Ontwikkeling stroomgat en debiet bij dijkdoorbraak

(1)

Rapport nr. 8-86

November 1986

.~t;t·

TU

Delft

Technische Universiteit Delft

Ontwikkeling

stroomgat

en

debiet bij dijkdoorbraak

Deelstudie voor een Pomp Accumulatie Centrale

P.J. Visser, J.S. Ribberink,J.P.Th. Kalkwijk

H v

"

Faculteit der Civiele Techniek Vakgroep Waterbouwkunde

(2)

Deelstudie voor een Pomp Accumulatie Centrale

P.J. Visser, J.S. Ribberink en J.P.Th. Kalkwijk

Rapport nr. 8-86 Vakgroep Waterbouwkunde Faculteit der Civiele Techniek

Technische Universiteit Delft 1986

(3)

-2-INHOUD SAMENVATTING 4 1. INLEIDING 6 2. PROBLEEMOMSCHRIJVING 2.1 Probleemstelling 2.2 Uitgangspunten 2.3 Doelstelling 9 9 10 12

3. UITGANGSPUNTEN EN RESULTATEN PAC-RAPPORT 13

4. BESCHRIJVING VAN DE EXPERIMENTEN 4.1 Inleiding

4.2 Experiment 1 4.3 Experiment 2 4.4 Experiment 3

4.5 Effect afwezigheid taludbescherming in de proeven

15 15 15 18 21 22

5. ZANDTRANSPORT VOLGENS DE METHODE BAGNOLD 5.1 Inleiding

5.2 Bodemtransport 5.3 Suspensietransport

5.4 Opnamemechanisme van het suspensietransport 5.5 Tota~ltransport 23 23 23 25 26 28

6. THEORETISCH MODEL VOOR DE BRESGROEI EN HET UITSTROOMDEBIET 6.1 Inleiding

6.2

29 29

6.3

Mechanisme van de groei van het stroomgat in vertikale richting

Analytische beschrijving van de bresgroei in vertikale richting

29

32

6.4 Toetsing aan experiment 3 34

6.5 Groei van het stroomgat in breedterichting 35 6.6 Effect van de bresgroei in de breedte op de kruinsverlaging 37 6.7 Toetsing aan experimenten 1 en 2

6.8 Morfologische tijdschaal 6.9 Uitstroomdebiet 6.10 Afvoer indien

z (

0 39 43 44 45

(4)

6.11 Discussie 47

7. NUMERIEKE OPZET EN BEREKENINGSSRESULTATEN 7.1 Inleiding

7.2 Numeriek model

7.3 Resultaten van de berekeningen 7.4 Versteiling van het buitentalud 7.S Discussie 48 48 48 49 56 S7 8. CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN 8.1 Conclusies 8.2 Aanbevelingen 59 S9 61 LITERATUUR 62 SYMBOLEN 64 BIJLAGEN

A. Analytische oplossing vergelijking (6.19) B.1 Stroomschema numeriek model

B.2 Listing numeriek programma

67 68 69

(5)

-4-SAMENVATTING

E~n van de mogelijkheden voor het opslaan van energie is een bekken met een relatief hoge waterstand (Pomp Accumulatie Centrale). Het bekken is omringd met een dijk van zand, die vanwege de

mogelijkheid van doorbreken een risico voor de aangrenzende gebieden betekent. Het maximale uitstroomdebiet bij dijkdoorbraak is een

belangrijke grootheid bij het maatgevende faalmechanisme voor een PAC. Dit uitstroomdebiet wordt vooral bepaald door de groei van het

stroomgat in de tijd.

In dit rapport wordt een mathematisch model beschreven voor de groei van het stroomgat en het verloop van het uitstroomdebiet in de tijd na een initieel kleine bres. Er is uitgegaan van een dijk volledig opgebouwd uit zand, waarbij wordt verondersteld dat de taludbekledingen het erosieproces niet befnvloeden. Het model is quasi 3-dimensionaal: de bresgroei in breedterichting is gekoppeld aan die in de diepte. Voor de bepaling van het zandtransport is het concept van Bagnold [6]

toegepast. Hierbij wordt het transport berekend door deze met

efficiency-factoren te koppelen aan het beschikbare vermogen hiervoor. Het model is gebaseerd op het mechanisme van dijkdoorbraak als waargenomen in drie experimenten. Drie stadia in de dijkdoorbraak

kunnen hierbij onderscheiden worden: I. versteiling van het buitentalud tot een zekere grenswaarde, 11. kruinsverlaging met daaraan gekoppeld groei van de bres in de breedte, 111. dijk t.p.v. het stroomgat is geheel verdwenen,.voortgaande groei van het stroomgat in de breedte en

in de diepte (ontgrondingskuil). In stadium 11 bepaalt het

zandtransport aan de teen van het buitentalud de erosie van het gehele talud, dus ook de kruinsverlaging.

Toetsing van het model is gedaan aan de resultaten van de drie schaalproeven. De overeenkomst tussen theoretisch model en de

experimentele resultaten is zeer goed.

Voor de prototype-situatie is met het model een groot aantal berekeningen uitgevoerd. Enerzijds is hierbij de gevoeligheid van met name het maximale debiet voor de diverse parameters onderzocht, d.w.z. voor de efficiency factor e van het suspensietransport, de breedte -diepte-verhouding r van het stroomgat, de Ch~zy-co!fficiênt, de helling van het buitentalud in stadium 11 en de afvoer-coêfficiênt. Anderzijds

is de oppervlakte van en waterdiepte in het bekken gevarieerd. Het model is vooral gevoelig voor e en r. De efficiency factor e is hiervan de meest onzekere parameter. Dit is het gevolg van de noodzakelijke

(6)

e%trapolatie van de kennis omtrent de opname en het transport van zand bij stroomsnelheden van 1 à 2 mis naar snelheden van orde grootte 20 als.

Het theoretisch .odel voorspelt voor een bekken met een

vaterdiepte van 70 a, een oppervlakte van 15 ka2 en een dijkprofiel met helling buitentalud 1 : 4 en helling binnentalud 1 : 2.8, een aa%iaaal debiet van 2.8 ~ 105 .3/s, optredend ongeveer 42 minuten na bet begin van de dijkdoorbraak. Hierbij is de efficiency factor van Bagnold e

=

0.01 toegepast. Een variatie van e met een factor 2 naar beneden en naar boven geeft een maximaal debiet van respectievelijk 2.0 ~ 105 en 4.0 ~ 105 m3/s, optredend respectievelijk ongeveer 60 en 30 minuten na het begin van de dijkdoorbraak.

(7)

-6-1. Inleiding

In dit rapport worden de resultaten gepresenteerd van een

deelstudie voor een Pomp Accumulatie Centrale. Een essentieel onderdeel van een PAC is een kunstmatig bekken omgeven door een dijk waarin

"energie" wordt opgeslagen d.m.v. het oppompen van water, b.v. met goedkope nachtstroom. De mogelijke gevolgen van een eventuele doorbraak van de dijk zijn belangrijke aspekten in de afweging van de

realiseerbaarheid van een PAC.

Deze gevolgen betreffen dan bij

- een groot initieel gat de vloedgolf die ontstaat, en bij

- een klein initieel gat de uitstroomdebieten die na verloop van tijd ontstaan a.g.v. al dan niet snelle vergroting·van het stroomgat.

Literatuur (1,2,31 beschrijven deelstudies inzake de mogelijke vloedgolf. Deze deelstudies betreffen een PAC in het IJsselmeer

(waterdiepte in het bekken ~ 30 m,waterdiepte buiten het bekken ~ 5 m).

Toepassing op andere lokaties met andere waterdiepten is echter mogelijk.

De onderhavige deelstudie heeft als onderwerp de ontwikkeling in de tijd van de omvang van het stroomgat en het uitstroomdebiet na een kleine initi~le dijkdoorbraak. In deze studie wordt uitgegaan van een bekkenoppervlakte A

=

IS km2 en een waterdiepte in het bekken Hw

=

70 m.

De helling van het buitentalud van de dijk bedraagt 1 : 4, die van het binnentalud 1 : 2.8. De dijk is opgebouwd uit zand, dSO

=

200 ~m. Deze grootheden zijn in het ontwikkelde model als variabelen ingevoerd en

ook andere gevallen zijn doorgerekend (Hw = 30, 50 en 90 m, A = 10 en

20 km2). De lokatie van het bekken blijft verder buiten beschouwing.

Er wordt verondersteld dat de dijkdoorbraak begint aan de kruin in

de vorm van een kleine initi~le bres (b.v. als gevolg van golfoverslag of verzakking nabij de kruin) waardoor water uit het bekken stroomt. De snelheden op het buitentalud zullen dan al snel superkritisch worden.

Er wordt aangenomen dat de aanwezige taludbescherming nauwelijks weerstand biedt tegen deze snelheden en de ondergraving als gevolg

daarvan. Als gevolg van de erosie van de kruin van het stroomgat zal ook het binnentalud worden aangetast. Er is aangenomen dat deze

aantasting momentaan verloopt met de kruinsverlaging. Bovenstrooms van de kruin van het stroomgat is de bekleding van het binnentalud dan nog

intact en er is geen zandtransport op het binnentalud.

(8)

veroorzaakt door:

1. De stroming op het buitentalud is superkritisch, met snelheden van 20 tot 30 mis. Van de opname en het transport van zand bij

dergelijke snelheden is weinig bekend.

2. De ontwikkeling van het stroomgat in de tijd heeft een duidelijk 3-dimensionaal karakter. De toename van de breedte van het stroomgat vindt niet alleen plaats door zijdelingse erosie, maar ook door

instabiliteit van de zijtaluds door verdieping van het stroomgat, als gevolg waarvan ineens grote hoeveelheden zand getransporteerd worden

(zie hoofdst. 4).

Tegen deze achtergrond is de aanpak van Voogt [4] een eerste aanzet. Deze aanpak wordt ook toegepast in deelrapport fase 1

Hveiligheid" van de rapportage Pomp Accumulatie Centrale IJsselmeer, lito[51, in het vervolg het PAC-rapport genoemd.

E~n van de aanbevelingen voor verdere studie in het PAC-rapport luidt:

RIn de beschrijving van de gevolgen van de doorbraak van de bekkendijk is de groei van de bres een groot vraagpunt. Nadere studie is nodigH.

Deze aanbeveling heeft geleid tot de onderhavige studie, welke is uitgevoerd in opdracht van de N.E.O.M. b.v.

In dit rapport wordt de groei van het stroomgat beschreven m.b.v-. een quasi 3-dimensionaal model. Hierbij wordt de bresgroei in breedte-richting gekoppeld aan de groei in dieptebreedte-richting. Het model is

getoetst aan een drietal schaalproeven die in de beginfase van het onderzoek hebben plaatsgevonden. Vervolgens zijn met het model een groot aantal berekeningen voor het prototype uitgevoerd waarbij de van belang ·zijnde parameters (koppelingsfactor, Ch~zy-waarde, afvoer-coeffici~nt, efficiency-factor voor het zandtransport) zijn gevarieerd teneinde de gevoeligheid van het model voor deze parameters te

onderzoeken.

De extrapolatie van de kennis over opname en transport van zand bij snelheden van 1 à 2 mis naar snelheden van 20 à 30 mis is een

onzekerheidsfaktor in het model. Dit is de reden waarom is gekozen voor toepassing van de methode Bagnold [61. Deze methode gaat uit van de maximaal beschikbare energie voor het sedimenttransport.

Het rapport is als volgt opgebouwd. In hoofdst. 2 wordt het probleem omschreven, d.w.z. de probleemstelling, de uitgangspunten en

(9)

-8-de doelstelling. Het on-8-derzoek is een voortzetting van -8-de studie beschreven in (par. 3.2 van) het PAC-rapport. De uitgangspunten en resultaten van deze studie worden in hoofdst. 3 samengevat. In hoofdst. 4 worden de ezperimenten beschreven. Hoofdst. 6 beschrijft het

theoretisch model voor de bresgroei en het verloop van het

uitstrooadebiet in de tijd, alsaede de toetsing aan de ezperiaenten. Hierbij wordt de methode Bagnold toegepast, welke in hoofdstuk 5 wordt samengevat en aangepast aan de onderhavige situatie. De nuaerieke opzet en de resultaten van de berekeningen, die .et bet .adel zijn

uitgevoerd, worden in hoofdst. 7 gegeven. Hoofdst. 8 tenslotte bevat de conclusies en de aanbevelingen.

(10)

2. PROBLEEHOHSCHRIJVING

2.1 Probleemstelling

Het mogelijk verloop van een doorbraak van een dijk van een PAC-bekken is schematisch weergegeven in fig. 2.1. De gebeurtenissen waar de onderhavige studie betrekking op heeft zijn met een onderbroken lijn omgeven. Uitgegaan wordt van een klein initieel gat in de dijk. Het

I

L_

Water stroomt met grote snelheden door het gat

verloopt snel

"

"--, Î I I I I Er ontstaat een vloedgolf I ) / / / maximum waarde / / _/ Golfoverslag in aan-grenzende gebieden Bekken loopt leeg

(11)

-10-verloop in de tijd alsmede de maximale waarde van het uitstroomdebiet Q(t) zijn belangrijke grootheden voor de bepaling van het maatgevende faalmechanisme van de PAC, zie lito [5,71.

- Blijft dit maximale uitstroomdebiet relatief klein, dan leidt

bezwijken van de PAC-dijk slechts tot een waterstandsverhoging buiten het bekken.

- Indien het uitstroomdebiet echter zeer snel toeneemt kan een

vloedgolf ontstaan, die grote schade aan de gebieden in de nabijheid van de PAC kan veroorzaken.

De kans op slachtoffers in de aangrenzende gebieden wordt als norm voor de toelaatbare faalkans voor de PAC-dijk gehanteerd. Hierbij is Q(t), met name de maximale waarde, een maatgevende grootheid.

2.2 Uitgangspunten

De volgende uitgangspunten zijn gehanteerd:

- Het PAC-bekken heeft een oppervlakte van A

=

15 x 106 m2, een

dijkhoogte Hd

=

73 m en een hoogste waterstand boven de bodem Hw

=

70 m. De waterdiepte buiten het bekken wordt klein verondersteld t.O.V. Hw en wordt derhalve verwaarloosd.

- Een dwarsprofiel van de PAC-dijk als weergegeven in fig. 2.2. Dit dwarsprofiel is een schematisatie van een voorontwerp van een PAC-dijk, zie fig. 2.3. De dijk bestaat uit zand, dSO

=

200 ~m.

H ·70 m w

Fig. 2.2 - Schematisatie dwarsprofiel van de PAC-dijk.

Een initiêle bres in de dijk, b.V. ontstaan door lokale verzakking

van de kruin, als weergegeven in fig. 2.4. Er wordt aangenomen dat de hellingen van deze bres onder natuurlijk talud ~ staan.

(12)

+ e o ....

I~

I •

.

...

QI .... ..>! S ~.'. .:

f

·

.

..

.

. ;

.

",~

.

"

l

'

.

:

.

...

" ....

.

'

~

. r

-r.

~ /.:

'

I

.'

· ...

\.

'-. .

.

'

.. " .... .. .. ... .. . ..' ,'.. •I ••••• 'j . " . .' • ~ .t:'..

.

'

.

.'

I

.'"

. ~

'.

". .' , :

.

'

.

: '

.

I

"

::

,. .. ,.' .. : : .' :f .: • II " ~. " .' ' .' +

.

'

:

'

.

'

,"

I'

. .

.

' '

.

, ..

"

I,

'

· .

'

.

. .

.

'

.

r:·

.

'

.

'

. .

_.

.

..

'

I' ' :.

_' _.

.

,

:. : .'

,

:

.

' '1'

.

, .. " "'. . _.._._.. _" '

.

+ ,f' •.•• ;- '.' '.' J ... ..1 ..

.

_.

.'

: :

'1'

.

: '

.

:

.. •I ~ "..' ':.

..

"'

1 .

::

.

~ .... . .. ~ ,

:

'

','

" '

,:

1. .'.

:

.

'

.

,r. "

_.

.

_._._...

.'

.

(13)

-12

-Î

-,

/

-f-~

1 H

o·2.5 m~

f

h -5.5 ID

0

1 Hd

H I w b

0

Fig. 2.4 - Initi!le bres met diepte ho en gemiddelde breedte bo

=

r ho (r

=

koppelingsfactor).

- Er stroo.t water uit het bekken door de inltiele bres. De snelheden

zijn dusdanig groot dat de bekleding van het buitentalud geen weerstand

biedt tegen deze snelheden en de ondergravingen a.g.v. deze snelheden.

- Als gevolg van de kruinsverlaging in het stroomgat zal ook het

binnentalud worden aangetast. Er wordt aangenomen dat deze

aantasting momentaan verloopt met de kruinsverlaging en dat de

bescherming van het binnentalud (= asfalt) stroomopwaarts van het

stroomgat nog intact is.

2.3 Doelstelling

De doelstelling van het onderzoek is een model dat, uitgaande van een initiAle bres in de dijk van een PAC-bekken, de groei van het strooagat en het verloop van het uitstrooedebiet aCt) in de tijd beschrijft. De .azi.ale vaarde van a is hierbij een belangrijke grootheid.

(14)

3. UITGAHGSPOHTEH EH RESULTATEN PAC-RAPPORT

In dit boofstuk worden de uitgangspunten, de aanpak van het probleem en de resultaten als beschreven in het PAC-rapport kort samengeva t.

In par. 3.1 van dat rapport gaat Voogt, zie ook lito [4], in op de probleaatiek van gatgroei (par. 3.2.1) en uitstrooadebiet aCt) (par.

3.2.2). Daarbij wordt uitgegaan van een initieel oneindig smalle spleet over de volle~ige hoogte van de dijk.

Er wordt nu t.a.v. de groei van deze initiale spleet in diepte- en breedterichting het volgende geconcludeerd:

1. Voor de groei in diepterichting is het mogelijk een afschatting te geven naar analogie van de ontgrondingskuil-theorie. Deze groei verloopt recht evenredig aet

\f1t.

2. De ontgrondingskuil draagt niet bij tot de afvoer aCt) uit het bekken en wordt verder niet meer in beschouwing genomen.

3. Het berekenen van het erosieproces in de breedterichting met zandtransportformules lijkt weinig zinvol bij deze hoge stroomsnelheden.

4. De groei in de breedterichting kan worden beschreven aet:

b(t)

=

B

\f02'

voor t ~ 2 uur • (3.1)

waarin B

=

eindbreedte van het stroomgat, t

=

tijd in uren. De eindbreedte B wordt afgeschat uit een gatbreedte/dijkhoogte-verhouding van ongeveer 7, welke werd waargenomen na de doorbraak van de Oros-dam in Brazili! in 1960 (vergelijkbaar reservoirinhoud). Deze verhouding komt overeen met de bresbreedte/bresdiepte-verhouding van de strooagaten van twee dijkdoorbraken in de Wieringermeer in de Tweede Wereldoorlog (door het geringe verval geen vergelijkbare situaties). Voor een PAC-bekken in het IJsselmeer aet een waterdiepte van 40 m geeft dit dan een B van ongeveer 300 a.

Vervolgens wordt met een koabergingsbeschouwing voor bet bekken en de foraules voor de volkomen of onvolkomen overlaat een aantal

berekeningen uitgevoerd voor een hoog bekken (Hw

=

40 m, A

=

20 z 106 m2) en een laag bekken (Hw

=

24 a, A = 50 z 106 m2) aet B

=

300 a en 600 •. Hierbij wordt verondersteld dat voor t ) 2 uur: bet)

=

B. De resultaten van deze berekeningen zijn in tabel 3.1 weergegeven.

(15)

-14

-B [a) _<lux [a3/s) T [uren) taax [uren]

hoog bekken laag bekken hoog bekken laag bekken boog bekken laag bekken

300 73000 56000 7.2 17.0 1.0 2.0

600 116000 90000 3.9 8.8 0.7 1.3

Tabel 3.1- R~sultaten berekeningen in het PAC-rapport v.w.b. 0aax' T en t.ax; T

=

tijd

0_

het bekken geheel te ledigen; taax

=

tijd waarop

°

=

O_ax'

Een praktijkformule voor 0max' afkomstig van het U.S. Bureau for Reclaaation, gebaseerd op waargenomen debieten tijdens daadoorbraken en van toepassing op reservoirs met een inboud/diepte-verhouding

overeenkoastig het PAC-bekken, luidt:

Q = 0.54 H

VA

max W

(3.2)

Toepassing van .deze formule op de varianten hoog en laag bekken geeft

respectievelijk O_ax

=

97000 m3/s en 0aax

=

92000 _3/s, betgeen goed

overeenkoat met de waarden voor 0max in tabel 3.1 in geval B

=

600 a.

Het opvallende van deze formule is dat er op geen enkele wijze in tot

uitdrukking komt de invloed van de oorzaak van de daabreuk, bet

materiaal waaruit de dam is opgebouwd en de breedte van bet gat. Naast Hw en A is 0aax alleen nog afbankelijk van de inboud/diepte-verhouding van bet reservoir (er geldt een andere formule voor andere waarden van deze verhouding).

(16)

4. BESCHRIJVING VAN DE EXPERIMENTEN

4.1 Inleiding

Teneinde inzicht te verkrijgen in het aechanisae van dijkdoorbraak zijn drie experiaenten uitgevoerd in het Laboratoriu. voor

Vloeistofaechanica van de Faculteit der Civiele Techniek. Het naae a.g.v. het snelle verloop van de dijkdoorbraak in de proeven was bet niet mogelijk snelheden, waterdiepten en het verloop van de gatgroei in breedte- en diepterichting te .eten. Van de proeven zijn daaroa video-opnaaen geaaakt. De video-opnaaen van de eerste twee proeven tonen de groei van het stroo.gat in breedterichting. De video-opname van de laatste proef laat de gatgroei in diepterichting zien.

In alle proeven werd hetzelfde dijkprofiel toegepast, zie fig. 4.1. Het dwarsprofiel bestond steeds volledig uit zand. De waterdiepte bovenstroo.s werd constant op ongeveer 0.60 • gehouden, de benedenstrooase waterdiepte bij aanvang van de proeven was nihil.

0.20

t-f

Fig. 4.1 - Dwarsprofiel van de dijk in de drie proeven (.aten in .eters).

4.2 Experiment 1

Deze proef vond plaats in een golfbassin met een beschikbare hoogte van 0.65 m, een lengte van 34 • en een beschikbare breedte van 14 •. De dijk, met een lengte van 6 m, werd opgebouwd .et ongewassen

(d.w.z. ook slibdeeltjes bevattend) z.g. Trip-Popken zand, dSO = 100 ~., zie fig. 4.2. Op de kruin, in het midden van de dijk werd een kleine

(breedte

=

20 ca, diepte

=

3 ca, lengte

=

kruinbreedte) initi~le geul geaaakt.

(17)

-16-34.00 golfmachine

,-

5.00

..

overlaat I

_r1

r-

_...

I I .... I _~8 COl I COl c:

.

..

c: a .... 0 I , -a ...

...

0 ... _'-l _V ... " I ... ... • .... c:

"

_I ....

,

I I 19.50 10.00 I2.50 • I 1I

Fig. 4.2 - Positie dijk in het golfbassin (maten in .eters).

De proef werd gestart met het geleidelijk verhogen van de

waterdiepte in het bekken tot 60 cm. De proef verliep daarna als volgt: - water stroomde over de dijk in de initiale geul (t

=

0, t

=

tijd in

seconden) ,

- op het buitentalud stroomde het water af door een ongeveer 25 ca brede geul, waarin zich op t

=

30 s anti-duinen vormden,

- er vond erosie in de geul op het buitentalud plaats met lokaal zeer grote ~ellingen (zie fig. 4.3); het debiet was nog betrekkelijk gering, de zijdelingse hellingen waren ook groot of zelfs negatief,

- vanaf het ma.ent dat de terugschrijdende erosie het hoogste punt van de dijk bereikte (t

=

80 s) vond verlaging van de kruin plaats, - naarmate de kruin lager werd ontstond er vanaf t

=

110 s steeds meer

(18)

een cirkelvormige overlaat, waarvan de kruin steeds lager werd, - de breedte van de geul werd groter, met name door zijdelingse

instortingen van grote hoeveelheden zand: op t • 140 s was de breedte van de geul nabij de kruin van de dijk ongeveer 0.5 a,

- vanaf t • 160 s naa bet debiet snel toe,

- op t

=

210 s was de breedte van de geul nabij de kruin van de dijk ongeveer 1.2 a, op t • 240 s ongeveer 1.7 a,

- het maximale debiet bedroeg ongeveer 800 lIs,

- op t

=

280 s was er nauwelijks verval Deer a.g.v. verlaging van de waterstand in bet instroomgedeelte van het bassin en een verboging van de waterstand in bet uitstroomgedeelte; door instortingen naa de

breedte van de geul nog iets toe,

- vanaf t

=

330 s geen erosie of instortingen meer: de eindbreedte van de geul bedroeg ongeveer 2.5 ••

Na afloop van de proef was nog een restant van de cirkelvormige overlaat aanwezig. Fig. 4.4 toont het dwarsprofiel van het strooagat nabij de kruin van de dijk na afloop van de proef. Deze scbets is

~ 2.5 m

a

o

~

o

Fig. 4.4 - Dwarsprofiel van het uiteindelijke strooagat bij de kruin van de dijk in ezp. 1.

gemaakt aan de hand van een aantal foto's van bet uiteindelijke strooagat. Alleen bij de kruin waren de hellingen nog groot.

De bovenvermelde schattingen van de breedte van het stroomgat nabij de kruin op verscbillende tijdstippen zijn gedaan •• b.v. de video-opnamen. Fig. 4.5 toont het verloop van deze breedte in de tijd.

Tijdens de proef ontstonden vertikale insnijdingen in bet buitentalud met hoogten van 10 tot 15 cm. Deze insnijdingen

(19)

-18 -b Cm]

• •

waarneming 3

-

.

...

2 _'"... .-

.

""

'" , ",.'"

.~

~~ [sJ

__

-

_t t 100 200 300 0

-Fig. 4.5 - Breedte b van het stroomgat bij de (oorspronkelijke) kruin van de dijk op verschillende tijdstippen iilexpo 1.

als gevolg waarvan de breedte van de geul op het buitentalud in eerste instantie en de breedte van het stroomgat in tweede instantie

stapsgewijs toenamen. Bij een geometrische schaal faktor van 70/0.6

=

117 zouden in het prototype vertikale wanden met een hoogte van 10 tot 17 m aanwezig geweest zijn. Deze zeer hoge vertikale wanden zijn Dok

wel in de praktijk geconstateerd. b.v. bij de "Teton Da. failure" in Idoha (U.S.A.) in 1976. zie lito [8]. Het damlichaa. van de Teton Dam bestond echter uit klei. zand, slib. grind en stenen, geen cohaesie-loos aateriaal dus. Ook het in expo 1 gebruikte ongewassen Trip-Popken zand bevatte wat slibdeeitjes.

4.3 boeri_nt 2

Deze proef vond plaats in een goot met een beschikbare hoogte van 0.70 m. een lengte van 10 m en een breedte van 0.50 m. Teneinde een indruk te verkrijgen van aogelijke schaaleffecten. is deze proef

uitgevoerd lietzilverzand. dSO"" 200ua, De afstand van de teen van het buitentalud tot het einde van de bodem van de goot bedroeg 0.50 m. Deze afstand werd tot het 10 cm hoge opstaande randje aan het einde van de goot opgevuld aet zand, zie fig. 4.6. De af.etingen van de initi!le geul waren: breedte

=

10 cm. diepte ~ 3 cm, lengte

=

kruinbreedte.

De proef werd weer gestart met het geleidelijk verhogen van de

(20)

0.20 H

einde bodem goot ~

.

..

.

. '

~I

o

5.00 ~ 0.50 ~

Fig. 4.6 - Dwarsprofiel van de dijk op t

=

0 in ezp. 2 (maten in .ters) .

- water stroomde over de dijk in vooraf geaaakte geul (t = 0), - op bet buitentalud stroomde het water in een snel dieper wordende

geul, die op t

=

30 s ongeveer IS ca breed was; de zijwanden van de geul stonden ongeveer vertikaal,

- in tegenstelling tot ezperiaent I vor~en zich nauwelijks anti-duinen,

- bij geuldiepten van ongeveer IS ca stortten zijdelings van tijd tot tijd en eerst onderaan (op t

=

40 s) grote hoeveelheden zand in de geul,

- geul werd snel breder tot breedte goot, eerst bij de teen op t

=

80 s. vervolgens bij de kruin op t

=

90 s.

- er vond nu een snelle verlaging van de kruin plaats; de opname van sedi.ant begon op geringe afstand voor de kruin: de toename van het sediaenttransport vanaf dit punt was duidelijk te constateren; beneden op het buitentalud bevatte echter slechts de onderste helft van de vertikaal zand in suspensie, zie fig. 4.7.

- op t s 180 s was de gehele dijk verdwenen.

Fig. 4.7 - Snelle verlaging van de kruin in ezp, 2 op t =140 s: beneden aan het buitentalud bevatte slechts de onderste helft van de vertikaal zand in suspensie.

(21)

c

B A

~-:

einde bodem goot

!

2.08 0.32 0.20 0.20 0.80 1.40 2.00

Fig. 4.8- Dwarsprofiel van de dijk op t = 0 in expo 3 (maten in

meters).

c

B A

t·12

t·ISS t·121 t·111 t·102 t·90 t •S2

Fig. 4.9 - Dwarsprofiel van de dijk op ver~chill~nJe tijdstippen in

expo 3 (tin seconden).

I

N o

(22)

4.4 Experiment 3

Deze proef vond plaats in dezelfde goot als expo 2. De wanden van deze goot bestaan uit glas, zodat bet mogelijk was video-opnamen van opzij te maken. Op drie verschillende plaatsen langs de goot werden

vertikale millimeter-verdelingen aangebracht (bij A, B en C in fig. 4.8), teneinde het verloop van het dwarsprofiel van de dijk in de tijd m.b.v.

de video-opname te kunnen reconstrueren.

De dijk werd opgebouwd volgens fig. 4.8 met gewassen (d.w.z. geen slibdeeltjes meer bevattend) Trip-Popken zand, d50 z: 100flm. De afstand van de teen van het buitentalud tot bet einde van de bodem van de goot bedroeg 2.00 m. Het deze proef werd beoogd een volledig

twee-dimensionale situatie te bewerkstelligen: er werd dan ook geen initi~le geul in de kruin van de dijk gemaakt.

De proef werd weer gestart met bet geleidelijk verhogen van de waterdiepte bovenstrooms van de dijk tot 60 cm. Door nu vervolgens deze waterdiepte snel te verhogen tot ongeveer 63 cm, ontstond een stroming over de kruin van de dijk over de volledige gootbreedte (t

=

0). Het behulp van de video-opnamen heeft een vrij nauwkeurige

reconstructie van bet verloop in de tijd van het dwarsprofiel van de dijk kunnen plaats-vinden, zie fig. 4.9:

- tot t

=

25 5 vond alleen erosie van het buitentalud plaats, - vanaf t

=

25 s vond ook verlaging van de kruin plaats,

- slecbts een laag water, met een dikte van ongeveer de helft van de lokale waterdiepte, bevatte in de superkritische stroming zand in suspensie, zie ook fig. 4.7; dit verschijnsel verdween bij verdere kruinsverlaging (globaal na t

=

90 s) wanneer door benedenstroomse

z

[m] 0.30 •• waarneming Zo- o.6o+---.,.- _._ ... " ~--+-4+-0----8+0---+-+-... ...t (sJ to 120 te 160

(23)

-22

-opstuwing de stroomsnelheden kleiner werden,

- op t

=

155 s was de gehele dijk verdwenen.

Het verloop van de kruinhoogte i (t.o.v. de bodem van het bekken)

in de tijd kan bepaald worden m.b.v. fig. 4.9. Dit verloop is in fig.

4.10 weergegeven; Zo

=

oorspronkelijk kruinhoogte

=

0.60 a, op t

=

to

begint de kruinsverlaging.

4.5 Effect afwezigheid taludbescherming in de proeven

Het dwarsprofiel van de dijk bestond in de proeven steeds volledig

uit zand, terwijl in de praktijksituatie de taluds beschermd zijn, zie

fig. 2.3. Het is niet te verwachten dat om deze reden de proeven de

situatie in het prototype niet goed zouden weergeven.

Allereerst zal in de praktijk de bekleding van het buitentalud

weinig weerstand bieden tegen de grote stroomsnelheden op dit talud.

Verder kan uit fig. 4.9 en 4.10 opgemaakt worden dat in de proeven de

zandopname op het binnentalud niet groot was en dat de erosie van het binnentalud zich voornamelijk afspeelde bij de zich tegen de stroming

in verplaatsende kruin (zie ook par. 6.2 tI. 6.4). Dit komt overeen met

de situatie in bet prototype waar zandopna.e op het binnentalud in bet

geheel niet mogelijk is door de asfaltbekleding. Erosie van het

binnentalud vindt dan plaats bij de kruin door het begeven van de

(24)

5. ZANDTRAHSPORT VOLGENS OE METHODE BAGNOLO

5.1 Inleiding

In hoofdstuk 6 wordt een theoretisch model voor de groei van het stroomgat beschreven. Essentieel in zo'n aodel is het opna.emechanisae en transport van het sediment. De snelheden die ontstaan in een

stroomgat van'de dijk van een PAC-bekken zijn dusdanig groot, dat de meeste zandtr~nsportformules niet toepasbaar zijn.

Bakker (91 geeft aan dat de methode Bagnold (6,101 aantrekkelijke mogelijkheden biedt, daar in deze methode wordt uitgegaan van

energiebeschouwingen, zodat naar een maximum gezocht kan vorden. Verder omvat de methode Bagnold zowel het bodemtransport als het

suspensie-transport, echter voor wat betreft het suspensietransport alleen het transport bij volledig onwikkeld suspensie (evenwichtstransport)

In dit hoofdstuk wordt de methode Bagnold allereerst kort samen-gevat. Hierbij is gebruik gemaakt van de kortere (dan door Bagnold zelf) afleidingen van Bakker (91 en Yalin [lIl. Vervolgens wordt de methode Bagnold aangepast aan de onderhavige situatie, d.w.z. de invloed van de taludhelling wordt verdisconteerd en een formulering voor het opnamemechanisae van het suspensietransport wordt opgesteld.

5.2 Bode.transport

De per tijdseenheid en per eenheid van breedte door de stroming verbruikte energie wis:

w

=

T U

b (5.1)

waarin Tb

=

schuifspanning aan de bodem en u

=

diepte-gemiddelde stroomsnelheid. Substitutie van

u = cv;;i en (5.2)

(5.3)

in (5.1) geeft

(25)

-24-met C

=

Ch~zy-co!ffici!nt, a

=

waterdiepte, i

=

verhang, Pw

=

soortelijke massa van water en g

=

versnelling van de zwaartekracht.

Het bodemtransport sb wordt door Bagnold [6] gedefinieerd als het ondergedompelde gewicht Gb van het zich nabij de bodem verplaatsende sediment per eenheid van oppervlakte vermenigvuldigd met de gemiddelde

snelheid ub van dit sediment:

(5.5)

De dimensie van Sb is [N/ms] of [kg/s3], evenals van w.

Bagnold (10]heeft in een eerdere publikatie een wrollend tapijt conceptW ge!ntroduceerd: als de schuifspanning aan de bodem toeneemt, kan de bovenste laag dansende korrels een volgende laag meenemen,

waardoor een tapijt van een aantal lagen dik als bode.transport kan ontstaan. Bagnold [6] stelt dat dit rollend tapijt (sediment +

omringend water) met maximale efficiency wordt getransporteerd als 1/3 van de per tijdseenheid door de stroming verbruikte energie hiervoor benut wordt. Een deel van dit vermogen wordt besteed aan de

verplaatsing van de korrels, de rest aan de verplaatsing van het omringende water. Aldus vindt Bagnold voor het bodemtransport een efficiency factor eb ~ 0.11 10.15 (afhankelijk van het getal van

Reynolds). Het door de beweging van de korrels gedissipeerde vermogen is dan:

(5.6)

waarin ~

=

interne wrijvingshoek van het korrelaateriaal; Bagnold suggereert hiervoor een waarde van 320 (tg ~

=

0.63).

Vergl. (5.6) geldt voor het sedimenttransport op een (vrijwel) horizontale bodem. Voor het bodemtransport op een talud (met

hellingshoek

e

met de horizontaal) geldt (zie fig. 5.1):

eb w + Gb sin

s '\

= Gb cos8 tg ~ '\

'---v--'

(5.7)

vermogen

maximaal mogelijke reactiekracht geleverd door de aanliggende korrels vrijkomend

(26)

Fig. 5.1 - Krachten op een talud.

Sb = (tg cp - tg S) cos S w [Nlmsl . (5.8)

Afgezien van de tet'm cos S in de ncener , komt (5.8) overeen met de door Bakker [91 afgeleide vergelijking voor sb'

5.3 Suspensietransport

Het suspensietranspot't ss' wordt door Bagnold [6] gedefinieerd als het ondergedompelde gewicht Gs van de korrels in suspensie per eenheid van oppervlakte vermenigvuldigd met de gemiddelde snelheid Us van dit sediment:

(5.9)

In geval van een horizontale bodem is de arbeid is' benodigd om de korrels in suspensie te houden, gelijk aan:

Ws

=

Gs w

=

G u ....!.. = s ....!.. = s w

s s Us s Us s u (5.10)

waarin w

=

valsnelheid van de korrels en Us

=

u in geval van uniforme concentratie, zie Yalin [lOl.

Voor een talud met hellingshoek S gaat (5.10) over in:

w 2

Gs cos S w cos S = Ss ti cos S (5.11)

Als er

=

efficiency factor waarmee het rollend tapijt wordt getransporteerd (er

=

1/3), dan is er aan vermogen voor het suspensietransport nog beschikbaar:

(27)

-2

6-(5.12)

Noem de efficiency factor van bet suspensietransport es. Dan geldt:

(5.13)

Voor volledig ontwikkeld suspensietransport in turbulente stroming geeft Bagnold.(6] een efficiency factor es

=

0.015, d.w.z. e

=

0.01. De vergelijking voor het suspensietransport volgt nu uit (5.11) en (5.13):

u 1

Ss = 0.01 -~ w

w cos ..,

(5.14)

5.4 Opnamemechanisme van het suspensietransport

Fig. 5.2 geeft schematiscb de onderhavige situatie van stroming en zandtransport op het buitentalud weer: x'

=

co~rdinaat langs het talud. Stroo.apwaarts van de kruin is zowel bet bodem- als suspensietransport nihil. Op de kruin (x'

=

0) ontwikkelt zich het bodemtransport direct en begint de opnallf!van sedillent in suspensie. Voor x' > la (=

aanpassingslengte) is de suspensie volledig ontwikkeld, een situatie die op een buitentalud van beperkte lengte uiteraard niet bereikt behoeft te worden. Gezien de grote stroomsnelheden is een uniforme concentratieverdeling bij volledig onwikkelde suspensie, als

verondersteld in par. 5.3, aannemelijk.

Een beschrijving van het opnameaechanisme van het

geen gesuspendeerd _teriaal:

,,

volledig ontwik -kelde lUIpensie: IS·O

..

.

..

u I 8. ·0.01W cos2 IJ lAl

.

_.

x'

Fig. 5.2 - Bodelltransporten toename suspensietransport op bet buitentalud.

(28)

suspensietransport wordt niet door Bagnold gegeven. Een eenvoudig model

voor de toename van het suspensietransport tussen x' = 0 en X'= la) welke ook in overeenstemming is met de methode Baqnold, luidt:

u 1 x'

0.01- --2- w -1

w cos S a voor 0 ~ x·~ la (5.15)

waarin la volgt uit:

(5.16 )

waarin q

=

u a

=

debiet per eenheid van breedte. Deze benadering voor la komt overeen met de (eenvoudige) bepaling van de lengte van een zandvang. In werkelijkheid verloopt het opnamemechanisme niet geheel

lineair, zie Galappatti [12J. Gezien de grofheid van de methode Bagnold

(efficiency factoren), is (5.15) met (5.16) echter een verantwoorde afschatting. Substitutie van (5.16) in (5.15) geeft:

I x'

0.01 cos i3 W

a

voor 0 ~ x'~ 1a . (5.17)

Voor de onderhavige situatie is vergl. (5.17) van toepassing i.p.v. (5.14), welke geldt voor het evenwichtstransport, omdat direct of snel na de initiêle doorbraak bij de kruin de aanpassingslengte la groter is dan de lengte I van het buitentalud. Onderstaand zal dit

aangetoond worden.

De vergelijking voor de volkomen overlaat luidt (zie ook par. 6.9):

q (5.18)

'"

waarin mo

=

coêffici!nt zIen H

=

Hw - z (zie fig. 6.1). Voor gekromde overlaten is ma maximaal 1.35; hier wordt ma

=

1.17 aangenomen. De valsnelheid w

=

0.008 mis voor zand met een dSO

=

100 ~m en w

=

0.OL4

mis voor zand met een dSO

=

200 ~m. Voor de beginsituatie geldt S =

o _

14 , H - 0.05 m (corresponderend met een waterstand van ongeveer 3 cm boven de kruin) in de proeven en stel H

=

2.5 m in het prototype. Uit

(5.16) met (5.18) volgt voor de aanpassingslengte dan respectievelijk:

- expo 1en 3 _l_a

₌

2.8 m ) 1,

- expo 2 _la

₌

1.am ( _1,

(29)

-28

-Alleen in expo 2 was gedurende korte tijd la< 1: een toename van de

waterdiepte bij de kruin van 3 tot6 cm betekent ecbter al la> 1.

5.5 Totaaltransport

De vergelijking voor het totaaltransport luidt nu:

[

eb 0.01 Xl

J

S = sb + Ss

=

(tg cf> - tg S) cos S + a cos S w [N/ms] (5.19)

De verbouding tussen het bodemtransport en het suspensietransport is:

12 a ₍₅_.₂₀₎

(tg cf> - tg a) xI

Uit vergl. (5.20) volgt dat de verhouding tussen het

bodemtransport en bet suspensietransport in de proeven overeenkwam met

die in bet prototype omdat zovel de geometrie (geen vertrokken model)

als de hoek van interne wrijving (zand met ongeveer dezelfde

korrelgrootte) goed werden weergegeven. In de proeven was beneden op het buitentalud aan bet begin van de dijkdoorbraak a -::0.02 m, tg

a

=

0.25 en x'

=

2.5 m. Dit geeft voor sb/ss

=

0.25. Na verloop van tijd werd de vaterdiepte groter, stel a

=

0.1 m, de boek a groter, stel tg S

=

0.33 en de lengte van het buitentalud kleiner, stel x'

=

1.5 m.

Dit geeft voor sb/ss: 2.7. In bet volgende hoofdstuk zal echter blijken dat ook in dit stadium van de dijkdoorbraak het

suspensietransport bepalend is voor de erosie van bet buitentalud en niet bet bode.transport.

(30)

6. THEORETISCH MODEL VOOR DE BRESGROEI EN HET UITSTROOMDEBIET

6.1 Inleiding

In dit hoofdstuk wordt een theoretisch model voor de groei van het stroomgat en de toename van het uitstroomdebiet beschreven. De in bet vorige hoofdstuk volgens de methode Bagnold afgeleide formules voor het sedimenttransport worden toegepast in dit model. De symbolen, die voor

de assenstelseis en de verschillende grootheden worden gehanteerd, zijn

weergegeven in fig. 6.1.

r, .Ó, ,

x

Fig. 6.1 - Definitie assenstelsels en grootheden;

z

=

z(x,t), z'

=

z'(x',t»,

z

=

z(x,t),

a

=

const., S

=

Set), u = u(x',t), H = Het), Hw

=

Hw(t).

6.2 Mechanisme van de groei van het stroomgat in vertikale richting

Veronderstel de twee-dimensionale situatie als weergegeven in fig. 6.2, d.w.z. met een dunne waterlaag op het buitentalud en een toestand die nog niet te veel van de begintoestand (helling 1 : 4) afwijkt. Het

debiet over de kruin wordt bepaald door Hw en

z,

de snelheid u op het

buitentalud voornamelijk door z. Indien de wrijving wordt

verwaarloosd, dan is:

2

~"'(H -z)'Vx'Vx'_u'V(x,)1/2

2g ''V (6.1)

(31)

-30

-1---...x

Fig. 6.2 - Twee-dimensionale schematisatie van de situatie die nog

niet te veel van de begintoestand afwijkt.

n

s 'V u (6.2)

met n

=

constante. Substitutie van (6.1) in (6.2) geeft:

n/2

s 'V (x') en as n/2

-I

ax' 'V (x') (6.3)

De vergelijking beschrijvende de verlaging van het buitentalud luidt:

êz ' as -+-at ax'

o

(6.4) Uit (6.3) en (6.4) volgt nu az' n/2 - 1 'V (x') at (6.5)

Nu is n

=

3 bij het bodemtransport volgens Bagnold, zie vergl. (5.8), en bij onverzadigd Bagnold's suspensietransport, zie vergl. (5.17), n

=

4 bij volledig ontwikkeld Bagnold's suspensietransport, zie vergl.

(5.14), en b.v. n

=

5 in de transportformule van Engelund-Hansen, zie Yalin (lIJ. Dus in ieder geval: n ) 2. Dan is, zie vergl. (6.5), de erosiesnelheid beneden op het buitentalud groter dan hoger op dit talud. Het buitentalud wordt dus steiler. Dit komt overeen met wat in de proeven is waargenomen, met name in expo 3 was dit goed te zien, zie

fig. 4.9. In expo 3 werd tot t

=

to

=

25 s het buitentalud steiler, zonder dat ook maar enig waarneembare verlaging van de kruin

plaatsvond. Dit laatste duidt ook op een aanzienlijk kleiner

bodemtransport in verhouding tot het suspensietransport (bodemtransport

vindt plaats met aanpassingslengte

=

nihil).

(32)

-waarde tg 80 • Het ligt voor de hand voor 80de hell ingshoek cp van het natuurlijk talud te kiezen. Als deze grenswaarde bereikt is (op t

=

to' dan wordt het probleem anders. Dan wordt az'/at constant op het

Fig. 6.3 - Buitentalud gaat niet steiler staan dan onder een hoek 80,

gehele buitentalud, zie fig. 6.3, en dus:

dz'

- 1 dt = 51 (6.6)

waarin

1

=

lengte buitentalud =

z /

sin 80 '

SI

=

zandtransport bij teen buitentalud (x'

=

1).

(6.7)

Aldus wordt voor t ~ to het proces van erosie van het buitentalud geheel bepaald door de erosie van de teen van het talud.

Indien de wrijving niet wordt verwaarloosd, zal de

stroomsnelheid u op het buitentalud niet blijven toenemen volgens vergl. (6.1) maar zal op zekere afstand lev van de kruin de

evenwichtssnelheid bereiken. Deze is volgens de wet van de Ch~zy gelijk aan:

C

Va

ev sin 8 (6.8)

waarin aev

=

evenwichtsdiepte, en voor t ~ to:

(6.9)

Nu is lev

<

1 volgens berekeningen uitgevoerd met een gedetailleerd numeriek model beschrijvende de stroming en het zandtransport op het buitentalud, het z.g. tweede numeriek model (zie par. 7.4).

(33)

-32

-verg1. (6.9). Dit betekent, zie verg1. (5.19), dat de teen van het buitentalud erodeert door opname van sediment in het suspensietransport en niet door toename van het bodemtransport, zie fig. 6.4. Het

a-O

-.

as sd' +"'ä"iT x X' - 1

Fig. 6.4 - Erosie bij de teen van het talud door suspensietransport.

suspensietransport is dus bepalend voor de erosie van de teen, dus dan ook voor de erosie van het gehele buitentalud. Het bode_transport, dat ook groter dan het suspensietransport kan vorden, heeft dus geen

bepalende rol. Dat voor t ~ to het buitentalud niet steiler wordt dan de grenswaarde tg 60 wordt wel in hoge mate door het bodelltransport

veroorzaakt, zie vergl. (5.8).

6.3 Analytische beschrijving van de bresgroei in vertikale richting

Op t = to heeft.het buitenhlud een maximal-e steilheid tg 130en is

de kruin nog niet gedaald. Indien nu, zoals hiervoor gesteld, de

helling van het buitentalud deze constante waarde blijft behouden, dan is het mogelijk een analytische beschrijving van de kruinaverlaging voor t

>/

to te geven.

Het suspensietransport aan de teen van het talud (x'

=

1) is volgens vergl. (5.15):

(6.10)

waarin sev

=

evenwichts-suspensietransport

=

Ss volgens vergl. (5.14), die liet(5.4) en 13

=

60geschreven kan worden als:

(34)

sev 0.01 2 2

C w cos 130

Pw g

4

u [N/msJ (6.11)

Bij een por Iënqehaf te p weegt 1 m3 zand onder water: (pz-pw) g (I-p) N.

In de meer handzame dimensie (m2/s) gaat (6.11) dan over in:

sev

=

0.01 2 2 u4

=

M un [m2/sJ

o (I -p) c w cos 130 (6.12)

waarin 0 (6.13)

Combinatie van (5.16), (6.6), (6.10) en (6.12) geeft:

dz' _

dt

-M w cos 130 n

--_.-::. U

q (6.1~)

De karakteristieke snelheid op het buitentalud wordt gegeven door

vergl. (6.9), die met a

=

q/u overgaat in:

2 . 1/3

u = (C q s a.n130) • (6.15)

o

90 - Cl - Ilo

Fig. 6.5 - Betrekking tussen dz en dz'.

De betrekking tussen de daling van de kruin dz/dt en de erosie van het

buitentalud dz'/dt volgt uit een eenvoudige geometrische overweging,

zie fig. 6.5:

dz sin a dz'

dt = sin (a+130) dt (6.16)

Uit (6.14) t/m (6.15) volgt nu met de overlaatformule (5.18):

dz (n - 3) /2

(35)

-34-waarin

n/3

n/3 - 1 2n/3 sin a. cos Bo (s in Bo)

k=Mm wC

sin (a.+ Bo) (6.18)

Substitutie van n = 4, de relatie tussen m en mo in (5.18)en M uit (6.12) in (6.17) en (6.18) geeft respectievelijk:

(6.19)

k

1/3 4/3

(IDa) 1/6 2/3 sina. (sinBo)

0.0082 Ó (1 _ p) g C sin (a.+ Bo) cos So (6.20)

0.0082 voor mo = 1.0, 6 = 1.65 en p = 0.4

In de praktijk in vergelijkbare situaties (zandsluitingen) gemeten

waarden van C, zie Mastbergen en Leeuwenstein [13] en Delver en

Verwoert (14), zijn kleiner (Cz 25) dan berekend volgens de

vergelijking van C voor turbulente stroming over een ruwe bodem: C

=

18 1og(12a/r'), met r'

=

bodemruwheid. C wordt daarom constant

verondersteld, waarmede ook k een tijds-onafhankelijke constante wordt.

6.4 Toetsing aan experiment 3

Het in par. 6.3 beschreven model voor de kruinsverlaging kan

getoetst worden aan het in expo 3 waargenomen verloop van zet), zie

fig. 4.9 en 4.10.

Indien de waterdiepteHw in het bekken constant is (zoals in expo 3),

dan is een eenvoudige analytische oplossing van vergl. (6.19)

mogelijk, zie bijlage A:

(6.21)

Uit vergl. (6.21) volgt ook een eenvoudige analytische uitdrukking

voor te' Op t

=

te is

i

=

O. Substitutie hiervan in (6.21) geeft:

(6.22)

Indien dus k bekend is, kan te - to berekend worden. Voor de berekening van de coêfficiênt k moet de C-waarde bekend zijn. Uit

(36)

(5.18) en 6.15) volgt met u

=

q/a:

(6.23)

In de beginfase van de proef was 8= 14°, de waterdiepte op het

buitentalud a ~ 0.02 m bij een waterdiepte op de kruin van ongeveer 3 cm

(waarneming via video-opname), d.w.z. H

=

1.5 % 0.03

=

0.045 m. Het mo

=

1.17 volgt dan uit verg. (6.23):C

=

13 m1/2/s. Deze waarde voor C

gesubstitueerd in vergl. (6.20) met a

=

14°, 80

=

~

=

320geeft k

=

0.012. Substitutie van k = 0.012 en Hw

=

0.6 m in verg1. (6.22) geeft

nu: te - to

=

129 s. Dit is (enigzins verrassend) vrijwel exact gelijk

aan de gemeten te - to

=

130 s.

Het theoretische verloop van z(t) volgt nu uit verg!. (6.21). In

fig. 6.6 is dit verloop weergegeven, alsmede ook de gemeten z(t). De

overeenkomst tussen theorie en experiment is verrassend goed.

z lm] waarneming verg!. (6.21) 0.4 0.2 ~---+~--~----+---~~---+----~----+---~~_.t [sJ 40 60 80 100 120 140

Fig. 6.6 - Waargenomen z(t) in expo 3 en theoretische zet) volgens

verg!. (6.21).

6.5 Groei van het stroomqat in breedterichtinq

Voor de berekening van de uitstroomdebieten is het doorstroom-oppervlak van de bres van essentieel belang. De modellering van de

groei van het stroomgat in breedterichting is derhalve niet minder

belangrijk dan die in vertikale richting.

Veronderstel een initi!le bres AoBoCoDo als weergegeven in fig.

(37)

-36 -~bQ'_'" I I I

-~o----..

I I D I

--1-

I b I I

1

I I I I I lh I +_F

j

__

l

1 _

(b- b ) tg! o 0 2 I

----

~

--

...

~

---b---

----

---

~

~---

---

----

b---

---~

Fig. 6.7 - Mogelijke groei van initi!le bres AoBoCoOo tot

stroomgat ABCO.

die onder natuurlijk talud (hoek ~ ) staan. Veronderstel verder dat bij

Co en Do de erosie in vertikale richting gelijk is aan die loodrecht op

het talud (d.w.z. CoE

=

CoF). Deze veronderstelling is realistisch

omdat de snelheden beneden aan de hellingen vrijwel gelijk zijn aan die

bij de bodem van het stroomgat. Hoger op de zijwaartse hellingen van de

bres zijn de stroomsnelheden kleiner a.g.v. de grotere bodemwrijving

daar. Derhalve is de erosie beneden groter dan hoger op de zijwaartse

hellingen van het stroomgat, analoog aan het erosieproces in vertikale

richting op het buitentalud als beschreven in par. 6.2. De zijwaartse

hellingen zullen echter niet steiler worden dan een zekere grenswaarde (hetgeen de zijdelingse instortingen als waargenomen in de experimenten

1 en 2 verklaard). Indien deze grenswaarde het natuurlijk talud is, dan

groeit het stroomgat uit tot ABCD, met gemiddelde breedte b:

b 120 + 2 (h - ho) tg

1

2+ h tg <p

(6.24)

-waarin h

=

diepte van de bres (= Hd - z), en grootste breedte b:

b 2h

tg <P

(38)

Indien 20 en ho klein worden verondersteld t.o.v. respectievelijk b en h, gaan (6.24) en (6.25) over in: b tg! - = 2 + ₍₆_.₂₆₎ h 2 tg<p b 2 tg

.!

2 (6.27)

11 -

+ 2 tg<p

De groei van de bres in breedterichting is dus gekoppeld aan die in de diepte (in geval van onbelemmerde groeimogelijkheden in beide

richtingen). Voor <p

=

320volgt uit (6.26) dat b/h

=

2.2 en uit (6.27)

dat blh

=

3.8.

Als het stroomgat wordt geschematiseerd als weergegeven in fig.

6.8, dan wordt op grond van het bovenstaande aangenomen dat voor to ~ t ~ te de bresbreedte met een constante factor r gerelateerd is aan de bresdiepte:

b (6.28)

met r

=

constante met een theoretische waarde van 2.2 en Hd

=

dijkhoogte.

...,______.I.t

:

j·

r

'. b·· I. H • dijkhoogte

. '

.

'

.

: ·

..~

l

Z .

'ld

.

'.' ',,~ ,~""',.~,.;.;, ".,., .. "),),"", )"'>,5') ..)....",) ..,,,,..)""" ''''''/ó,'

Fig. 6.8 - Schematisatie van het stroomgat.

6.6 Effect van de bresgroei in de breedte op de kruinsverlaging

De continutteitsvergelijking voor het sedimenttransport S over de breedte b van de geul in het buitentalud luidt:

as

ax'

ab h'

(39)

-3

8-Fig. 6.9 - Transport S in de geul in het buitentalud.

waarin h' = diepte van de geul in het buitentalud. zie fig. 6.9. en

s

s (b + 2 a) (6.30)

Analoog aan (6.28)geldt ook:

b = r'h' (6.31)

waarin r'

=

constante. Substitutie van (6.30) en (6.31) in (6.29)

geeft:

a s (b + 2 a)

ê x'

2r'h' ah' 0

at

(6.32)

Indien verondersteld wordt dat de waterdiepte a op het buitentalud nagenoeg constant is gaat (6.32)met

ah' ê z '

at

= -

at

(6.33) over in: b+2a as az' ---_ + -2 b ax' a·t

o

(6.34)

De vergelijking voor de kruinsverlaging (zie par. 6.3) wordt i.p.v.

(6.19)dan:

dz

dt = - b +2 b2a k H1/2 = - (6.35)

T.o.v. de 2-0 situatie van par. 6.2 t/m 6.4 en expo 3 gaat de

(40)

kruinsverlaging met een factor (b + 2a) /2b langzamer.

6.7 Toetsing aan experimenten 1 en 2

Het vertragende effect van de breedtetoename van de bres op de kruinsverlaging, zie vergl. (6.35), kan getoetst worden aan de experimenten 1 en 2. Dit wordt gedaan door bet breedte-effect op de tijdsverschillen te - to (zie tabel 6.1) te elimineren m.b.v. de factor

f, en de resultaten vervolgens te vergelijken met te - to als waargenomen in expo 3.

Oe factor f wordt als volgt berekend. Uit (S.18), (6.15) en q

=

u a volgt:

a = (6.36)

Hieruit volgt met m

=

2 ml/2/s, C

=

13 ml/2/s en So

=

320 (zie par. 6.4):

a

=

0.35 H. Uit (6.28) volgt met Hd

=

Hw: b

=

r(Hw -

z)

=

r H. Dit

geeft voor r

=

2.2: f

=

(b + 2a)/2b

=

0.65.

In expo 1 was op t

=

280 s nauwelijks verval meer aanwezig. Verder was er na afloop van de proef aan bet benedenstroomse eind van het stroomgat nog een restant van de "cirkelvormige" overlaat waar te nemen. Dit betekent dat het proces van kruinsverlaging van to tot te net niet voltooid werd in expo 1. E!n en ander betekent echter ook: te ::280 s, dus te - to :::200 S.

In expo 2 groeide de bres van t

=

0 tot t

=

90 s zowel in de diepte als in de breedte. Op t

=

90 s was de bresbreedte bij de kruin van de dijk gelijk aan de breedte van de goot (b

=

0.5 m). Van t

=

90 s tot t

=

180 s groeide de bres alleen in de diepte. In expo 1 was op t

=

to + 60

=

140 s de breedte b van de bres ook 0.5 m. Voor expo 2 kan dan afgeschat worden (omdat k onafhankelijk is van de korreldiameter):

to

=

90 - 60

=

30 S.

Tabel 6.1 geeft nu een overzicht van to' te en te - to in de drie proeven:

(41)

-40 -to te

I

te - to [sJ [sJ [sJ expo 1 80 280 200 expo 2 30 180 150 expo 3 25 155 130

Tabel 6.1 - to' te en to in de drie proeven.

Eliminatie van het breedte-effect op te - to van expo 1 en 2 met de factor f, zie fig. 6.10, leidt nu tot dezefde waarde voor te - to als

groeib tot 0.5 m 0 80 140 280 t expo 1 \ to '",'te \ \

,

₈₀ 1 200 / \ -f

/:

/ / ./ \ ₅₀ ₁₃₀ / / \ 1 _180/ ,0 50 _t _expo _{1 geschaald} to te naar expo 3 I I o 25 155 ~ __~ +-__.t _{expo 3}

,

I o~~~20 40~ -+__~t150 _{expo 2 geschaald} naar expo 3 I to 40 20 1 \ 1 \

r-

f: \.f I ₃₀ I ₆₀ \ I I

,

0 30 90 to \ \

,

180 ~ __-4~ -4 -+__-.t _{expo 2}

groei in de diepte+breedte groei in de diepte

(42)

waargenomen in expo 3. Dit bevestigt het vertragende effect van de breedtetoename van de bres op de kruinsverlaging als beschreven in par.

6.6. Deze overeenstemming wijst verder op een duidelijk en reproduceerbaar fysisch proces van de kruinsverlaging voor

to ~ t ~ te' De korrelgrootte heeft geen meetbare invloed gehad op de dijkdoorbraak (voor dSO ~ 100 - 200 pm), overeenkomstig vergl. (S.17).

In expo 1werd het verloop in de tijd van de breedte van het

-stroomgat nabij de kruin van de dijk (b) waargenomen, zie fig. 4.S. De koppeling van b aan de kruinsverlaging

z:

b = r (Hd -

z

)

(6.37)

met

r =

3.8 (theoretisch), zie par. 6.S, kan getoetst worden aan deze waarneming.

De waterdiepte bovenstrooms was ook in expo 1constant. Derhalve is vergl. (6.21) van toepassing, echter met een correctie voor de factor f, zie vergl. (6.3S). Vergl. (6.36) gaat dan met Hd ~ Hw over in:

- 2 2 b=rf k (t_t)2

4 0 (6.38)

Voor expo 3 is in par. 6.4 berekend: k

=

0.012. Deze waarde voor k is ook van toepassing op expo 1 (zelfde dijkprofiel, zelfde zand,

afgezien van wat slibdeeltjes in het zand bij expo 1). Substitutie van

k

=

0.012, f

=

0.6S en

r

=

3.8 in vergl. (6.38) geeft nu een

theoretisch verloop van bet) als weergegeven in fig.6.11. De overeenkomst met de waarneming tot t

=

280 s is zeer goed.

De theoretische waarde van 3.8 voor b/h is kleiner dan de gatbreedte/dijkhoogte-verhouding van 7 die werd waargenomen na de doorbraak van de Oros-dam in Braziliê en de gatbreedte/gatdiepte-verhouding van ook ongeveer 7 bij twee dijkdoorbraken in de

Wieringermeer, zie hoofdst. 3. In de praktijk zijn overigens nog wel grotere waarden dan 7 voor deze verhoudingen waargenomen (zie blz. 35 van het PAC-rapport).

De discrepantie is echter verklaarbaar. De breedte/diepte-verhoudingen van 7 werden gemeten na afloop, en niet tijdens de doorbraken. Voor de afleiding van (6.26) en (6.27) is aangenomen dat de groei van het stroomgat zowel in de breedte als.in de diepte niet

(43)

-

--~

- 42-b Cm] • • waarneming 3 vergl. (6.38) 2

---

~-

-

-200

Fig. 6.11 - Waargenomen bet) in expo 1 en theoretische bet) volgens verg1. (6.38) met

r

=

3.8.

belemmerd wordt. Deze aanname is realistisch voor

z

> O.

Indien echter de dijk ter plaatse van het stroomgat is verdwenen, zal de groei van de bres de zandbodem in (ontgrondingskuil) langzamer gaan

dan het proces van dijkerosie (zie Bakker [9]).Het is ook mogelijk dat

het ontstaan van een ontgrondingskuil vertraagd wordt (b.v. door een kleilaag) of zelfs onmogelijk is (bodem van rots). Dan zal door voortgaande groei van bet stroomgat in de breedte een uiteindelijke waarde voor bIb van 7 of nog groter bereikt kunnen worden. Eén en ander

is uiteraard sterk afhankelijk van de reservoirinhoud. Voor het

uiteindelijke stroomgat van expo 1 geldt (zie fig. 4.4): b/Hd ~ 3.5 en

b/Hd ~ 4.2 .

Het bovenstaande wordt bevestigd door waarnemingen gedaan bij de

doorbraak van de Lower Latham Dam in Colorado (USA) in 1973: de

uiteindelijke gatbreedte/damhoogte-verbouding was 14, maar ten tijde

van de maximale afvoer bedroeg deze waarde ongeveer 2 (zie blz. 35 van

het PAC-rapport).

Voor het uitstroomdebiet is niet de breedte van het stroomgat bij

de kruin van de dijk maatgevend, maar de gemiddelde breedte van bet

natte oppervlak van bet stroomgat. Daartoe is het stroomgat ook

geschematiseerd als weergegeven in fig. 6.8, met de theoretische r

=

2.2 bevestigd door expo 1 en de waarneming bij de Lower Latham

damdoorbraak.

(44)

zie par. 7.3. Oe afvoer act) word dan bepaald door de waterdiepte in bet bekken en de breedte van de wcirkelvormigeW overlaat die dan is

ontstaan. Oe breedte van deze overlaat is wat groter dan de gemiddelde breedte bet) van het stroomgat, zie par. 6.9. Op grond hiervan wordt als basiswaarde voor r een iets grotere waarde dan r = 2.2 gekozen, n.l. r

=

3. Daarnaast zijn ook berekeningen uitgevoerd met r

=

2, I"

=

4 en r

=

5.

6.8 Horfologische tijdschaal

Het proces van de dijkdoorbraak na t = to wordt·beschreven door vergl. (6.35) voor de kruinsverlaging. Oe morfologische tijdschaal nt, gede finieerd al s

t in prototype

t in model (t v.w.b. erosieproces) (6.39)

kan voor t ~ to afgeleid worden uit (6.35): n-_z

-= ₍₆_.₄₀₎

Nu is nH = n

z

=

nz

=

vertikale lengteschaal omdat op de kruin

geldt: Froudegetal

=

1, zowel in het model als in het prototype. Door de meetkundige gelijkvormigheid van het dijkprofiel volgt uit (6.20):

nk

=

nc

2/3. Omdat ne ~ 1 is nf niet exact gelijk aan 1, zie berekening van f in par. 6.7, maar wel geldt: nf

=

1. Vergl. (6.40) wordt nu:

(6.41)

Voor nz = 70/0.6 en ne = 25/13 volgt uit (6.41): nt

=

7.0. Dit geeft voor te - to

=

200 s in het model: te - to

=

23.3 min in het prototype, overeenkomend met te - to

=

23.5 min volgend uit ber. nr. 14

in par. 7.3.

Vergl. (6.41) geldt ook voor t < to' Dit kan aangetoond worden m.b.v. vergl. (6.4), (5.17) met (5.4),5.18) met q

=

u a en (6.8).

Hierbij wordt de wrijving uiteraard niet verwaarloosd.

De morfologische tijdschaal (6.41) kan gezien worden als het produkt van de schaal voorwaarde van Froude voor geometrische

(45)

-44-gelijkvormige modellen (nt

=

nz1/2) en het effect van de schaal voor de ruwheid.

6.9 Uitstroomdebiet

De maximale uitstroomdebieten treden op bij nog hoge waterstanden in het bekken (zie par. 7.3). De afvoer is dan ongestuwd (volkomen), en het debiet per eenheid van breedte q wordt gegeven door vergl. (5.18):

(6.42)

waarin m_o

=

_.coêfficiênt ~ 1. Deze coêfficiênt mo is afhankelijk van de

vertikale kromming van de overlaat en de wrijving over de overlaat. De maximale uitstroomdebieten treden op voor

z

<

0: de overlaat is dan niet meer gekromd. Verder is de wrijving uitsluitend van belang voor

zeer lange overlaten. Derhalve geldt: mo

=

1. Het uitstroomdebiet Q

volgt nu uit (6.28) en (6.42):

Q q b m r (H -

z

)

H3/Z

d (6.43)

De contractie is hierbij verwaarloosd daar deze in geval van een eroderende overlaat met afgeronde zijkanten niet groot zal zijn

(contractie is ook niet geconstateerd in expo 1).

In het PAC-rapport wordt ook de overlaatformule (6.42) toegepast, d.w.z. afvoer volgens Bernoulli. Daarnaast wordt in het PAC-rapport gewezen op de theorie van Stoker [15) voor het klassieke geval van een

instantane en complete doorbraak van een dam in een zeer lang kanaal

(d.w.z. een schot met aan weerszijden verschillende waterstanden dat momentaan opgehaald wordt). Als gevolg van de negatieve translatiegolf in het kanaal is de afvoer ter plaatse van de dam maximaal ongeveer 55%

van die volgens de overlaatformule. De overlaatformule geeft dan in ieder geval een veilige waarde.

Om twee redenen is de theorie van Stoker [15] hier echter niet van toepassing. In de eerste plaats vanwege de relatief lange tijdsduur benodigd voor het ontstaan van de bres in de dijk (zie hoofdst. 7),

terwijl Stoker uitgaat van instantane volledige dijkdoorbraak: de

dubbele looptijd van de negatieve translatiegolf in een bekken met een diameter van 4500 m is veel kleiner dan de tijdspanne waarin de dijk verdwijnt (te)' In de tweede plaats geldt de theorie van Stoker voor

(46)

een twee-dimensionaal geval (voortplanting in een vallei), en niet voor de onderhavige drie-dimensionale situatie, waarin door zijdelingse

toestroming de hoogte van de negatieve translatiegolf snel zal afnemen.

De daling van de waterdiepte Hw in het bekken volgt uit de continu!teitsvergelijking:

dHw

A- = - Q

dt (6.44)

waarin A = bekkenoppervlakte. Omdat Hw = H + z, kan e6.44) ook

geschreven worden als: dH

-d_t +

_.9.

_A (6.45)

Substitutie van (6.19) en (6.43) in (6.45) geeft nu:

dH m r - 3/2 1/2

dt = - A (Hd - z) H + k H

'----y--..J

(6.46)

I II

Deze vergelijking vormt met (6.35) een gekoppeld stelsel

differentiaal-vergelijkingen met H en

z

als op te lossen onbekenden. Als Het) en

zet) bekend zijn volgt aCt) uit (6.43).

Vergl. (6.46) laat zien dat H (en dus ook het debiet 0) op twee manieren worden be!nvloed:

- via term I, voorstellend de bekkendaling; deze term gaat naar nul als A oneindig groot wordt,

- via term 11, voorstellend de kruinsverlaging.

6.10 Afvoer indien

z

<

0

...

Zolang t < te is z > 0 en is de bresbreedte gekoppeld aan de

bresdiepte, zie vergl. (6.28). De maximale uitstroomdebieten treden

echter op nadat

z

< 0 is geworden, zie par. 7.3. Het ligt voor de hand

de berekeningen na t

=

te tot t

=

tmax voort te zetten als voor

to ~ t ~ te' d.w.z. met een fictieve negatieve

z

volgend uit (6.35).

Hierbij wordt een meest extreme situatie beschreven waarbij het

uitstroomdebiet een meest extreme waarde kan bereiken. In werkelijkheid

(47)

-46-Een nauwkeurige bepaling van de groei van de ontgrondingskuil is ook uitsluitend van belang voor de bepaling van de breedte van de bres en niet voor het uitstroomoppervlak. Immers de ontgrondingskuil draagt niet of nauwelijks bij tot de afvoer act) uit het bekken, zie ook conclusie 2 in hoofdst. 3. De afvoer act) bij

z (

0 wordt bepaald door de waterdiepte in het bekken en de breedte van de "cirkelvormige" overlaat die dan is ontstaan:

Q _~3/2 <6.47)

waarin bc

=

breedte van de cirkelvormige overlaat, zie fig. 6.12.

b c \ \ I b(t) \ kruin dijk _II \\ I b(t) Fig. 6.12 - Cirkelvormige overlaat.

Indien deze overlaat een zuiver cirkelvormige vorm heeft en de taluds van de bres vertikaal staan geldt: be

=

<~/2)/b

=

1.6 b. In geval de taluds van het stroomgat niet vertikaal staan, maar b.v. onder natuurlijk talud, kan er aangetoond worden dat indien de diepte van de ontgrondingskuil t.p.v. de teen van het binnentalud van de dijk niet groter is dan de dijkhoogte Hd dat dan de breedte van de cirkelvormige overlaat niet groter is dan 1.6 b. Gedurende het gehele proces van de dijkdoorbraak zal de breedte van de overlaat dus vari!ren tussen b en

1.6 b. Dit is in rekening gebracht door de basiswaarde van r te verhogen van 2.2 tot 3.

(48)

6.11 Discussie

Het in dit hoofdstuk beschreven theoretisch model voor de bresgroei en het uitstroomdebiet komt zeer goed overeen met de

resultaten van de experimenten, dit ondanks de betrekkelijke eenvoud van het model. Deze goede overeenkomst betreft dan:

de groei van de bres indien deze uitsluitend in vertikale richting plaatsvindt (exp. 3), zie par. 6.3 en 6.4,

- het vertragende effect van de groei in breedterichting op die in de diepte (exp. 1 en gedeelte van expo 2), zie par. 6.6 en 6.7,

- de koppeling van de groei in de breedte met een constante factor r aan die in de diepte voor to~ t ~ te' alsmede de grootte van r, zie par. 6.5 en 6.7,

- de grootte van het debiet Oe op t

=

te' zie par. 7.3.

De analyse van de experimenten v.w.b. de tijdsduren te - to m.b.v.

het theoretisch model laat zien (in par. 6.7) dat de experimenten goed met elkaar in overeenstemming zijn, hetgeen wijst op een duidelijk en reproduceerbaar fysisch proces van de dijkdoorbraak.

In vergl. (5.17) voor het suspensietransport inclusief opname-mechanisme ontbreekt de valsnelheid. De experimenten bevestigen dat de korrelgrootte geen meetbare invloed heeft gehad op de kruinsverlaging

(49)

-48

-7. NUMERIEKE OPZET EN BEREKENINGSRESULTATEN

7.1 Inleiding

Uitgaande van de in het vorige hoofdstuk gegeven formulering voor de bresgroei en het uitstroomdebiet, is een numeriek model voor de dijkdoorbraak opgezet. In dit hoofdstuk worden de numerieke opzet en de met dit model verkregen resultaten beschreven.

Een resum~ van de belangrijkste kenmerken van het model luidt:

1. Het model is toepasbaar na versteiling van het buitentalud, waarbij de top nog niet is gedaald, d.W.Z. voor t ~ to'

2. Het transport van sediment over de top is nul en het transport aan de teen bepaalt de erosie van het buitentalud.

3. Het transport wordt beschreven met het zandtransport-concept van Bagnold [6), aangevuld met een aanpassing i.v.m. de helling en een

lineaire toename van het suspensietransport a.g.v. de nog niet bereikte evenwichtssituatie.

4. De helling van het buitentalud blijft verder constant (= 60),

S. De bresbreedte/bresdiepte-verhouding r is constant zolang de dijk niet is wegge!rodeerd.

6. Het uitstroomdebiet wordt berekend met een volkomen overlaatformule.

7. Als de dijk geheel is weggeêrodeerd

(

z

=

0) neemt de bresbreedte b(t) met dezelfde snelheid toe als daarvoor.

7.2 Numeriek model

Het stroomschema van het numeriek model is weergegeven in bijlage B.I (inclusief de betreffende vergelijkingen). Bijlage B.2 bevat de listing van het programma, dat in Fortran is geschreven.

Het programma stopt als

°

maximaal is. De berekening kan

doorgezet worden, b.v. om te bepalen wanneer het bekken is leeggelopen. De nauwkeurigheid zal echter na t

=

tmax sterk afnemen. Het programma

is immers gebaseerd op het proces van kruinsverlaging tot t

=

te als beschreven in hoofdst. 6 en als waargenomen in de experimenten. Voortzetting van de berekening tot t = tmax (waarop

°

= 0max) is nog wel verantwoord indien 0max niet veel groter is dan Oe op t

=

te' zie ook par. 7.3.

Na t

=

tmax zal het programma pas nauwkeurige resultaten kunnen geven indien het proces van de groei van de ontgrondingskuil en de