ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ 1982
Soria: AUTOMATYKA z. 63 Nr kol. 735
Adam OANIAK
Politechnika Wrocławska
PROBLEM KOLEON OŚ CI OW Y GNIAZCOWY Z ROZDZIAŁEM ZA SOBÓW
S t r e s z c z e n i e . W precy rozpatruje się problem kolejnościowy gniez- dowy z rozdziałem ograniczonych oodzielnych w sposób ciągły zasobów Jednego rodzaju przy liniowych modelach operacji. Problem zamodelo- wano za pomocą grafów dysjunktywnych. Al gorytm rozwiązania oparto na metodzie podziału i ograniczeń z mieszaną strategią oodziału, wykorzystując opracowaną technikę segmentową.
Dyskretny proces przemysłowy charakteryzuje się przepływem materi ał ów (w ciągu technologicznym) w postaci pojedynczych elementów lub ich par
tii. Elementy te są poddawane operacjom obróbki na kolejnych maszynach.
Czasy trwania poszczególnych operacji na maszynach mogą być ustalone lub mogą zależeć od ilości za sobów operacjom tym przydzielanych. Globalna i- lość zasobów zwykle Jest ograniczona. Powstaje zatem problem określenia takiej kolejności wykonywania elementów na poszczególnych m a s z y n a c h , z z a chowaniem określonego Dorzędku technologicznego wykonywania operacji i ta
kiego rozdziału ograniczonych zasobów dla Poszczególnych oDeracji, by uz ys
kać minimalny czas wykonanie całego zadania produkcyjnego. W pracy og ra
niczymy się do problemu kolejnościowego gniazdowego ("job-shop") przy z a łożeniu, ża czasy trwania wszystkich operacji zależą od tego samego ro
dzaju ograniczonych zasobów.
Klasyczny oroblem " j ob -s ho p",był wielokrotnie rozpatrywany w literatu
rze, np. w [5], Pierwsze oróby rozwiązania oroblemu rozpatrywanego w pra
cy pojawiły się w [ a ] . natomiast podejście, dające przybliżone rozwiąza
nie podobnego oroblemu, pojawiło się w [7].
2. MODE L MATEMATYCZNY PROBLEMU
Problem kolejnościowy gniazdowy z rozdziałem zasobów (oznaczany n / m / G , Ras 5- 0/ C fflax) można sformułować nastęoujeco. Danych Jest n prac ,0n>
które muszą być wykonane na m maszynech ,M2 M m. Prace 0^ ( i » l , 2 n) składa się z sekwencji n^ operacji 0.,; orzy czvm operacje ponumerowane 1. WSTÇP
30 A. Janiak
Mv ( v e M ■ j 1,2,,.. ,»J) nie może w y ko ny wa ć Jednocześnie więcej niż Jedną operację, zbiór operacji, które maję być ^wykonywane na maszynie M y . bę
dzie ożne cz on y przez N . Operacja Oj (j « i... ,N « n‘ ) odpowiada W y konywaniu procy lj bez przerwań na ma szynie £lj w czasie Pj ,
Z a k ł a d a m y , że czaa Pj wykonywanie operecjl Oj (j « l,2,...,Nn » n / ) zależy liniowo od Ilości zasobów Uj pr zydzielonych tej oDorocJi, t z n . : Pj ■ Pj(u j) « ° J uj + ^J' 9bzie D j bj ®9 znanymi parametrowi.
Ponadto założymy, że zbiór do pu sz cz al ny ch rozdziałów za so bó w Joat nast ę
puj ęcy:
u * R n : u » [ U;L U j ^ n ^ S j - i “ j ^ ^
P>a . J » l n'
gdzie Ó Jaot dy sp on ow an ą do rozdziału ilośclę zasobów, a O^cfj^S eę znanymi oarsmatraai.
Należy znaleźć takę kolejność wy ko ny wa ni a operacji na poszczególnych maszynach 1 taki rozdział z a so bó w l) pomiędzy wszystkie operacje, by czaa trwania ws zy st ki ch prac 0A (i » 1 , 2 n) był minimalny.
Oczywiste Jest, że przy arbitralnie ustalonym rozdziale zasobów U, roz
patrywany problem sprowadza się do klasycznego problemu kolojnościowego gniazdowego ("Job-shop") - n/ a/ G/ Cm B X , rozpatrywanego np. w [sj.
Oak łatwo zauważyć, rozpatrywany pr.oblem Jest NP-zupełny.
Celem znalezienia optymalnego rozwiązania sf or mułowanego problemu, bę
dziemy modelować go za pomocą grafu dy sj un kt yw ne go D ~ < A , U U V>, gdzie:
- A Jest zbiorem wier zc ho łk ów reprezentujących operacje, włączając fik
cyjne operacje: początkową O i końcową O :
z , 1 , 2 ,N ,z
o n i
- U Jaot zbiorom skierowanych łuków reprezentujących porządek techno
logiczny wykonywania oporscji, należących do po sz czególnych proc:
u - j < J - J ^ H i j . j j ^ J u | <i:V Ni - i + ł> < V z i >/1 0 1 " J :
- V Joet z b i o r e m .skierowanych łuków reprezentujących ws zy st ki e mo żl i
we kolejności realizacji operacji, wyko ny wa ny ch na tej samej maszynie:
V »
< j ł .j2> / ^ i - flj2. Ji f j2Jf
Próblen kolajn oś cl ow y g n ia zd ow y z rozdziała« za sobów 31
- każdy wier zc ho łe k J « A Jaet obciążony w a g « p^ , przy czyn p z ■ o
« p m O.
21
Mu lt ld lg ra f dy aj un k t y w n y dla przykładu (4/2/C, R 8 8 ? ° / ('lliax) * rozdz. 5 Jest pr zedstawiony na rys. 1.
Rys. 1. Mu lt ldlgraf dyaj un kt yw ny O - Ca. Uu V > dla przykładu z ro zd zi a
łu 5
Łuk d y aj un kt yw ny < 1 każdej oary łuków dy aj un kt yw ny ch |<Jr J2> ,
< J 2 «J1'> f na zy wa ny zgodny«, Jeśli został on dołą cz on y do zbioru r e pr ez en
tantów łuków d y a j un kt yw ny ch S r c V, s łuk prze ci wn y < J 2 ,J1 > zoateł od
rzucony, Wy bó r łuku < J j » J 2 > oznacza, że na wspólnej aaszynla w y k o n y w a na Jest oparacja Jj przed J2 .
Dopuszczalna uszeregowanie operacji wy ko nywanych na wspólnej maszynie zd ef in lu ja ny za ponoć« podzbioru S p C V, takiego, ż e :
“ < J 1 .J2> e s r<^ = > < J 2 ''Jl> fi V v "S r
- dlgraf O r (sr ) • < A , U u S f> Jeet acykliczny.
podzbiorói
władających tyn podzbiorom. Zats n RD Jest rodzin« di gr af ów o d p o wi ad aj ą
cych dopusz cz al ny m strukturom rozwl«zanla problemu n/m/G, Res 0 / C B > x , a problem tan Jest równoważny zagadnieniu znalezienia drogi ninlmakeynal- naj i
Niech
L* £ L* («*) < « l n _ L (u )- n a D 71 Oli
r D r
z optym&ln« reprozentacj« łuków dyajunktywnych sj? oraz optyaalnya roz
działem za s o b ó w u * « U ( L r (ur ) Jest długości« drogi krytycznej w grafie
£>r przy rozdziale za sobów t?r « U ) .
32 A. Janlok
Odnośnie do ro zp at ry wa ne go przykładu, gref odpowiada w y k o ny wa ni u operacji na w kolejności < 0 ^ . 0 ^ , 0 j, 0 ^ > i < 0 ^ > na maszynie M 2 , Droga krytyczna Lj^u^) o dł ugości równej 8 jast zaznaczona na rys. 2.
Oak łatwo zauważyć. w rozpatrywanym problemie dla d a ne go D r 6 R 0 z o p tymalnym rozdziałem z a so bó w U r «U, oaray zwykle nie jedną, ale wiel e dróg krytycznych i oczywiste Jest, że dr og a krytyczna w D r byłaby najkrótsza, gdyby do pu szczalne rozwiązania było takie, że wszy st ki e drogi w D r sta
łyby się dr ogami krytycznymi.
3, WŁAS NO ŚC I R O Z W IĄ ZA NI A PROBLEMU
Celem pr zedstawienia własności optymalnego rozwiązanie problemu w p r o wadzone zostaną na st ęo uj ąc e definicje:
Przez C* będziemy oznaczać zbiór łuków 1-teJ drog i krytycznej w D r e R 0 ’
S egmentem P w grafie D f e R 0 na zy wa ny ciąg operacji < jj ,J2 Jq>
za wi erający największą liczbę operacji, takich, że istnieje w tym grafie droga :
B J j . J •£>
taka, że przez każdy łuk tej drogi przechodzi taks sama ilość dróg k r y
tycznych, tzn. zachodzi:
< j i , Ji +1 > e s p n
z\,
i = 1 , 2 g - l : 1 - 1 •gdzie l‘ Jest ilością dróg krytycznych pr ze chodzących przez B.
Na przykład na rys. 2 w grafie Dj sekwencja oo eracji < l , 2 , 3 > j e s t seg
mentem, a sekwencja < 2 , 3 , 5 > nie Jest segmentem, po nieważ przez ł u k < 2 . 3 >
przechodzą dwie drogi krytyczne, a przez łuk < 3 , 5 > tylko Jedne droga krytyczna.
Se gm e n t e m wewn ęt rz ny m segmentu <J-,,J2 ... ,1Q> będziemy nazywali n a stępujący ciąg op eracji < J2 .J3 ..•.,Jg_ £ > •
W y k o r z ys tu ją c przedstawione w [2] w ł as no śc i oo ty ma ln eg o rozdziału z a sobów w do wolnym grafie D r « R^, dis modeli ooeracji będących funkcjami wy pu k ł y m i oraz tw. 4.2 z fl] nożna wykazać nastęnującą własność:
Tw. 1. Daśll spełnione są założenie ro zpatrywanego problemu oraz Jeśli graf D « R Q otrz ym an o z grafu D r* R^ orzez pr ze su ni ęc ie operacji w w e w n ę t r z n y c h segmentach, to
Ls (U£> >/ L r (“ r ^
Problem ko le jnośclowy gniazdowy z rozdziałam zasobów 33
Stęd w y ni ka wniosek, że jeśli chcemy uzyskać skrócenie drog i kr yt yc z
nej L r ( u p w D r e R 0 , to należy przesuwać ooerecje na zewnętrz s e gm en
tów (tzn. np. be zp oś re dn io przed pierwszę lub be zp ośrednio za ostatriię ooerecję segmentu), elo - w ten sposób, by uz yskany graf D s € R 0< t z ń . , by nie zawi er ał konturów.
Celem zn al ez ie ni a digrefu' i u&, w y ko rz ys tu ją c powyższy wniosek, stosuje się zmodyf ik ow an a metodę podzielu i ograniczeń, analogicznie Jak przy rozwięzyweniu ogólnego problemu sekwencyjnego w [i]. Zgodnie z tę metodę, rozpoczynajęc od dowolnego grefu poczętkowego « < A , U u S j > « R Q (tzn. od węzła po cz ętkowego w drzewie rozwięzań) generujemy - przez pr ze
sunięcie pewnej operacji na zewnętrz pewnego segmentu - cięg gr af ów bez
konturowych D r » < A , U u S r > e f?D .
S t osujęc tę metodę w każdym węźl e drzewa rozwięzań, tzn. dla każdego digrefu D r pewne luki d y sj un kt yw ne Fr e S r sę ustalone 1 nie mogę one ulec zmianie w żadnym z nast ęp ni kó w D s generowanym z D r .
R o zp at ry wa ny graf O r « R D możn a odrzucić i cofnęć się do Jogo be zp o
średniego poprzednika, w przypadku gdy:
(i) dolne og ra ni cz en ie L8r na wa rtość ^ ( “3) w s zy st ki ch m o ż l i w y c n a st ę p n i k ó w D,. grafu D r Jest nie mniejsze niż aktualne gór-.o o g r a n i c z e n i e ,
(ii) żaden z s e gm en tó w nie zawiera więcej niż Jednę operację,
(iii) żadna operacja nie może być przosanięta przed oierwszę lub za ostatnlę op erację w segmencie bez naruszenia ustalonej relacji p o p r z o d z a n i a , wyrażonej przez łukl należęce do Fr -
Przez E^(E°) w grafie D r będzie oznaczony zbiór operacji - k a n d y datów, które mogę być - przy ustalo ny ch łukach z F r - pr ze su ni ęt e przed pierwszę (za ostatnię) oper ac ję w k-tym segmencie, k * l , 2 , . . ; , K r , gdzie K r ~ Jest liczbę s e gm en tó w w £>r . Ka nd yd ac i do pr ze su ni ęc ia mogę być o c e nieni, za oomocę w y r a ż e ń zd ef in io wa ny ch w f2J dle modeli op er ac ji będę- cych funkcjami .wypukłymi. Op ty ma ln eg o rozdziału z a s o b ó w w d o w o l n y m grafie
° r e R D moina do ko na ć za pomocę algorytmu [ó] opartego o znajdowanie m i nimalnego przekroju w grafie.
4. DOLNE OGRA NI CZ EN IA
Dolne ogra ni cz en ie wa rtości L s (u^) dla n a s t ęp ni kó w grafu O r możno wy zn ac zy ć jako dł ugość drogi krytycznej przy optyma ln ym rozdziale za so bó w L (F r .Up^) w grafie o ( F r ) = < A , U u F r > lub orzmz relaksację możliwości wyko na wc zy ch wszyst ki ch maszyn oorócz wybranej wwtej. W tym celu dla każ
dej op eracji J e N v należy wyznaczyć:
- na jw cz eś ni ej sz y możliwy termin rozpoczęcia Jej realizacji , tzn.
długość na jd łuższej drog i w D ( F r ) , wybranej z dróg za cz ynajęcych się w
3 A A. Janiak
węźle z Q i dochodzącej do węzła j; przy czyn dł ug oś ć kaźd^ej z tych dróg liczona Jest przy optyoalnym rozdziale zasobów:
u - 1«N\N
wśród operacji leżących na rozpatrywanej drodze, a zbiór których będziemy oznaczać przez N ./
- końcówkę , tzn, długość najdłuższej drog i w D ( F r ) wybranej z dróg za cz ynających się w węźl e J i kończących ej,ę w węźl e z^, przy czym d ł u gość każdej z nich liczona Jeet identycznie Jadt w i el ko śc i r ^ .
Należy wyzn ac zy ć optymalną kolejność operacji ze zbioru Nv na v-tej ma szynie i op ty ma ln y rozdział z a so bó w U - cfi wś ró d tych op er ac ji
Wi3^Ny z uwzglę dn ie ni em wa rtości r ^ ^ O oraz qj > o.> O.
Dest to problem kolejnośclowy postaci:
Nv tl)r, J 0, j >. 0, Ras ^ S / C rao* 1 Jest on NP-zupołny.
Zatem musimy go sprowadzić dalej do postaci:
Nv (l)rJ 0.q*.Rea 0 / C ^ (i)
lub do postaci:
Nv (i)r*,qj> O.Reai* 0 / C ^ .
g d z i e :
q* • min q, a r » min r,.4
v/ J W J
J«"
Przy czym Jeśli rozwiązanie problemu
Nv (l)rj O.Rea ^ 0/Cmox oznaczymy prze* lv (riu*),
a rozwiązania problemu
Nv ( l ) q j > 0 , R e s ^ 0 / C nax - przez Lv (q,u*),
to rozwiązanie problemu (i) będzie równa
Problem ko lejnośclowy gniazdowy z rozdziałam za sobów 35
a rozwiązania probierni (2) będzie równe
We ko ns e k w a n c j i dla każdego grafu D r e Ro dolne og ra niczenie na p o s
tać :
Należy zaznaczyć, źe można przerwać obliczenia d o l n e g o og ra niczenia.
Jeśli w a r t o ś ć któregokolwiek z cz ł o n ó w prawej strony w y ra że ni a będzie nie
5, A L G O R Y T M R O Z W IĄ ZA NI A PROBLEMU, PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
Krok 1 (testowanie). Obliczyć dolne ogreniczenle LB, dla na st ęp ni kó w
' Jz *
grafu D r . Gęśli L B r 35 L (gdzie L - nojlopaza do tej pory znalezione rozwiązanie) to przejść do kroku 4. W przeci wn ym -przypadku przejść do kro
ku 2.
Krok 2 (rozwiązywanie). Dla di gr af u D r znaleźć optymalny rozdział u * i wyzn ac zy ć L r (u^). Gęśli Lr (^*) < L* , to L* : » L r (u*). Określić zbiory E® i e£ operacji do przesunięcia. Jedli zbiory te oę puste, to przejść do kroku 4, inaczej przejść do kroku 3.
Krok 3 (rozgałęzienia). W y br ać [2] operację w bloku i do ko na ć jej prze
sunięcia, ot rz ym uj ąc nowy graf D s i nowe rozwiązanie. Przejść do kro
ku 1. ,
Krok 4 (cofanie). Gęśli nie ma poprzednika, do którego możne się c o f
nąć, to S t o p , \P Jest rozwiązaniem optymalnyn. Inaczej wy ko na ć c z yn no ś
ci związane z aktualizacją zb io ró w operacji do przesunięcia w segmentach (analogicznie J8k w [l]). Przejść do kroku 3.
P r z y k ł a d :
R ozpatrzmy następujący problem 4/2/G, Reą ° / Cnox : L B r •• max
r V€ M v«M
(3)
36 A. Janiak
Prpblem kolejnośclowy gniazdowy z rozdzlsłem zasobów 37'
przy na stępujących modelach operacji:
D 1 = 9-4 u i • 0 < U 1 < 2 ,
°2 > 6-3 u2 : O /A 3 CM V/ 1
°3 = 5-3 u3 ' o*;
U 3 < 1
°4 = 4-2 U4 : O /A U4 « 1,5 p 5 = 4 - u5 : 0 iC U5 ** 3
Mu lt id ig ra f dysj un kt yw ny dla tego przykładu pr ze dstawiono no rys. 1.
Zgodnie z algory tm em startujemy np. z grafu 0^ » < A , U u S j > (rys. 2).
graf ten jest korzeniem drzewa rozwiązań, pr zedstawionego no rys, 3,
Na rys. 2 pr ze ds ta wi on o struktury gr af ów 0 ^ , D o ..., w y g e ne ro wa ny ch za oonocę algorytmu, przerywano linię zaznaczono drogi krytyczne; cyfry obok w g z ł ó w oznaczsję czasy trwania ooeracji.
Ooty mn ln e rozwiązanie orzykładu otrzymano dla reorezentacji łuków S 2 . tzn. dla grafu D 2 z rozdziałem za sobów uJ5 = . u * “ fi-¿' u 3 ’ ^ 3 * u* =0f4 . u 5 =/5s . L# (*> = b2 (u|^ = 7.
6. UWAGI KOŃCOWE
R o zp at ry wa ny w orscy problem można łstwo uogólnić ne przysadek, gdy operacje wy ko ny wa ne na pewnej maszynie zależę od pewnego rodzaju zasobów, na innych - od innych rodzajów zasobów, a z kolei na pewnych meszynsch czas y te sa arbitralnie ustalone.
Wsrt o także zauważyć, ża zgodnie z algorytmem w każdej chwili czasu p a mi ęt am y najlepsze znalezione do tej oory rozwiązanie i możemy go wyko*
rzystać Jako rozwięzanie przybliżone, co jest niezwykle istotne z prak
tycznego punktu widzenia. 3est to szczególnie istotne w komputerowych sy
stemach oracujęeych w czasie rzeczywistym, gdzie przedstawiony algorytm
38 A. J o n i o k
mola być w y ko rz ys ta ny do rozdziału pamięci oporacyjnoj 1 szeregowanie oro- gr am ów na procesorach £3].
LITERATURA
[lj Grabirtski 3.: Uo gó ln io no zo go dnionia oo tymalizecji kolejności op e r a cji w dysk re tn yc h syotamach produkcyjnych. Proce Naukowe 1CT Po li
techniki Wrocławskiej, 1979, Mo no gr af ie 50/9, rozdz. 4.
[V] Janiak A , , Grab ow sk i 0.! Problem se kw encyjny z rozdziałem z a so bó w w d y s k re tn yc h procesach produkcyjnych. Zeszyty Naukowo AGH No 146, K r o ków 1981.
£3] Janiak A , , Grab ow sk i 3.: Optymalne szeragowanie programów z ro z d z i a łem pamięci w systemach wieloproce so ro wy ch. Praco II K.K. " Z as to so wa
nie ko mp ut er ów w przemyśle ",1 Szcz ec in 1981.
£4} Janiak A., G r ab ow sk i J. : Op tymalizacjo sekwencji operacji z ro z d z i a łom zasobów w dysk re tn yc h aystcnach produkcyjnych. Zeszyty Na ukowe Po- litochniki Ślęskiej z, 54, Gl iw ic e 1980.
[5] Lageweg B.3. . Lenstra 3 . K . . Ri nn oy Kon A.H.G.: Jo b-ehop scheduling by implicit «numération. Manage me nt Sci, vol, 24 p.p. 441-450.
f e l P o u a H o a o K K t t H . B . j A o r o p u T U i i p e a o H K H o n i H M a x b H U x 3 a n a 4 . M o o K n a , 1 9 7 7, C T p . 1 0 5-1 8 9.
£7] W ę g l a r z J. : Project ochoduling with discrete and continuous resour
ces, IEEE Trans, on Systems, Man, and Cybernetics, vol. S M C - 9 , No 10, 1979.
Roconzant: Doc. dr hab. ln±. Konrad WA LA
W p ł y nę ło do Re dakcji 15.05.1982 r.
IIPQEÆEMA nOCJIEAOBAIEJIbHOCTH OnBPAUHtt C PACtlPEHEJIEHHEŁ! PECypcOB
P e 3 » u e
B paCore i>opHyjinpyeTCA oCiuaa npo6jieua noczenoBaTOALHOciii onepanHÜ c pac- DpeAO.isweii orpaHH'ieHHKX nenpepïiBHO seAHMKX pecypcoD, S^ech bo3hhk3ot npo- ójeua ęnpesejieHHn TaKoro nop«flKa iicnojiHeHHA 3aAav Ha oTnejibHLix arperarax, ppx coxpaHCHHH 3aflaHHOro^TexHOJtorH'iecKoro pexjtua h xanoro pacnpeae.ieHK« o- ppAHHReHjwx pecypcoa wea^y onepaipMMH, yioóu nojiyvsTb «ZHHüaxbHoe apeua bs- nofiHeux scero ppoH3uo^oTBeHHoro npouecca Qace x onepauHif). Ilpa^cTaBxeHO aji- pop»TM peceHHH 3xoii npoCaeKH «a <5a3e Mexoaa BOTsefl h rpaiiHp,
Problem kolojnoiciowy gniazdewy a rozdzielem za oobdw 39
D O B- SH OP PROBLEM W I T H THE A L LO CA TI ON OF RESOURCE
S u m m a r y
This paper ia devoted to the general Job-ahop problem with the resour
ce ollocatiOn, denoted by n/m/G, R e s i t O / C ^ ^ - Wo seek to find a i pr oc es
sing order o n each machine end e l lo ce tl on of reeource to operations such that tho maximum completion time ie minimized. This problem is NP-comple- te. It is modelled by means of disjunctive multigraph. A branch and bound technique with mixed strategy of branching ie applied to solve our pro
blem. A practical example ie presented.
