GAL (I INF)
Kolokwium nr 1 1-12-2011
ROZWI AZANIA ZADA ´
,N
Zadanie 1.
Stosuj ac posta´
,c trygonometryczn a liczb zespolonych i wz´
,or de Moivre’a dostajemy kolejno 1 + ı √
3 = 2
1 2
+ ı
√ 3 2
= 2 cos
π3+ ı sin
π3−1 + ı √
3 = 2
−
12+ ı
√ 3 2
= 2 cos
2π3+ ı sin
2π3ı = cos
π2+ ı sin
π2oraz
z
1= (1 + ı √
3)
100= 2
100cos
π3+ ı sin
π3100= 2
100cos
100π3+ ı sin
100π3= 2
100cos
4π3+ ı sin
4π3z
2= (−1 + ı √
3)
301= 2
301cos
2π3+ ı sin
2π3 301= 2
301cos
602π3+ ı sin
602π3= 2
301cos
2π3+ ı sin
2π3√
3z
3= √
3ı = cos
π2+ ı sin
π21/3= cos
π6+ ı sin
π6. St ad
,z
1z
2+ z
1· √
3z
3= 2
100cos
−4π3+ ı sin
−4π32
301cos
2π3+ ı sin
2π3+ 2
100cos
4π3+ ı sin
4π3cos
π6+ ı sin
π6= 2
−201(cos(−2π) + ı sin(−2π)) + 2
100cos
3π2+ sin
3π2= 2
−201− ı · 2
100.
Ostatecznie, cz e´s´
,c rzeczywista ˙z adanej liczby wynosi 2
, −201, a cz e´s´
,c urojona −2
100.
Zadanie 2.
Poniewa˙z
b
1+ b
2+ · · · + b
n= (a
1− a
2) + (a
2− a
3) + · · · + (a
n−1− a
n) + (a
n− a
1)
= a
1+ (−a
2+ a
2) + (−a
3+ a
3) + · · · + (−a
n+ a
n) − a
1= 0, elementy {b
i}
ni=1s a liniowo zale˙zne, a je´sli tak to nie s
,a baz
,a przestrzeni X
, |K.
Zadanie 3.
Dowolny wielomian
p(t) = a
0+ a
1t + a
2t
2+ a
3t
3∈ P
|R4nale˙zy do zbioru W wtedy i tylko wtedy gdy spe lniony jest warunek
7(a
0− a
1+ a
2− a
3) − 6a
0+ 3(a
0+ a
1+ a
2+ a
3) + 2(a
0+ 2a
1+ 4a
2+ 8a
3) = 12,
1
kt´ ory, po przeliczeniu, jest r´ ownowa˙zny warunkowi a
0+ 3a
2+ 2a
3= 2.
Oznaczaj ac α = a
, 1, β = a
2, γ = a
3mamy a
0= 2 − 3β − 2γ, a st ad
,p(t) = (2 − 3β − 2γ) + αt + βt
2+ γt
3= 2 + αt + β(t
2− 3) + γ(t
3− 2).
Poniewa˙z α, β, γ mog a by´
,c dowolne, ostatecznie otrzymujemy W = W (p
0, Y), gdzie p
0≡ 2, Y = span(t, t
2− 3, t
3− 2).
Zadanie 4.
Wykonuj ac na wierszach macierzy
,A =
3 −2 5
−1 3 −2
2 1 3
. kolejno trzy operacje elementarne:
W
1:= W
1+ 3W
2, W
3:= W
3+ 2W
2, W
1:= W
1− W
3, otrzymujemy macierz
A = e
0 0 0
−1 3 −2 0 7 −1
.
Poniewa˙z jest to macierz rz edu 2, to r´
,ownie˙z rz(A) = 2. Aby znale´ z´ c baz e obrazu R(A)
,wystarczy wi ec wskaza´
,c dwie liniowo niezale˙zne kolumny macierzy A, np.
R(A) = span
3
−1 2
,
−2 3 1
.
Wobec dim(R(A)) + dim(N (A)) = 3, wymiar j adra macierzy A wynosi 1. Baz
,a j
,adra jest
,wi ec ka˙zdy wektor niezerowy b
,ed
,acy rozwi
,azaniem r´
,ownania jednorodnego e A ∗ ~ x = ~0, czyli
−x
1+ 3x
2− 2x
3= 0, 7x
2− x
3= 0.
Przyjmuj ac x
, 3= 1 dostajemy x
2= 1/7, x
1= −11/7, a st ad
,N (A) = span
−11 1 7
.
Zadanie 5.
Z definicji s
iwynika, ˙ze (s
1, s
2, s
3, s
4) jest baz a (funkcjona l´
,ow) sprz e˙zon
,a z baz
,a (wielo-
,mian´ ow) (p
1, p
2, p
3, p
4). Dlatego, je´sli f = P
4i=1
α
is
ito dla 1 ≤ j ≤ 4 mamy f (p
j) =
4
X
i=1
