1. Pojęcie е-aureoli przewija się w pracach matematycznych od kilkudziesięciu lat (BereicJi der Entjernung < e — zob. Minkowski [6], str. 122; ParalleTkórper — zob. Bonnesen und Fenchel [3], str. 30;

J. P

(Wrocław)

O e-aureołach

1. Pojęcie е-aureoli przewija się w pracach matematycznych od kilkudziesięciu lat (BereicJi der Entjernung < e — zob. Minkowski [6], str. 122; ParalleTkórper — zob. Bonnesen und Fenchel [3], str. 30;

s -окрестност — zob. Александров [1], str. 30; sphere gśneralisee — zob. Kuratowski [5], str. 103). Było ono przedmiotem szczególnych badań po ogłoszeniu przez H. Minkowskiego nowych definicji długości i pola opartych na tym pojęciu. Potem, wraz z definicjami Minkow­

skiego nieco przestało zaprzątać uwagę uczonych, pojawiało się w publi­

kacjach coraz rzadziej, przeważnie w związku z nierównością Brunna i Minkowskiego oraz z tematyką pokrewną (zob. np. [4], [10] i [11]).

Otaczanie zbioru punktów г -aureolą ma w matematyce znaczenie jako operacja upraszczająca strukturę zbioru. Okazuje się, że pojęcie to jest ściśle związane z pojęciem e- wypukłości opisanym przeze mnie w pra­

cy [7].

W pracy niniejszej zajmę się pojęciem e-aureoli, aby wyjaśnić kilka związków między nim a pojęciem e-wypukłości i aby opisać kilka wła­

sności potrzebnych mi w innych pracach ([8] i [9]), dotyczących poję­

cia e-długości.

Będę rozważał przestrzeń wypukłą metryczną 1, jej domknięte podzbiory X , Y , Z i elementy (punkty) x, y, z, p, q, r, ... Literami gre­

ckimi a, e, p będę oznaczał liczby rzeczywiste dodatnie.

Symbol g( x , y ) oznacza odległość między punktami x i у, a sym­

bol g(p, X) — m ing(p, q) — odległość punktu p od zbioru X. Odległość

ąeX

między dwoma zbiorami X i Y oznaczamy przez

, Y)

ma

gdzie Z jest jednym ze zbiorów X lub Y, a z jest punktem drugiego z tych zbiorów. Zauważmy, że g { p , X ) Ф f?((p), X), jeśli przez (p) rozumiemy zbiór, którego jedynym elementem jest punkt p. K E(p) oznacza kulę domkniętą o promieniu e i o środku w punkcie p. Przez e-aureolę zbioru Z rozumiem zbiór Z powiększony o punkty oddalone od Z nie więcej niż o s:

(Dl) A ( Z ) = E M b Z ) < e ] .

74 J. Perkal

Definicja ta jest równoważna (zob. [3], str. 30) następującej:

(Dl') A.{Z) = £ К , ( Р ) .

P eZ

Łatwo widać, że dla każdego zbioru Z i dla każdego s > 0 istnieje dokładnie jedna e -aureola zbioru Z. Rysunek 1 przedstawia zbiory Z x i Z

(zakreskowane) oraz ich s- aureole

(części zakreskowane i zakropkowane łącz­

nie) dla sx = 2 mm i s

= 4 mm.

A S(Z) jest funkcją, której jeden argu­

ment e jest liczbą rzeczywistą, drugi argu­

ment Z jest zbiorem, a wartość (aureola) jest zbiorem. Udowodnię, że jest to funkcja rosnąca i ciągła względem każdego argu­

mentu.

Bezpośrednio z definicji (Dl) wynikają następujące dwie implikacje:

(1) Jeśli X C Y, to dla każdego в > 0 jest A e( X ) C A e(Y).

(2) Jeśli e <

], to dla każdego X jest A ' ( X ) C A 4{X).

Implikacje te dowodzą, że funkcja A S(Z) jest rosnąca względem obu argu­

mentów. Zauważmy, że implikacji (1) nie

można zastąpić równoważnością. Z tego, że A e(X) C A S(Y), nie wynika X C Y. Odpowiedni przykład pokazany jest na ry- ?

sunku 2. Natomiast zamiast implikacji (2) można napisać ekwiwalencję

(3) A. (A,(Z)) = A .+,(Z).

Rzeczywiście, punkt p eA^A^Z) ) jest w myśl (Dl) oddalony co najwyżej o e od jakiegoś punktu ą e An{Z). Ten zaś punkt q jest co najwyżej o rj od­

dalony od jakiegoś punktu r e Z. W myśl własności Rys.

trójkąta punkt p jest od punktu r oddalony co naj­

wyżej o e +

], czyli należy do A e+t]{Z). A więc zbiór po lewej stronie równości (3) zawiera się w zbiorze po prawej stronie. Udowodnimy te­

raz zawieranie odwrotne. Weźmy dowolny punkt x e A e+v(Z). W myśl (Dl) istnieje punkt z e Z odległy od x nie bardziej niż о е-\-т]. Z wy­

pukłości przestrzeni

wynika, że odcinek xz leży w przestrzeni i wobec

tego istnieje na tym odcinku o długości co najwyżej е-\-т] punkt у le­

żący nie dalej niż o e od punktu x i nie dalej niż o rj od punktu z.

W myśl (Dl) jest y e A^Z) , ponieważ у leży od z z Z nie dalej niż o r\.

Podobnie jest x e A B[An{Z)), ponieważ x leży od у nie dalej niż o e. Stąd wynika, że prawa strona równości (3) zawiera się w lewej, co łącznie z zawieraniem poprzednim daje równość (3).

(4) Jeśli

{ X, Y) < a, to g(Ae(X), A e(Y)) < a.

Dla dowodu weźmy dowolny punkt z1e AB{X). W myśl (Dl) ist­

nieje taki punkt x e X, że

(

1,

) < e. Wobec poprzednika implikacji (4) istnieje w zbiorze Y taki punkt у , że

(

, у) < a, a zatem w myśl wła­

sności trójkąta @(

, y) < a + e. Wobec wypukłości przestrzeni 1 odci­

nek zxy należy do przestrzeni i istnieje na nim punkt z2 oddalony od zx co najwyżej o a, a od у co najwyżej o e. Punkt z2 należy więc do A e(Y).

Udowodniliśmy zatem, że dla każdego punktu z1e Ae(X) istnieje taki punkt z2e Ae( Y ), że Q(z1, z 2) ^ . a . Rozumowanie zupełnie symetryczne z zamianą liter I i Y daje łącznie z poprzednim cały następnik impli­

kacji (4).

Z implikacji (4) wynika, że funkcja A e(X) jest ciągła względem argumentu X.

(5) Jeśli |e— rj\ ^ a, to @(Ае(Х), A n( X )) ^ a.

Rzeczywiście, jeśli większą z liczb e i у jest e, to w myśl (3) A e{X) —

= A g ^ A ^ X ) ) , czyli w myśl (Dl) każdy punkt A e(X) jest odległy od zbioru A Tj(X) nie bardziej niż o e — ^ < a; poza tym A n(X) C A e(X) wobec (2). Analogicznie byłoby, gdyby у była większą z liczb e i rj. Stąd następnik implikacji (5).

Implikacja (5) mówi, że funkcja A e(X) jest ciągła względem argu­

mentu e.

(6) Dla każdej Masy zbiorów Х г zachodzi wzór

M Ę X >) = Ę Y m (kreska nad zbiorem oznacza jego domknięcie).

Udowodnimy najpierw, że lewa strona równości (6) zawiera się w prawej. M ech x będzie dowolnym punktem zbioru А е[ ^ Х г). Wobec

____

tego istnieje punkt у е ] ? Х г odległy od x co najwyżej o s. Punkt у jest

г

albo punktem jednego ze zbiorów Х г, albo punktem skupienia zbioru

Е х г. W każdym razie, dla każdego a ^ 0 istnieje punkt z należący

do któregoś ze zbiorów Х г i odległy od у nie bardziej niż o a, czyli od

76 J. Perkal

x nie bardziej niż o e + a . Wynika stąd, że punkt x jest odległy od które­

goś zbioru Ae(Xj) nie bardziej niż o a. Ponieważ jest tak dla każdego a, więc x jest punktem skupienia sumy ] ? А е( Х г), czyli należy do zbioru po prawej stronie równości (6). Zawieranie odwrotne jest proste. Każdy składnik prawej strony zawiera się w lewej stronie w myśl prawa (1).

Stąd £ А . ( Х , ) С A ' { Z x i ) , a więc i £ A , ( X t) С Д .(Ё Щ = Л ( Г х , ) ,

1 1 I I I

ponieważ e- aureola jest na mocy definicji zbiorem domkniętym.

Z (1) wynika bezpośrednio następująca własność e-aureoli:

(7) Dla każdej Masy zbiorów X Ł jest A e{ [ ] X t) C f ] А е( Хг).

i i

Zawieranie odwrotne nie zachodzi, ponieważ zbiory rozłączne X x i X 2 mogą mieć nie rozłączne e- aureole.

2. Wprowadzimy teraz pojęcie w pewnym sensie odwrotne do e-aureoli. Jest nim e- rdzeń. Przez e-rdzeń zbioru X rozumiemy sumę wszystkich zbiorów Z, których e- aureole mieszczą się w zbiorze X :

(D2) R , ( X ) = £ Z■

Ae(Z)(ZX

Definicja ta jest równoważna definicji

(то а д = Е к м с д

p

Rzeczywiście, [ ^ [ Кв(р) С X ] = JT1 (p ), czyli zbiór ten zawiera

p Ae(p)ax

się w sumie stojącej po prawej stronie (D2). Zarazem każdy składnik (więc i cała suma) zawiera się w prawej stronie równości (D2'). Jeśli bowiem punkt q C Z, a A e(Z) С X, to K s(q) С X, czyli q należy do zbioru po prawej stronie (D2'). Pojęcia e -rdzenia używał E. Schmidt (patrz [10], str. 153, i [11], str. 307) oraz G. Boi [2] (o tej ostatniej pracy wiem tylko z notki w pracy [10] na str. 153).

(8) R

{X) jest zbiorem domkniętym.

Jeśli bowiem q jest punktem skupienia zbioru Re{X), to w dowolnie malej odległości a od q znajdziemy punkt reR6(X), czyli taki, że K e(r) С X.

Weźmy teraz dowolny punkt s e K E(q). W odległości co najwyżej a od s znajdziemy punkty zawarte w K s(r), czyli tym samym zawarte w X.

Zatem s jest punktem skupienia zbioru X, a wobec jego domkniętości jest s e X. Udowodniliśmy więc, że K e(q) C l , czyli że qeRe(X). W y­

nika stąd, że każdy punkt skupienia zbioru Re(X) należy do tego zbioru,

czego właśnie należało dowieść.

Rysunek 3 przedstawia dwa przykłady zbiorów płaskich i ich rdzeni dla e1 = 2 mm (zakropkowane) i e2 = 4 mm (zakreskowane).

Z definicji (D2) wynika, że każdy zbiór X dla każdego e > 0 ma dokładnie jeden e-rdzeń (może nim być zbiór pusty). Jest on zawsze zawarty w zbiorze X. Rdzeń Re{X) jest

funkcją dwóch argumentów: liczby e i zbio­

ru X. Jest to funkcja rosnąca względem argumentu X, a malejąca względem argu­

mentu e. W przeciwieństwie do aureoli rdzeń nie jest funkcją ciągłą ani względem X, ani względem e. Jej monotoniczność i nie­

ciągłość wynikają z następujących twier dzeń i przykładów:

(9) Jeśli X С Y, to Re{X) C Re{Y).

Ta implikacja wynika bezpośrednio z (D2).

(10) Jeśli e ^ rj, to Rn{X) C RE{X).

Istotnie, w myśl (D2) jest RV(X) = £ Z, a każdy taki skład-

A n(Z)(ZX

nik Z spełnia zarazem warunek A e(Z) С X, czyh jest składnikiem sumy po prawej stronie (D2), tj. Me{X). Daje to następnik implikacji (10).

Implikacje (9) i (10) dowodzą monotoniczności funkcji Re{X).

Rysunek 4 przedstawia zbiór X, którego rdzeń Re(X) jest spójny dla £ < 2 m m , a nie spójny dla 2 < e ^ 10 mm. Funkcja Re(X) ma punkt nieciągłości dla e = 2 mm. Zbiór X składa się z dwóch kól o pro-

0 5 10m m

1 _i___ i

Rys. 4

mieniu 10 mm i łączącego je pasa szerokości 4 mm. Oznaczmy przez Y

zbiór złożony z tych samych dwóch kół i z łączącego je pasa szerokości

(4 — a) mm. Oczywiście odległość zbiorów I i I nie przekroczy a. Mimo

to dla e = 2m m zbiory Re(X) i Re(Y) znacznie się różnią. Pierwszy

z nich jest spójny, a drugi nie. Odległość

(R

(X), Re(Y)) jest równa

połowie długości pasa łączącego koła zbioru X czy Y. Wynika stąd, że

funkcja Re{X) nie jest ciągła względem argumentu X.

78 J. Perkal

Z monotoniczności (9) wynika natychmiast, że dla dowolnej klasy zbiorów X zachodzą zawierania

(11) ] ?

,)

. ( Y

,),

l l

(12) 1‘ , ( П Х ‘) С П К' <Л'!>-

Zajmiemy się teraz związkami między aureolami a rdzeniami

(13) -K.(i— ar) = l - A m -

Udowodnimy najpierw, że lewa strona tej równości mieści się w pra­

wej. Weźmy dowolny punkt p^RĄ 1 —X). W myśl (D2') jest K e(p)C 1 — X.

Wynika stąd, że K e(p) jest z X rozłączne lub ma punkty wspólne tylko na brzegu. Wobec tego punkt p leży poza zbiorem A e(X) lub na jego brzegu; w każdym więc razie p e l — A e{X). Udowodnimy teraz zawieranie odwrotne. Weźmy w tym celu dowolny punkt q e l — A e(X).

Dla każdego a > 0 można znaleźć punkt r oddalony od q nie bardziej niż o a i zawarty w zbiorze 1 — A e(X), czyli nie należący do zbioru A e{X). Skoro tak, to zbiory K e(r) i X są rozłączne, czyli K e(r) C 1 —

— I c 1 — X. Stąd wynika w myśl (D2'), że r e Re(l — X). Punkt q jest więc punktem skupienia zbioru Re[l — X), a wobec domkniętości tego zbioru (patrz (8)) należy do niego. Eówność (13) jest więc udowodniona.

(14) А ,(Г = Х ) = 1 - £ . ( X ) .

Rzeczywiście, z równości (13) wynika, że wnętrze lewej strony jest równe wnętrzu prawej, czyli (zastępując X przez Y) Int Re( l — У) =

= 1 — A B{Y), a stąd A e( Y) — 1 — Int_Be( l — U). Podstawmy teraz za Y zbiór 1 — X ; otrzymujemy A e(l — Xj = l — IntRe( l —l — x ) =

= 1 — Re( l — 1 — x ) . Dla dowodu (14) wystarczy więc pokazać, że P£( l - l - x ) = Re(X). W myśl (D2') równość ta zachodzi, jeśli zacho­

dzi równoważność między zawieraniem K B(p) C l - l - I a zawiera­

niem K e(p) С X. Łatwo widzieć, że równoważność ta jest prawdziwa, więc równość (14) jest udowodniona.

(15) 4tft(I))cICĄ(l6(I)|.

Udowodnimy pierwszą część tej inkluzji podwójnej. W myśl (D2) i wobec (8) jest A B[Re(X)\ = A B[ ^ Z), a wobec (6) zbiór ten jest

Ae(Z)CZX

równy ^ A e(Z) i oczywiście zawarty w zbiorze domkniętym X.

A e{Z )a X

Przejdźmy do dowodu drugiej części inkluzji (15). W myśl (D2) jest Д,(А

(Х)) = 2! Z. Zbiór X jest jednym ze składników tej

A e(Z)C.Ae(X)

sumy, ponieważ spełnia warunek umieszczony pod znakiem sumy, jaki muszą spełniać jej składniki Z.

Stąd druga część inkluzji (15).

Rysunek 5 pokazuje, że żadnej z obu części inkluzji (15) nie można na ogół zastąpić rów­

nością.

3. W pracy [5] podałem następującą definicję г -uwypuklenia-.

(D3) C,(Z) = E Ш (e(«, Z) > et2) ^(<

( p , q ) > e/2)]

p

i równoważną jej

( 0 3 ' ) l — Ct (Z) — 2 Ą ( s ) ,

e(a,z)>e/2 gdzie K°Ej2{p) oznacza wnętrze kuli K ej2(p).

Definicja (D3') mówi, że dopełnienie e - uwypuklenia zbioru Z jest sumą wszystkich kul otwartych o średnicy e i rozłącznych ze zbiorem Z.

Rys. 6

Rysunek 6 przedstawia pewien zbiór płaski Z (po lewej) i jego e - uwypu­

klenie (po prawej stronie) dla e = 5 mm.

Zbiór Z nazywamy e-wypukłym, jeśli Z = Ce{Z), czyli jeśli jest on równy swemu e- uwypukleniu.

Z (D l') i (D3') wynika, że

(16) Jeżeli dopełnienie e- aureoli zbioru Z jest domknięte, to jest ono

zbiorem 2e- wypukłym.

8 0 J. Perkal

A wobec wzoru (13)

(17) e-rdzeń każdego zbioru Z jest zbiorem 2e-wypukłym.

Związek między e- uwypukleniem, e-aureolą i e- rdzeniem wyra­

żają następujące dwie równości:

(18) CU(Z) = B.(A.(Z%

(19) C „(1 = Z ) = 1 - A, ( B, ( Z) ) .

Udowodnimy najpierw równość (18). Z twierdzeń (3) i (5) cytowa­

nej pracy [5] wynika, że C2e(Z) jest najmniejszym zbiorem 2e-wypuk­

łym, zawierającym zbiór Z. Ponieważ zaś zbiór Re\As{Z)) jest, wobec (17), 2e- wypukły, a zgodnie z (15) zawiera zbiór Z, więc lewa strona rów­

ności (18) zawiera się w prawej. Należy jeszcze udowodnić zawieranie odwrotne. Weźmy dowolny punkt p eRe[Ae(Z)). Wobec (D2') mamy K e(p) C A e(Z), jeśli więc jakiś punkt q jest od zbioru Z odległy co naj­

mniej o e, to a fortiori jest od punktu p odległy co najmniej o e. A zatem punkt p spełnia warunek zawarty w prawej stronie definicji (D3), czyli należy do C2e{Z). Eówność (18) jest zatem udowodniona.

Wykażemy teraz słuszność równości (19). Prawa strona jest wobec (13) równa Re{l — RB(Z)), a ten rdzeń jest wobec (14) równy RB[Ae[l — Z))., Z równości (18) wynika, że jest to właśnie C2s(l — Zj.

Eówności (18) i (19) pociągają za sobą następujące dwa twierdze­

nia:

(20) Z = Re[Ae(Z)) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór Z jest 2s-wypukły;

(21) Z — A e[Re(Z)) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór 1 — Z jest 2e-wypukły.

Twierdzenia te wyjaśniają, kiedy we wzorze (15) można znak zawie­

rania zastąpić znakiem równości. Dla zbiorów Z, które same są 2e- wy­

pukłe i których domknięte dopełnienie 1 — Z jest również 2s- wypukłe, oba zawierania w (15) można zastąpić przez równości. Przykładem takiego zbioru płaskiego jest obszar ograniczony krzywą o promieniu krzywizny większym niż e w każdym punkcie.

(22) A B{X) C A e( Y) wtedy i tylko wtedy, gdy X C G2

{Y).

Ezeczywiście, jeśli A e(X) C Ae( Y), to w myśl (D2) jest X С Д,(Ае(Г)), a wobec równości (18) mamy X C G2e(Y). A więc z pierwszej inkluzji wynika druga. Załóżmy teraz, że I C C2s(Y). Z monotoniczności (1) wynika, że A E(X) C A e(C2e{ Y)), a wobec równości (18) mamy A e{X) c

C Ae(Ee(Ae(Y))). Zbiór po prawej stronie tej inkluzji jest zawarty w A e( Y) * w myśl (15). Zatem A e{X) C A B{Y). Twierdzenie (22) jest więc dowie­

dzione.

Prace cytowane

[1] П. C. А л е к с а н д р о в , Комбинаторная топология, Москва 1947.

[2] G. B o i, Beweis einer Vermutung von H . Minkowski, Abh. matb. Sem.

Hansische Univ. 15 (1942), str. 3 7 -5 6 .

[3] T. B o n n e s e n und W . F e n c h e l, Theorie der Konvexen Kdrper, Berlin 1934.

[4] M. K n e s e r , Tiber den Band von Parallelkórpern, Math. Nachrichten 5 (1951), str. 241-25 1.

[5] C. K u r a t o w s k i , Topologie 1, Warszawa 1948.

[6] H. M in k o w s k i, Gesammelte Abhandlungen, Leipzig 1911.

[7] J. P e r k a l, Sur les ensembles e-convexes, Coll. Math. IV , 1 (1956), str. 1-10.

[8] — On the e-Length, Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences, Cl. I l l , 4 (1956), str. 399-40 3.

[9] — O długości krzywych empirycznych, Zastosowania Matematyki 3 (1957), str. 258-28 4.

[10] E. S c h m id t , Die Brunn-Minkowskische TJngleichung und ihr Spiegelbild.. . , Math. Nachrichten 1 (1948), str. 8 1 -1 5 7 .

[11] — Tiber die Darstellung der Lehre vom Inhalt in der Integralrechnung, Math. Zeitschr. 12 (1922), str. 2 9 8-30 7.

Ю. ^Пэ р к а л ь (Вроцлав)

ОБ е -О К Р Е С Т Н О С Т Я Х Р Е З Ю М Е

В выпуклом метрическом пространстве расстоянием между множествами X и Y называю д ( Х, Y) = max q(z, Z), где Z обозначает одно из множеств X или Y , а г есть элемент второго множества- (D l) и (D P ) являются опреде­

лениями е-окрестности А е (Х), a (D2) и (D 2') —- определения е-сердцевины Ве (Х). Доказываю некоторые свойства этих понятий. Оказывается, что А е(Х) является монотонной и непрерывной функцией от аргументов е и X , а функция В е{Х) монотонна, но не непрерывна по этим аргументам. (D3) и (D3') — опреде­

ления е - выпуклой оболочки, описанной в работе [о]. Получены соотношения (18) и (19) между е- выпуклой оболочкой, е- окрестностью и е- сердцевиной.

J . Pe r k a l (Wrocław)

ON ^-A U R E O L E S

S U M M A R Y

B y the distance between the sets X and Г in a convex metric space the author understands q( X , Y) = max q(z, Z ) where Z is one of the sets X and Y and г is an element of the other set. (D l) and (D P ) are definitions of the e-au- Roczniki PTM - Prace Matematyczne III

82 J. Perkal

reole A e(X), while (D2) and (D2') are definitions of the s -kernel Me(X). The author proves certain properties of these concepts. The function A e{X) is seen to he monotonie and continuous with respect to the arguments e and X , while the function B e(X) is monotonie but not continuous with respiect to those arguments. (D3) and (D3') are definitions of the e -convexity described in paper [5]. The author works out the relations (18) and (19) between e-con ­ vexity on one hand and e- aureole and e-kernel on the other.