Zadanie Odpowiedź B A D C C C B C D C D C A

(1)

1

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

KRYTERIA OCENIANIA – POZIOM PODSTAWOWY

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Odpowiedź B A D C C C B C D C D C A

Zadanie 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Odpowiedź B A B C C B C B A D C A

ZADANIA OTWARTE Zadanie 26. (2 pkt)

Głośność (w dB) obliczamy ze wzoru

0

log 10 I

D  I

, gdzie 𝐼₀ = 10^{−12 𝑊}

𝑚². Oblicz głośność krzyku niemowlęcia, dla którego natężenie

I

= 10^-4 ^𝑊

𝑚² .

Obliczenie ilorazu¹⁰

−4 10⁻¹²: ¹⁰⁻⁴

10⁻¹² = 10⁸ 1p

Obliczenie głośności D: 𝐷 = 80 𝑑𝐵 2p

Uwaga. Jeżeli uczeń popełni błąd rachunkowy w obliczeniu ilorazu i konsekwentnie do uzyskanego wyniku obliczy głośność D (ale nie uzyska wyniku ujemnego) to za całe zadanie może otrzymać 1 pkt.

Zadanie 27. (2 pkt)

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8, 9} losujemy kolejno bez zwracania trzy liczby, zapisujemy je w kolejności losowania i tworzymy liczbę trzycyfrową w taki sposób, że pierwsza wylosowana liczba jest cyfrą tysięcy, druga jest cyfrą dziesiątek, a trzecia – cyfrą jedności.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, że otrzymana liczba trzycyfrowa jest podzielna przez 4. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A : |Ω|=9∙ 8 ∙ 7 = 504 𝑖 |𝐴| = 7 ∙ 16 = 112

1p

Obliczenie prawdopodobieństwa P(A): P(A) = ¹¹²

504 = ²

9 2p

(2)

2 Uwaga.

1. Wystarczy, że uczeń zapisze:|Ω|= 9∙ 8 ∙ 7 𝑖 |𝐴| = 7 ∙ 16.

2. Jeżeli uczeń nie skróci ułamka, to za całe zadanie może otrzymać maksymalnie 1 pkt.

3. Jeżeli uczeń otrzyma P(A)>1,to za całe zdanie otrzymuje 0 pkt.

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Wykaż, że stosunek obwodu większego z tych okręgów do obwodu mniejszego jest równy3 + 2√2.

 Wyznaczenie długości odcinka 𝐶𝐵 w zależności od 𝑟 𝑖 𝑅 w trójkącie 𝐶𝐾𝐵:|𝐶𝐵| = 𝑟√2 + 𝑟 + 𝑅

albo

 Wyznaczenie długości odcinka 𝐴𝐵 w zależności od 𝑟 𝑖 𝑅 w trójkącie 𝐴𝑆𝐵:|𝐴𝐵| = 𝑟 + 𝑅

1p

Obliczenie stosunku obwodu okręgu większego do obwodu okręgu mniejszego:

2𝜋𝑅 2𝜋𝑟 =^𝑅

𝑟 = 3 + 2√2

2p Uwaga.

Jeżeli uczeń w trójkącie CKB przyjmie |𝐶𝐵| = 2𝑟 + 𝑅 za całe zadanie otrzymuje 0 pkt.

(3)

3 Zadanie 29. (2 pkt)

Rozwiąż nierówność x² – (3 – x)(x + 2) ≥ 4.

Obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: 𝑥 = −2, 𝑥 = ⁵

2

1p

 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności w postaci: 𝑥𝜖(−∞; −2⟩ ∪ ⟨⁵

2; ∞) albo 𝑥 ≤ −2 𝑙𝑢𝑏 𝑥 ≥ ⁵

2

albo

 Zaznaczenie zbioru rozwiązań na osi liczbowej

2p

Uwaga. Jeżeli uczeń popełnił błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu (ale otrzymał dwa różne pierwiastki) i podał zbiór rozwiązań nierówności konsekwentnie do popełnionego błędu otrzymuje 1 pkt.

Zadanie 30.(2 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia



cos 4

sin 3 cos

2 

wiedząc, że tg



 2 i 𝛼 ∈ (0°, 90°).

 Zapisanie wyrażenia w postaci: tg



4 3 4

2 albo

 Obliczenie wartości sinusa i cosinusa kąta 𝛼 : 𝑠𝑖𝑛𝛼 =^√6

3 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼 =^√3

3

albo

 Zapisanie wyrażenia w postaci: √2𝑐𝑜𝑠𝛼−3√2𝑐𝑜𝑠𝛼 4𝑐𝑜𝑠𝛼

1p

Obliczenie wartości wyrażenia:

2

 2 2p

Liczba naturalna 𝑛 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, a liczba 𝑚 również przy dzieleniu przez 5 resztę 2 . Udowodnij, że reszta z dzielenia iloczynu liczb 𝑛 ∙ 𝑚 przez 5 daje resztę 1.

Zapisanie liczby 𝑛 = 5𝑎 + 3 i liczby 𝑚 = 5𝑏 + 2, 𝑎 ∈ 𝑁 𝑖 𝑏 ∈ 𝑁 1 p Wyznaczenie iloczynu 𝑛 ∙ 𝑘:

𝑛 ∙ 𝑚 = (5𝑎 + 3)(5𝑏 + 2) = 25𝑎𝑏 + 10𝑎 + 15𝑏 + 6 =

5(5𝑎𝑏 + 2𝑎 + 3𝑏 + 1) + 1, (5𝑎𝑏 + 2𝑎 + 3𝑏 + 1)𝜖 𝑁 i stwierdzenie końca dowodu

2p

Uwaga. Jeśli uczeń nie zapisze, że (5𝑎𝑏 + 2𝑎 + 3𝑏 + 1)𝜖 𝑁, ale stwierdzi koniec dowodu, to za całe zadanie otrzymuje 2 pkt.

(4)

4 Zadanie 32. (4pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS krawędź boczna ma długość 6, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa ma miarę 30. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wyznaczenie długości boków trójkąta SEO (O-spodek wysokości ostrosłupa, E-środek krawędzi podstawy):

|𝑆𝐸| = 2𝐻, |𝑂𝐸| = 𝐻√3, gdzie 𝐻 -wysokość ostrosłupa

1p

Wyznaczenie długości wysokości 𝐻 ostrosłupa w zależności od długości krawędzi a podstawy ostrosłupa: 𝐻 =^𝑎√3

6

2p

Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎 =^12√21

7

3p Obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉 =^864√7

49

4 p Uwaga. Jeżeli uczeń zapisze objętość w postaci 𝑉 =¹

3(^12√21

7 )

2

∙^6√7

7 , albo 𝑉 =¹

3(^12√21

7 )

3

∙^√3

6 i na tym poprzestanie, to za całe zadanie otrzymuje 3 punkty.

Zadanie 33. (5pkt)

Ciąg (𝑏_𝑛) jest arytmetyczny i 𝑆₆₀− 𝑆₃₉ = 105, gdzie 𝑆_𝑛 oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Oblicz x, wiedząc, że liczby 1, (𝑏₄₇+ 𝑏₅₃)𝑥, 5𝑥 + 𝑏₅₀ tworzą rosnący ciąg geometryczny.

 Wykorzystanie wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego i zapisanie 𝑆₆₀− 𝑆₃₉ = 105 w postaci równania:

2𝑏₁+ 59𝑟

2 ∙ 60 − 2𝑏₁+ 38𝑟

2 ∙ 39 = 105 albo

 Zapisanie 𝑆₆₀− 𝑆₃₉ = 105 w postaci:

𝑏₁+ 𝑏₁+ 𝑟 + ⋯ + 𝑏₁+ 59𝑟 − (𝑏₁+ 𝑏₁+ 𝑟 + ⋯ + 𝑏₁+ 38𝑟)=105

1p

Przekształcenie równania do postaci: 21(𝑏₁+ 49𝑟) = 105 i obliczenie 𝑏₅₀= 5 2p Obliczenie 𝑏₄₇+ 𝑏₅₃: 𝑏₄₇+ 𝑏₅₃= 2 ∙ 𝑏₅₀ = 10 3 p

Zapisanie równania: (10𝑥)² = 1 ∙ (5𝑥 + 5) 4p

Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: 𝑥 = ¹

4 5p

(5)

5 Uwaga.

1. Jeżeli uczeń zapisze jedynie związek między wyrazami ciągu geometrycznego w postaci : [((𝑏₄₇+ 𝑏₅₃) ∙ 𝑥]²= 1 ∙ (5𝑥 + 𝑏₅₀) i na tym poprzestanie, to za całe zadanie otrzymuje 1 punkt.

2. Jeżeli uczeń wykorzysta wzór na sumę ciągu arytmetycznego i zapisze równanie 2𝑏₁+ 59𝑟

2 ∙ 60 − 2𝑏₁+ 38𝑟

2 ∙ 39 = 105

(albo 𝑏₁+ 𝑏₁+ 𝑟 + ⋯ + 𝑏₁+ 59𝑟 − (𝑏₁+ 𝑏₁+ 𝑟 + ⋯ + 𝑏₁+ 38𝑟)=105) oraz związek między wyrazami ciągu geometrycznego w postaci : [((𝑏₄₇+ 𝑏₅₃) ∙ 𝑥]²= 1 ∙ (5𝑥 + 𝑏₅₀) i na tym poprzestanie, to za całe zadanie otrzymuje 2 punkty.

Zadanie 34. (4pkt)

Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym𝐴 = (−2; −2) i 𝐵 = (2; 1). Wierzchołek 𝐶 leży na prostej o równaniu 𝑦 = 2𝑥 − 3. Oblicz współrzędne wierzchołka 𝐶, dla którego suma kwadratów długości boków trójkąta jest najmniejsza.

Oznaczenie współrzędnych punktu w zależności od jednej zmiennej : 𝐶 = (𝑥, 2𝑥 − 3)

1p

 Wyznaczenie sumy kwadratów długości boków trójkąta

|𝐴𝐶|²+ |𝐵𝐶|²+ |𝐴𝐵|² w zależności od współrzędnych punktu 𝐶:

|𝐴𝐶|²+ |𝐵𝐶|²+ |𝐴𝐵|² = (𝑥 + 2)²+ (2𝑥 − 1)²+ (𝑥 − 2)²+ (2𝑥 − 4)²+25 albo

 Zauważenie, że wartość|𝐴𝐵|² nie zależy od wyboru punktu 𝐶, więc wystarczy wybrać punkt 𝐶 tak, aby suma |𝐴𝐶|²+ |𝐵𝐶|² była najmniejsza:

|𝐴𝐶|²+ |𝐵𝐶|² = (𝑥 + 2)²+ (2𝑥 − 1)²+ (𝑥 − 2)²+ (2𝑥 − 4)²

2p

Wyznaczenie sumy kwadratów długości boków w zależności od 𝑥:

 |𝐴𝐶|²+ |𝐵𝐶|²+ |𝐴𝐵|² = 10𝑥² − 20𝑥 + 50 albo

 |𝐴𝐶|²+ |𝐵𝐶|² = 10𝑥²− 20𝑥 + 25

3p

Obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 : 𝐶 = (1, −1) 4 p