Seria: B U D O W N IC T W O z. 93 N r k ol. 1514
Roman JA S K U L S K I*
Politechnika W a rsz a w sk a , In sty tu t B u d o w n ic tw a w P ło ck u
ZASTOSOWANIE METOD SYMULACYJNYCH W ZAGADNIENIACH INŻYNIERSKICH
S treszczenie. P ra ca dotyczy analizy probabilistycznej funkcji w ielu zm iennych losow ych z zastosow aniem metod sym ulacyjnych. P rzedstaw iono przykłady analizy sum y i iloczynu dw óch zm iennych losow ych oraz m o
del opisujący m om ent niszczący zginanych belek żelbetow ych. U zyskane w yniki porów nano z w ynikam i obli
czonymi m eto d ą m om entów . S tw ierdzono p e łn ą zgodność dw óch pierw szych param etrów rozkładu (tj. w artości średniej i odchylenia standardow ego) oraz p ew n e rozbieżności dotyczące w spółczynnika skośności.
APPLICATION OF SIMULATION METHODS IN ENGINEERING PROBLEMS
S u m m ary . T he article deals with the p robabilistic analysis o f functions o f m any random variables using the simulation m ethod. T h e exam ples o f the analysis perform ed for the functions o f sum and product o f tw o random variables and for th e m odel o f the ultim ate strength o f reinforced concrete sections u nder bending have been presented. T he com parison o f the obtained results w ith th e results calculated using the m om ent m ethod has shown full agreebility o f the first tw o param eters (m ean value and standard deviation) and certain differences in estimating the skew ness coefficient.
1. W prowadzenie
W iększość z ja w is k z a c h o d z ą c y c h w p rz y ro d z ie n a le ż y tra k to w a ć ja k o lo so w e, a w ię c ta kie, których p a ra m e try p o c z ą tk o w e i k o ń c o w e n ie s ą zd e te rm in o w a n e , lecz m o g ą p rz y jm o w a ć dowolne w a rto śc i z o k re ślo n y m p ra w d o p o d o b ie ń s tw e m . P rz y jm u ją c to z ało ż en ie, w szy stk ie zjawiska i p ro c e sy sp o ty k a n e w p ra k ty c e in ży n iersk iej m o ż n a p o d z ie lić d o d a tk o w o n a tak ie, których lo so w y c h a ra k te r p rz e ja w ia się w sp o só b b e z p o śre d n i o ra z ta k ie , k tó ry c h p ra w d z iw ą naturę p rz e sła n ia z łu d a o p isu ją c y c h j e d e te rm in isty c z n y c h m o d eli m ate m a ty c z n y c h .
' Opiekun n au k o w y : D r hab. inż. Jan P a w lik o w sk i, prof. IT B i PW .
166 R . Jaskulski
D o p ierw szej g ru p y z a lic z y ć m o ż n a np. z m ie n n o ść w y trzy m ało śc i beto n u , k tó rą daje się z a u w a ż y ć j u ż w śró d p ró b ek p o b ran y ch z je d n e g o zaro b u . L o so w y c h a ra k te r w ytrzym ałości zo sta ł c z ę śc io w o u w z g lę d n io n y w z a p isach n o rm y [5] w p o staci zacze rp n ię ty c h z rachunku p ra w d o p o d o b ie ń s tw a w z o ró w o k re śla ją c y c h je j w arto ść ś r e d n ią o raz o d c h y le n ie standardow e.
D o d ru g iej g ru p y zaliczy ć m o ż n a ta k ie p ara m e try k o n stru k c ji in ży n iersk ich , ja k : nośność p rz e k ro jó w , szty w n o ść, o d k sz ta łc e n ia o raz o d d ziały w a n ia, ja k im p o d leg ają. N ie zawsze u św ia d a m ia m y so b ie ich lo so w y c h a ra k te r o b lic z a ją c ich w arto ści z g o to w y ch form uł. Złudne p rz e k o n a n ie o ich d ete rm in isty c z n e j n a tu rze je s t w y n ik ie m p o w sz e c h n e g o sto so w a n ia w pro
je k to w a n iu m eto d p ó łp ro b a b ilisty c z n y c h , k tó re ch o ć o p arte s ą na fu n d am en tach rachunku p ra w d o p o d o b ie ń s tw a , sp ro w a d z a ją się je d y n ie do o b lic z a n ia k o n k retn y ch (tzw . obliczenio
w y c h ) w arto ści i ich p o ró w n a n iu z w a rto śc ia m i d o p u szczaln y m i.
Z a sto s o w a n ie w p ro je k to w a n iu m eto d ściśle p ro b a b ilisty c z n y c h w y m a g a od p o w ied zi na n a stę p u ją c e py tan ie: ja k p rz e k ła d a się zm ie n n o ść d a n y c h w e jścio w y ch n a w arto ści wyjściowe d la p rz y ję te g o m o d elu o b lic z e n io w e g o ? O d p o w ied zi d o starczy ć m o g ą m e to d y rachunku p ra w d o p o d o b ie ń s tw a , w sz c z e g ó ln o śc i zaś m eto d y sy m u lacy jn e, k tó ry ch z a sto so w an ie zo
sta ło bliżej o m ó w io n e w n in iejszej pracy.
2. M etody sym ulacyjne
M e to d y sy m u la c y jn e , zw a n e ta k ż e m eto d am i M o n te C arlo , s ą w y g o d n y m narzęd ziem sto
so w a n y m m .in . w an a liz ie n ieza w o d n o ści k o n stru k cji. D w a p o d sta w o w e z a ło ż e n ia w arunku
j ą c e ich sto so w a n ie to sfo rm u ło w a n ie m o d elu o b lic z e n io w e g o w p o staci determ inistycznej fu n k c ji w iążącej z e s o b ą p a ra m e try w e jśc io w e , której p o sta ć o g ó ln ą p rz e d s ta w ia w z ó r (1)
Z = f ( X 1,X 2,...,X n,C I,C 2,...,C n) (1)
g dzie:
Xj - z m ie n n e losow e, Cj - p a ra m e try stałe
o ra z z n a jo m o ść p a ra m e tró w i ty p ó w ro z k ła d ó w w y stę p u ją c y c h w e w zo rze zm ien n y ch . O g ó ln y a lg o ry tm m eto d sy m u la c y jn y c h p rz e d s ta w ia się n astęp u jąco :
• w y g e n e ro w a n ie c ią g ó w n ie z a le ż n y c h liczb lo so w y c h d la k ażdej zm iennej w ystępują
cej w m o d elu o b lic z e n io w y m w ed łu g u sta lo n e g o d la niej w cześn iej rozkładu,
• obliczenie w a rto śc i fu n k cji Z d la k ażd e g o w y g e n e ro w a n e g o z e sta w u zm ien n y ch z u w zg lęd n ie n iem p a ra m e tró w stały ch ,
• analiza o trz y m a n e g o zb io ru w y n ik ó w , k tó ry tra k to w a n y je s t ja k o d y sk re tn y ro zk ład zm iennej lo so w ej o n ie z n a n y c h p aram etrach .
W spom niana w o sta tn im p u n k c ie a n a liz a p o le g a ć m o ż e n a o b lic z e n iu p a ra m e tró w ro zk ład u funkcji Z (tj. w a rto śc i śred n iej, o d c h y le n ia sta n d a rd o w e g o i sk o śn o śc i) lub o k re śle n iu p raw dopodobieństwa n ie p rz e k ro c z e n ia zało ż o n ej w a rto śc i, k tó re m o ż n a z d e fin io w a ć ja k o iloraz liczby w yników n ie p rz e k ra c z a ją c y c h danej w a rto śc i (n ) do liczby w sz y stk ic h w y n ik ó w (N ).
Uzyskanie w y so k iej d o k ła d n o śc i p rzy o b lic z a n iu te g o ilo razu w y m a g a z a z w y c z a j d y sp o n o wania bardzo d u ż ą lic z b ą w y n ik ó w . W ie lk o ść ta zale ży o d w a rto śc i p ra w d o p o d o b ie ń s tw a p i według [7] w ynosi:
N > (25 4-100) p 1 (2)
Oznacza to , że p rz y p ra w d o p o d o b ie ń s tw ie n ie p rz e k ro c z e n ia zało ż o n ej w a rto śc i ró w n y m np. 10'6 liczb a w y k o n a n y c h lo so w a ń d la je d n e j ty lk o zm ien n ej p o w in n a z a w rz e ć się w zakresie od 25 d o 100 m ilio n ó w . N ie ste ty , lic z b a lo so w ań je s t n a o g ó ł o g ra n ic z o n a od góry.
Ograniczenie to w y n ik a p rz e d e w sz y stk im z o k re so w o śc i fo rm u ł s ta n o w ią c y c h p o d sta w ę działania g e n e ra to ró w liczb p se u d o lo so w y c h . P o w o d u je ona, że po w y g e n e ro w a n iu p ew n ej liczby w artości g e n e ra to r z a c z y n a p o w ta rz a ć od p o czątk u se k w e n c ję w y lo so w a n y c h w c z e śniej liczb.
W przypadku a n alizy p o le g a ją c e j n a w y z n a c z e n iu p a ra m e tró w ro z k ła d u lic z b a w y n ik ó w może być z n a c z n ie n iższa. S taje się to sz c z e g ó ln ie isto tn e w a n a liz ie sk o m p lik o w a n y c h m o deli zaw ierających w ie le z m ie n n y c h , k tó re m o g ą p rz y jm o w a ć ro ż n e w a rto śc i. P o ja w ia się tu bowiem k o lejn e o g ra n ic z e n ie , k tó ry m je s t w y d a jn o ść o p ro g ra m o w a n ia o ra z z e sta w u k o m p u terowego. B io rąc p o d u w a g ę czas p o trz e b n y n a w y g e n e ro w a n ie o d p o w ied n iej ilości w y n ik ó w liczbę w y k o n y w a n y c h lo so w ań p o w in n o się o g ra n ic z y ć do m in im u m .
168 R . Jaskulski
c) N =1.000.000 losowań
Rys. 1. F unkcje gęstości praw dopodobieństw a otrzym ane przy: a) 1000 losow ań, b) 100 000 losow ań i c) 1 000 000 losow ań
Fig. 1. P robability density functions obtained for: a) 1000 results, b) 100 000 results and c) 1 000 000 results
3. Cel i zakres badań
Wobec p o w y ż sz y c h s tw ie rd z e ń is to tn ą s p r a w ą sta je się w y z n a c z e n ie o p ty m aln ej liczby przeprowadzanych lo so w ań . J e s t to w sk a z a n e ró w n ie ż d lateg o , ż e w ra z ze z w ię k sz a n ie m się tej liczby z m ie n n o ść p a ra m e tró w w y g e n e ro w a n e j p ró b y m a le je w co ra z m n ie jsz y m sto p n iu tak, że w y k o n an ie w ięk szej liczb y sy m u la c ji n ie g w a ra n tu je u z y sk a n ia p ro p o rc jo n a ln ie w ię k szej dokładności w y n ik ó w .
Sytuację tę n a jle p ie j ilu stru je ry s u n e k 1. P rz e d s ta w io n o n a n im u z y sk a n y z w y k o rz y sta niem m etod sy m u la c y jn y c h ro z k ła d g ęsto ści p ra w d o p o d o b ie ń s tw a o w a rto śc i śred n iej z= 20 i odchyleniu sta n d a rd o w y m o = 2 ,1 2 w y g e n e ro w a n y d la trz e c h w a rto ś c i lic z b y lo so w ań . D la każdej w artości w y k o n a n o 10 sy m u lacji, k tó ry ch w y n ik i n a n ie s io n o n a je d e n w y k re s w p o sta ci krzywych. N a w y k re sa c h w y ra ź n ie w id ać, ż e p rz y liczb ie lo so w ań ró w n ej 1000 o trzy m an e krzywe c h a ra k te ry z u ją się d u ż ą z m ie n n o śc ią . W arto ści śre d n ie o s c y lu ją w o k o lic a c h w arto ści oczekiwanej, je d n a k z ak res ty ch o sc y la c ji je s t szero k i. D la w a rto śc i 100 0 00 lo so w ań k rzy w e aproksymujące ro z k ła d s ą z n a c z n ie b ard ziej zb ież n e. W y raźn ie z a w ę ż a się z a k re s zm ie n n o śc i wartości średnich. P e w n e z a ła m a n ia w y stę p u ją c e n a w ie rz c h o łk a c h k rz y w y c h w y n ik a ją z n ie doskonałości o d w z o ro w a n ia w y n ik ó w . D la 1 0 00 000 lo so w ań k rz y w e u le g a ją d alsz e m u w y gładzeniu, a w w ielu m ie jsc a c h p o k ry w a ją się.
Na podstaw ie tej p o b ieżn e j a n alizy m o ż n a w y sn u ć w n io sek , że o p ty m a ln a do o sz a c o w a n ia parametrów w y n ik o w e g o ro z k ła d u lic z b a lo so w ań z a w ie ra się w p rz e d z ia le od 105 do 106. W celu potw ierdzenia ta k p o sta w io n e j te z y p rz e p ro w a d z o n o b ad a n ie p o le g a ją c e n a sy m u lacji rozkładów trzech fu n k c ji z m ien n y ch lo so w y ch i an a liz ie ich w y n ik ó w . P ie rw s z e d w ie fu n k cje, wyrażone w z o ra m i (3 ) i (4 ), o p is u ją p ro s te o p e ra c je a ry tm e ty c z n e n a z m ie n n y c h w e j
ściowych, trz e c ia z aś (5 ) j e s t m o d e le m o b lic z e n io w y m n o śn o śc i z g in an e g o p rz e k ro ju ż e lb e towego zaw artym w p ra c y [2].
-oznaczenia w g [4],
Jako dane w e jśc io w e p rz y ję to z m ie n n e lo so w e o p isan e ro zk ład am i n o rm a ln y m i. Ich p ara
metry dla fu n k cji (3 ) i (4 ) zesta w io n o w ta b lic a c h 1 i 2; s ą to kolejn o : w a rto śc i o czek iw an e, Z = X +
Z = X * Y
Z = 0 ,5 (1 -e x p ( -2 ,5 a ))b d 2fcm
(3) (4) (5)
gdzie:
a = (fymA s)/(b d fcm)
1 7 0 R . Jaskulski
o d c h y le n ia sta n d a rd o w e i w sp ó łc z y n n ik i sk o śn o ści. D o sy m u lacji fu n k cji (5) p rz y ję to prze
krój o w y m ia ra c h 20 x 40 cm zb ro jo n y s ta lą A-1I (fym= 415 [M P a]). W sp ó łc z y n n ik i zmienno
ści p rz y ję to n a p o z io m ie o d p o w ied n io : 0,03 d la w y m iaró w i 0,088 d la w y trzy m ało śc i stali.
P a ra m e try ro z k ła d ó w p rz y ję te d la p o z o sta ły c h d an y ch , tj. p o la p o w ierzch n i stali o raz klasy b eto n u , zesta w io n o w ta b lic y 3.
T a b lic a 1 P a ram etry d an y ch w e jśc io w y c h do an alizy
fu n k c ji (3) N r ze
stawu
fu n k c ja : Z = X +Y
x , y ° X ’ a Y a X ’ a Y
1 100 1,5 0,015
2 10 1,5 0,15
3 1 1,5 1,5
T a b lic a 2 P aram etry d an y ch w e jścio w y ch do an alizy
fu n k c ji (4) N r ze
stawu
fu n k c ja : Z = X *Y x , y ° X ’ 0 Y 3 X ’ a Y
1 14 0,21 0,015
2 4,5 0,68 0,15
3 1,4 2,1 1,5
T a b lic a 3 P a ra m e try d an y ch w ejśc io w y c h do a n alizy fu n k cji (5)
N r funkcja: Z = 0,5(1 -ex p (-2 ,5 a))b d 2fcm
zestaw u Asm VAs fcm Vfc
1 3,7 c m ' 0,01 20 M Pa 0,11
2 11,1 cm 2 0,01 38 M Pa 0,11
3 2 2 ,2 cm 2 0,01 4 8 M P a 0,11
S y m u la c je p rz e p ro w a d z o n e zo sta ły z w y k o rz y sta n ie m sp e c ja ln ie w ty m celu opracow ane
go p ro g ra m u k o m p u te ro w e g o n a p isa n e g o w ję z y k u T u rb o P ascal 6.0. W y k o rz y s ta n o w nim s y m u la to r liczb p se u d o lo so w y c h U L T R A stan o w iący in te g ra ln ą cz e ść p ak ietu B o rla n d Turbo P ascal. D ane d o p ro g ram u w p ro w a d z a n e b y ły z p rz y g o to w an y ch w cześn iej p lik ó w teksto
w y ch . W y n ik i z a p is y w a n e b y ły ró w n ie ż w p lik ach te k sto w y c h , k tó re p o d d a n e z o sta ły analizie z a p o m o c ą sp e c ja ln ie w ty m celu o p ra c o w a n e g o o p ro g ram o w an ia.
S y m u la c je p rz e p ro w a d z o n o d la 1000, 10 00 0 , 100 000 o raz 1 0 00 0 00 losow ań i trzech ze
staw ó w d a n y c h . W p rz y p a d k u d w ó ch p ie rw sz y c h fu n k cji d an e w e jśc io w e zo sta ły zróżnico
w a n e p o d w z g lę d e m w a rto śc i w sp ó łc z y n n ik a z m ien n o ści, k tó ry m ó g ł m ie ć w p ły w na uzyski-
Zestawieniewyników symulacjifunkcji(3)
cd
Htd >-
> o
o
cc
NO 3 'a.
10 o"
>
IIX -
>
o o 9
Mc 3
>- X+ li
N
cD P-
Cc
n
_
Za.
IM
s
(Z)
vO£ c
£ ca>
?cd
Oo " .
<D N
>
IIX -
>
cc
N
-o >U O N >
•«■s in
—1 O
współczynniki zmienności:vx = vY= 1,5 >
0,2300 0,0926 0,0215 0,0127
cdN
1,0764 1,0143 1,0249 1,0266
>0
0,05560 0,00950 0,00415 0,00109
ON
5,9960 6,0679 6,0603 6,0595
>N 8 m
O 0,02670 0,01120 0,00288 IM
1,9497 1,9592 1,9531 1,9610
współczynniki zmienności:vx= vY=0,15
>
0,19500 0.04910 0,02591 CN
oo 8O
cd 0,3382 0,3032 0,3132 0,3169
>G
0,02100 0,00798 0,00224 0,00072
ON
4,3729 4,3404 4,3522 4,3538
>N
0,00632 681000 0,00068 0,00017
IM
20,323 20,249 20,250 20,251
współczynniki zmienności:vx = Vy=0,015
> 1,42000 0,97600 0,22100 0,07310
£ 0,0485 0,0283 00 Om Oo 0,0319
>0
0,02210 0,00630 CN
8O 0,00070
bN
4,1938 4,1570 4,1569 Oooto
■d-"
>N
0,00073 0,00019 0,00005 0,00002
IM
195,93 196,02 195,99 196,00
Liczba losowań 1000 10000 100000 0000001
cdo 15cd H
o c
s
C/i
'O£ c
£ c
<L>
'5
*3c /l
<D N
N
IM
172 R . Jaskulski
w a n e w y n ik i. W trz e c ie j fu n k cji w sp ó łczy n n ik i z m ie n n o śc i p o z o sta ły n a stały m poziomie p rz y ję ty m n a p o d sta w ie literatu ry f l , 2]. D la k ażd eg o z e staw u d an y ch i p rzy jętej liczby loso
w a ń w y k o n a n o serię 10 sy m u lacji. W y n ik i k ażd ej sy m u lacji p o d d a w a n e by ły an alizie pole
g ając ej n a o b lic z e n iu w arto ści śred n iej, o d c h y le n ia stan d ard o w eg o i sk o śn o ści, ja k dla dys
k re tn e g o ro z k ła d u ciąg łej zm ien n ej losow ej. O b lic z a n e w ielk o ści u śred n ian o w o b ręb ie jednej serii i o k reślan o ich w sp ó łc z y n n ik zm ien n o ści. W y n ik i an a liz za m ie sz c z o n o w tablicach 4,5 o ra z 6. W ta b lic y 7 u m ie sz c z o n o d la p o ró w n a n ia w arto ści o b liczo n e w e d łu g m etody mo
m en tó w .
T ab lica 7 W y n ik i o b liczeń w g m eto d y m o m en tó w
Param etr
Z = X +Y Z = X *Y Z = 0 ,5 (l-ex p (-2 ,5 o t))b d 2fcm
Vx, v Y
= 0,015 V x, v Y
= 0,15 v x , v Y
= 1,5 V x, VY
= 0,015 V x, v Y
= 0,15 Vx, v Y
= 1,5
A sm= 3,7cm 2 fcm= 20 M pa
A sm—
11,1 cm 2 fcm=
38 M Pa
Asm—
22,2cm 2 fcnl=
48 M Pa
Z 200 20 2 196 20,25 1,96 0,06244 0,17462 0,31419
o z 2,1213 2,1213 2,1213 4,158 4,3521 6,061 0,00536 0,01451 0,02537
az 0 0 0 0,0318 0,3151 1,0272 0,04937 0,08509 0,19274
W ta b lic y 4 , w części d o ty czącej w sp ó łc z y n n ik a sk o śn o ści, zre z y g n o w a n o z obliczania z m ie n n o śc i te g o p aram etru . Je s t to k o n se k w e n c ją faktu, że fu n k cja (3 ) je s t liniowa, a z m ie n n e lo so w e sta n o w ią c e je j d an e w e jśc io w e s ą o p isan e ro zk ład em n o rm aln y m . Zgodnie z C e n tra ln y m T w ie rd z e n ie m G ran iczn y m fu n k c ja ta o p isa n a b ę d z ie ró w n ie ż rozkładem n o rm a ln y m , d la k tó re g o sk o śn o ść p rz y jm u je w arto ść 0.
4. Wnioski
A n a liz a w y n ik ó w w y ra ź n ie w y k a z u je , że w ra z ze w zro stem liczb y w y k o n y w a n y c h loso
w ań m a le je ro z rz u t p a ram etró w o trz y m y w a n y c h w ich w y n ik u ro zk ład ó w . T e n d e n c ję tę wi
d ać w y ra ź n ie n ie ty lk o w p rz y p a d k u p ro sty ch fu n k cji d w ó ch z m ien n y ch (za ró w n o liniowej, ja k i n ie lin io w e j), a le ró w n ie ż d la d o ść sk o m p lik o w an ej fu n k cji pięciu zm ien n y ch .
R o z p a tru ją c d w a p ie rw sz e m o m e n ty ro zk ład u (tj. w arto ść ś re d n ią i o d c h y le n ie standardo
w e) m o ż n a p rzy jąć, że o p ty m a ln ą lic z b ą losow ań w y s ta rc z a ją c ą do ich p re c y z y jn e g o w y z n a c z e n ia je s t 104. P rz y tak iej liczb ie lo so w ań zm ie n n o ść p a ra m e tró w ro zk ład u nie prze
k ra c z a p ra k ty c z n ie w arto ści 0,0 1 , zatem u trz y m u je się na b ard zo n isk im p o z io m ie . Z a repre
z e n ta ty w n e m o ż n a u zn ać w y n ik i u z y sk an e ju ż z je d n o k ro tn ie w y k o n an ej sy m u lacji.
Sytuacja ulega z m ia n ie , g d y w e ź m ie m y p o d u w a g ę trz e c i p a ra m e tr ro z k ła d u , tj. sk o śność.
Zmienność w sp ó łc z y n n ik a sk o śn o ści o sią g a a k c e p to w a ln e w ie lk o śc i d o p iero p rzy liczb ie lo
sowań w ynoszącej 106. N a w e t je d n a k w te d y z m ie n n o ść ta n ie o sią g a p o z io m u u z y sk a n e g o dla dwóch pierw szych m o m e n tó w . P o d an e p rz y k ła d y p o k a z u ją , ż e p a ra m e tr te n j e s t d o sy ć n ie s ta bilny. W przypadku w y z n a c z a n ia d o k ła d n e j w arto ści w sp ó łc z y n n ik a sk o śn o ści w y d a je się celowe w ykonanie serii co najm n iej d z ie się c iu sy m u lacji i u śre d n ie n ie ich w y n ik ó w . O trzy mana w ten sposób w a rto ść b ę d z ie b ard ziej rep re z e n ta ty w n a . W sp ó łc z y n n ik sk o śn o śc i o k azał się też param etrem , k tó re g o w a rto śc i w y g e n e ro w a n e p rzy b ard ziej sk o m p lik o w a n e j postaci funkcji nie w y k azały z b ie ż n o śc i z w a rto śc ia m i o b lic z o n y m i w e d łu g m e to d y m o m e n tó w . W tej sytuacji ja k o w a rto śc i ścisłe n a le ż y p rz y ją ć w y n ik i z o b lic z e ń sy m u la c y jn y c h . W arto ści obliczane w ed łu g m e to d y m o m e n tó w w p rz y p a d k a c h sk o m p lik o w a n y c h fu n k cji n ie lin io w y c h mogą być ob ciążo n e n ie d o k ła d n o ś c ią ro z w in ię c ia fu n k cji w szereg T ay lo ra.
Podsum owując m o ż n a stw ie rd z ić , że p rz y to c z o n e p rz y k ła d y w s k a z u ją n a m o żliw o ść efektywnego w y k o rz y sty w a n ia m eto d sy m u la c y jn y c h do a n a liz y z a g a d n ie ń in ży n iersk ich związanych z p ro g n o z o w a n ie m p a ra m e tró w ro zk ład u fu n k cji w ielu z m ie n n y c h lo so w y ch .
LITERATURA
1. Koper W ., K u b issa J.: O w sk a ź n ik a c h z m ie n n o śc i w y trz y m a ło śc i w sp ó łc z e s n y c h b eto n ó w konstrukcyjnych. „ In ż y n ie ria i B u d o w n ic tw o ” , n r 4, r. 2 0 0 1 , s. 2 3 5 -2 3 8 .
2. Pawlikowski J.: A n a liz a p ro b a b ilisty c z n a z a p a su b e z p ie c z e ń stw a ż e lb e to w y c h e lem en tó w zginanych. S tu d ia z zak resu in ż y n ie rii, z. 2 5 , 1987, s. 87-106.
3. Pawlikowski J.: K a lib ra c ja c z ę śc io w y c h w sp ó łc z y n n ik ó w b e z p ie c z e ń stw a . P ra c a n a u k o w o-badawcza n r 2 .1 .1 .2 N N -2 /9 3 w y k o n a n a w IT B . W a rs z a w a 1993. (M a te ria ły n ie p u b li
kowane).
4. PN -B -03264:1999: K o n stru k c je b e to n o w e, ż e lb e to w e i sp rężo n e. O b lic z e n ia sta ty c z n e i projektowanie.
5. P N -B -06250:1988: B e to n zw y k ły .
6. Tichy M .: A p p lie d m e th o d s o f stru c tu ra l re lia b ility . K lu w e r A c a d e m ic P u b lis h e r 1993.
174 R . Jaskulski
7. W o liń sk i Sz., W ró b el K .: N ie z a w o d n o ść k o n stru k c ji b u d o w lan y ch . P o litech n ik a Rze
sz o w sk a , R zeszó w 2000.
8. Z ie liń sk i R.: W y tw a rz a n ie losow ości. R o czn ik i P o lsk ieg o T o w a rz y stw a Matematycznego, S e ria II: W ia d o m o śc i M a te m a ty c z n e X X IX (1 9 9 2 ), s. 189-203.
R ecen zen t: D r hab. inż. Jerzy S k rzy p czy k , prof. PŚ1
Abstract
T h e a rtic le d e a ls w ith th e p ro b a b ilistic an aly sis o f fu n ctio n s o f m any ra n d o m variables us
ing th e sim u la tio n m eth o d . T h e e x am p les o f the an aly sis p e rfo rm e d fo r the fu n ctio n s of sum an d p ro d u c t o f tw o ra n d o m v a ria b le s and fo r th e m o d el o f the u ltim ate stren g th o f reinforced c o n c re te se c tio n s u n d e r b e n d in g h a v e b een p resen ted . T h e co m p a riso n o f th e o b tain ed results w ith th e re su lts c alc u lated w ith u sin g the m o m e n t m eth o d has sh o w n full a g reeb ility of the first tw o p a ra m e te rs (m ean v alu e and sta n d a rd d ev iatio n ) and certain d iffe re n c e s in estimating th e sk e w n e ss co efficien t.
