Analiza stanów nieustalonych amplidyny

(1)

NR 13

ZESZYTY NAUKOW E PO L IT EC H N IK I ŚL Ą S K IE J

E L E K T R Y K A Z. 4 1957

Mgr inż. Władysław Paszek

Z akład M aszyn Elektrycznych

A naliza stanów nieustalonych am plidyny

S t r e s z c z e n i e . W pnący niniejszej rozpatrzono w pływ w ew n ętrz n y ch sp rz ę żeń z w ro tn y c h n a p rzeb ieg fu n k c ji przejścia am plidyny przy biegu jałow ym i przy obciążeniu. P o poczynieniu p rak ty c zn ie uzasadnionych uproszczeń o trzy m u je się p o d sta w o w e zw iązki zachodzące d la trz e c h stopni w zm ocnienia u k ła d u re g u la c y j

nego złożonego z am plidyny obciążonej odbiornikiem o c h a ra k te rz e in d u k c y jn y m i pojem nościow ym ^ Po w p ro w a d ze n iu m etody b ad a n ia liniow ych u k ład ó w re g u la c y j

n y ch opisanych ró w n a n ie m różniczkow ym trzeciego rzę d u om ów iono w p ły w w ew n ę

trz n y c h sprzężeń zw ro tn y c h n a p a r a m e tr y rozm ieszczenia p ie rw ia stk ó w m ian o w n ik a o perow anej fu n k c ji p rzejścia. A nalizę zilustrow ano w yn ik am i p o m iaró w oscy- lograficznych.

1. Wprowadzenie

N a ry su n k u 1 przedstaw iono ideow y schem at am plidyny, n a k tó ry m zaznaczono uzw ojenie ste ru ją c e w y tw arzające SMM w osi pcdłuż-

Rys. 1. Id eo w y sch em at am p lid y n y

nej am p lidyn y zasilane napięciem stero w an ia Us, obwód poprzeczny am  plidyn y w y tw a rz ają cy SMM w osi poprzedniej (SMM reak cji twocrnika oraz SMM u zw ojen ia przyłączonego do szczotek poprzecznych am pli

dyny) pod w pływ em p rą d u poprzecznego J q oraz obwód obciążenia, na odbiornik

(2)

%

20 W ładysław P aszek

k tó ry składa się uzw ojenie tw ornika, uzw ojenie kom pensacyjne, któ re znosi oddziaływ anie tw o rn ik a w osi podłużnej i odbiornik zew nętrzny (silnik bocznikow y zasilany z am plidyny lub uzw ojenie w zbudzenia p rą d nicy) zasilany p rąd em podłużnym am plidyny Jj.

Obwód uzw ojenia sterującego am plidyny m ożna uw ażać jako p ierw szy elem ent u k ład u regulacyjnego (pierw szy stopień wzm ocnienia) scha

rak tery zo w an y stałą czasową T i oraz staty czn y m w spółczynnikiem w zm ocnienia napięcia K U1 = — :E

Indukcyjność uzw ojenia steru jąceg o L i m ożna przedstaw ić .jako su m ę indukcyjności stru m ien ia p rzen ik ającego przez szczelinę (indukcyj

ność szczeliny L i8 zostaje celowo w yodrębn ion a ze w zględu n a to, że stru m ień p rzenikający szczelinę decyduje o in dukow aniu się napięcia w ew nętrznego w osi poprzecznej E?) i indukcyjności nie zw iązanej ze stru m ien iem w szczelinie określonej jako indukcyjność rozproszenia L i a . Obwód poprzeczny uw aża się za drugi elem en t u k ład u reg u la cy jn e - go scharakteryzow an y w spółczynnikiem w zm ocnienia napięcia K u2 = —Ed

L ^

oraz stałą czasową T² = —- . W indukcyjności L² m ożna w yodrębnić R q

rów nież część indukcyjność zw iązaną ze stru m ien iem p rzen ik ający m szczelinę i część zw iązaną ze stru m ien iem rozproszenia L² = L²⁸ ń L²⁰ N a trzeci elem en t u k ład u regulacyjnego sk łada się odbiornik ze

w n ętrzny , opór w ew n ętrzn y am plidyny w osi podłużnej Rj, oraz in d u k  cyjność w ew n ętrzn a am plidyny w osi podłużnej L d. W przyp ad ku gdy am p lidy n a je s t dokładnie skom pensow ana, SMM tw o rn ik a w osi po

dłużnej znosi się z SMM uzw ojenia kom pensacyjnego i wówczas in d u k cyjność w ew n ętrzn a określona je s t sum ą indukcyjności rozproszeń tw o r

nik a Lao oraz uzw ojenia kom pensacyjnego L fco. O ile kom pensacja m e jest zupełna, pojaw ia się pod w pływ em p rą d u obciążenia dodatkow y stru m ie ń w szczelinie zw iększający indukcyjność w ew n ętrzn ą o w a r

tość L d o • W celu n astaw ien ia pożądanego stopnia skom pensow ania, uzwo

jenie kom pensacyjne zap ro jektow an e z kilkuprocentow ym zapasem jest bocznikow ane oporem bocznikującym Rh, zm ieniającym rozpływ p rąd u obciążenia przez opór Rh i uzw ojenie kom pensacji. W skutek bliskiego po

łożenia uzw ojeń w żłóbkach sto jan a am p lidy ny p rą d y poszczególnych stopni m ogą w pływ ać na siebie poprzez indukcyjności w zajem ne. Ze w zględu na poprzeczne położenie (względem uzw ojenia sterującego)

Us

(3)

>

A na liza sta n ó w n ieustalonych a m p lid y n y 21 uzw ojenia zasilanego ze szczotek poprzecznych, indukcyjność w zajem na M qs jest pom ijalna. Indukcyjność w zajem ną M ks m iędzy uzw ojeniem kom  pensacyjnym i uzw ojeniem ste ru ją c y m um ieszczonym i w osi podłużnej am plidyny, m ożna analogicznie ja k w p rzy p ad k u indukcyjności w łasnych rozdzielić na indukcyjności w zajem ne zw iązane ze stru m ien iem w szcze

linie M*s g oraz indukcyjności w zajem ne zw iązane ze stru m ien iem sp la

tający m się z obydw om a uzw ojeniam i, nie przen ik ający m przez szcze

linę am plidyny M ksz (stru m ień ten nie p rzenik a przez szczelinę, nie jest więc stru m ien iem u żytk o w y m i nie in d u k u je napięcia w tw orniku).

W przy p ad k u am p lid y n z uzw ojeniem kom pensacyjnym , rozłożonym w żłobkach stojana, część uzw ojenia kom pensacji, leżąca w w spólnych żłobkach z u zw ojeniem steru jący m sp lata się ze w spólnym stru m ie niem rozproszenia żłobkowego.

D ru g i stopień wzm ocnienia, nie dając zasadniczo sprzężeń in d u k cy j

n y ch z obwodam i w osi podłużnej, pow oduje oddziaływ anie n a oś po

dłu żn ą w skutek:

a) niedokładnego u staw ien ia szczotek poprzecznych w osi n e u tra ln e j (am perozwoje A z a ),

b) zezwojów k om u tu jący ch tw o rn ik a w osi poprzecznej am plidyny, k tó re przy opóźnionej k o m u tacji oddziałują dem agnesująco na pole po

dłużne (am perozw oje A z km),

c) s tr a t w żelazie tw o rn ik a am plidyny w irującego w silnym polu poprzecznym będącym stru m ieniem głów nym am plidyny (am perozw o

je A z ż).

Ze w zględu na to, że stru m ie ń ste ru ją c y pierw szego stopnia wzm oc

nienia jest znacznie m niejszy w p o ró w n aniu ze stru m ien iem w osi po

przecznej am plidy n y (stru m ień je st około 20-k ro tn ie w iększy od ‘ł1^), analogiczne oddziaływ anie tw o rn ik a n a oś poprzeczną jest procentow o znikom e i pom ijalne. W skutek dem agnesującego oddziaływ ania p rą d u po

przecznego J q na oś podłużną, p rą d uzw ojenia sterująceg o J s m usi być znacznie w iększy od m agnesującego p rą d u steru jącego J ms, k tó ry je st p ro  porcjonalny do w ypadkow ego stru m ie n ia i oporności m agnetycznej w osi podłużnej. A nalizę p racy am p lid y n y przeprow adzim y p rzy założeniu sta

łości prędkości w irow an ia w zm acniacza.

2. Obliczenie funkcji przejścia amplidyny na biegu jałowym Jak o fu n k cję p rzejścia rozum ie się, w niniejszej pracy, przebieg um ow nej w ielkości w yjściow ej am plidyny (napięcia w ew nętrznego Ed,

(4)

*

22 ' W ładysław Paszek

p rąd u obciążenia Jy) w yrażonej w postaci czasowej lub operatorow ej 1, po przyłączeniu do niew zbudzonej am plidyny um ow nej wielkości w ej

ściowej (napięcia uzw ojenia sterującego, p rąd u uzw ojenia sterującego), o postaci czasowej 1 (t) 2. D okładna postać fu n k cji przejścia am plidyny jest skom plikow ana i zależy od w ielu w ew nętrznych sprzężeń zw rot

nych am plidyny.

Poniew aż am plidy n a wchodzi jako elem ent do różnorodnych układów regulacyjny ch kom plikujących jeszcze postać fun kcji przejścia, pożądane jest w yodrębnienie prakty czn ie isto tn y ch związków m iędzy wielkością w ejściow ą i w yjściow ą am plidyny, k tó re decydują o ch arak terze przebie

gów i d ają przybliżenie o technicznie pożądanej dokładności spraw dzial- ne m etodam i pom iarów oscylograf icznych). Podstaw ow e uproszczenia wychodzą z założenia zaniedbania w p ły w u sprzężeń m agnetycznych uzw ojeń steru jący ch n a obwody drugiego sto p n ia w zm ocnienia i uw zględ

nien ia jed y nie obwodów wyższych stopni w zm ocnienia n a uzw ojenie ste rujące. Założenie tak ie m a pełn e uzasadnienie z pow odu znikom ych p rą dów i am perozw ojów uzw ojeń steru jący ch w poró w nan iu z prądem w ob

wodzie szczotek zw a rty c h oraz prądem obciążenia am plidyny. Zgodnie z pow yższym założeniem zaniedbuje się w pływ obw odu u zw ojenia kom pensacyjnego zw artego przez opór bocznikujący oraz obw odu zw arty ch zezw ojów kom u tu jący ch n a stałą czasową u zw ojenia sterującego (po

m ia ry oscylograficzne p o tw ierdzają słuszność ty ch założeń), należy n ato m iast uw zględnić w pływ : p rą d u zw ojów k om u tu jący ch w osi poprzecznej, s tr a t w żelazie tw om ika, skręcen ia szczotek poprzecznych oraz w pływ od

działyw ania tw o m ik a w ytw orzonego przez p rą d obciążenia am plidyny przy niezupełnej kom pensacji n a uzw ojenie sterujące.

A m perozw oje oddziaływ ania zezw ojów k o m u tujących są przy zało

żeniu stałości oporu przejścia szczotek oraz stałości w irow ania proporcjo

n alne do p rą d u J q, am perozw oje oddziaływ ania żelaza są p rzy założeniu liniow ej zależności stru m ie n ia poprzecznego od p rą d u szczotek poprzecz

n ych (przy pom inięciu nasycenia) oraz. p rzy p rzyjęciu kw adratow ej zależności s tra t w żelazie od indukcji, p rzy stałych obrotach w zm acnia

cza rów nież prop orcjon aln e do w ielkości p rą d u J q; oddziaływ anie po d  łużne tw o m ik a w sk u tek skręcen ia szczotek poprzecznych zależy rów nież liniowo od wielkości p rą d u J q. T ym sam ym przy stałych obrotach am p li

dy ny powyższe trz y oddziaływ ania n a oś podłużną można zastąpić p rą

1 R ach u n ek o p eratorow y stosow any w tej p racy o p iera się n a p rze k sz ta łc e n iu L ap lace’a -C a rso n a fu n k c ji czasowej / (i). A naliza czasowej p ostaci fu n k c ji p rzejścia m a dużą p rzy d a tn o ść p rak ty c zn ą d la dośw iadczalnego w yznaczenia m odelu za stę p

czego skom plikow anego u k ła d u regulacyjnego na podstaw ie oscylografieznego po

m ia ru czasowej fu n k c ji przejścia.

2 F u n k c ja jedn o stk o w a je st zdefiniow ana:

1 (t) = 1 dla t ^ 0 1 (t) = 0 dla t*< 0

(5)

*

A naliza sta n ó w n ieu sta lo n ych a m p lid y n y

i

23 dow ym u jem n y m (dem agnesującym ) sprzężeniem zw rotn ym drugiego sto

p nia w zm ocnienia n a pierw szy, co przedstaw iono schem atycznie na rys. 2a.

P rzy pom inięciu oddziaływ ania obw odu sterującego na obwód szczotek poprzecznych u k ła d ten m ożna sprow adzić do przy p ad k u przed staw io ne

go na rys. ² b, w k tó ry m in dukcyjność (szczeliny) L ig zasilana jest ze

źró dła SEM o n apięciu Us oraz ze źród ła prądow ego m qJ q. W spółczynnik m q sprow adza p rąd o w e oddziaływ anie podłużne drugiego stopnia wzm oc

nienia n a stro n ę uzw ojenia sterującego

A z km — am perozw oje oddziaływ ania zwojów k onfutujących w osi po

przecznej,

A z t — am perozw oje oddziaływ ania s tr a t w żelazie,

A z a — am perozw oje oddziaływ ania drugiego stopnia w zm ocnienia w sk u tek przesunięcia szczotek poprzecznych (w k ieru n k u obrotów).

P rą d w indukcyjności szczeliny Lis jest p rąd em m agnesującym w y

tw a rz a ją c y m stru m ie ń podłużny #</. P rzy o tw arty ch zaciskach w yjścio

w ych am plidyny n a stru m ie ń w pływ a zgodnie z założeniam i w y

łącznie napięcie ste ru ją c e Us oraz prądow e sprzężenie zw rotne m qJ q.

D la p rak ty czn y ch w yników m ożna zw ykle zaniedbać indukcyjność roz

proszenia L i o w porów naniu z induk cyjn o ścią szczeliny. W rozw ażaniach przebiegów n ieustalo n ych p rzy jm u je się stan nienasycony am plidyny.

P rzy tak im p rzy jęciu zachodzi liniow y zw iązek m iędzy p rąd em w osi poprzecznej i napięciem w e w n ętrzn y m am p lidy ny Ed = S i2Jq oraz m ię

dzy p rąd e m m agn esujący m uzw o jen ia steru jąceg o i napięciem w ew nętrz

n ym tw o rn ik a w osi poprzecznej E q = S^;2 J ms 1.

1 O bliczenie am perozw ojów oddziały w an ia, w ielkości S;-, i S,n, K ui i KU2 z n a j

d u je się w p rac y au to ra : P ro je kto w a n ie w z m a c n ia cz y m aszynoicych z polem po

p r z e c z n y m [4],

L)ćr

Rys. 2a i 2b. S chem aty zastępcze prąd o w eg o w ew nętrznego sprzężenia zw rotnego drugiego sto p n ia w zm ocnienia

gdzie m q

(6)

W ielkości S n i S;2 p rzed staw iają nachylenie c h a ra k te ry sty k i- p ierw szego i drugiego stopnia w zm ocnienia am plidyny:

D la pierw szego stopnia w zm ocnienia p rą d m agnesujący m ożna w y

godnie w yznaczyć wychodząc z zasady superpozycji prąd ó w składow ych od źródła napięcia Us i źródła p rą d u m qJ q (źródło prądow e o nieograni

czonym oporze w ew nętrznym ) i p rzy posłużeniu się zasadą Thevenina dla w yodrębnionego elem entu Lig'. P rz y pom inięciu indukcyjności roz

proszenia L i o :

Z dyskusji m ianow nika fu n k cji przejścia w ynika, że w zależności od w ielkości prądow ego sprzężenia zw rotnego czasowy przebieg n a

pięcia Ed m oże m ieć c h a ra k te r periodyczny lu b aperiodyczny tłum iony.

W arunki dla przebiegów periodycznych lub aperiodycznych, określone istnieniem pierw iastków zespolonych lu b rzeczyw istych m ianow nika fun kcji przejścia, m ożna p rzedstaw ić w postaci:

(1 + p T i) R sJ ms (p) = Us — m qR sJ q (p)

D la drugiego stopnia w zm ocnienia m ożna napisać rów nania

(1)

Ed (p) = K UU, ¹ (2)

P 2 T , T 2 + p ( T 1 + T 2) + l + ^ i i Rq

RqRs

(3) id

Rys. 3. P rzebiegi fu n k c ji p rz e jśc ia a m plidyny n a biegu jałow ym dla różnych w arto śc i sprzężenia zw ro t

nego m q

0 t

D la sprzężenia zw rotnego m q większego od m qkr przebiegi są p e rio  dyczne, dla m , rów nego lu b m niejszego od m qkr o trzy m u je się przebiegi aperiodyczne (rys. 3). O dw rotna tra n sfo rm ac ja o peratorow ej fu n k cji

(7)

A naliza sta n ó w n ieu sta lo n ych a m p lid y n y 25 przejścia o trzy m an a np. ze w zoru H eaviside’a przedstaw ia czasową postać fu n k cji przejścia:

m qS h

E d R q Ie

= 1 + --- ^ --- --- — I , (4) Eao T ^ f o - p , ) \Pi Pa/

gdzie p i, po, oznaczają p ierw iastk i m ianow nika operatorow ej fu n k cji przejścia.

D la m , > m qkr otrzym am y:

ii = i - l / — r Ti L 2

CD = / 1 + m q Rq /T , + T 2\ 2 _ _ 0 a ) T, T2

T, T2 \ 2 Tj T2 / ® ^ T , + T 2

U staloną w artość napięcia E do otrzy m u je się z granicy fu n k cji p rz e j

ścia dla p - > ⁰:

g . g ,

gdzie K„ = — —— oznacza w zm ocnienie napięcia am plidyny.

R s R

Ed0= lim Ed(p) = K u • Us , (6)

/?—>0 | T Y l g S j 1

' + K,

W technice reg u lacy jn ej często pożądane są przebiegi aperiodyczne czasowej fu n k cji przejścia. A periodyczna fu n k cja przejścia przed sta

w iona fu n k cją d w u w ykładniczą jest jednocześnie zawsze fu n k cją mono

foniczną, k tó rą m ożna sch arak tery zo w ać zastępczą stałą czasową Tz pozw alającą ocenić szybkość reg u la cji wzm acniacza. Zastępczą stałą czasow ą m ożna zdefiniow ać następ ująco :

= f w t n - W t ( t ) dt I i m i w P ( 0 ) - w P(p i (7) z J w i H - W f ( o ) P- op w , ( 0 ) - w PH

0

gdzie Wp oznacza o p erato row ą postać (przekształcenie L aplace a C ar- sona) tran sfo rm o w an ej fu n k c ji czasowej W*.

Po w staw ien iu W f = Ed (t) o trzy m u je się zastępczą sta łą czasową przeb ieg u napięcia w ew nętrznego am plidyny:

Tj + T2

S h ' (8)

Tz =

1 + m q Rq

J a k zaznaczono n a rys. 4a, fizykalny sens zastępczej stałej czasowej odpow iada zastąpien iu czasowego przebiegu E d (t) fu n k cją w ykładniczą

(8)

k

26 W ła d ysła w P aszek

o takiej sam ej pow ierzchni zaw artej pom iędzy krzyw ą a p ro stą dla w a r

tości ustalonej. W skutek przem ienności znaku pow ierzchni w p rzypadku przebiegów periodycznych (krzyw a zaznapzona linią kreskow aną), de

fin icja zastępczej stałej czasowej odnosi się w yłącznie do przebiegów

id

110X0=- X a-

Rys. 4a, 4b i 4c. Sens fizykalny zastępczej sta łe j czasowej p rzebiegu fu n k c ji przejścia

m onofonicznych. C h arak terysty czn e jest, że stosunek w zm ocnienia n a pięcia am plidyny do zastępczej stałej czasowej nie jest zależny od w iel

kości sprzężenia

Edo K u

Us Tjr = const.

T, + T2

Jeżeli sprzężenie zw rotne rów ne jest w artości krytycznej ( mq = m , ^r) odpow iadającej granicy aperiodyczności, znika w yróżnik tró j m ianu kw adratow ego m ianow nika fu n k cji przejścia i w czasowej postaci fu n k cji przejścia w y stęp u je wówczas stała czasowa rów na połowie zastępczej stałej czasowej T z:

Ed = Us Ku

1 + m q Si

Ra

L / t

1 - e + - (9)

T k = 2 T 1 T2

T, + T² — Tz . 2

(9)

A n a liza stanów n ieu sta lo n ych a m p lid y n y 27 W p rzy p ad k u am plidyny bez prądow ego sprzężenia zw rotnego m , — 0 fu n k cja przejścia w y rażająca się rów naniem :

Ed

t_ _ t _

T‘ rr, T*

T, e — T 2e

_ i _ i i i ~ i z e - (10)

Eod T, — T 2

posiada zastępczą s ta łą czasową Tz = T j + T² rów ną sum ie składow ych sta ły c h czasow ych niezależnie od stosunku składow ych stałych czasowych Ti /T o 1. N a ry su n k u 5 w ykreślono przebiegi czasowe powyższej k rzy  w ej dw uw ykładniczej dla różnych udziałów stałej czasowej T i w su

m arycznej zastępczej stałej czasowej T i + T2 = const. Z ry su n k u w i

doczne jest, że chw ilow e w artości czasowej fu n k cji przejścia odbiegają

Rys. 5. Czasow e przebiegi fu n k c ji przejścia am plidyny n a biegu ja ło w y m bez w e w n ę trz n y c h sprzężeń z w ro t

n y ch p rzy ró żn y m u dziale sk ładow ych sta ły c h czasow ych w założonej stałej w arto śc i zastępczej sta łe j czasowej

T z = T i + T 2

prakty czn ie nieznacznie od rów now ażnej fu n k c ji w ykładniczej, o zastęp

czej stałej czasowej T z = T i -f To. D la w artości chw ilow ych, poniżej oko

ło 0,7 w artości ustalonej, szybciej n a ra s ta ją fu n k cje o dużym stosunku Ti/To lu b T o/T i. D la w arto ści leżących pow yżej 0,7 w artości ustalonej, szybciej n a ra s ta ją fu n kcje o stosunku T i/T2 zbliżającym się do jedności.

Zastępczą stałą czasową T z przebiegów' m onofonicznych zdefiniow aną rów naniem (7) m ożna rów nież przed staw ić fizykalnie jako rów now ażny średn i czas trw a n ia odchyłki w arto ści w yjściow ej W f (t) od w artości u sta  lonej W, (oo), rów nej odchyłce W t (oo) — Wf (0) dla początkow ej chw ili czasowego przebiegu w ielkości w yjściow ej (rys. 4 b). D la przebiegu w y kładniczego czas te n rów ny je st stałej czasowej funkcji w ykładniczej; dla przebiegu dw u- lu b w ielow ykładnicz ego czas ten jest sum ą składow ych stałych czasowych.

Często k o rzy stn e je s t w p row adzenie inaczej zdefiniow anej zastępczej stałej czasowej T ' z określonej rów naniem :

1 P rz y jęc ie w y p ad k o w ej sta łe j czasowej ja k o iloczynu stały ch T i i T2, sp o ty  k an e w lite ra tu rz e [3], w św ietle pow yższych ro zw ażań je s t błędne.

(10)

28 W ła d ysła w Paszek

r , = 2 f [ w , ( ° ° ) - « M . n =dl J Iw ,(o o ) — W ,(0) J O

S tała czasowa odpow iada tu dw u krotnej w artości rów now ażnego cza

su trw a n ia k w adrato w ej odchyłki w artości w yjściow ej W(#) od w artości ustalonej W/(oo) rów nej kw ad rato w i odchyłki dla początkow ej chw ili czasowego przebiegu wielkości w yjściow ej (rys. 4c). W p rzyp adk u prze

biegów stab ilny ch pow yższą całkę niew łaściw ą łatw o rozw iązać znając tran sfo rm ację operatorow ą fu n k cji podcałkow ej, k tó ra z kolei je s t kw a

d rate m fu n k cji o znan y m przek ształceniu operatorow ym : W P (0) W p (p) = .

Wp (0) — W p(c^) p

O peratorow ą fu n k cję podcałkow ą m ożna znaleźć w yko rzy stu jąc w łasność splotu fu n k cji operatorow ych pp(p) i cpp(t), k tó re są ogólnie tra n sfo rm ac jam i fu n k cji czasowej r\t(t) i odpow iednio cpf(t).

D la poszczególnego p rzy p adk u t]t(t) = ą>,(t) otrzy m am y szukaną po

stać operatorow ą fu n k cji podcałkow ej, n a podstw ie k tó rej łatw o obliczyć całkę niew łaściw ą określającą szukaną stałą czasową T 'z:

r z = _ l l J7 f p ( - p ) f p ( p ) dp = 2 s R e s U ( - P ) f E M ,

2

%j J

^{- p} ³ ^{- p} ²

—j oo

R ezidua obliczyć należy dla p u n k tó w osobliw ych (biegunów) funk cji

— . W p rak tyczn ych zagadnieniach analizy fu n k cji p rzejścia sta -

P . .

tecznych uk ład ów reg u lacy jn y ch , o peratorow ą fu nkcję f (p) posiadającą skończone granice f p(0) i fp(oc) m ożna p rzedstaw ić w postaci:

g d z ie — P- j e s t fu n k cją ułam kow a w ym ierną, k tó rej stopień w ielom ianu H(p)

licznika U(p) jest m niejszy od . stopnia w ielom ianu m ianow nika H(p).

P rz y tak im założeniu

T'z = ² f dp = 2 2 Res — ---- = 2 , (7b)

2 Tij

J

H(—p) (H (p) ^ H(—p)H(p) H (-p*)H '(P *)

_ / o o

gdzie G(p) = U(—p) Ufp) = bnp2n~2 + bt p2" “ 4...+ b y — ¹ H(p) = a0p" + aj p'!_1

+ a„

dp P*

Pk

— pierw iastki wielomianu H(p) = 0

(11)

*

A n a liza stanów n ieu sta lo n ych a m p lid y n y 29 M ożna w ykazać [4], że zastępczą stałą czasową T ', w yrażoną wyżej za pom ocą reziduów m ożna otrzym ać w p ro st ze w spółczynników w ie

lom ianu bez konieczności szukania p ierw iastk ó w w ielom ianu H(p).

W poniższym zestaw ieniu podano w oparciu o pracę R. S. P hillipsa [2], ró w n an ia na obliczenie zastępszych stały ch czasow ych T z do czw ar

tego stopnia w ielom ianu H(p) w łącznie;

T' = 1 b0

(Zn (Z0 U1

b0 + a0 Ł>i r =1 Z2 — a0 a1

U I k aoa i bo d-2 b0 +

T 'z3 =

a0 (a0 a3 at a..,)

cIq b3 ■ .

b0 (— di a4 4- a2a³) — atJ asbi + a 0a i ^{^>2} H— ~~~ (aoas — a i a²)

T ' X z4 = --- , , ^{2 , 2} 5--- 5---•

d0 (do ⁰³ + Oi ⁰⁴ — Oi o² a3

Na p rzy k ła d zastępcza stała czasow a T’, przebiegu opisanego opera

to ro w ą fu n k c ją p rzejścia

W 2( p) = — K

p2 + 2 — p + w2

T wynosi

(íoT)3 + 4 T' =

D la przebiegu w ykładniczego czasowej fu n k cji p rzejścia otrzy m uje się zastępczą stałą czasową

T \ = T = T z.

D la aperiodycznego przebiegu dw u w ykładni czego

r ’ - r - - r ‘ - ¿ ' X ' D la aperiodycznego przeb ieg u trójw y kładniczeg o

(T, T, + T z T³ + T, Ts) T^'2 = T, + T, + T³ d — t t T.

T- + T - + T - + T , T , + ; , ń ' + 4 v

D efinicja stałej czasowej T'z zachow uje ważność rów nież dla s ta  tecznych u kład ów reg u lacy jn y ch , o p eratoro w ą fu nkcję t(p) posiadającą

/

(12)

letę w porów naniu z definicją zastępczą stałej czasowej T z, poniew aż nie w ym aga kontroli w arunków m onotoniczności. W adą tej definicji jest u tru d n io n e szukanie w ielom ianu G (p) = U (—p) U (p) dla układów w yż

szych stopni i stosunkow o niep rzejrzy sta postać ró w n ań określających zastępczą stałą czasowa z danych w spółczynników w ielom ianu G(p) i H(p).

3. Oddziaływanie trzeciego stopnia wzmocnienia Podstawowe równania różniczkowe

W pływ prąd u obciążenia am p lid y ny J d na oś podłużną p o w staje w sk u tek indukcyjności w zajem nej m iędzy uzw ojeniem tw o rn ik a, w raz z uzw ojeniem kom pensacji, a uzw ojeniem sterującym , oraz pon ad to skutk iem istnienia obw odu zam kniętego przez opór bocznikujący uzw o

jen ie kom pensacji. W obwodzie ty m p rzy zm ianach stru m ienia sprzę

gającego się z uzw ojeniem kom pensacji in d u k u ją się p rąd y oddziałujące n a pole podłużne. D la analizy oddziaływ ania trzeciego stopnia wzm oc

nienia w ygodnie je s t w y odrębnić z indukcyjności w zajem nej m iędzy uzw ojeniam i w osi podłużnej zasilanym i p rądem obciążenia (uzw ojenie tw o rn ik a am plidyny, uzw ojenie kom pensacyjne) a uzw ojeniem s te ru jącym indukcyjność w zajem n ą zw iązaną ze strum ien iem p rzenikającym szczelinę am plidyny M dsz oraz indukcyjność w zajem ną zw iązaną ze stru  m ieniem nie p rzen ik ający m do tw o rn ik a M dsa (strum ień splatający się z uzw ojeniem kom pen sacy jn y m i uzw ojeniem ste ru ją c y m w stojan ie am plidyny).

S tru m ień p rzen ik ający szczelinę pow staje p rzy nieskom pensow anej am plidynie w sk u tek niezrów now ażenia SMM oddziaływ ania tw o rn ik a w osi podłużnej z SMM uzw ojenia kom pensacyjnego. S tru m ień ten w yw ołuje zm iany SEM ro ta c ji indukow anej w osi poprzecznej tw ornika Eq oraz sprzęgając się z uzw ojeniem ste ru ją c y m in d u k u je w nim SEM tra n sfo rm ac ji p rzy zm ianach strum ien ia. W pływ indukcyjności w zajem nej Mds3 zw iązanej z polem w szczelinie przy założeniu m a

szyny niedokom pensow anej m ożna zastąpić prądow ym ujem nym sp rzę

żeniem zw ro tnym trzeciego stopnia wzmocnienia, podobnie ja k w p ływ prądow ego sprzężenia zw rotnego m q — prądow ym u jem ny m sprzęże

niem zw ro tn ym drugiego stopnia wzm ocnienia. (W układzie re g u la c y j

n ym obwód obciążenia am plidyny: silnik, uzw ojenie w zbudzenia ge

n e ra to ra lu b in n y odbiornik p rzedstaw ia trzeci elem ent łań cu ch a u k ład u regulacji, k tó ry m ożna uw ażać jako trzeci stopień w zm ocnienia). W pływ indukcyjności w zajem nej m iędzy uzw ojeniam i w osi podłużnej zasi

lanym i p rąd em obciążenia a uzw ojeniem steru jący m , zw iązanej ze s tr u m ieniem nie przen ik ający m przez tw o rn ik (indukcyjność w zajem na Mk .a

\

(13)

A n a liza stanów n ieu sta lo n ych a m p lid y n y 31 m iędzy uzw ojeniem kom pensacyjnym a uzw ojeniem sterującym ), powo

d u je pow stanie sprzężenia zw rotnego trzeciego stopnia wzm ocnienia, któreg o w p ływ zależny jest od pochodnej p rą d u obciążenia (SEM tra n s form acji w u zw ojen iu ste ru ją c y m pow staje ty lk o ■ w sk u tek zm ian p rąd u obciążenia).

P rą d obciążenia am plid yn y rozdziela się w stanie ustalon ym na p rąd w gałęzi bocznika R b oraz na p rą d uzw ojenia kom pensacyjnego zgodnie z p raw em K irch h o ffa odw rotnie proporcjonalnie do oporności czynnych. P rzez odpow iedni dobór oporności bocznika m ożna doprow a

dzić do dokładnego skom pensow ania am p lid y n y w stan ie ustalonym . N ie

m niej je d n a k w sta n ie nieustalonym , kiedy o rozpływ ie p rą d u w uzw ojeniu k o m p ensacyjn ym i oporze boczn iku ją

cym d ecy d u je oprócz oporności czyn

nej rów nież oporność in d u k cy jn a, zm ienia się sta n skom pensow ania am plidyny. W pływ te n m ożna p rze d sta wić jako o ddziaływ anie obw odu k om pensacji pochodzące od dodatkow ego p rąd u w boczniku, k tó ry jest w y in d u - kow any przez zm ianę stru m ie n ia

sprzęgającego się z uzw ojeniem kom - Rys. 6. S ch em at ideow y am plidyny

pensacyjnym . Z akładając, że zm iany z u w zględnieniem w ew n ętrz n y ch

znikomego, steru jąceg o stru m ie n ia po- sprzężeń zw rotnych

dłużnego w szczelinie p rak ty c zn ie nie

indukują p rąd ó w w obwodzie oporu bocznikującego (założenie p o tw ier

dzone lab oratory jnie), w p ły w oporności bocznikującej pochodzi w yłącznie od zmian stru m ie n ia rozproszenia uzw ojenia kom pensacyjnego, k tó ry jest w ielokrotnie w iększy od znikom ego stru m ie n ia szczeliny w osi podłużnej.

W pływ gałęzi bocznika u zw ojenia k om pensacji na stru m ie ń podłużny am plidyny zależy od pochodnej p rą d u obciążenia i pow iększa ty m sa

m ym wypadkow e sprzężenie zw ro tn e trzeciego stopnia wzm ocnienia zależne od pochodnej p rą d u Jg.

Na ry su n k u ⁶ przedstaw iono sch em at zastępczy am plidyny, k tó ry uzupełniono omówionymi w yżej sp rzężeniam i zw rotnym i począwszy od trzeciego stopnia wzm ocnienia. Z aniedbując, podobnie jak w poprzednim punkcie, oddziaływ anie in d u k cy jn e obw odu sterow ania n a wyższe stop

nie w zm ocnienia oraz oddziaływ anie w yższych stopni w zm ocnienia na siebie, otrzy m u je się p odstaw ow e ró w n an ia różniczkow e am plidyny.

Jeżeli dodatkow o pom iniem y induk cyjn o ści rozproszenia* uzw ojenia ste

(14)

4

rującego, w porów naniu z przew ażającą indukcyjnością szczeliny otrzy

m am y:

R s h m s + T t \ — Us — m q Rs Ją — md RsJ d — ndR s • — - , . ' ' ' i t«. - -o (lla )

dt / dt

R , J , + T2 — ^ ( l l b)

dt ( l l b)

12

J q i

( l i d ) ( He ) ( l i c)

gdzie Rkz Mkst ^ Mks

Rb Rs

( U f ) D odatnie w artości m d i m q odpow iadają u jem n y m sprzężeniom zw ro t

n ym (skręcenie szczotek poprzecznych w k ie ru n k u obrotów, niedokom pensow anie am plidyny). Pow yższe rów n ania opisują z dostateczną dokładnością p racę am plidyny w stanie nieustalonym . W n iek tó ry ch . p rzyp adk ach m ożna w yodrębnić jeszcze w pływ tej części pola ro z

proszeń czołowych tw o rn ik a od p rąd u podłużnego J d, k tó re in d u k u je SEM ro tacji w osi poprzecznej tw ornika. Pole rozproszeń czołow ych m ieszczących się poza obrębem żelaza am plidyny w y tw a rz a pole sto jące w m aszynie, w k tó ry m w iru je uzw ojenie tw ornik a. Ta część pola, k tó ra nie m ieści się w strefie k o m utacy jnej osi podłużnej, in d u k u je SEM ro tacji tw o rn ik a w y p ły w ającą n a napięcie w ew n ętrzn e E ą am 

p lid y n y (pole w stre fie k o m utacy jn ej in d u k u je napięcie w zezw oju z w a rty m przez szczotkę i nie w pły w a n a napięcie E q). D la uw zględnie

n ia w p ły w u pola połączeń czołowych nie sprzęgającego się z uzw oje

n iem ste ru ją c y m należałoby p raw ą stron ę w zoru (U d) powiększyć 0 składnik cdJ d. M ożna jednakże zachować zw iązek ( l i d) w niezm ienio

nej postaci, a jed y n ie w prow adzić zastępczą w artość m agnesującego p rąd u sterującego J ' ms — J ms + cdJ d/ S u w y stęp ującą we w zorach ( l l a ) 1 (U d). P rzy tak im założeniu w e w zorach l l a w spółczynnik sprzężenia zw rotnego m d pow iększa się o w artość cd/ S n , a w spółczynnik n d 0 w artość TiCd/S-,i. T ym sam ym c h a ra k te r przebiegów nie ulega zm ianie 1 nie zachodzi fo rm aln ie konieczność w prow adzenia dodatkow ych zm ian schem atu zastępczego. Ja k w ykazały obliczenia,. w pływ pól połączeń czo

łow ych jest raczej nieznaczny i p raktycznie nie zm ienia w spółczynników m d i n d w yznaczonych z danych k on stru k cy jn y ch bez uw zględnienia SEM ro ta c ji pola rozproszenia czół.

Jeżeli am plid yna p racu je w stanie dokładnego skom pensow ania, m oż

na w p ierw szym przyb liżen iu pom inąć w pływ p rądow ych sprzężeń zw rot

(15)

4

nych trzeciego stopnia w zm ocnienia, co znacznie upraszcza analizę am plidy ny stanow iącej elem en t skom plikow anego u k ład u regulacyjnego.

Na pracę am p lidy ny najw ażn iejszy w pływ m a sprzężenie zw rotne to,, (które reg u lo w ane je s t skręceniem szczotek poprzecznych) oraz sprzę

żenie zw rotn e m d (regulow ane opornikiem bocznikującym kom pensację).

N ajbardziej niepożądany w p ływ w y w iera sprzężenie zw rotne n d, w k tó  ry m p rzew aża zw ykle znacznie składow a Mfcso/R s. R ozpatrzy się dwa podstaw ow e p rzy p ad k i pracy am plidyny zasilającej odbiornik in d u k cy jn y (uzw ojenie w zbudzenia generatora) oraz odbiornik pojem nościow y (silnik p rą d u stałego o sta ły m w zbudzeniu przed staw iający pojem ność elektrodynam iczną). O trzy m an e wyżej ró w n an ia pozw alają w yznaczyć fu n k cję p rzejścia założonego u kładu reg ulacyjnego p rzy przyłożeniu na jedno u zw ojenie ste ru ją c e am p lid yn y napięcia o postaci U s 1 (t) (inne uzw ojenia ste ru ją c e zakład a się jako nieczynne i otw arte).

4. Odbiornik indukcyjny

Z in dukcyjnością z e w n ętrzn ą obciążenia sum uje się indukcyjność w ew n ętrzn a am plidyny. Poniew aż odbiornik in d u k cy jn y sprow adza się w zasadzie p rak ty c zn ie do u zw o jen ia w zbudzenia prąd n icy bocznikowej sterow anej przy pom ocy am plidyny, p rzy jm u je się za w ielkość w yjścio

wą u k ład u reg ulacyjnego p rą d obciążenia am plidyny J d w ytw arzający strum ień p rądn icy. W te n sposób trzeci stopień w zm ocnienia u kład u regulacyjnego m ożna sch arak teryzo w ać rów naniem różniczkow ym :

Ed = J d R + Ld • (12)

dt

lub w postaci operatorow ej dla zerow ych w a ru n k ó w początkow ych (dla otrzym ania fu n k cji p rzejścia całego u k ład u wychodzi się z zerow ych warunków początkow ych w szystkich elem entów u k ład u regulacyjnego):

Jd(p) = ~ 7 7 ~ .d~~zr: » (13)

gdzie ^ 1 P 3)

L d = L„. + L0 — indukcyjność w obw odzie obciążenia am plidyny sk ład ająca się z indukcyjn ości w ew nętrznej L„, i indukcyjności odbiornika Lo;

R — oporność obw odu obciążenia am plidyny złożona z oporności w ew n ętrzn ej am p lidy ny (tw ornik, uzw o

jen ie kom pensacyjne, opór przejścia szczotek) oraz oporności odbiornika,

T3 = —^ — stała czasowa obw odu obciążenia (trzeciego stopnia wzmocnienia).

A n a liza sta n ó w nieu sta lo n ych a m p lid y n y 33

3 E le k tr y k a zesz. 4

(16)

U w zględniając ró w n an ia różniczkow e am plidyny w iążące p a ra m etry w szystkich trzech sto p n i w zm ocnienia oraz w ew n ętrzn e sprzężenia zw rot

ne otrzy m uje się po prostych przekształceniach szukaną operatorow ą fu n k cję przejścia:

r , , _ U s K u_________ 1_________________________

(1 H-pTj) (1 + p T 2) ( l + p T³) + m „ - h ( l + p T³) + ( m (i+ h d p ) - '

i \q A

(14)

S S ’ Ed

gdzie Si = 11 12 nachylenie c h a ra k te ry sty k i am plidyny S; = --- .

Rq J sm

M ianow nik fu n k cji przejścia p rze d staw ia w ielom ian ch arak tery sty cz

ny rów n ania różniczkowego trzeciego rzęd u opisującego przebieg p rą d u obciążenia. W skutek w ew n ętrzn ych sprzężeń zw rotnych zm ieniają się w spółczynniki przy pierw szej potędze oraz w y ra z w olny w ielom ianu, co m oże spowodować zasadnicze zm iany c h a ra k te ru przebiegu. Rozmiesz

czenie pierw iastkó w w ielom ianu ch arak tery stycznego decyduje o cha

ra k te rz e przebiegów całki ró w nan ia różniczkow ego (przebieg aperiodyczny dla pierw iastków rzeczyw istych, przebieg o scylacyjny dla p ie r

w iastków zespolonych, przebieg tłum iony, stabilny, dla p ierw iastk ó w położonych w lew ej półpłaszczyźnie zespolonej, p rzebieg n iestab iln y dla p ierw iastków w praw ej półpłaszczyźnie zespolonej).

Celem analizy w ielom ianu ch arakterystycznego je st om inięcie żm ud

nego w yznaczania pierw iastków w ielom ianu i określenie w aru nkó w dla odnośnych przebiegów (np. nierów ności R o u th a-H u rw itza określające w aru n ki stabilności, nierów ności E u le ra i W ysznegradzkiego dla określe

nia w arunk ó w przebiegów aperiodycznych). N a p rzy k ład dla w ielo

m ian u trzeciego sto p nia o dodatnich w spółczynnikach

W3(p) = a0p3 + a i p2 + a 2p + a3 (15) konieczne i dostateczne w a ru n k i stabilności określają nierów ności H u r-

w itza: G, Cto

> 0; a 3> 0; ^ > 0; ao > 0 (16)

Ł1 “ 3

CtO ^ 2

K onieczne, aczkolw iek niedostateczne w aru n k i aperiodyczności o k re ślają nierów ności E ulera:

“ 5 > (1 + j < ) (1 + 3 3 ; ) “ * " , “* + " • ( 1 7 )

W aru n ek konieczny i dostateczny u k ład u trzeciego stopnia określa nierów ność W ysznegradzkiego:

(17)

Poniew aż w p rak ty c e bardzo żm udnie o p eru je się nierów nością W y- sznegradzkiego (dla układów w yższych stopni w a ru n k i konieczne i do

stateczne są jeszcze bardziej skom plikow ane), bada się często układy reg u lacji ze w zględu n a dobór p a ra m etró w n a podstaw ie nierów ności E ulera, m ając n a uw adze pozostaw ienie zapasu w m ożliw ościach n a

staw ień u k ład u w k ieru n k u m ajoryzow ania nierów ności E ulera. Po dokonaniu doboru p aram etró w , na podstaw ie przeprow adzonej analizy, spraw d za się już dla k o n k retn y c h w artości w spółczynników w ielom ianu ch arak terystyczneg o czy w a ru n e k W ysznegradzkiego jest spełniony.

D la w ielom ianu czw artego stopnia o trzy m u je się nierów ności H u r- w itza określające w a ru n k i stabilności przy dodatnich w spółczynnikach w ielom ianu:

G, do Ok

A n a liza stanów n ieu sta lo n y ch a m p lid y n y 35

A3 1 a0 ⁰²^cł⁴

0 a t a3

= a¹(a³a² — ai a1) — a³a o> ⁰. (16b)

Konieczne lecz niedostateczne w a ru n k i nieperiodyczności E u lera dla wielom ianu n-tego stopnia m ają postać:

a* - ¹ a* +¹, stąd dla n = 4

2 ( l — -

\ k

a | > ( l — -^-J11 ~h ^ 1 + (17a)

P rzy pom inięciu w e w n ętrzn y ch sprężeń zw ro tny ch (m? = m d =

= n d = 0) w ypadkow a o p erato row a fu n k c ja p rzejścia je st iloczynem składow ych fu n k cji p rzejścia oddzielnych stop ni w zm ocnienia 1:

T , . U s K u ¹

Jd (p)

R ( l + p T 1) ( l + p T2) ( l - j - p T 3)

P rz y zerow ych w a ru n k a c h początkow ych, m ających m iejsce przy analizie fu n k c ji przejścia, p rzebiegi aperiodyczne tłum ione są jednocześ

nie zawsze przebieg am i m onofonicznym i (ściśle: aby przebiegi aperiody

czne b y ły m onofoniczne, w y starcza gdy zachodzą zerow e w a ru n k i po-

1 O p erato ro w ą fu n k c ję p rze jścia m ożna p rzed staw ić dla pierw szego stopnia w zm ocnienia w p ostaci: En (p) = K „ , ---1

Q 1 + P T ,

d la drugiego sto p n ia w zm ocnienia E., (p) = K --- 1 + p T2

E 1

dla trzeciego sto p n ia w zm ocnienia j (n) = — ________

d W R 1 + p T,

(18)

*

czątkow e tylko dla pochodnej pierw szej i w szystkich w yższych rzędów analizow anej w ielkości w yjściow ej). P rzebiegi m onofoniczne zachodzą rów nież w przy p adku stab iln ych przebiegów oscylacyjnych (przy zero

w ych w aru n k ach początkow ych pochodnych wielkości w yjściow ej), je

żeli p ierw ia ste k w lew ej półpłaśzczyźnie zespolonej, najbliższy osi liczb urojo ny ch jest p ierw iastk iem rzeczyw istym i gdy istn ieje tylko jedna p a ra pierw iastk ów zespól on o-spr z ęz onych.

Jeżeli najbliżej osi liczb u ro jo n y ch leży pierw iastek zespolono-sprzę

żony, czasowy p rzebieg w y k azu je zaw sze c h a ra k te r niem onotoniczny.

W aru n k i przebiegów aperiodycznych są bardziej złożone od w a ru n ków m onotoniczego przebiegu czasowej fu n k cji przejścia. D latego czę

sto w ygodnie jest w yjść w stab iln y ch u k ładach opisanych w ielom ianem c h arak tery sty czn y m trzeciego sto pn ia z w a ru n k u m onotoniczności po

danego przez W ysznegradzkiego:

• ² cii — 9aQa1a2 + 27asal <1 ⁰ , (18a) k tó ry stanow i w a ru n e k istnienia rzeczyw istego p ierw ia stk a w ielom ianu w lew ej półpłaśzczyźnie zespolonej, najbliższego osi liczb urojonych.

D la w ielom ianów w yższych stopni nie znaleziono dotychczas alge

braicznej zależności w aru n k ującej położenie pierw szego p ie rw ia stk a rze czyw istego zbliżonego do osi liczb urojonych z danych w spółczynników w ielom ianu.

D la w ielom ianu czw artego stopnia, k tó ry posiada co n ajm n iej jed en p ierw ia ste k rzeczyw isty (o istn ien iu p ierw iastk a rzeczyw istego m ożna się przekonać drogą próby) i k tó ry opisuje sta b iln y u k ład reg u lacy j

ny, m ożna w prow adzić dostateczny w aru n ek m onotoniczności:

a? — a0a 1a2 + ⁸do a3 < ⁰ , (18b) W aru nek te n nie je st konieczny i nie przesądza o istnien iu p ierw iastk a rzeczyw istego w pobliżu osi liczb u ro jo n y ch przy niespełnieniu nierów ności (18 b).

D la przebiegów m onotonicznych m ożna ocenić szybkość reg u lacji za pom ocą zastępczej stałej czasowej T z zgodnie z wzorem (7). W ogól

n ym w ypadku, gdy m onofoniczna fu n k cja w yjściow a w yraża się w po

staci operatorow ej fu n k cją ułam kow ą:

Y ( p | = ■An + ^{A n - l p} + ^An- 2 p8 + ...Ag P" ■

B„ + B„_! p + Bu—2 p + ... B0p"

zastępcza stała czasowa obliczona w edług w zoru (7) w ynosi:

T = Bn—l/ B n An—l l An ^Q\

1 - { A J A n) ( B „ / B 0) ’

(19)

P rzy pom inięciu w ew n ętrzn y ch sprzężeń zw rotnych am plidyny cza

sow a postać fu n k cji przejścia p rzed staw ia fu n k cję tró jw yk ładn iczą o sta

łych czasow ych T i, T 2, T 3:

t t t

A n a liza sta n ó w n ieu sta lo n ych a m p lid y n y 37

Ja(t) 1 _

J do

T * e T' j T.,2 e ^ | T j e ^

(21) .(T2- T J (T3- T J (T1 — Ta)(T3 — T.,) (T2 —T3)(T1 —T3)J O trzy m any m onotoniczny n ie m alejący przebieg p rą d u obciążenia m ożna scharakteryzow ać zastępczą stałą czasową:

Tz = T1 + To + T3

obliczoną n a podstaw ie ró w n an ia (7). U staloną w artość o trzym u je się z fu n k cji przejścia, przechodząc do granicy z p a ra m e tre m p ^ O :

USK U

J do —

R

P rz y uw zględnieniu w ew nętrznych, sprzężeń zw rotn ych zm ienia się m ianow nik fu n k cji przejścia:

Jd(P) = — ™ • — V r <22>

R W³ (p)

W³ (p) = P 3 TjT²T³ + p² (TxT² + T²T³ + TjTj) + p (T j + T² -f T³ + . TTin * S/i m i SA | Su . S7 . ^

+ — --- T2 + n d — -I- m , — + m d — + 1

R , R / R q R

D la przebiegów m onofonicznych zastępcza stała czasowa w ynosi:

T¹ + T² + T³ + m.⁷^ T ³ + n d f

Tz = --- ^ --- — . (23)

1 + m q ^ q J r m d ^

Jeżeli w ielkość w yjściow ą p rzed staw ia p rą d obciążenia am plidyny (prąd w zbudzenia p rąd n ic y sterow anej p rzy pom ocy am plidyny), w ów czas chodzi zw ykle o uzyskanie w ysokiej dobroci w zm ocnienia, k tó rą m ożna p rzed staw ić d la p rzebiegów m onotoniczny ch jako stosunek w spółczynnika w zm ocnienia (iloraz u stalo n ej w ielkości w yjściow ej do w ielkości w ejściow ej — w ro zp a try w a n y m w y p a d k u J<//Us) do zastęp czej stałej czasowej Tz.

Q = _Jdo_ = ---K u m

U ° T * R ( T 1 + T 2 + T 3 + m q^ T , + n d - ^

Rq R

D la u z y sk an ia w ysokiej dobroci w zm ocnienia należy dążyć do zm niejsze

n ia w artości

Ti~\-T2-}~ To -j- Ud . (24a)

\ ^{R q/} ^R

(20)

i

Z otrzym anej relacji w ynika, że dobroć w zm ocnienia nie zależy od stop

nia przekom pensow ania am plidyny. Stopień przekom pensow ania w p ły w a natom iast n a w spółczynnik w zm ocnienia i zastępczą sta łą czasową.

W p rzy p ad k u nadm iern ie dużej stałej czasowej T3 może okazać się ko

rzy stn e zastosow anie dodatkow ego sprzężenia zw rotnego m , (skręcenie szczotek w k ieru n k u p rzeciw nym do k ieru n k u obrotów am plidyny), jed nakże ze w zględu n a to, że tak ie dodatnie sprzężenie zw rotne pociąga za sobą pow iększenie zakrzyw ienia c h a ra k te ry sty k i w yjściow ej w zm ac

niacza oraz zw iększenie rem an en tu , dodatnie sprzężenie zw rotne m a stosow ane jest raczej rzadko. W p rak ty c e częściej chodzi o zm niejszenie stałych czasow ych u k ładu regu lacy jneg o (am plidyna daje w ysoki za

pas w spółczynnika wzm ocnienia, a .w razie konieczności zw iększenia w zm ocnienia m ożna zastosować d o datkow y elem ent w zm acniający, k tó ry zasila obwód sterow ania am p lid y n y — w zm acniacz m agnetyczny, w zm acniacz lam pow y). Wówczas k o rzystna je st p raca am plidyny w sta nie niedokom pensow ania ( m j > 0).

D okładną analizę w pływ u w ew n ętrznych sprzężeń zw ro tn y ch am pli

dyny n a c h a ra k te r przebiegu fu n k cji przejścia um ożliw ia m etoda po

dana w punkcie 6. Szczególnym przypadkiem obciążenia indukcyjnego am plidyny je s t p rzy p ad ek obciążenia czysto czynnego, dla którego — p rzy pom inięciu indukcyjności w ew nętrzn ej — stała czasowa T³ = 0.

W tak im przy p ad k u fu n k cja przejścia określona jest rów naniem różnicz

kow ym drugiego rzędu (m ianow nik o p e ra to r owej fu n k cji przejścia jest w ielom ianem drugiego stopnia). Z astępcza sta ła czasowa przebiegu w y raża się w przy p ad k u aperiodycznej fu n k cji p rzejścia w sposób n astę

pujący: s .

T i + T2 + na

Tz = ---^ Z - z - • (25)

1 - j - m , — + m d —

R q R

C h arak tery sty czn e jest, że p rzy idealnie skom pensow anej am plidynie i zrów now ażeniu w p ły w u oddziaływ ania żelaza tw o m ik a i zwojów ko

m u tu jący ch m d = m ą = 0, napięcie am plidyny i ty m sam ym p rą d ob

ciążenia w z ra sta w olniej aniżeli w p rzy p ad k u biegu jałow ego w sku tek w pły w u in d u k cji w zajem nej m iędzy uzw ojeniem kom pensacji a uzw o

jeniem ste ru ją c y m oraz w sk u tek oddziaływ ania obwodu kom pensacji zam kniętego oporem bocznikującym . Rozbieżności zastępczej stałej cza

sowej p rzy obciążeniu oporem czynnym i p rzy biegu jałow ym m ogą być bardzo znaczne, co p otw ierdziły p om iary lab o ra to ry jn e am plidyny p ro d u kcji k rajo w ej oraz szeregu am p lidy n zagranicznych. J a k w ykazały po

m iary, pom inięcie w p ły w u sprzężenia zw rotnego n d może dać rez u lta ty bardzo odbiegające od rzeczywistości.

(21)

A n a liza sta n ó w n ieu sta lo n ych a m p lid y n y 39 P raw idłow o zap ro jek to w an e uzw ojenie kom pensacyjne posiada ty l

ko znikom y n a d m ia r ilości zw ojów bocznikow anych oporem R b, n a sk u te k czego zm iana rozpływ u p rą d u m iędzy uzw ojeniem kom pensacyjnym i oporem bocznikującym m a przew ażnie dużo m niejszy ud ział w pow sta

w an iu sprzężenia zw rotnego n d reagującego n a pochodną p rą d u obciąże

n ia aniżeli w p ły w induk cy jn ości w zajem nej M kSQ od stru m ie n ia rozpro

szenia splatająceg o się z uzw ojeniem ste ru ją c y m i uzw ojeniem kom pen

sacyjnym . S p o tyk a się to w szczególności w am plidynach ze stojan em niejaw nobiegunow ym (stojanem w y k onanym zw ykle z blach m aszyny asynchronicznej), w k tó ry m uzw ojenia ste ru ją c e leżą w bliskim sąsiedz

tw ie uzw ojeń k o m p ensacyjn y ch (zwłaszcza uzw ojeń kom pensacyjnych i steru jący ch).

W am plid yn ach ze sto jan em jaw nobiegunow ym m aleje w dużym stopn iu w spółczynnik n d, poniew aż n a s k u te k znacznego oddalenia uzw ojeń ko m p ensacy jn ych um ieszczonych w żłobkach nabiegunników od uzw ojeń steru jący ch , um ieszczonych n a p ień k ach biegunów , zm niej

sza się k ilk a k ro tn ie w spółczynnik induk cyjności w zajem nej Mfcs0.

W pływ sprzężenia zw rotnego n d u ja w n ia się bardzo w y raźn ie przy n ag ły c h zm ianach obciążenia am p lid y n y. Je że li założym y zm ianę p rą du obciążenia am p lid y ny o w arto ść AJ d • ¹ (t), otrzym am y n a podstaw ie ró w n a n ia (^{1 1}):

AJ„lp) = --- ^ a a — , ( l + p T j U + p T ,) R q

p • nd • A J d Są

AErf(p) - P ’ n d AJd S n S i2 ( l + p T J d + p T j ’ R q

Rys. 7. P rzeb ieg n ap ięc ia Ed i m a  gn esu jąceg o p rą d u ste ru ją c e g o Jsm.

p rzy nag ły m obciążeniu am plidyny

t

N a ry su n k u 7 przedstaw io n o przebiegi podłużnego napięcia w ew nętrz

nego Ed proporcjonaln eg o do p rą d u poprzecznego J v i p rąd u m agnesu

jącego J Sm am plidyny. Założono, że w szystkie w spółczynniki sprzężeń

(22)

*

zw rotny ch rów ne są zeru (m d = m q = ⁰) z w y ją tk ie m sprzężenia zw rot

nego reagującego n a pochodną p rą d u obciążenia n a > 0. P rzy nagłym wzroście obciążenia ch arak tery sty czn e jest załam anie napięcia am plidyny. Oczywiście p rzy odciążeniu, np. przy w yłączeniu oporu obcią

żenia, o trzy m u jem y chw ilow e przeregulow anie napięcia am plidyny. Tak na p rzy k ła d p rzy w yłączeniu znam ionow ego p rąd u obciążenia am pli

dyny krajow ej p ro d uk cji PW Ma3, mocy 1,9 kW, przeregulow anie n a

pięcia wewmętrznego Ed w ynosi około 30% Ujv.

5. Odbiornik pojemnościowy

P rzy obciążeniu am plidyny silnikiem bocznikow ym o stałym obcym w zbudzeniu otrzym am y z p raw a O hm a dla obw odu obciążenia:

Ed = Es + J R + Ld — , (26)

dt

gdzie E., oznacza SEM silnika propo rcjon alną p rzy stały m p rądzie w zbu

dzenia do obrotów silnika (pom ija się wTpływ rea k c ji tw o rn ik a zm niej

szający stru m ie ń przy dużym prądzie silnika):

Es — Cen.

L d i R oznaczają indukcyjność i opór obwodu obciążenia łącznie z indukcyjnością i oporem w e w n ętrzn y m am plidyny (indukcyjność i opór am plidyny w osi podłużnej, przew odów łączących z silnikiem oraz in dukcyjność i opór tw o rn ik a silnika). M om ent silnika M przy pom inię

ciu m o m en tu statycznego (silnik na biegu jałow ym ) pow oduje p rzyspie

dt

0 = J . P rz y stały m stru m ie n iu m om ent proporcjonalny je st do p rą d u silnika.

M = CmJ

Jeżeli ob ro ty n w yrazim y w jed nostkach technicznych w obr/m in, m om ent w kGm, napięcie w V, p rą d w A, wówczas m iędzy stałym i Cm

1 Ce zachodzi związek:

CM = 0,973 Ce.

Pow yższe ró w n an ia opisują jednoznacznie trzeci stopień w zm ocnie

nia am plidyny. D la obliczenia fu n k cji p rzejścia p rzy jm u je m y zerowre w a ru n k i początkow e:

(23)

4

n(p) = — — --- , (27) Ce P~ Td Tem -\- p Tem -|~ 1

gdzie

Tem — R J — elektrom echaniczna stała czasowa układu, C eCM

Td = — — m agnetyczna stała czasowa obw odu obciążenia:

R

T < \ ® ^ E d T e m0 f n o \

Jd(p) = p — n = --- • --- . (28) CM p - T d Tem+ pT em+ 1 Cm - R '

Po uw zględnieniu ró w n ań różniczkow ych am plidyny, w iążących pa

ra m e try w szystkich 3 stopni, otrzym am y po przek ształceniu funkcję przejścia, gdy p rzyjm iem y obro ty silnika ja k o wielkość w yjściow ą:

USK U ¹

A na liza sta n ó w n ieu sta lo n ych a m p lid y n y 4 1

n(p) =

Ce W (p)

W (p) = (p°-Tem Ta + p Tem + 1) (l + p T J U + p T J + m , ^

R +

+ (prrid -\ - p2n d) Tem— (29)

R

F u n k c ja p rzejścia określona je s t ogólnie ró w nan iem różniczkow ym czw artego rzę d u (w ielom ian m ianow nika fu n k cji przejścia jest czw ar

tego stopnia). P rz y pom inięciu w e w n ętrzn y c h sprzężeń zw rotnych:

= m ę = n d = 0, m ianow n ik op eratorow ej fu n k c ji przejścia jest ilo

czynem fu n k cji p rzejścia 3 oddzielnych stopni w zm ocnienia (rów nanie (27) określa fu n k cję p rzejścia trzeciego sto p n ia wzm ocnienia):

n (p ) _ U s K u --- *--- (30) Ce (1 + pTem + p2 T em T d) (1 + PT2) (1 + P T J

W p rak ty czn y ch p rzy p a d k a c h m ożna często pom inąć znikom ą stałą czasową T d (m ała ind u kcy jn o ść w e w n ętrzn a am plidyny oraz in d u k cy j- ność siln ik a bocznikow ego skład ającego się w sk u tek dużej szczeliny w osi poprzecznej silnika praw ne w yłącznie z indukcyjności rozproszenia tw om ik a) i wówczas czasow a fu n k c ja p rzejścia określona je s t p rzebie

giem tró j w y kładniczym o zastępczej stałej czasowej T z = T i + T2 + + T em. P rz y pom inięciu in d u k cy jn o ści obw odu obciążenia trzeci stopień w zm ocnienia m ożna zastąpić u k ład em szeregow ym oporności czynnej R

0

i pojem ności (elektrodynam icznej) Cd — o stałej czasowej R C d, Ce Cm

przy czym nap ięciu na pojem ności odpowiada SEM tw o rn ik a siln ik a E i =

= C U

(24)

42 W ładysław Paszek

W p rzy p ad k u dużej indukcyjności obw odu obciążenia am plidyny fu n k cja p rzejścia trzeciego stopnia w zm ocnienia może w ykazać przebieg periodycznie tłum iony. O pierając się n a podanym wyżej w punkcie 4 k r y te riu m przebiegów m onofonicznych n a podstaw ie rozm ieszczenia p ierw ia

stków w lew ej półpłaszczyźnie zespolonej w pobliżu osi liczb urojonych, m ożna napisać w a ru n k i przebiegów niem onotonicznych, oscylacyjnych czasowej funikcji przejścia.

— Td < T2 .

, 2

W powyższej nierów ności założono, że stała czasowa T2 w iększa je s t od stałej czasowej u zw ojenia steru jąceg o T i (opory dodatkow e w trącane zw ykle do obwodu uzw ojenia ste ru ją c e g o zm niejszają znacznie w a r

tość T i). Jeżeli T2 < T i należy w staw ić do n ierów ności T i na m ie j

sce To. Obwód obciążenia m ożna wówczas zastąpić u k ładem szeregow ym R, L j , C d, k tó ry ja k wiadom o może okazać się u k ład em oscylacyjnym . W ew nętrzne sprzężenia zw rotne am plidyny zm ien iają w spółczynniki przy potędze p2 i p oraz zm ieniają w yraz w olny m ianow nika fun kcji p rz e j

ścia i m ogą w płynąć w sposób zasadniczy n a c h a ra k te r czasowego p r z e biegu fu n k cji przejścia. P rz y pom inięciu indukcyjności obw odu obciążenia ( L d= 0) otrzy m u jem y:

»<p> - ^ ~ <311

Ce W3(P)

W3(P ) = P 3 Tern T\ T2 + P 2 ^TemT1 ■Ą-T2T 1~\~ T em T2 + Tld Tem + + p i Tem -)- T em rnq —— -f- Tj + T2-\-mdTem- — ^ ZT

\ Rq R I Rq

W odróżnieniu od p rzy p ad k u obciążenia indukcyjnego w ew nętrzne sprzężenie zw rotne trzeciego sto p n ia w zm ocnienia m d, n d nie w pływ a tu na w artość u stalo n ą w ielkości w yjściow ej (obrotów silnika). W zw iąz

k u z tym , dla skrócenia zastępczej stałej czasowej m oże okazać się ko

rz y stn ą praca am p lid y n y w stan ie lekkiego przekom pensow ania dla uzys

k a n ia w ten sposób wyższej dobroci w zm ocnienia napięcia, k tó ra określo

n a je s t przez stosunek statycznego w spółczynnika w zm ocnienia napię

cia E d do zastępczej stałej czasowej n a ra stan ia napięcia w ew nętrznego am plidyny:

Q u : (32)

T l - \ - T 2- \ - T em ( m d ---- | -1 -)-m<j—-

\ ^R ^Rq

M aksym alne przekom pensow anie am plidyny jest ograniczone g ran i

cą przebiegów m onofonicznych (przy w iększych przekom pensow aniach