Powy»sza funkcja falowa opisuje cz¡stk¦ spoczywaj¡c¡ w chwili t=0

(1)

GRUPA 1

Zadania (VI) z mechaniki kwantowej na ±rod¦, 2-go kwietnia 2014.

0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«.

1. W chwili t = 0 cz¡stka swobodna jest opisywana funkcj¡ falow¡

ψ_a(x, 0) = N e⁻^2a2^x2 (1) Skonstruowa¢ rozwi¡zanie zale»ne od czasu, które odpowiada temu warunkowi poczatkowemu (wykªad). Obliczy¢ ψ(x, t) wykonujac bezpo±rednim rachunkiem potrzebn¡ transformat¦ Fouriera. Obli- czy¢ zale»n¡ od czasu g¦sto±¢ prawdopodobie«stwa ρ(x, t). Odczy- ta¢ z tego rezultatu zale»n¡ od czasu szeroko±¢ pakietu i zinterpre- towa¢ jego rozszerzanie.

1b. Powy»sza funkcja falowa opisuje cz¡stk¦ spoczywaj¡c¡ w chwili t=0. Cz¡stce z p¦dem pocz¡tkowym p0 = ¯hk₀ odpowiada funkcja stanu

ψa,p0(x, 0) = ψa(x, 0) ∗ e^ik⁰^x (2) obliczy¢ wspóªczynniki rozkªadu Fouriera w tym przypadku i zin- terpretowac uzyskany wynik.

2. Dystrybucj¦ (funkcj¦) δ(x) Diraca mo»na okre±li¢ jako granic¦

funkcji regularnych δ(x) = lim

a→0ρ_a(x), ρ_a(x) = 1 a√

πe⁻^x2^a2 (3) (4) Mówimy, »e ci¡g funkcji ρa(x) jest modelem dla funkcji δ(x). Udo- wodni¢, »e δ(x) ma nast¦puj¡ce wªasno±ci

Z b a

δ(x − x0)dx = 1, x0 ∈ (a, b), ^R_a^bδ(x − x0)dx = 0, x0 6∈ (a, b), (5)

Z ∞

−∞δ(x − x₀)φ(x)dx = φ(x₀) (6)

dla dowolnej funkcji próbnej (tj. regularnej) φ(x) . Wykorzystu- j¡c ostatni¡ wªasno±¢, oraz wªa±ciwo±ci odwrotnych transformat Fo- uriera udowodni¢, »e

δ(x) = 1 2π

Z ∞

−∞e^ipxdp (7)

1

(2)

Zapisuj¡c ostatni¡ caªk¦ jako lim→0 = 1

2π

Z ∞

−∞e^ipx−|p|dp, (8)

udowodni¢ inn¡ (równowa»n¡) reprezentacj¦ funkcji δ δ(x) = lim

→0f(x), f(x) = 1 π

x²+ ² (9)

Wykre±li¢ funkce modeluj¡ce dla kilku warto±ci (takze dla pochod- nej i calki z delty). Uzasadni¢, »e rzeczywi±cie jest to dobry model funkcji δ. W szczególnosci, sprawdzi¢ warunek normalizacji oraz, »e dla dowolnej funkcji próbnej

lim→0

Z ∞

−∞

f(x − x₀)φ(x)dx = φ(x₀) (10) Ostatni¡ calk¦ wykona¢ metod¡ residuów zakªadaj¡c wystarczaj¡co szybkie znikanie funkcji próbnej na du»ym okr¦gu.

Udowodni¢, »e fale plaskie s¡ znormalizowane do delty Diraca.

3. Notacja Diraca. Dotychczas opisywali±my stany kwantowe przez funkcje falowe ψ(x). Mo»na jednak mówi¢ o stanach jako o abs- trakcyjnych wektorach w przestrzeni Hilberta, taki stan b¦dziemy oznacza¢ wedªug Diraca |ψ >. A wi¦c

ψ(x) ←→ |ψ >; (ket), ψ(x)^∗ = ψ(x)^†←→ hψ|^†≡< ψ| (bra)(11) Iloczyn skalarny stanów ( bracket ) oznacza sie jako

(ψ, φ) =

Z ∞

−∞ψ(x)^∗φ(x)dx ≡< ψ|φ >, (12) a rozkªad dowolnego stanu na stany bazowe (albo stany wªasne ja- kiego± operatora (np. A) ma posta¢

ψ(x) =^X

n

cnφn(x) ←→ |ψ >=^X

n

cn|φn> A|φn>= an|φn >(13) Wspóªczynniki rozkªadu obliczamy mno»¡c powy»sze równanie z le- wej strony przez bra < φm|

c_m =< φ_m|ψ > (14)

W tej notacji funkcja falowa jest tak»e amplitud¡ (tzn. iloczynem skalarnym)

ψ(x) =< x|ψ >, (15)

2

(3)

gdzie ket |x > jest stanem wªasnym abstrakcyjnego operatora poªo-

»enia ˆx

ˆ

x|x >= x|x > (16)

do warto±ci wªasnej x. Mówimy, »e funkcja falowa ψ(x) jest reprezentacj¡ stanu |ψ > w bazie wªasnej operatora poªo»enia. Operatory poªo»enia i p¦du maj¡ widmo ci¡gªe. Ich stany wªasne s¡ unormo- wane do delty Diraca.

< x|y >= δ(x − y), < p|q >= δ(p − q), (17) Fala pªaska jest reprezentacj¡ stanu wªasnego p¦du w bazie poªo»e«

ψ_p(x) = 1

√2π¯he^ipx =< x|p > (18) podobnie fal¡ pªask¡ jest reprezentacja, w bazie wªasnej p¦du , stanu wªasnego poªo»enia

< p|x >= 1

√

2π¯he^−ipx = ψ_x(p) (19) Zupeªno±¢ stanów wªasnych danego operatora zapisuje sie w notacji Diraca jako

X

n

|φ_n>< φ_n| = 1, (20) dla bazy pedu

Z ∞

−∞dp|p >< p| = 1 (21) i analogicznie dla bazy wªasnej poªo»enia.

3a. Wstawiaj¡c odpowiedni¡ "jedynk¦"do zwi¡zku ψ(x) =< x|ψ >

udowodni¢, »e funkcje falowe w reprezentacjach poªo»enia i p¦du s¡

powi¡zane transformacj¡ Fouriera. Wyprowadzi¢ podobnie zwi¡zek odwrotny.

3b. Obliczy¢ reprezentacj¦ operatorów ˆx i ˆp w bazie wªasnej poªo-

»enia, czyli poda¢ elementy macierzowe

< y|ˆx|x >, oraz < x|ˆp|y > (22) Wsk. W drugim przypadku wykorzysta¢ dwa razy jedynk¦ opera- torow¡ zapisan¡ w bazie p¦du

1 =

Z

dp|p >< p| (23)

3

(4)

3c. Udowodni¢, »e dziaªanie operatorów poªo»enia i p¦du sprowadza si¦ (w bazie poªo»enia) do mno»enia i ró»niczkowania tzn., pokaza¢

»e

< x|ˆx|ψ >= xψ(x), oraz < x|ˆp|ψ >= ¯h i

∂

∂xψ(x) (24)

J. Wosiek.

4