Zagadnienia lokalizacyjne ze zło˙zonymi modelami preferencji

(1)

Zagadnienia lokalizacyjne

ze zło˙zonymi modelami preferencji

Paweł Olender

Promotor: prof. dr hab. Włodzimierz Ogryczak

Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechnika Warszawska

(2)

Agenda

1 Wprowadzenie

2 _{Modele z agregacj ˛}_{a OWA} Operator OWA

Modele optymalizacyjne OWA 3 _{Modele z agregacj ˛}_{a WOWA}

Operator WOWA

Modele optymalizacyjne WOWA 4 Metoda VNS z agregacj ˛a OWA

Metoda VNS Modyﬁkacje VNS

5 _{Metoda VNS z agregacj ˛}_{a WOWA} Adaptacja VNS dla WOWA 6 _Podsumowanie

(3)

Zagadnienia lokalizacyjne

Jak rozmie ´sci´c obiekty do obsługi klientów (odbiorców)?

c1 c2 c3 c4 c5 7 6 4 0 0

Dyskretny problem lokalizacyjny

odbiorcy

mo˙zliwe lokalizacje punktów obsługi abstrakcyjne odległo´sci

umiejscowienie punktów obsługi przypisanie odbiorców do p. obsługi

Klasyczne typy problemów

kryterium ´sredniej (sumy) kryterium centrum

Aby uzyska ´c rozwi ˛azania kompromisowe mo ˙zna zastosowa ´c podej´scie wielokryterialne z odpowiednim modelem preferencji.

(4)

Zagadnienia lokalizacyjne

c1 c2 c3 c4 c5 7 6 4 0 0

Dyskretny problem lokalizacyjny odbiorcy

(5)

Zagadnienia lokalizacyjne

c1 c2 c3 c4 c5 7 6 4 0 0

mo˙zliwe lokalizacje punktów obsługi

abstrakcyjne odległo´sci

(6)

Zagadnienia lokalizacyjne

c1 c2 c3 c4 c5 7 6 4 0 0

(7)

Zagadnienia lokalizacyjne

c1 c2 c3 c4 c5 7 6 4 0 0

umiejscowienie punktów obsługi

przypisanie odbiorców do p. obsługi

(8)

Zagadnienia lokalizacyjne

c1 c2 c3 c4 c5 7 6 4 0 0

(9)

Zagadnienia lokalizacyjne

c1 c2 c3 c4 c5 7 6 4 0 0

Klasyczne typy problemów kryterium ´sredniej (sumy) kryterium centrum

(10)

Zagadnienia lokalizacyjne

c1 c2 c3 c4 c5 7 6 4 0 0

Klasyczne typy problemów kryterium ´sredniej (sumy) kryterium centrum

Aby uzyska ´c rozwi ˛azania kompromisowe mo ˙zna zastosowa ´c

podej´scie wielokryterialne z odpowiednim modelem preferencji.

(11)

Wielokryterialny problem lokalizacyjny

min{y =f(x) :x ∈Q}, yi =fi(x)— f. oceny i-tego klienta

min (y1,y2, . . . ,ym) p.o. yi = m X j=1 cijxij′ i=1, . . . ,m, m X j=1 xj=n, m X j=1 x′ ij=1 i=1, . . . ,m, x′ ij ¬xj i,j=1, . . . ,m, xj ∈ {0,1} i,j=1, . . . ,m, 0¬x′ ij ¬1 i,j=1, . . . ,m. Zmienne decyzyjne

xj czy punkt obsługi umieszczony w lokalizacji j

x′

ij czy klient i przypisany do punktu obsługi w lokalizacji j

yi koszt obsługi klienta i

Parametry

m liczba klientów (i potencjalnych

lokalizacji punktów obsługi)

n liczba punktów obsługi

cij koszt obsługi klienta i przez punkt obsługi w lokalizacji j

(12)

Model preferencji

Wybór rozwi ˛azania na podstawie wektorów ocen

Racjonalna relacja preferencji=⇒Pareto-efektywno ´s´c

zwrotna

przechodnia (tranzytywna) ´scisle monotoniczna

Efektywno´s´c w sensie rozkładu ocen Symetryczna efektywno ´s´c

warunek anonimowo´sci

(yτ (1),yτ (2), . . . ,yτ (m)) ∼= (y1,y2, . . . ,ym) dla dowolnej permutacjiτzbioru I = {1,2, . . . ,m} Wyrównuj ˛aca efektywno ´s´c

reguła przesuni ˛e´c wyrównuj ˛acych

yi′ >y_i′′⇒y− εe_i′+ εe_i′′≺y dla0< ε <y_i′−y_i′′

(13)

Model preferencji

Wybór rozwi ˛azania na podstawie wektorów ocen

Racjonalna relacja preferencji=⇒Pareto-efektywno ´s´c

zwrotna

przechodnia (tranzytywna) ´scisle monotoniczna

Efektywno´s´c w sensie rozkładu ocen

Symetryczna efektywno ´s´c

warunek anonimowo´sci

(yτ (1),yτ (2), . . . ,yτ (m)) ∼= (y1,y2, . . . ,ym)

dla dowolnej permutacjiτzbioru I = {1,2, . . . ,m}

Wyrównuj ˛aca efektywno ´s´c

reguła przesuni ˛e´c wyrównuj ˛acych

(14)

Techniki generacji rozwi ˛

aza ´n

Skalaryzacja

funkcja skalaryzuj ˛aca s:Rm_→_R

sprowadzenie do optymalizacji jednokryterialnej min{s(f1(x),f2(x), . . . ,fm(x)) :x ∈Q}.

Powszechne funkcje skalaryzuj ˛ace

min{Pm_i=1fi(x) :x ∈Q}— kryterium ´sredniej

min{maxi=1,...,mfi(x) :x ∈Q}— kryterium centrum

Uporz ˛adkowana ´srednia wa ˙zona

kompromisowe rozwi ˛azania bezstronne i/lub sprawiedliwe tylko dla jednorodnych odbiorców

utrudnienie zadania w sensie obliczeniowym

(15)

Tezy rozprawy

Teza 1 Mo ˙zliwe jest sformułowanie parametrycznych modeli optymalizacji wielokryterialnej dla dyskretnych zagadnie ´n

lokalizacyjnych, które uwzgl ˛edniaj ˛a zarównopreferencje

efektywno ´sciowo-sprawiedliwo ´sciowe, jak izró ˙znicowane

zapotrzebowania.

Teza 2 Istniej ˛anadmiarowe ograniczenia, które pozwalaj ˛a napopraw ˛e

efektywno ´scimodeli optymalizacji wielokryterialnej w sensie

najlepszego rozkładu ocen dla dyskretnych problemów lokalizacyjnych.

Teza 3 Mo ˙zliwa jest konstrukcjaprzybli˙zonej metodyrozwi ˛azywania

dyskretnych problemów lokalizacyjnych, która dladowolnych

wag preferencjipozwala efektywnie osi ˛aga ´c rozwi ˛azania

dobrej jako ´sci w sensie rozkładu ocen dla problemów odu ˙zych

(16)

Cele rozprawy

Cel 1 Opracowanie parametrycznych modeli optymalizacji

wielokryterialnej dla dyskretnych zagadnie ´n lokalizacyjnych,

które uwzgl ˛edniaj ˛a zarówno preferencje

efektywno ´sciowo-sprawiedliwo ´sciowe, jak i zró ˙znicowane zapotrzebowania.

Cel 2 Poprawa efektywno ´sci parametrycznych modeli optymalizacji wielokryterialnej w sensie najlepszego rozkładu ocen dla dyskretnych problemów lokalizacyjnych poprzez wprowadzenie odpowiednich nadmiarowych ogranicze ´n.

Cel 3 Poprawa wydajno ´sci i dokładno ´sci przybli˙zonej metody

rozwi ˛azywania dyskretnych problemów lokalizacyjnych w sensie

najlepszego rozkładu ocen z dowolnymi wagami preferencji.

(17)

Uporz ˛

adkowana ´srednia wa˙zona

OWA (ang. Ordered Weighted Averaging):

specyﬁczna ´srednia wa˙zona

wagi s ˛a przypisane do uporz ˛adkowanych warto´sci (tzn. do warto´sci najwi ˛ekszej, drugiej najwi ˛ekszej itd.)

Deﬁnicja OWA (Yager, 1988)

Aw(y) = m X i=1 wiθi(y) wagi preferencji w = (w1,w2, . . . ,wm)

operator porz ˛adkuj ˛acyΘ :Rm_→_Rm_{, taki ˙ze}

Θ(y) = (θ1(y), θ2(y), . . . , θm(y)), gdzie

θ1(y) θ2(y) . . . θm(y)

(18)

OWA jako parametryczny model preferencji

Operator OWA uogólnia wiele ró ˙znych funkcji celu

wektor wag w Aw(y) =Pm_i₌₁wiθi(y) (_m1,_m1, . . . ,_m1) kryt. ´sredniej (1,0, . . . ,0) kryt. centrum (1_k, . . . ,_k1 | {z } k ,0, . . . ,0) kryt. k -centrów (1,1− λ, . . . ,1− λ) kryt. centro-´sredniej (0, . . . ,0,1) kryt. minimum (w1>>w2>> . . . >>wm) −→ lex(θ1(y), θ2(y), . . . , θm(y)) (w1<<w2<< . . . <<wm) −→ lex(θm(y), θm−1(y), . . . , θ1(y)) (0, . . . ,0 | {z } k1 ,1, . . . ,1,0, . . . ,0 | {z } k2

) kryt. zaw ˛e ˙zonej ´sredniej

(19)

Warstwice i wykresy agregacji OWA dwóch kryteriów

y1 y2 y2=y1 w1≫w2 w1>w2 w1=w2 w1<w2 w1≪w2 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 y1 y2 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 y1 y2 0 2 4 6 8 10

(20)

Model M1

min ˆ yk,zik,yi m X k=1 wkˆyk, p.o. ˆyk+Mzik yi, i,k=1, . . . ,m, m X i=1 zik¬k−1, k=1, . . . ,m, zik ∈ {0,1} , i,k=1, . . . ,m, y∈A. ˆ yk ˆyk+1, k=1, . . . ,m−1, (1) zik¬zik+1, i=1, . . . ,m; k=1, . . . ,m−1, (2) m X k=1 ˆ yk= m X i=1 yi. (3) Zmienne decyzyjne

yi koszt obsługi i -tego klienta

ˆ

yk k -ty najwi ˛ekszy koszt klienta zik pomocnicze zmienne binarne

Parametry

m liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) M odpowiednio du˙za stała wk k -ta waga preferencji

(21)

Model M1

min ˆ yk,zik,yi m X k=1 wkˆyk, p.o. ˆyk+Mzik yi, i,k=1, . . . ,m, m X i=1 zik¬k−1, k=1, . . . ,m, zik ∈ {0,1} , i,k=1, . . . ,m, y∈A. ˆ yk ˆyk+1, k=1, . . . ,m−1, (1) zik¬zik+1, i=1, . . . ,m; k=1, . . . ,m−1, (2) m X k=1 ˆ yk= m X i=1 yi. (3) Zmienne decyzyjne

ˆ

yk k -ty najwi ˛ekszy koszt klienta zik pomocnicze zmienne binarne

Parametry

(22)

Model M2

min ˆ yk,sik,yi m X k=1 wkˆyk, p.o. ˆyk  ˆyk+1, k=1, . . . ,m−1, ˆ yk+M(1−sik) yi, i,k=1, . . . ,m, m X i=1 sik=1, k=1, . . . ,m, m X k=1 sik=1, i=1, . . . ,m, sik ∈ {0,1} , i,k=1, . . . ,m, y∈A. m X k=1 ˆ yk = m X i=1 yi, (4) Zmienne decyzyjne

ˆ

yk k -ty najwi ˛ekszy koszt klienta sik pomocnicze zmienne binarne

Parametry

(23)

Model M2

min ˆ yk,sik,yi m X k=1 wkˆyk, p.o. ˆyk  ˆyk+1, k=1, . . . ,m−1, ˆ yk+M(1−sik) yi, i,k=1, . . . ,m, m X i=1 sik=1, k=1, . . . ,m, m X k=1 sik=1, i=1, . . . ,m, sik ∈ {0,1} , i,k=1, . . . ,m, y∈A. m X k=1 ˆ yk = m X i=1 yi, (4) Zmienne decyzyjne

ˆ

yk k -ty najwi ˛ekszy koszt klienta sik pomocnicze zmienne binarne

Parametry

(24)

Zale˙zno´sci mi ˛edzy M1 i M2

ˆ

yk jest wi ˛ekszy równy nie tylko od przypisanej mu warto ´sci yi, ale

tak˙ze od warto ´sci przypisanych doyˆj dla j >k

Wzmocnienie ograniczenia w modelu M2 (i,k =1, . . . ,m)

ˆ yk +M(1−sik) yi −→ yˆk +M(1− m X j=k sij) yi, (5)

Zale ˙zno ´sci mi ˛edzy zmiennymi zik i sik

zik =1−Pmj=ksij dla i,k =1, . . . ,m sik = ( zik+1−zik dla i =1, . . . ,m;k =1, . . . ,m−1, 1−zik dla i =1, . . . ,m;k =m. Wniosek

Model M2 ze wzmocnionym ograniczeniem (5), gdzie zmienne sik

zostały zast ˛apione zmiennymi zik, stanowi model M1.

(25)

Zale˙zno´sci mi ˛edzy M1 i M2

ˆ

yk jest wi ˛ekszy równy nie tylko od przypisanej mu warto ´sci yi, ale

tak˙ze od warto ´sci przypisanych doyˆj dla j >k

Wzmocnienie ograniczenia w modelu M2 (i,k =1, . . . ,m)

ˆ yk +M(1−sik) yi −→ yˆk +M(1− m X j=k sij) yi, (5)

Zale ˙zno ´sci mi ˛edzy zmiennymi zik i sik

zik =1−Pmj=ksij dla i,k =1, . . . ,m sik = ( zik+1−zik dla i =1, . . . ,m;k =1, . . . ,m−1, 1−zik dla i =1, . . . ,m;k =m. Wniosek

Model M2 ze wzmocnionym ograniczeniem (5), gdzie zmienne sik

(26)

Liniowy model OWA (odchyleniowy)

w1w2 . . . wm min tk,dik,yi m X k=1 w′ k(ktk+ m X i=1 dik) p.o. dikyi−tk, i,k=1, . . . ,m, dik0, i,k=1, . . . ,m, y∈A. ¯ θk(y) = k X i=1 θi(y), k=1, . . . ,m Aw(y) = m X k=1 wkθk(y) = m X i=k w′ kθ¯k(y), gdzie w′ k= wk−wk+1, k=1,2, . . . ,m−1, wk, k=m. Zmienne decyzyjne

yi koszt obsługi i -tego klienta tk k -ta warto´s´c bazowa dik nieujemne odchylenie kosztu

i -tego klienta od k -tej warto´sci bazowej

Parametry

m liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) w′

k zmodyﬁkowana k -ta waga

szczegóły

(27)

Rozszerzenie modelu liniowego OWA

(∃k wk <wk+1) =⇒ (∃k w_k′ <0),

Konieczne ograniczenie dolne na funkcj ˛e ktk+Pmi=1dik.

max ̺k,t_k′,d′_ik,zik ̺k p.o. ̺k¬ktk′+ m X i=1 d′ ik, t′ k+dik′ ¬yi, i=1, . . . ,m, d′ ik¬Mzik, i=1, . . . ,m, m X i=1 zik =k, zik ∈ {0,1}, i=1, . . . ,m. Zmienne decyzyjne t′

k k -ta warto´s´c bazowa d′

ik odchylenie kosztu i -tego klienta od k -tej warto´sci bazowej

̺k zmienna pomocnicza zik pomocnicze zmienne binarne

Parametry

m liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) M odpowiednio du˙za stała

(28)

Hybrydowy model M3

min ̺k,tk,dik,t_k′,d_ik′,zik,yi m X k=1 w′ k̺k p.o. ktk+ m X i=1 dik¬ ̺k k=1, . . . ,m;wk′ 0, tk+dikyi,dik 0 i,k=1, . . . ,m;wk′0, ̺k¬ktk′+ m X i=1 d′ ik k=1, . . . ,m;wk′ <0, t′ k+dik′ ¬yi i,k=1, . . . ,m;wk′<0, d′ ik¬Mzik i,k=1, . . . ,m;wk′<0, m X i=1 zik =k k=1, . . . ,m;wk′ <0, zik ∈ {0,1} i,k=1, . . . ,m;wk′<0, y∈A.

(29)

Hybrydowy model M3

min ̺k,tk,dik,t_k′,d_ik′,zik,yi m X k=1 w′ k̺k p.o. ktk+ m X i=1 dik¬ ̺k k=1, . . . ,m;wk′ 0, tk+dikyi,dik 0 i,k=1, . . . ,m;wk′0, ̺k¬ktk′+ m X i=1 d′ ik k=1, . . . ,m;wk′ <0, t′ k+dik′ ¬yi i,k=1, . . . ,m;wk′<0, d′ ik¬Mzik i,k=1, . . . ,m;wk′<0, m X i=1 zik =k k=1, . . . ,m;wk′ <0, zik ∈ {0,1} i,k=1, . . . ,m;wk′<0, y∈A.

(30)

Model M3 — uwagi

Liczba zm. binarnych proporcjonalna do liczby ujemnych wag w_k′

zbiór indeksów wag ujemnych: K−_{= {k}_:_w′

k <0,k =1, . . . ,m}

liczba zmiennych binarnych:|K−_|_m_{¬ (}_m₋₁_)m Ograniczenia nadmiarowe do M3

(i) nieujemno´s´c zmiennych d′

ik

d_ik′ 0 dla i,k =1, . . . ,m;w_k′ <0, (ii) nieujemno´s´c zmiennych t′

k

t′

k 0 dla k =1, . . . ,m;wk′ <0,

(iii) niemalej ˛ace uporz ˛adkowanie zmiennych binarnych zikdotycz ˛acych

i-tej oceny

zik ¬zik′ dla i =1, . . . ,m;k ∈ {K−\max{K−}};k′ =suc(k), gdzie suc(k) =min{k′_:_k′_∈_K−_∧_k′_>_k_}_{to funkcja nast ˛epnika}

w ramach zbioru K−_.

(31)

Hybrydowy model M4

min ̺k,tk,dik,y_ik′,zik,yi m X k=1 w′ k̺k p.o. ktk+ m X i=1 dik ¬ ̺k, k=1, . . . ,m;wk′ 0, tk+dik yi,dik 0, i,k=1, . . . ,m;wk′0, ̺k¬ktk′+ m X i=1 d′ ik ̺k ¬ m X i=1 y′ ik, k=1, . . . ,m;wk′<0, t′ k+dik′ ¬yi yik′ ¬yi, i,k=1, . . . ,m;wk′ <0, d′ ik¬Mzik =⇒ yik′ ¬Mzik,, i,k=1, . . . ,m;w ′ k <0, m X i=1 zik =k, m X i=1 zik =k, k=1, . . . ,m;wk′<0, zik ∈ {0,1}, zik ∈ {0,1}, i,k=1, . . . ,m;wk′ <0, y∈A, zik ¬zik′, i=1, . . . ,m;k∈ {K−\max{K−}};k′=suc(k).

(32)

Hybrydowy model M4

min ̺k,tk,dik,y_ik′,zik,yi m X k=1 w′ k̺k p.o. ktk+ m X i=1 dik ¬ ̺k, k=1, . . . ,m;wk′ 0, tk+dik yi,dik 0, i,k=1, . . . ,m;wk′0, ̺k¬ktk′+ m X i=1 d′ ik ̺k ¬ m X i=1 y′ ik, k=1, . . . ,m;wk′<0, t′ k+dik′ ¬yi yik′ ¬yi, i,k=1, . . . ,m;wk′ <0, d′ ik¬Mzik =⇒ yik′ ¬Mzik,, i,k=1, . . . ,m;w ′ k <0, m X i=1 zik =k, m X i=1 zik =k, k=1, . . . ,m;wk′<0, zik ∈ {0,1}, zik ∈ {0,1}, i,k=1, . . . ,m;wk′ <0, y∈A, zik ¬zik′, i=1, . . . ,m;k∈ {K−\max{K−}};k′=suc(k).

(33)

Małe problemy testowe

Parametry:

Rozmiar problemu — liczba lokalizacji (klientów) m∈ {8,10,12,15[,20,25,30]}

Liczba punktów obsługi — proporcjonalne do m n=m 4 n=m 3 n=m 2 n=m 2 +1 Typ problemu — wektor wag preferencji w

TC1,. . . ,TC12

Dla ka ˙zdego rozmiaru wygenerowanych zostało 15 macierzy kosztów, które przypisano do kombinacji poszczególnych parametrów – zera na

przek ˛atnej, a pozostałe koszty z dyskretnego rozkładu jednostajnego

(34)

Typy problemów I

typ nazwa/opis kryterium wektor wag w parametry

TC1 ´sredniej (ang. N-median) (1, . . . ,1

| {z }

m

)

TC2 centrum (ang. N-center) (1,0, . . . ,0

| {z }

m−1

)

TC3 k -centrów (ang. k -centra) (1, . . . ,1

| {z } k ,0, . . . ,0) k=m 3 TC4 k1+k2zaw˛e˙zonej ´sredniej

(ang. k1+k2-trimmed mean)

(0, . . . ,0 | {z } k1 ,1, . . . ,1,0, . . . ,0 | {z } k2 ) k1= m 10 , k2= n+ m 10 TC5 ci ˛ag naprzemiennych 0 i 1, zaczynaj ˛acy si ˛e od 1

(1,0,1,0,1,0, . . .)

TC6 ci ˛ag naprzemiennych 0 i 1, zaczynaj ˛acy si ˛e od 0

(0,1,0,1,0,1, . . .)

TC7 ci ˛ag sekwencji(1,1,0) (1,1,0,1,1,0, . . .)

TC8 ci ˛ag sekwencji(1,0,0) (1,0,0,1,0,0, . . .)

(35)

Typy problemów II

typ nazwa/opis kryterium wektor wag w parametry

TC9 ci ˛ag zaczynaj ˛acy si ˛e od war-to´sci m i malej ˛acy o 1

(m,m−1, . . . ,2,1)

TC10 jak TC9, ale w odwrotnej ko-lejno´sci (ci ˛ag rosn ˛acy)

(1,2, . . . ,m−1,m)

TC11 ci ˛ag zaczynaj ˛acy si ˛e od 3m i malej ˛acy przedziałami liniowo, najpierw k wag o 3, nast ˛epnie k wag o 2 i reszta o 1 (3m,3(m−1), . . . ,3(m−k) | {z } k , k=m₃ 3(m−k) −2, . . . ,3(m−k) −2k | {z } k , 3m−5k−1,3m−5k−2, . . .)

TC12 jak TC11, ale w odwrotnej kolejno´sci (ci ˛ag rosn ˛acy)

(. . . ,3m−5k−2,3m−5k−1, k=m 3 3(m−k) −2k, . . . ,3(m−k) −2 | {z } k , 3(m−k), . . . ,3(m−1) | {z } k ,3m)

(36)

Wpływ ogranicze ´n nadmiarowych w M1

´

Sredni czas rozwi ˛azania problemów z 8 lokalizacjami

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC9 TC10TC11TC12 Czas [s] Typ problemu M1₁ M1₂ M1₃ M1₄ M1₅ Sformułowania M11 M1 bez ogranicze ´n nadmiarowych, M12 M1 z (1), M13 M1 z (1), (3), M14 M1 z (2), M15 M1 z (2), (3).

(37)

Porównanie M1 i M2

´

Sredni czas rozwi ˛azania problemów z 8 lokalizacjami (z nadmiarowymi ograniczeniami)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC9 TC10 TC11 TC12 Czas [s] Typ problemu M1₃ M2₁

(38)

Porównanie m. hybrydowych ze znanymi m. PCLM

´

Sredni czas rozwi ˛azania problemów z 8 lokalizacjami (najlepsze sformułowania modeli)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC10 TC12 Czas [s] Typ problemu M1₃ M3₅ M4₂

(39)

Modele OWA — wnioski

Nadmiarowe ograniczenia mog ˛a znacz ˛aco poprawi´c wydajno ´s´c

obliczeniow ˛a modeli PCLM agregacji OWA.

Model M1 jest znacznie efektywniejszy ni˙z model M2.

Modele hybrydowe udowadniaj ˛a swoj ˛a skuteczno ´s´c dla

problemów pewnych typów, gdzie wagi nie s ˛a odpowiednio

monotoniczne.

(40)

Zró˙znicowane zapotrzebowania odbiorców

Zbiór odbiorców zazwyczaj nie jest jednorodny

miasta o ró˙znej liczbie mieszka ´nców ﬁrmy o ró˙znej wielko´sci

Bezpo ´srednie zastosowanie OWA nie jest mo ˙zliwe Dezagregacja do równowa ˙znych odbiorców

znaczny wzrost rozmiaru problemu dodatkowe koszty dezagregacji

Warto ´sciowana OWA

uwzgl ˛ednienie zró˙znicowanych wag zapotrzebowania zapewnienie bezstronno´sci w sensie rozkładu

(41)

Warto´sciowana uporz ˛

adkowana ´srednia wa˙zona

Deﬁnicja WOWA (Torra, 1997)

Aw,p(y) =

m

X

i=1

ωiθi(y),

gdzie wagiωi (i =1,2, . . . ,m) s ˛a okre´slone jako

ωi =w∗( X k¬i pτ (k)) −w∗( X k<i pτ (k))

Θ operator porz ˛adkuj ˛acy, taki ˙zeθ1(y) θ2(y) . . . θm(y)

w∗ _{niemalej ˛}_{ac ˛}_{a funkcja ł ˛}_{acz ˛}_{aca punkty}₍i m,

P

k¬iwk)oraz(0,0)

w wagi preferencji(w1,w2, . . . ,wm), wi 0,Pmi=1 wi =1

p wagi warto´sciuj ˛ace(p1,p2, . . . ,pm), pi 0,Pmi=1 pi =1

τ permutacja zbioru I, taka ˙zeθi(y) =yτ (i)dla i =1, . . . ,m

Funkcja w∗_{musi reprezentowa´c lini ˛e prost ˛}_{a, je´sli punkty mo˙zna interpolowa´c}

(42)

Alternatywna deﬁnicja operatora WOWA

Aw,p(y) = m X k=1 wkm Z k/m (k−1)/m F_y(−1)(ξ)dξ

Dystrybuanta — miara wielko ´sci zapotrzebowania

odpowiadaj ˛acemu ocenom wi ˛ekszym lub równym d

Fy(d) = X i∈I piδi(d), gdzie δi(d) = ( 1 je ´sli yi d 0 w p.p.

Funkcja kwantylowa — minimalny koszt obsługi dla co najmniej

ξ-tej cz ˛e ´sci sumarycznego zapotrzebowania

Fy(−1)(ξ) =sup{η :Fy(η) ξ} dla 0< ξ ¬1

(43)

Alternatywne wyznaczanie warto´sci WOWA

Aw,p(y) = m X k=1 wkm Z k/m (k−1)/m Fy(−1)(ξ)dξ Przykład Problem z 5 lokalizacjami: y = (1; 3; 2; 4; 5) p= (0,1; 0,2; 0,2; 0,4; 0,1) w= (0,4; 0,3; 0,15; 0,1; 0,05) Fy(−1)(ξ) =                5 dla 0< ξ¬0,1, 4 dla 0,1< ξ¬0,5, 3 dla 0,5< ξ¬0,7, 2 dla 0,7< ξ¬0,9, 1 dla 0,9< ξ¬1. ξ Fy(−1)(ξ) 0 1 2 3 4 5 0,2 0,4 0,6 0,8 1 p5 p4 p2 p3 p1

(44)

WOWA jako zadanie optymalizacji

Zast ˛apienie całek na przedziałach całkami lewostronnymi

L(y,p,0) =0 oraz L(y,p, α) =

Z α

0

Fy(−1)(ξ)dξ dla 0< α¬1. Wyznaczenie L(y,p, α)dla 0¬ α ¬1 jako zadania optymalizacji

L(y,p, α) =min t,di {αt+ m X i=1 pidi :t+di yi, di 0 ∀i} =min t {αt+ m X i=1 pimax{yi−t,0} },

gdzie t∗_jest_{α-kwantylem rozkładu zmiennych y}

i zgodnie z miarami pi. Aw,p(y) = m X k=1 mwk(L(y,p, k m) −L(y,p, k−1 m )) = m X k=1 w_k′L(y,p, k m), gdzie w′ m=mwm, w_k′ =m(wk−wk+1)dla k =1,2, . . . ,m−1.

(45)

Model liniowy agregacji WOWA

Wniosek

Zadanie minimalizacji WOWA z w1w2 . . . wm mo ˙ze by´c

sformułowane jako zadanie PL z dodatkowymi ograniczeniami.

min ̺k,tk,dik,yi m X k=1 w′ k̺k p.o. k mtk+ m X i=1 pidik ¬ ̺k,k=1, . . . ,m, tk+dik yi,dik0, i,k=1, . . . ,m, y∈A. Zmienne decyzyjne

yi koszt obsługi i -tego klienta tk k -ta warto´s´c bazowa

dik odchylenie kosztu i -tego klienta od k -tej warto´sci bazowej

̺k zmienna pomocnicza

Parametry

m liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi) w′

k zmodyﬁkowana k -ta waga pref. pi waga zapotrzebowania

(46)

Dolne ograniczenie funkcji Lorenza

L(y,p, α) ̺jest równowa ˙zne

̺¬ αyi′+ m X i=1 pimax{yi−yi′,0} dla i′ =1, . . . ,m ̺ ¬ αyi′+ m X i=1 pid¯ii′ i′=1, . . . ,m, ¯ dii′ ¬yi−yi′+Mzii′ i′6=i=1, . . . ,m, ¯ dii′ ¬M(1−zii′) i′6=i=1, . . . ,m, ¯ dii=0 i=1, . . . ,m, zii′∈ {0,1} i′6=i=1, . . . ,m. Zmienne decyzyjne ¯ dii′ zmienne pomocnicze

zii′ pomocnicze zmienne binarne ̺k zmienna pomocnicza

Parametry

yi koszt obsługi i -tego klienta m liczba klientów (i potencjalnych

lokalizacji punktów obsługi) M odpowiednio du˙za stała

α porcja zapotrzebowania pi waga zapotrzebowania

(47)

Model MW1 dla dowolnych wag preferencji

Dowolne zadanie optymalizacji agregacji WOWA mo˙ze by´c sformułowane jako zadanie PCLM z dodatkowymi ograniczeniami i zmiennymi binarnymi.

min ̺k,tk,dik,yi,¯d_ii′,z_ii′ m X k=1 w′ k̺k p.o. k mtk+ m X i=1 pidik¬ ̺k k=1, . . . ,m;wk′0 tk+dikyi,dik 0 i,k=1, . . . ,m;wk′0 ̺k¬ k myi′+ m X i=1 pid¯ii′ i′,k=1, . . . ,m;wk′<0 ¯ dii′¬yi−yi′+Mzii′ i′6=i=1, . . . ,m, ¯ dii′¬M(1−zii′) i′6=i=1, . . . ,m, ¯ dii=0 i=1, . . . ,m, zii′∈ {0,1} i′6=i=1, . . . ,m, y∈A.

(48)

Model MW1 dla dowolnych wag preferencji

(49)

Model MW1 dla dowolnych wag preferencji

(50)

Model MW2 dla dowolnych wag preferencji

Zmienne binarne zii′ reprezentuj ˛a porównanie parami y_i i y_i′.

zii′ =

(

1 gdy yi <yi′, 0 w. p. p.

Liczb ˛e zmiennych binarnych i ogranicze ´n mo ˙zna ograniczy´c dzi ˛eki własno ´sci symetrii zmiennychd¯_ii′ id¯_i′_i.

¯ dii′ ¬yi−yi′+Mzii′, i′,i=1, . . . ,m;i<i′, ¯ dii′ ¬M(1−zii′), i′,i=1, . . . ,m;i<i′, ¯ di′i¬yi′−yi+ ¯dii′, i′,i=1, . . . ,m;i<i′, ¯ dii=0, i=1, . . . ,m, zii′ ∈ {0,1}, i′,i=1, . . . ,m;i<i′.

Model MW2 — model MW1, gdzie cz ˛e ´s´c całkowitoliczbowa

została zast ˛apiona powy˙zszymi ograniczeniami

(51)

Ograniczenia nadmiarowe

Nieujemno ´s´c zmiennychd¯ii′ ¯

dii′ 0 dla i,i′ =1, . . . ,m

Relacja przechodnio ´sci porównania ocen parami (yi <yi′∧y_i′ <y_i′′) =⇒y_i <y_i′′

zii′′z_ii′+z_i′_i′′−1 dla i,i′,i′′=1, . . . ,m;i <i′ <i′′

(yi yi′∧y_i′ y_i′′) =⇒y_i y_i′′

zii′′¬zii′+zi′i′′ dla i,i′,i′′=1, . . . ,m;i <i′ <i′′

Ograniczenia na warto ´s´c funkcji L(y,p, α) Maksymalny przyrost warto´sci L(y,p, α)

ρk+1¬2ρk − ρk−1 dla k =2, . . . ,m−1,

ρ2¬2ρ1.

Ograniczenie dolne warto´sci funkcji L(y,p, α)

ρk k m m X i=1 piyi dla k =1, . . . ,m

(52)

Ograniczenia nadmiarowe

Nieujemno ´s´c zmiennychd¯ii′ ¯

dii′ 0 dla i,i′ =1, . . . ,m MW1₁, MW1₂, MW2₁, MW2₂

Relacja przechodnio ´sci porównania ocen parami (yi <yi′∧y_i′ <y_i′′) =⇒y_i <y_i′′

zii′′z_ii′+z_i′_i′′−1 dla i,i′,i′′=1, . . . ,m;i <i′ <i′′ c1

(yi yi′∧y_i′ y_i′′) =⇒y_i y_i′′

zii′′¬zii′+zi′i′′ dla i,i′,i′′=1, . . . ,m;i <i′ <i′′ c2

Ograniczenia na warto ´s´c funkcji L(y,p, α) Maksymalny przyrost warto´sci L(y,p, α)

ρk+1¬2ρk − ρk−1 dla k =2, . . . ,m−1, c3

ρ2¬2ρ1.

Ograniczenie dolne warto´sci funkcji L(y,p, α)

ρk k m m X i=1 piyi dla k =1, . . . ,m c4

(53)

Testy obliczeniowe

Procedura analogiczna jak dla modeli OWA

Dodatkowo dla modelu liniowego problemy z 100 i 200 lokalizacjami z biblioteki OR

Dodatkowy parametr wag zapotrzebowania p wygenerowany zgodnie z rozkładem Zipfa

pi = 1 i m X j=1 1 j dla i =1, . . . ,m.

(54)

Wyniki modelu liniowego WOWA

´

Srednie czasy rozwi ˛azania dla 30 lokalizacji

CPU[s] m n TC1 TC2 TC3 TC9 TC11 30 8 0,04 1,81 0,81 0,73 0,50 10 0,04 1,78 0,81 0,56 0,50 15 0,02 1,29 0,25 0,14 0,13 16 0,02 1,05 0,21 0,12 0,11

Czasy rozwi ˛azania dla 100 lokalizacji (biblioteka OR)

CPU[s] m n TC1 TC2 TC3 TC9 TC11 100 5 0,56 – 27,01 24,48 7,44 10 0,29 – – 81,17 15,98 10 0,34 – 88,1 35,03 22,52 20 0,22 – – 35,37 17,44 33 0,22 – 36,05 4,06 4,09

(55)

Porównanie modeli MW1 i MW2

´

0 100 200 300 400 500 600 700 TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC10 TC12 Czas [s] Typ problemu MW1₁ MW1₂ MW2₁ MW2₂

(56)

Wpływ nadmiarowych ogranicze ´n w MW2

´

0 50 100 150 200 250 TC4 TC5 TC6 Czas [s] Typ problemu MW22 c1 c2 c1c2 c3 c4 c3c4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 TC7 TC8 TC10 TC12 Czas [s] Typ problemu MW22 c1 c2 c1c2 c3 c4 c3c4

(57)

Modele WOWA — wnioski

Zapewniaj ˛a rozwi ˛azania optymalne w sensie rozkładu ocen,

uwzgl ˛edniaj ˛ac przy tym zró ˙znicowane wielko ´sci zapotrzebowania.

Gdy wagi preferencji s ˛a nierosn ˛ace agregacja WOWA mo ˙ze by´c

sformułowana w postaci zadania PL.

Dla dowolnych wag preferencji agregacja WOWA mo ˙ze by´c sformułowana w postaci zadania PCLM.

Znaczny wzrost zło˙zono´sci obliczeniowej.

Mo˙zliwo´s´c poprawy efektywno´sci obliczeniowej przez nadmiarowe ograniczenia.

(58)

Metoda przybli˙zona

Przeszukiwanie zmiennego s ˛asiedztwa

Heurystyka:

Nie gwarantuje uzyskania rozwi ˛azania optymalnego (zazwyczaj rozwi ˛azania bliskie optymalnemu).

Kompromis mi ˛edzy jako´sci ˛a, a wydajno´sci ˛a (czasem uzyskania rozwi ˛azania).

VNS (ang. Variable Neighbourhood Search):

Przeszukiwanie przestrzeni rozwi ˛aza ´n i uciekanie z lokalnych ekstremów.

Systematyczna zmiana s ˛asiedztwa.

Badanie s ˛asiedztw za pomoc ˛a algorytmu przeszukiwania lokalnego.

(59)

Poj ˛ecie s ˛

asiedztwa w ramach VNS

Rozwi ˛azanieγ problemu lokalizacyjnego to podzbiór n lokalizacji

z m mo ˙zliwych, gdzie zostan ˛a umieszczone punkty obsługi.

Przestrze ´n rozwi ˛aza ´nΓ = {γ : γ ⊂I,|γ| =n}

Symetryczna funkcja odległo ´sci — liczba punktów obsługi umiejscowionych w innych lokalizacjach

ρ(γ1, γ2) = |γ1\ γ2| = |γ2\ γ1| , ∀γ1, γ2∈ Γ

Nr,r =1, . . . ,rmax — struktura s ˛asiedztw, gdzie rmax ¬n

Nr(γ)— zbiór rozwi ˛aza ´n oddalonych (ró ˙zni ˛acych si ˛e) od

aktualnego rozwi ˛azaniaγo r lokalizacji punktów obsługi

(60)

Ogólny schemat VNS

1: Inicjalizacja

2: Znajd´z rozwi ˛azanie pocz ˛atkoweγopt

3: Krok główny

4: r←1

5: while(r¬rmax)i (opcjonalny dodatkowy warunek stopu nie jest spełniony) do

6: Losowanie rozwi ˛azania

7: Wylosuj rozwi ˛azanieγcurz r -tego s ˛asiedztwaNr(γopt)

8: Przeszukiwanie lokalne

9: Poprawiaj rozwi ˛azanieγcur, wymieniaj ˛ac pojedynczy punkt obsługi, a˙z osi ˛agniesz minimum lokalne

10: Decyzja o zmianie rozwi ˛azania

11: ifγcurlepsze ni ˙zγoptthen

12: γopt← γcur 13: r←1 14: else 15: r←r+1 16: end if 17: end while

(61)

Przeszukiwanie lokalne — algorytm wymiany

Kluczowy element metody VNS.

Ocenia skutki wymiany punktów obsługi.

Sprawdza wszystkie mo˙zliwe wymiany jednego punktu obsługi (wszystkich najbli˙zszych s ˛asiadów).

Realizuje najlepsz ˛a wymian ˛e, o ile poprawia ona rozwi ˛azanie.

Znajduje najlepszy punkt do usuni ˛ecia dla danego dodawanego punktu obsługi.

Kryterium ´sredniej — relatywnie prosta idea

Agregacja OWA — sortowanie zdecydowanie utrudnia

Znaczny wzrost zło˙zono´sci i czasów rozwi ˛azania. Rozwi ˛azania dalekie od optymalnych dla pewnych typów problemów (kryterium centrum itp.).

(62)

Modyﬁkacje VNS z OWA

Modyﬁkacje wydajno ´sciowe

Ograniczenie przeszukiwania w nieobiecuj ˛acych kierunkach — mo˙zliwie wczesne wykrycie i odrzucenie nieperspektywicznych rozwi ˛aza ´n.

Relaksacja Dominacja

Zmniejszenie nakładu oblicze ´n przy wyznaczaniu i ocenie nowych rozwi ˛aza ´n.

Zmodyﬁkowane sortowanie

Modyﬁkacje jako ´sciowe

Regularyzacja

(63)

Testy obliczeniowe metody VNS

Wersja oryginalna VNS i 4 zmienione wersje.

bez warunku warunek dominacji dominacji brak regularyzacji VNS′ _VNS′′

regularyzacja VNS′

r VNS′′r

Inicjalizacja: zachłanna lub losowa. 2 grupy problemów:

wygenerowane małe problemy,

du˙ze problemy z biblioteki OR (OR-library).

Kryteria porównania:

czas rozwi ˛azania,

odst ˛ep od rozwi ˛azania optymalnego

odst˛ep= f −fopt fopt

×100%,

f warto´s´c funkcji celu znalezionego rozwi ˛azania,

(64)

Wyniki VNS z OWA

Małe problemy do 30 lokalizacji

Bardzo krótkie czasy rozwi ˛azania (rz ˛edu setnych sekundy). wyn

Wyniki jako ´sciowe

´

Sredni odst ˛ep od rozwi ˛azania optymalnego dla 30 lokalizacji.

0 2 4 6 8 10 12 14 TC1 TC2 TC3 TC4 TC9 TC11 Odstęp [%] Typ problemu VNS zachłanna VNS_r zachłanna VNS losowa VNS_r losowa

(65)

Du˙ze problemy

Problemy z biblioteki OR (OR-library) — 40 instancji. Parametry:

Rozmiar problemu – liczba lokalizacji

m∈ {100,200, . . . ,900} Liczba punktów obsługi

n=5 n=10 n= m 10 n= m 5 n= m 3

zaokr ˛aglane, gdy niecałkowite

Typ problemu - wektor wag preferencji w TC1, TC2, TC4

(66)

Wyniki VNS z OWA

Statystyki czasowe — kryterium ´sredniej i zaw ˛e˙zonej ´sredniej

k. ´sredniej (TC1) k. zaw˛e˙zonej ´sredniej (TC4)

Problem CPU[s] CPU[s]

id n VNS VNS′ _VNS′′ _VNS _VNS′ _VNS′′ _VNS′ r VNS′′r p21 5 1,91 0,52 0,85 1,91 0,52 0,84 0,52 0,86 p22 10 8,49 1,77 2,62 13,19 2,69 3,90 2,70 4,05 p23 50 417,29 59,25 51,83 401,00 56,58 52,44 47,07 47,59 p24 100 705,17 102,00 65,45 632,83 83,78 60,46 84,38 64,45 p25 167 676,77 100,52 53,58 682,74 80,82 52,11 103,02 66,77

Tabela:Wyniki dla 500 lokalizacji przy inicjalizacji zachłannej TC1 i TC4

k. ´sredniej (TC1) k. zaw˛e˙zonej ´sredniej (TC4) inicjalizacja VNS′ _VNS′′ _VNS′ _VNS′′ _VNS′

r VNS′′r

zachłanna 5,3 6,0 5,7 6,0 5,5 5,5

losowa 6,0 6,7 6,4 6,7 6 6,3

Tabela:Srednia krotno´s´c skrócenia czasu dla 40 problemów TC1 i TC4´

(67)

Wyniki VNS z OWA

Statystyki czasowe — kryterium ´sredniej i zaw ˛e˙zonej ´sredniej

Kilkukrotnie krótsze czasy rozwi ˛azania nowych wersji.

Ró ˙znice rosn ˛a ze wzrostem rozmiaru, a szczególnie ze wzrostem

liczby punktów obsługi (zwłaszcza dla wersji z warunkiem dominacji).

VNS′/VNS′_r lepsze wyniki dla problemów mniejszych i z mał ˛a

liczb ˛a punktów obsługi —VNS′′/VNS′′_r przeciwnie.

Czas rozwi ˛azania problemów z wi ˛eksz ˛a liczb ˛a punktów obsługi

wielokrotnie dłu ˙zszy ni˙z problemów z niewielk ˛a liczb ˛a punktów

obsługi, dlatego bezwzgl ˛edne oszcz ˛edno ´sci czasu wersji

VNS′′/VNS′′_r s ˛a znacznie wi ˛eksze ni˙z wersjiVNS′/VNS′_r.

Dla TC4 warunek regularyzacji wydłu ˙za czas rozwi ˛azania w

(68)

Wyniki VNS z OWA

Statystyki czasowe — kryterium centrum

k. centrum (TC2) Problem CPU[s] id n VNS VNS′ _VNS′′ _VNS′ r VNS′′r p21 5 1,05 0,16 0,24 0,92 1,57 p22 10 19,77 0,92 1,22 1,65 2,61 p23 50 82,54 1,40 1,79 24,96 25,05 p24 100 139,13 2,78 3,48 41,93 32,48 p25 167 185,45 4,87 5,96 61,31 39,73

Tabela:Wyniki dla 500 lokalizacji przy inicjalizacji zachłannej TC2

inicjalizacja VNS′ _VNS′′ _VNS′

r VNS′′r

zachłanna 29,4 22,6 3,4 3,0

losowa 43,9 35,4 3,6 3,3

Tabela:Srednia krotno´s´c skrócenia czasu dla 40 problemów TC2´

(69)

Wyniki VNS z OWA

Statystyki czasowe — kryterium centrum

Wersje bez regularyzacji skróciły czas rozwi ˛azania jeszcze

bardziej ni˙z w przypadku kryterium ´sredniej i zaw ˛e ˙zonej ´sredniej (w wi ˛ekszo ´sci czasy o ponad rz ˛ad wielko ´sci krótsze).

Wersje z regularyzacj ˛a maj ˛a czasy zdecydowanie dłu ˙zsze ni˙z bez

regularyzacji, ale i tak zazwyczaj kilkukrotnie krótsze ni˙z metoda oryginalna ( 1 wyj ˛atek).

Bez regularyzacji wersjaVNS′ osi ˛aga krótsze (nie gorsze) czasy

ni˙z wersjaVNS′′dla wszystkich problemów.

Przy regularyzacji wersjaVNS′_r ma lepsze wyniki dla problemów

(70)

Statystyki Jako´sciowe

Bezpo ´sredni wpływ regularyzacji.

Po ´sredni wpływ modyﬁkacji szybko ´sciowych (10 krotne naliczenie).

Porównanie z rozwi ˛azaniami optymalnymi lub najlepszymi

znanymi (w przypadku zaw ˛e ˙zonej ´sredniej).

Porównanie z heurystykami bazuj ˛acymi na algorytmach

genetycznych (HGA1, HGA2).

(71)

Wyniki VNS z OWA

Statystyki jako´sciowe dla 40 problemów z biblioteki OR

VNS VNSr HGA1 HGA2

i. zachł. i. los. i. zachł. i. los.

TC1

rozw. optymalne 34 36 24 22

odst ˛ep max [%] 0,129 0,232 —||— – –

odst ˛ep ´sr. [%] 0,070 0,069 – –

wyn _{odst ˛ep min [%]} _0,013 _0,010 _0,111 _0,176

TC2

rozw. optymalne 8 8 30 30 11 8

odst ˛ep max [%] 59,77 65,27 3,48 4,15 – –

odst ˛ep ´sr. [%] 51,11 45,42 2,47 2,55 – –

wyn _{odst ˛ep min [%]} _44,06 _31,90 _1,21 _1,27 _28,39 _24,79

TC4

rozw. optymalne 31 31 29 31 31 (27) 25 (22)

poprawione 8 9 9 9 0 0

odst ˛ep max [%] 0,105 0,228 0,099 0,233 – –

odst ˛ep ´sr. [%] 0,029 0,028 0,025 0,026 – –

(72)

Wyniki VNS z OWA

Statystki jako´sciowe dla 40 problemów z biblioteki OR

Kryterium ´sredniej (TC1)

Rozwi ˛azania optymalne lub bliskie optymalnym (regularyzacja nieaktywna).

Kryterium centrum (TC2)

Bez regularyzacji zdarzaj ˛a si ˛e rozwi ˛azania 2-krotnie (3-krotnie) gorsze od optymalnych (je´sli optimum to zazwyczaj dla problemów małych i z mał ˛a liczb ˛a punktów obsługi).

Regularyzacja zdecydowanie poprawia jako´s´c rozwi ˛aza ´n (odst ˛ep gorszy ni˙z przy kryterium ´srednim, ale inna charakterystyka problemu — funkcja celu zale˙zy tylko od jednej oceny).

Kryterium zaw ˛e ˙zonej ´sredniej (TC4)

Bardzo dobra jako´s´c uzyskiwanych rozwi ˛aza ´n (niewielki wpływ warunku regularyzacji).

Poprawa cz ˛e´sci najlepszych znanych rozwi ˛aza ´n (warto´sci ujemne). Przy inicjalizacji losowej dla ka˙zdego problemu wyniki nie gorsze ni˙z najlepsze znane.

(73)

VNS z OWA — wnioski

Modyﬁkacje wydajno ´sciowe — znaczne skrócenie czasu rozwi ˛azania

Modyﬁkacje jako ´sciowe – dokładniejsze rozwi ˛azania dla kryterium

centrum bez pogarszania jako ´sci dla problemów innych typów

Wniosek

Zaproponowana metoda VNS z regularyzacj ˛a stanowi uniwersaln ˛a

metod ˛e rozwi ˛azywania problemów z agregacj ˛a OWA. Pozwala

uzyskiwa ´c dobre jako ´sciowo wyniki w akceptowalnym czasie dla dowolnych wag preferencji.

(74)

VNS dla zró˙znicowanych wag zapotrzebowania

Ogólny schemat metody bez zmian.

Podstawowa ró ˙znica — sposób wyznaczania funkcji celu.

Warto´s´c WOWA wyznaczana według klasycznej deﬁnicji.

Wcze ´sniejsze modyﬁkacje VNS z OWA zdecydowanie ułatwiaj ˛a

dostosowanie metody dla WOWA.

Wykorzystanie permutacji odwzorowuj ˛acej uporz ˛adkowany wektor kosztów na oryginalny wektor.

Uwzgl ˛ednienie modyﬁkacji VNS z OWA

Relaksacja — TAK

Zmienione sortowanie — TAK Warunek dominacji — NIE Regularyzacja — wymaga zmiany

(75)

Ró˙znice VNS z WOWA

Dominacja — dominacja symetryczna wektorów kosztów nie gwarantuje lepszej warto ´sci WOWA

Przykład

Wagi zapotrzebowania p= (0,1; 0,2; 0,2; 0,4; 0,1)

Dwa wektory kosztów y = (1; 3; 2; 4; 5)oraz y′

= (1; 3; 2; 5; 3) Wagi preferencji w = (0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2) Θ(y) = (5; 4; 3; 2; 1) (5; 3; 3; 2; 1) = Θ(y′ ) ale Aw,p(y) = 5 X i=1 piyi =3,2<3,4= 5 X i=1 piyi′=Aw,p(y ′ )

Regularyzacja — porównanie funkcji kwantylowych Fy(−1)zamiast

(76)

Wyniki VNS z WOWA

´

Sredni odst ˛ep dla 30 lokalizacji

0 0.5 1 1.5 2 2.5 TC1 TC2 TC3 TC9 TC11 Odstęp [%] Typ problemu w_{VNS zachłanna} w VNSr zachłanna w_{VNS losowa} w VNSr losowa

(77)

Wyniki VNS z WOWA

Statystyki wydajno´sciowe — du˙ze problemy

Charakterystyka analogiczna jak VNS z OWA — czas rozwi ˛azania

ro ´snie ze wzrostem rozmiaru, a szczególnie ze wzrostem liczby punktów obsługi

Porównanie VNS z WOWA i VNS z OWA przy równych wagach zapotrzebowania

Porównanie czasów VNS z WOWA dla wag zró ˙znicowanych i

równych (pogl ˛adowe)

typ wersja max WOWA wagi zró˙znicowane

czas [s] vs OWA vs równe

TC1 ok. 450 > o 30%–70%, ´sr. 50% od < 50% do > 100% TC2 wVNS ok. 15 > o 20%–50%, ´sr. 40% do > 100%

w

VNSr ok. 300 > o 30%–70%, ´sr. 50% do > 100% TC4 ok. 500 > o 30%–70%, ´sr. 50% od < 50% do > 100%

(78)

VNS z WOWA — wnioski

Koszt wydajno ´sciowy uwzgl ˛ednienia zapotrzebowa ´n ok. 50% (w stosunku do czasów VNS z OWA).

Rozwi ˛azania dobrej jako ´sci (dla kryterium centrum znacz ˛aco

pomaga warunek regularyzacji).

Wniosek

Zaprezentowana metoda pozwala na efektywne rozwi ˛azywanie du ˙zych

dyskretnych problemów lokalizacyjnych ze zró ˙znicowanymi

zapotrzebowaniami i uzyskiwanie rozwi ˛aza ´n o dobrej jako ´sci w sensie

rozkładu ocen.

(79)

Podsumowanie

Teza/Cel 1:

modele dyskretnych problemów lokalizacyjnych z agregacj ˛a

WOWA Teza/Cel 2:

analiza i porównanie modeli agregacji OWA analiza i porównanie modeli agregacji WOWA

wpływ nadmiarowych ogranicze ´n w modelach OWA i WOWA opracowanie i analiza hybrydowych modeli OWA

Teza/Cel 3:

ulepszenie metody VNS dla dyskretnych problemów

lokalizacyjnych z agregacj ˛a OWA

adaptacja metody VNS dla dyskretnych problemów

(80)

Dzi ˛ekuj ˛e za uwag ˛e!

(81)

Suma k najwi ˛ekszych ocen

Liniowa reprezentacjaΘ¯k(y) =Pki=1θi(y), k =1, . . . ,m ¯ θk(y) =kθk(y) + k−1 X i=1 (θi(y) − θk(y)) dla k =1, . . . ,m ¯ θk(y) =min tk,dik (ktk+ m X i=1 dik) p.o. dik yi−tk, i=1, . . . ,m, dik 0, i=1, . . . ,m. Powrót Zmienne decyzyjne

tk k -ta warto´s´c bazowa dik nieujemne odchylenie kosztu

i -tego klienta od k -tej warto´sci bazowej

Parametry

m liczba klientów (i potencjalnych lokalizacji punktów obsługi)

(82)

Wyniki VNS z OWA

´

Sredni czas rozwi ˛azania (inicjalizacja losowa) dla 30 lokalizacji

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 TC7 TC8 TC9 TC10TC11TC12 Czas [s] Typ problemu VNS VNS’ VNS’’ VNS’_r VNS’’_r Powrót

(83)

Wyniki VNS z OWA

Wyniki jako´sciowe kryterium ´sredniej

inicjalizacja zachłanna inicjalizacja losowa Problem # opt. odst ˛ep [%] # opt. odst ˛ep [%] id n opt. znal. max. ´sr. min. znal. max. ´sr. min.

p21 5 9138 10 0 0 0 10 0 0 0

p22 10 8579 5 1,049 0,516 0 9 1,049 0,105 0

p23 50 4619 10 0 0 0 10 0 0 0

p24 100 2961 10 0 0 0 5 0,371 0,128 0

p25 167 1828 1 0,274 0,120 0 0 0,602 0,263 0,109 Tabela:Wyniki dla 500 lokalizacji TC1

(84)

Wyniki VNS z OWA

Wyniki jako´sciowe — kryterium centrum

p21 5 40 1 20,00 11,75 0 2 7,50 4,50 0

p22 10 38 0 18,42 12,63 5,26 0 23,68 16,84 7,89 p23 50 22 0 68,18 49,09 45,45 0 68,18 59,55 45,45 p24 100 15 0 126,67 116,67 100,00 0 106,67 88,00 73,33 p25 167 11 0 145,45 145,45 145,45 0 227,27 130,00 109,09 Tabela:Wyniki wersji bez regularyzacji dla 500 lokalizacji TC2

p21 5 40 10 0 0 0 7 2,50 0,75 0

p22 10 38 0 5,26 3,95 2,63 0 5,26 3,42 2,63 p23 50 22 0 4,55 4,55 4,55 0 4,55 4,55 4,55 p24 100 15 1 6,67 6,00 0 5 6,67 3,33 0

p25 167 11 10 0 0 0 8 9,09 1,82 0

Tabela:Wyniki wersji z regularyzacj ˛a dla 500 lokalizacji TC2

Powrót

(85)

Wyniki VNS z OWA

Wyniki jako´sciowe — kryterium zaw ˛e˙zonej ´sredniej

inicjalizacja zachłanna inicjalizacja losowa Problem # opt./ odst ˛ep [%] # opt./ odst ˛ep [%] id n NZR popr. max. ´sr. min. popr. max. ´sr. min.

p21 5 7245 10/0 0 0 0 10/0 0 0 0

p22 10 6685 2/0 0,957 0,534 0 5/0 1,032 0,223 0 p23 50 3306 10/0 0 0 0 4/0 0,060 0,024 0 p24 100 2004 1/9 0 -0,125 -0,200 0/10 -0,050 -0,145 -0,200 p25 167 1148 4/0 0,174 0,070 0 3/0 0,784 0,157 0 Tabela:Wyniki wersji bez regularyzacji dla 500 lokalizacji TC4

inicjalizacja zachłanna inicjalizacja losowa Problem # opt./ odst ˛ep [%] # opt./ odst ˛ep [%] id n NZR popr. max. ´sr. min. popr. max. ´sr. min.

p21 5 7245 10/0 0 0 0 10/0 0 0 0

p22 10 6685 2/0 0,957 0,471 0 6/0 0,823 0,197 0 p23 50 3306 4/0 0,181 0,091 0 5/0 0,181 0,036 0 p24 100 2004 0/10 -0,100 -0,160 -0,200 0/9 0,050 -0,115 -0,200 p25 167 1148 2/0 0,174 0,096 0 3/0 0,261 0,105 0

Tabela:Wyniki wersji z regularyzacj ˛a dla 500 lokalizacji TC4