Egzamin pisemny z algebry 5 września 2011
(1) Wektory (e1, e2, e3) tworzą bazę zespolonej przestrzeni wektorowej V , a wektory (e′1, e′2, e′3) wyrażają się w tej bazie przez
(e′1 e′2 e′3)
=(
e1 e2 e3)
λ 5− 5i λ
1 λ 0
0 2 + 3i 1
,
gdzie λ jest zespolonym parametrem. Sprawdzić, dla jakich wartości tego parametru wektory (e′1, e′2, e′3) również tworzą bazę. Znaleźć w tych przypadkach, gdy to zachodzi, rozkład wektorów bazy dualnej (e′1, e′2, e′3) w bazie (e1, e2, e3).
(2) W bazie ortonormalnej (e1, e2, e3) przestrzeni euklidesowej dana jest macierz operatora symetrycznego A:
A =
8 3 −6
3 0 −2
−6 −2 3
.
Wyliczyć macierz przejścia doortonormalnej bazy własnej tego operatora. Podać:
– wektory nowej bazy jako kombinacje liniowe wektorów bazy (e1, e2, e3);
– macierz operatora w nowej bazie i jej związek z macierzą A.
(4) W dwuwymiarowej przestrzeni rzeczywistej dane są w bazie (e1, e2) dwie formy kwa- dratowe dwóch symetrycznych form metrycznych:
g(x, x) = 5(x1)2+ 14x1x2+ 10(x2)2, h(x, x) = 4(x1)2+ 10x1x2+ 6(x2)2. Znaleźć macierz przejścia do bazy, w której macierz jednej z form jest jednostkowa, a drugiej diagonalna. Podać:
– wektory nowej bazy jako kombinacje liniowe wektorów bazy (e1, e2);
– macierze obu form w nowej bazie i ich związek z macierzami form w bazie (e1, e2);
– postać form kwadratowych w nowej bazie.
(4) W trójwymiarowej rzeczywistej przestrzeni afinicznej dane są równania ogólne dwóch podprzestrzeni (λ jest parametrem):
N : φ1(−−→
OX) =−3, φ2(−−→
OX) = λ ; R : ψ(−−→
OY ) = λ + 2 ,
gdzie O jest punktem odniesienia, a formy dane są w bazie dualnej do bazy (ei):
φ1 =−λe1− λe2, φ2 = λe1+ (λ− 1)e3, ψ = λe1+ λe2+ (λ− 1)e3.
Przedstawić przecięcie tych podprzestrzeni (jeśli jest niepuste, w zależności od wartości parametru λ) w jawnej postaci parametrycznej:
−−→OX = a +∑
tifi, ti ∈ R.
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ – ZASADY EGZAMINOWANIA
1. Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej.
2. Uzyskanie oceny pozytywnej z części pisemnej jest koniecznym warunkiem dopuszczenia do części ustnej.
3. Ocena z części pisemnej uwzględnia średnią z ocen z zadań oraz liczbę zadań ocenionych pozytywnie (≥ 3).
4. Jeśli oceny z części pisemnej oraz części ustnej są pozytywne, to ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną ocen: egzaminu pisemnego, egzaminu ustnego oraz ćwiczeń.
W przeciwnym przypadku ocena z przedmiotu jest niedostateczna.
5. W przypadku otrzymania oceny niedostatecznej z egzaminu w I terminie można powtór- nie przystąpić do całości egzaminu w II terminie.
6. Osoby, które w I terminie uzyskają z egzaminu pisemnego ocenę pozytywną, ale nie przystąpią do egzaminu ustnego w tym terminie, o czym poinformują mnie na egzaminie pisemnym, nie otrzymują oceny z całości egzaminu w tym terminie. W II terminie te osoby mogą nie powtarzać części pisemnej egzaminu.
