Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca

Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca

Andrzej Paliński*

Nadesłany: 3 listopada 2008 r. Zaakceptowany: 20 maja 2009 r.

Streszczenie

W artykule dokonano próby wyjaśnienia przyczyn tego, że standardowa umowa kredytowa jest tak powszechnie spotykanym kontraktem dłużnym. Rozumowanie oparto na kilku ważniejszych mode- lach finansowych zaliczanych do grupy modeli kosztownej weryfikacji. W rozważanych modelach wykazuje się – za pośrednictwem formalnego – dowodu, że kredyt jest optymalną umową dłużną w warunkach kosztownej weryfikacji przez kredytodawcę rzeczywistych wyników przedsięwzięcia inwestycyjnego. Szczegółowej analizie poddano cztery modele opisujące relację kredytodawca – kredytobiorca: model pełnej symetrii informacyjnej, model kosztownej weryfikacji w warunkach asymetrii informacji, model kosztownego wymuszenia płatności oraz model heterogenicznych ocen zwrotu z przedsięwzięcia.

Okazuje się, że standardowa umowa kredytowa jest efektywna zarówno ex ante, jak i ex post w warunkach asymetrii informacji, kosztownej weryfikacji wyników przedsięwzięcia oraz kosz- townego wymuszenia sądowego. Muszą być jednak spełnione określone warunki, aby była to opty- malna umowa dłużna.

Słowa kluczowe: umowa kredytowa, kosztowna weryfikacja, asymetria informacji JEL: D82, G33

* Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie, Wydział Zarządzania; e-mail: palinski@zarz.agh.edu.pl.

A. Paliński

94

1. Wstęp

W mikroekonomicznej teorii bankowości relacja kredytodawca – kredytobiorca (lender-borrower relationship) stanowi jeden z kilku głównych obszarów badawczych, m.in. oprócz między innymi:

pośrednictwa finansowego, równowagi i racjonowania na rynku kredytowym, zarządzania ryzy- kiem bankowym czy regulacji i nadzoru bankowego (Freixas, Rochet 1997).

Teoria relacji kredytodawca – kredytobiorca obejmuje z kolei takie zagadnienia jak:

1) modele kosztownej weryfikacji, 2) umowy jedno– lub wielookresowe, 3) umowy niepełne,

4) modele selekcji heterogenicznych dłużników.

Modele kosztownej weryfikacji (Costly State Verification – CSV) zapoczątkowane przez Towsen- da (1979) są zastosowaniem teorii kontraktu do umów kredytowych w warunkach niedoskonałego rynku i asymetrii informacji. Teoria kontraktu obejmuje zagadnienia kosztów transakcji (ich konse- kwencją są modele CSV) oraz teorię umów niepełnych (incomplete contracts). Z kolei zagadnienia kontraktowania wynikają z ogólniejszej teorii przedstawicielstwa (lub inaczej teorii agencji – agency theory).

Relacja przedstawicielstwa (agency relationship) powstaje wówczas, gdy jeden podmiot – moco- dawca (principal) zleca do wykonania pewne działanie drugiemu podmiotowi – przedstawicielowi (agent), przekazując mu równocześnie uprawnienia decyzyjne niezbędne do wykonania tego dzia- łania. Podejmowanie decyzji zostaje więc oddzielone od ich kontrolowania. Strony kierują się przy tym własnym interesem, co powoduje, że ich cele nie są w pełni zbieżne.

Problem przedstawicielstwa, czyli występowanie konfliktów wynikających z teorii agencji, związany jest z istnieniem asymetrii informacji pomiędzy przedstawicielem a mocodawcą. Drugą przyczyną powstawania problemu przedstawicielstwa, związaną pośrednio z asymetrią informacji, jest konieczność ponoszenia kosztów związanych z przygotowaniem, monitorowaniem i realizacją kontraktów pomiędzy stronami relacji przedstawicielstwa.

Asymetria informacji może dotyczyć (por. Mesjasz 1999; Stradomski 2004; Varian 2002):

• Ukrytego działania przedstawiciela (hidden action) – przedstawiciel podejmuje działania (wysiłek), które ze względu na koszty uzyskania informacji nie mogą być obserwowane przez mocodawcę (np. poziom starań przy realizacji przedsięwzięcia inwestycyjnego). W związku z tym mocodawca nie potrafi określić związku pomiędzy wysiłkiem przedstawiciela a wynikiem. W tym przypadku w problemie przedstawicielstwa występuje pokusa nadużycia (moral hazard) w literatu- rze wręcz utożsamiana z pojęciem ukrytego działania.

• Ukrytej informacji (hidden information) czy ukrytej wiedzy (hidden knowledge) posiadanej przez przedstawiciela – przedstawiciel ma wiedzę o zmiennych środowiskowych niedostępną dla mocodawcy. Zmienne opisujące środowisko mogą mieć przy tym charakter losowy, niezależny od wpływu przedstawiciela (np. stopa zwrotu z projektu inwestycyjnego). W problemie przedstawi- cielstwa w sytuacji ukrytej informacji pojawia się negatywna selekcja (adverse selection), prowa- dząca np. do podejmowania zbyt ryzykownych projektów, których niepowodzenie w przypadku ograniczonej odpowiedzialności dłużnika przerzuca zbyt dużą część ryzyka na wierzyciela. Ko- nieczne jest zatem określenie właściwych bodźców, aby przedstawiciel nie mógł odnosić korzyści z nierzetelnego ujawniania lub wykorzystania swych prywatnych informacji.

W zależności od siły przetargowej obydwu stron mocodawca i przedstawiciel starają się uzgod- nić kontrakt spełniający następujące warunki (Mesjasz 2000; Watson 2005):

– warunek racjonalności podmiotu (individual rationality constraint – IR) albo warunek uczest- nictwa (participation condition – PC), oznaczający, że podmiot nie może podejmować działań zmniejszających własne korzyści, co przejawia się w tym, że każda ze stron ma pewną graniczną wartość użyteczności (reservation utility) lub inaczej indywidualny poziom użyteczności (indivi- dual rationality level), albo po prostu poziom odniesienia będący użytecznością podjęcia zupełnie innego działania;

– warunek zachowania zgodności bodźców (incentive compatibility constraint – IC) albo inaczej warunek motywacyjny (incentive condition), według którego przedstawiciel powinien być motywo- wany w taki sposób, aby działał zgodnie z interesem mocodawcy nawet wtedy, gdy ten nie może obserwować działania agenta.

Głównym celem artykułu jest wykazanie, że na gruncie teorii agencji, w warunkach asymetrii informacyjnej i kosztów realizacji kontraktów standardowa umowa kredytowa jest optymalną for- mą umowy dłużnej. Nie jest to oczywiste, gdyż umowa kredytowa mogłaby zostać skonstruowana np. według zasady spłaty proporcjonalnej do wyników przedsięwzięcia finansowanego kredytem.

W praktyce gospodarczej nie spotyka się jednak powszechnie umów dłużnych uzależniających wy- sokość spłaty zadłużenia od stanów natury, czyli wyników przedsięwzięcia. Standardowa umowa kredytowa jest natomiast najczęściej zawieranym kontraktem dłużnym.

Dodatkowym celem artykułu jest przedstawienie rozwoju modelowania relacji kredytodawca – kredytobiorca w powiązaniu z postępem teorii gier i ekonomii informacji, począwszy od symetrii informacji, przez statyczną grę bayesowską po dynamiczną grę bayesowską i grę sygnalizacyjną.

Dalsza część artykułu jest zorganizowana następująco. W części drugiej przedstawiono klasycz- ny model kredytowania w warunkach pełnej symetrii informacyjnej. Okazuje się, że w takich wa- runkach optymalna umowa dłużna wiąże wysokość spłaty zadłużenia z wynikami przedsięwzięcia i umowa ta nie przypomina standardowej umowy kredytowej. W części trzeciej poddano analizie model kosztownej weryfikacji Gale’a i Hellwiga (1985), w którym istnienie asymetrii informacyj- nej i kosztów weryfikacji wyników kredytobiorcy powoduje, że standardowa umowa kredytowa staje się optymalnym kontraktem dłużnym. Wpływ kosztów sądowych egzekwowania umowy na kształt optymalnej umowy dłużnej jest rozważany w części czwartej. Stosując model kosztownego wymuszenia Krasy i Villamila (2000), wykazano, że w sytuacji kosztownego wymuszenia spłaty zadłużenia standardowa umowa kredytowa jest również optymalną umowa długu. W części piątej, korzystając z modelu Carliera i Renou (2005), znaleziono warunki, w których standardowa umowa kredytowa jest optymalnym kontraktem dłużnym, w sytuacji gdy oceny kredytodawcy i kredyto- biorcy na temat zwrotu z przedsięwzięcia są różne. Artykuł kończy się podsumowaniem.

2. Optymalny kontrakt w warunkach symetrycznej informacji

Ważnym zagadnieniem dotyczącym teorii finansów jest określenie optymalnego kształtu umowy kredytowej. Jej warunki mogą być dowolnie precyzowane przez kredytodawcę i kredytobiorcę w zależności od siły przetargowej obydwu stron. Wydawać by się mogło, że najlepszym rozwiąza- niem byłoby szczegółowe zdefiniowanie wszystkich stanów natury i przypisanie do nich zachowań

A. Paliński

96

wymaganych od obydwu stron kontraktu, w tym wysokości spłaty kredytu. Byłby to tak zwany kon- trakt zależny od stanów natury (state contingent). Najczęściej spotykaną formą umowy dłużnej jest jednak standardowa umowa kredytowa. Jest to kontrakt (standard debt contract – SDC), w którym dłużnik zobowiązuje się spłacić określoną w umowie stałą kwotę R₁, a niemożność jej spłaty po- zwala bankowi przejąć całe przepływy pieniężne wygenerowane przez przedsięwzięcie. W dalszej części pracy spróbujemy wyjaśnić, dlaczego standardowa umowa kredytowa jest powszechnie używana.

Rozważmy gospodarkę o dwóch okresach t = 0, 1, w której wytwarzane jest jedno dobro (Freixas, Rochet 1997). W okresie t = 0 kredytobiorca może uzyskać kredyt, który w całości zainwe- stuje w technologię wytwarzającą w okresie t = 1 wielkość dobra będącą zmienną losową Y = f(L).

Zakładamy, że kredytobiorca w okresie t = 0 nie posiada własnych środków finansowych i całość środków L musi pożyczyć od kredytodawcy. Preferencje kredytobiorcy u_B i kredytodawcy u_L scha- rakteryzowane funkcjami użyteczności von Neumana-Morgensterna są klasy C², wklęsłe i ściśle rosnące.

Zakładamy także, iż wymuszenie realizacji kontraktu (enforcement) jest w pełni skuteczne i pozbawione kosztu. Kredytodawca, w sytuacji niewywiązania się z umowy przez kredytobiorcę, może zatem bez jakichkolwiek dodatkowych warunków (np. zgody sądu) i bez ponoszenia kosztów przejęcia aktywów kredytobiorcy egzekwować swoje należności. Wyniki przedsięwzięcia są obser- wowalne dla wszystkich stron bez żadnego kosztu.

W sytuacji pełnej symetrii informacyjnej kredytodawca i kredytobiorca obserwują realizację przedsięwzięcia ex post. Możliwe jest zatem podpisanie umowy określającej ex ante podział pomię- dzy strony kontraktu wielkości dobra y, będącego realizacją zmiennej losowej Y w okresie t = 1.

Umowa kredytowa R = R(y) jest funkcją określającą płatność kredytobiorcy na rzecz kredyto- dawcy w zależności od stanu natury stanowiącego wynik podjętej inwestycji. Umowa kredytowa określa zatem podział dobra y będącego realizacją zmiennej losowej pomiędzy strony umowy.

Niech R(·) będzie funkcją ciągłą i różniczkowalną klasy C¹. Charakterystykę optymalnej umowy kredytowej R(·) można znaleźć, rozwiązując następujące zadanie optymalizacji:

)]

( ( [

maxE u_B Y R Y

R  1

))] 0

( (

[u_L RY u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B





 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u_L⁰

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  '  '  ' '

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

₄



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] ( ( 1 ))[ ( (

)) (

( _'

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

'(

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B







0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c s i

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y si  r ic si B s h si ds

B R C

imax_i ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , )

, ,

, 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

(1) przy następujących ograniczeniach:

)]

( ( [

maxEu_B Y RY

R  1

))] 0

( (

[u_L RY u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 



 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u⁰_L

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  _'  _'  _{' '}

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

₄



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] ( ( 1 ))[ ( (

)) (

( '

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 





0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c

i s

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y si  r ic si B s h si ds

B R C

imax_i ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , )

, ,

, 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

(IR) (1.1)

)]

( ( [

maxEu_B Y R Y

R  1

))] 0

( (

[u_L R Y u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B





 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u_L⁰

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  '  '  ' '

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

4



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] (

( 1 ))[ ( (

)) (

( '

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

'(

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B







0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c

i s

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y si  r ic si B s h si ds

B R C

imax_i ( , ) (1 ) ( ,) ( ) ( , )

, ,

, 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

(LL) (1.2)

Przy tak skonstruowanym zadaniu cała siła przetargowa zostaje umieszczona po stronie kredytobiorcy, dla którego funkcja użyteczności jest malejąca względem R(·), gdyż otrzymuje on w wyniku spłaty dochód równy y – R(y). Rozwiązanie powyższego programu jest określone przez graniczną wartość użyteczności kredytodawcy u⁰L ze względu na monotoniczność warunku indy- widualnej racjonalności (IR). Oczekiwana użyteczność kredytodawcy, która jest rosnąca względem R(·), jest sprowadzana do wartości granicznej u⁰L, co odpowiada w pełni konkurencyjnemu rynkowi finansowemu.

Lemat 1. W warunkach doskonałego rynku kredytowego optymalna umowa dłużna jest funkcją o nachyleniu określonym przez indeksy bezwzględnej awersji względem ryzyka kredytobiorcy I_B i kredytodawcy I_L, której pochodna jest wyznaczona wzorem:

))] 0

( (

[u_L R Y u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

'(

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B





 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u_L⁰

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  '  '  ' '

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

₄



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] (

( 1 ))[ ( (

)) (

( _'

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^'' ˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^'' ˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

'(

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 





0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c s i

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y si  r ic si B s h si ds

B R C

imax_{, i, ,} ( ,) (1 ) ( ,) ( ) ( , ) 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

(2)

Dowód. Pomińmy dla uproszczenia warunek ograniczonej odpowiedzialności kredytobiorcy (LL – limited liability). Funkcja Lagrange’a przyjmuje wówczas następującą postać dla każdego y będącego realizacją zmiennej losowej Y:

(3)

)]

( ( [

maxE u_B Y RY

R  1

))] 0

( (

[u_L RY u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 



 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u_L⁰

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  '  '  ' '

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

₄



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] ( ( 1 ))[ ( (

)) (

( '

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 





0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c

i s

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y si  r ic si B s h si ds

B R C

imax_{,i, ,} ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

Warunek konieczny istnienia ekstremum wymaga między innymi spełnienia następującego kryterium:

)]

( ( [

maxEu_B Y R Y

R  1

))] 0

( (

[u_L R Y u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 



 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u_L⁰

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  _'  _'  _{' '}

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

₄



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] (

( 1 ))[ ( (

)) (

( '

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 





0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c

i s

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y si  r ic si B s h si ds

B R C

imax_{,i, ,} ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

(4)

co po przekształceniach prowadzi do

)]

( ( [

maxE u_B Y R Y

R  1

))] 0

( (

[u_L RY u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

'(

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B





 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u_L⁰

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  '  '  ' '

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

₄



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] (

( 1 ))[ ( (

)) (

( '

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 





0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c

i s

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y si  r ic si B s h si ds

B R C

imax_{,i, ,} ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , ) 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

(5)

Różniczkując powyższe równanie względem y, otrzymujemy )]

( ( [

maxEu_B Y RY

R  1

))] 0

( (

[u_L RY u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 



 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u⁰_L

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  _'  _'  _{' '}

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

₄



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] ( ( 1 ))[ ( (

)) (

( '

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 





0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c

i s

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y s i  ric si B s hs i ds

B R C

imax_i ( ,) (1 ) ( ,) ( ) ( ,)

, ,

, 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

(6)

Po wprowadzeniu indeksów bezwzględnej awersji względem ryzyka (zob. np. Jajuga, Jajuga 2001) dla kredytodawcy i kredytobiorcy postaci:

)]

( ( [

maxEu_B Y R Y

R  1

))] 0

( (

[u_L R Y u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

'(

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B





 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u_L⁰

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  '  '  ' '

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R

L

O

B

O

L ₄



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] (

( 1 ))[ ( (

)) (

( _'

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^'' ˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^'' ˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

'(

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 





0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c s i

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y s i  r ics i B s h si ds

B R C

imax_{, i, ,} ( ,) (1 ) ( ,) ( ) ( ,) 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

oraz )]

( ( [

maxEu_B Y RY

R  1

))] 0

( (

[u_L RY u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 



 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u⁰_L

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  '  '  ' '

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

4



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] ( ( 1 ))[ ( (

)) (

( '

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 





0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c

i s

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y si  r ic si B s h si ds

B R C

imax_i ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( , )

, ,

, 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

(7)

uzyskujemy ostatecznie zależność

)]

( ( [

maxEu_B Y RY

R  1

))] 0

( (

[u_L R Y u_L

E t 1.1

y y

R d

d ( )

0 1.2

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

(

'

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B 



 2

] ) ( ( [ ) ( ( ) , ), (

(R y y u_B y R y u_L R y u⁰_L

L

O

 

O

 3

0 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) (

, ), (

(  '  '  ' '

w

w u y R y R y u R y R y

y y y R L

L

B

O

O

4



O

)) ( (

)) ( (

' '

y R u

y R y u

L

B 5

0 ) )) ( ( (

)) ( )] (

( 1 ))[ ( (

)) (

( '

' '' '

''  



 R y

y R u

y R y u

y R R y u

y R y u

L L B

B 6

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

L

L uL

I u

) (

) ) (

( _'^''

˜

 ˜

˜

B

B uB

I u 7

)) ( ( )) ( (

)) ( ) (

'(

y R I y R y I

y R y y I

R

L B

B







0 ,

0 ,

0

0 ,

0 ,

0

2 2

2 2

2

w t t w w t w w w

w ! w

 w w

! w w w

s c i

c i

c

i s

y i

y i

y

] ) 1 ( ) , ( max [ arg

0

*

E y s i r i

i

i





t

8

BEW

R C i,maxi, ,

> @

³_s y s i  r ics i B s h si ds

B R C

imax_i ( ,) (1 ) ( ,) ( ) ( ,)

, ,

, 12

³

_s R(s)h(s,i)ds (1^r)(i^R₀^Ci) 12.1

°¯

°®

­

 t

1' 1'

1 ' 0

R y gdy

R y

B gdy 13

która stanowi dowodzoną równość (2). *

A. Paliński

98

Bank mający zdywersyfikowany portfel kredytowy charakteryzuje się neutralnością względem ryzyka i tym samym liniową zależnością użyteczności od dochodu. Stąd druga pochodna funkcji użyteczności u_L''(·) = 0, co prowadzi do I_L(·) = 0. Przedsiębiorca zwykle charakteryzuje się awersją względem ryzyka, zatem u_B''(·) ≠ 0 i I_B(·) ≠ 0, a stąd R'(y) = I_B(·)/IB(·) = 1.

Wniosek 1. W sytuacji pełnej symetrii informacyjnej pomiędzy agentami optymalną umo- wą finansową nie jest standardowa umowa kredytowa, ale kontrakt uwzględniający płatności dla wszystkich stanów natury (state contingent contract – SCC), o funkcji liniowej względem y i kącie nachylenia π/2, co obrazuje wykres 1.

W warunkach doskonałego rynku, na którym nie byłoby asymetrii informacyjnej oraz nie występowałyby koszty transakcyjne, dług przypominałby kapitał własny, a spłata dla dostarczy- ciela kapitału zależałaby od obserwowanych wyników przedsięwzięcia. Wynik inwestycji był- by dzielony między strony umowy zgodnie z awersją do ryzyka. W praktyce rynkowej nie ob- serwujemy jednak takiej sytuacji – umowy dłużne przybierają zwykle formę standardowej umo- wy kredytowej. Przedstawiony model nie tłumaczy zatem powszechności występowania stan- dardowej umowy kredytowej. Niemniej jednak spotyka się w praktyce bankowej umowy, które zawierają element podziału ryzyka, np. ryzyka stopy procentowej – przez wprowadzenie zmien- nego oprocentowania – lub ryzyka walutowego przez wprowadzenie do umowy różnorodnych instrumentów pochodnych. Spotykane są również obligacje zamienne na akcje lub akcje uprzy- wilejowane zamienne na obligacje. Nie zmienia to jednak znaczenia wniosku 1, gdyż ryzyko wyniku przedsięwzięcia w większości umów dłużnych nie jest dzielone pomiędzy strony umo- wy kredytowej.

Wykres 1

Standardowa umowa kredytowa (SDC) i kontrakt finansowy zależny od stanu natury (SCC) w warunkach pełnej symetrii informacyjnej

y R(y)

R₁

y₁

SDC SCC

3. Optymalny kontrakt kredytowy w warunkach asymetrii informacyjnej – model kosztownej weryfikacji

W sytuacji asymetrii informacyjnej, gdy stan natury po zawarciu kontraktu jest znany tylko jed- nemu z agentów, nie można uwzględnić w kontrakcie warunków płatności w uzależnieniu od nieobserwowalnych dla wszystkich stron umowy stanów natury. Zgodne z intuicją i praktyką gospodarczą jest przyjęcie założenia, że można poznać stan natury dzięki zastosowaniu kosz- townego mechanizmu weryfikacji wyników przedsięwzięcia. Koszty weryfikacji mogą obejmo- wać koszty zatrudnienia firmy audytorskiej, koszty związane z postępowaniem układowym bądź upadłościowym lub inne. Możliwe jest zatem pośrednie powiązanie płatności z wynikami przedsięwzięcia za pośrednictwem procesu weryfikacji. Pierwszym modelem, za pomocą którego dokonano próby kompleksowego wyjaśnienia wpływu kosztów weryfikacji na kształt optymalnej umowy był model Towsenda (1979). Model ten wykazał optymalność standardowej umowy kredytowej dla kontraktu deterministycznego, tzn. takiego, w którym kosztowny audyt jest podejmowany na pewno, ale tylko w warunkach określonych w umowie. W pozostałych warunkach audyt nie jest podejmowany w ogóle. Model Towsenda wskazał również na to, że kontrakt stochastyczny, w którym audyt jest podejmowany losowo, dominuje w sensie Pareto standardową umowę kredytową.

Rozwinięciem ogólnego modelu finansowego Towsenda w odniesieniu do instytucji kredyto- wo-depozytowych jest model Gale’a i Hellwiga (1985), którego główne wyniki zostały następnie potwierdzone przez Williamsona (1986; 1987). Model Gale’a-Hellwiga przedstawia się następująco.

Przedsiębiorca i kredytodawca w okresie t = 0 zamierzają zawrzeć kontrakt dotyczący finanso- wania przedsięwzięcia, którego wynik będący zmienną losową nastąpi w okresie t = 1. Nakłady inwestycyjne przewyższają wartość majątku netto przedsiębiorcy, zatem w celu realizacji projektu przedsiębiorca musi pozyskać zewnętrzne źródło finansowania pochodzące od jednego kredyto- dawcy (inwestora). Kredytodawca może pozyskiwać na konkurencyjnym rynku środki finansowe o stopie procentowej wolnej od ryzyka równej r, gdzie r > 0.

Początkowy majątek netto przedsiębiorcy wynosi W₀ = A₀ – R₀, gdzie A₀ oznacza aktywa począt- kowe, a R₀ – początkowe zadłużenie. Do poniesienia nakładów inwestycyjnych w wysokości i wy- magane są wkład (kapitał) własny przedsiębiorcy C_i oraz kredyt L = i + R₀ – C_i, gdzie 0 ≤ C_i ≤ A₀, oraz A₀ – R₀ < i. Przedsiębiorca maksymalizuje wartość oczekiwaną swojego majątku w okresie t = 1.

Kredytodawca i kredytobiorca charakteryzują się neutralnością względem ryzyka. Dzięki temu problem podziału ryzyka staje się mało istotny, a cała uwaga może być skoncentrowana na przychodach i kosztach przedsięwzięcia. W momencie podpisywania kontraktu obaj agenci mają w pełni symetrycz- ną informację. Zwrot z projektu inwestycyjnego realizowany jest już w warunkach asymetrii informa- cyjnej – przedsiębiorca obserwuje realizację projektu bez żadnych kosztów, podczas gdy kredytodawca musi ponieść koszt audytu c = c(s,i), dzięki któremu uzyskuje pełną informację o zwrocie z projektu, gdzie s oznacza stan natury s^∈S = ℜ₊. Koszt audytu jest faktycznie funkcją aktywów kredytobiorcy, gdyż i = L + C_i – R₀ ≤ A0 + L – P₀. Inwestycja w okresie t = 0, o nakładzie i przynosi w okresie t = 1 przy stanie natury s zwrot y = y(s, i), będący zmienną losową o gęstości h(s, i).

Założenie 1. y: ℜ₊ x ℜ₊ → ℜ₊ jest klasy C² oraz c: ℜ₊ x ℜ₊ → ℜ₊ jest klasy C², ponadto y(0, i) =

= y(s, 0) = 0,