Rozkład wielki kanoniczny 2 stycznia 2017

(1)

Elementy fizyki statystycznej

Ćwiczenia nr 9.

Rozkład wielki kanoniczny 2 stycznia 2017

1. Pokaż, że wzór opisujący średnią liczbę cząstek w zespole wielkim kano- nicznym ma postać:

hN i = X

Ω

N (Ω)P (Ω) = 1 β

∂ ln Ξ

∂µ .

2. Pokaż, że wzór opisujący średnią energię układu w zespole wielkim kano- nicznym ma postać:

hEi = X

Ω

E(Ω)P (Ω) = − ∂ ln Ξ

∂β + µhN i.

3. Statystyki gazów kwantowych. Wyprowadź wyrażenia opisujące średnią liczbę cząstek hni oraz średnią energię pewnego układu termodynamicz- nego o temperaturze T i potencjale chemicznym µ. Załóż, że każda cząstka należąca do tego układu ma energię ε. Rozwiąż zadanie przy założeniu, że

i. w układzie może przebywać co najwyżej jedna cząstka (założenie to odpowiada zakazowi Pauliego, który prowadzi do statystyki Fermiego- Diraca),

ii. nie ma ograniczeń co do liczby cząstek należących do badanego układu (założenie to prowadzi do statystyki Bosego-Einsteina).

Pokaż, że w granicy hni 1 (tj. ε µ + kT ) obydwie statystyki uprasz- czają się tego samego rozkładu granicznego hni = e

^{−β(ε−µ)}

.

Odpowiedź: hni = 1

e

^β(ε−µ)

± 1 , hεi = ε

e

^β(ε−µ)

± 1 , gdzie górny znak obo- wiązuje dla rozkładu Fermiego-Diraca, zaś dolny dla rozkładu Bosego- Einsteina.

1

Rozkład wielki kanoniczny 2 stycznia 2017

Elementy fizyki statystycznej

Ćwiczenia nr 9.

Rozkład wielki kanoniczny 2 stycznia 2017

1. Pokaż, że wzór opisujący średnią liczbę cząstek w zespole wielkim kano- nicznym ma postać:

hN i = X

N (Ω)P (Ω) = 1 β

∂ ln Ξ

∂µ .

2. Pokaż, że wzór opisujący średnią energię układu w zespole wielkim kano- nicznym ma postać:

hEi = X

E(Ω)P (Ω) = − ∂ ln Ξ

∂β + µhN i.

i. w układzie może przebywać co najwyżej jedna cząstka (założenie to odpowiada zakazowi Pauliego, który prowadzi do statystyki Fermiego- Diraca),

ii. nie ma ograniczeń co do liczby cząstek należących do badanego układu (założenie to prowadzi do statystyki Bosego-Einsteina).

Pokaż, że w granicy hni  1 (tj. ε  µ + kT ) obydwie statystyki uprasz- czają się tego samego rozkładu granicznego hni = e

.

Odpowiedź: hni = 1

e

± 1 , hεi = ε

e

± 1 , gdzie górny znak obo- wiązuje dla rozkładu Fermiego-Diraca, zaś dolny dla rozkładu Bosego- Einsteina.

1

Pokaż, że w granicy hni 1 (tj. ε µ + kT ) obydwie statystyki uprasz- czają się tego samego rozkładu granicznego hni = e