

DNfl-1lSCJ-4 DlNflr1SSCI-lS DkIELD (u?.JcsrcPrE WELL.) D2/CKLD DEQ wiijDFOQ.r1f4TIQ(J DQUCJ'PELD PQ 6CiJlFS8EWE&JIIG. T*4ElT VJ &flIF+LDUNC.

(uNQ)

WE1_1_EN-1&- _{(1_sN )} WELLtJL.4C 3EMLG.W1NL(L Lj.. F26S4WINO/G.Krr .?1sE1rEIWW 63E12LJG.EJ2Lft.4G,. tR: KuRzz'r-Ll1sJD LqNZEtrrRTIgfl

5. BEISPIEL: TAUCHBEWEGUNG EINER BOJE

Das einfachste Beispiel zur

Demoristra-tion der physikalischen Zusammenhiinge beirn dynamischen Gleichgewicht im

See-gang ist eine Bewegung in nur elnem Freiheitsrad: die Tauchbewegung

einer schwirnmenden Boje in einerWelle. Wenn man das Problem linearisiert

be-trachtet, kann man es in zwei

Teil-probleme .aufspalten, die sich

gegen-seitig nicht beeinflussen:

Die erzwungene Bewegung des Körpers

im glatten Wasser.

Der Körper in der Ruhelage

festge-halten in der Welle.

Diese beideni Teile lassen sich dann

zum vollstänidigen Vorgang Uberlagern.

1 BOJE BEWEGT IM GLATTEN WASSER

In einem Gedankenexperirnent wird der

Boje mit der Masse fri und der Wasser-linienfläche PWLeine vertikale

har-monische Tauchbewegung einer bestimmten

AmplitudeZ04und einer bestimmten Kreis-frequénz W aufgezwungen.und die dazu

erforderliche Kraft

1(t)

gernessen.

(t) i

e')

Diese erforderliche Kraft

(t)enth1t

Anteile zur ljberwindung:

der hydrostatischen RUckstellkraft:. der Trägheit der Boje

und der resultierenden Kraft des

hydrodynamisehen Druckfeldes infolge

der Bewegurig:

Die Bedingung des dynamischen

Gleichge-wichts an der Boje lautet (riach dem d'Alemberttschen Prinzip):

F (t' + F (t) - 9flWL;(&) -1-1 z-) -0

_ZI

Im Zeigerdiagramin dargesteilt:

Daraus lässt sich die unbekannte

hydro-dynarriische Kraft 3bestimmen:

nit

0(t)= ;uJz0( urid

ist es üblich, die hydrodynarnische reaktionskraft auf die Bewegung

auftuspalten in einen

geschwindigkeits-proportionalen und elnen beschleunigungs-proportiorialen Anteil:

;;2EW:: N±0-t1Z0

k.jt

=(_u.,N.Icj2r.12)Ze

- 'g IIWLZO()

- M

z0U)

F

(fr) Z3W z..

die hydrodyriamische Dämpfungskraft: c NZzOR= SINE1 und

Daniit sind die hydrodynamischen

Koeffizienten definiert:

der Dämpfungskoeffizient: und

der Trägheitskoeffizient:

N _Z Z0p H"_2t

(!w_i.

_/

Der Trägheitskoeffizient

wird auch "hydrodynamisehe Masse" genannt,

wirkt sich auch wie eine Vergrösserung

der Körpermasse aus, ist aber von der

Bewegungsrichturig abhngig. Die. Doppelindizierung bedeutet:

Kraft in Richtung des ersten Index

infolge Bewegung in Richtung des zweiten Index.

Wird der Versuch mit elner anderen Frequenz wiederholt, so erhält man andere Werte für die Koeffizienten der hydrodynarnischen Kraft. Beide

sind also

requenzabMngig:

N .7)

11!l((4))

2. BOJE RUHEND IN DER WELLE

In einem zweiten Gedankenexperiment wird

die Boje in Ruhelage festgehalten,

wäh-rend sie von einer regelrnässigen Welle

bestimmter Frequenz CO und Amplitude

getroffen wird. Dabei wird die zum

Fest-halten erforderliche Kraft

messen:

(&)' e"'

Jjt)

Fe0t2)

.&8 E4

Die Haltekraft i2(t) ist erforderlich,

urn die resultierende Kraft des

hydro-dynamischenDruckfeldes der Welle auf

die Boje, die "erregende Vertikalkraft":

zu kornpensieren:

Die Phaserilage der erregenden

Vertikal-kraft

F2Jt) gegeritiber der Wellenerhebung

() wird durch die komplexe

Formu-lierung dargestelit:

w ob e i EiJ

(r)e"

=

F; _ssrE

3. BEWEGUNGSGLEICHUNG

Darnit lässt sich die gesamte hydrodyna-mische Kraft auf die bewegte Boje in der

Welle zusammensetzefl

F ()

Z W?OQODYN. 2gg

()-.F

2

Die noah unbekannte, durch die Wel].e er-regte Bewegun2D&)der Boje lässt sich aus

der Bedingung des dynamischen Gleichge

"Bewegungsgleichung" formuliert wird:

F

-

o

Wenn die von der unbekannten ewegung z,(e) abh.ngigen Krfte auf die linke

Glei-chungsseite, die von der vorgegebenen Welle abh.ngigen Krfte auf die rechte Seite gebracht werden:

p-I. 0(t)4 flz0()-_I C&)

dann kanrl die Bewegungsgleichung für die

Boje in der Welle rein formal als em-fache Schwingungsgleichung geschrieben

werden: .

,-irr:

'-" (i-i+ri)D(&)

N0(t)+

Die Gleichung ist aber këine Differential-gleichung elner erzwungenen Schwingung, denn sie gilt nur für harmonisehe Bewe-gungen und ihre Koeffizienten sind fre-quenzabhängig.

Wenn man sich auf die Phasenlage der We1lenerhebung bezieht und die

kom-plexen Formulierungeri für die Bewegung Z0

und die erregende Kraft F einsetze

BEW

/

(Zor+IZo;) e

20 () = w (,.'-iz0;)eHJ= ct'(z0; - Z,,,.)eUSt

z, ()

EjJ

(r+i ;)e1"

,

dann kan man, die alien Gliedern

gemein-same Zeitfunktion e eliininieren.und

behält eine einfache komplexe lineare

Gleichung zurUck:

C4) tJZor

Diese Gleichun stelit die Bewegungs-gleichung der erzwungenen harmonischen

Vertikalbewegurig der Boje in der Welle irn Frequenzraurn (statt im Zéitraum)

dar. Nachdem e1&& elirriiniert 1st,

haben von den imrner noch komplexen

Gleichungen sowohi der Real- als auch der Imagin.rteil eine physikalische 3edeutung. Sie stellen die Amplituden zweier Komponenten dar, in Phase mit der Wellenerhebung und um11l'29D°

vorauseilend.

Entsprechend kann die Gleichung in Real- und Iinaginärteil aufgspalten

werden:

(q9 nwc- (r-1+!-:)) z. - wN2 Z0;

Darnit hat man das Problem auf em

lirieares Gleichungssystem

zurückge-ruhrt. Mit formalen Koeffizienten:

fl

Trägheit Q D.mpfung

C Feder

(CZ_wflZZ)zDy

-

2Z ZØ

Lu

B z. (c- w1n) z0;

und mit den weiteren AbkUrzungen:

J'c C2JT

op.

und in Matrizerischreibweise:

(P

_B'\(Zo)

In komplizierten Fallen mit mehreren

Freiheitsgraden wird die

Matrizeri-gleichung für jeden Fall numerisch auf derRechenanlage gelöst.

B'ZL z0

;j.

formal

(i)

(z)(F)

In diesem einfachen Fall bei nur elnem Freiheitsgrad kann die Lösung

II. THEORETISCHE ERMITTLUNG DER HYDRODYNAMISCHEN KRXFTE Grundsätzlich könnten alle Komponenten

der hydrodynamischen Kraft auf em

Schiff irn Seegang. (infolge Bewegung

in alIen 6 Freiheitsgraden und die

entspreehenden Komponenten der erre-genden Kraft durch die Welle) durch

geeignete Model].versuche bestimmt

wer den.

Aber, abgesehen von den versuchstech-nischen Schwierigkeiten, wUrde em

soiches Versuchsprogramln wegen der

Abh.ngigkeit aller Kraftkomponenten

von

Fréquenz

Schiffsform

Fahrges chwindigkeit

und Begegnungswinkel

einen schier unUbersehbaren Aufwand

darstellen.

Ausserdem milssen, falls auch die

inne-ren Kräfte interessieinne-ren, nicht nur

die hydrodynamischefl Krfte auf den ganzen Körper, sondern auch ihre

Ver-teilungen, mindestens Uber der

Schiffs-lange, ermittelt werden. Das wUrde den Versuchsaufwand mit unterteilten

Modellen vollénds ins Unermessliche ansteigen lasseri.

Aus diesen GrUnden ist die Eritwicklung von theoretischen Methoden zur Er-.mittlung der hydrodynamischen Kräfte

wanschenswert und dank der modernen

Eritwicklung der Potentialtheorie und der Rechentechnik auch möglich.

Die Gruridlagen der potentialtheoretiscIen

Bestirninung von Strömungen,

hydrodynarni-sehen Druckfeldern und hyth'odynamisohen

Kräften werden an einern einfachen

Bei-spiel demonstriert:

Em Kreiszylinder vom Radius Qbewegt

sich mit koristanter Geschwindigkeit U quer zu seirier Achse durch eine ruhende unbegrenzte F].Ussigkeit.

Ineinern mitbewegten cartesischen Koordi-riatensystern x,y,z mit der z-Achse als

Zylinderachse und der x-Achse in

Bewegungs-richtung ruht der Körper und wird in Ribh-twig der negativen x-Achse von einer

Parallelströmung angeströmt.

Soiche Umströmungeri von festen Körpern

lassen sich in der Potentlaitheorie

durch "SingularitätenT' (Quelleri, Senken

und Wirbel) darstellen. Zur Darstellung

dr ebenen Strörnung urn einen Zylinder

in Parallelstrmung eignet sich em

Quell-3enkenpaar, das sicl-i im Grenzfal].

in einern Punkt vereinigt hat: em

soge-nannter "Dipol". Seine Strömung fUllt

das Innere des Zylinders an und

ver-drängt die Aussenströmung so, dass die

Grenzf1tche die Zylinderoberfläche ist,

Das Potential l.sst sich also, wie die

Strömung selbst, durch Uberlagerung

Wenri man eine komplexe Potentialfunktion

ansetzt:

F (c,)

4)

(i)

+ I

dann ist der Realteil

4) das "Potential",

wahrend der Imaginärteil 41, die "Strom-furiktion", aufjéder Stromlinie einen

kori-stanten Wert hat.

Parallelströmung mit der GeschwindigkeitU mach- X gerichtet:

F,(x=4+

=-LJ(+'ñ

Dipol mit dem I4omentmnach+X gerichtet:

Gesamte Strömung aus Parallelströrnung

+ Dipol:

f/flIlYhir

--u(x+ij)

Die Strornfuriktion &.1I hat den Wert "Null"

auf der Staustromlinie, die sich

ver-zweigt und der Zy1inderkont4r folgt:

(fr' _SI1O&O

OO°

)

oc1eyø43O° (smusrPoi1iJN:) od.er Qr. --'v

DJPOL. +

Nit den Polarkoordinaten

r2=x,2

und

xij=re'

F(ro()

_JLO urel0C

porrriL

frQ(iL

ur)wsX.

Damit lässt sich im Potential das

Dipol-moment rn durch den Körperradius R und die Anströmgeschwindigkeit U ausdrücken:

4(r,)

Der Druck ergibt sich nach der Berroullitschen

Gleichung:

p 24' 44P2

!E

+-iv1+gz=const

In stt1onrer Strömung UCOt1Stist

t ). auf der Körperkontur r= mit: .- _{= .4}

ad)

lvi

1st der Druck: .

(.Pi.

consl-

gz--

j

%$JiiR.

(&\

_{=(uE(4frsino)}

_r. ='2URcinA

wird: (E..) wns'-gz-2u2sin2o

Der Druok im Uriendlichen r-oo mit 1Vj_r- U

1st:

!E\

_=cons-gz--u2

Ic 'roc'

Damit 1st die Druckdifferenz auf der Körperkontur gegenUber der ungestörten Strömung im Unendlichen:

p20

*u21_4s;n2D)

Diese symmetriche Druckvertei].ung auf der Körperkontur Ubt keine

resultieren-de Kraft auf resultieren-den Körper aus. Dieses

be-karinte Ergebnis für station.re, wirbel-frele Strömung: in idealer Flilssigkeit

2. KREISZYLINOER QTJERJ3ESCHLEUNIGT I UNBEGRENZTER FLUSSIGKEIT

Das abgeleitete Potential für den

quer-bewegten Kreiszylirider gilt nicht nur

für konstante Geschwindigkeit U , sondern

auch jeweils für den Momentanwert u(L) elner beliebig veränderlichen

Geschwin-digkeit, es muss. aber jetzt im raumfesten

System (ohne Parallelstromung) zur Zeit

.L0

betracitet werden;

-'.'ft.)

Eine Geschwindigkeitsiriderung des Körpers wirkt sich in ganzen Strömungsfeld sofort

aus. In der Bernoulli-Gleichung wird jetzt

zusätzlich zum bisher behandelten

static-riiren Druck noch der instàtionre Druck

wirksam:

r

auf der Köroerkontur r=R

()=-t'Rcoso.

rir2

in Unendlichen ro:

fi

_{t 'I'r-oo}

=o

Damit 1st der insta-tionre hydrodynamische Druck auf der Körperkontur (zusätzlich zuin

stationären hydrodyriarniseherl Druck np):

inçr

AII1OhII1 _'I

.ir

A