Ćwiczenia nr 12
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki
Niezależność zmiennych losowych, wariancja, 20.1.2020
Rozkład geometryczny. P (X = k) = qk−1p, gdzie q = 1 − p, k = 1, 2, 3, . . .. EX =1p, Var X = pq2. Rozkład Bernoulliego. P (X = k) = nkpkqn−k, gdzie 0 ¬ k ¬ n. EX = np, Var X = npq.
Zadanie 1. Losujemy bez zwracania dwie liczby ze zbioru {1, 2, 3}. Niech X oznacza iloraz pierwszej wyloso- wanej liczby przez drugą. Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej X.
Zadanie 2. Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia 3 reszek z rzędu lub orła. Znajdź rozkład zmiennej losowej X = {liczba wykonanych rzutów} i obliczyć EX, Var X.
Zadanie 3. Rzucamy kością sześcienną sześć razy. Niech X oznacza najmniejszą z uzyskanych wartości. Wy- znaczyć rozkład X i wartość oczekiwaną EX.
Zadanie 4. Rzucamy 2 razy monetą. Niech Xi = {liczba orłów w i-tym rzucie} dla i = 1, 2 (Xi ∈ {0, 1}), niech Y = X1+ X2, jeśli X1+ X2 ¬ 1 oraz Y = 0, jeśli X1+ X2 = 2. Czy zmienne losowe X1, Y są niezależne? Czy trójka zmiennych losowych X1, X2, Y jest niezależna?
Zadanie 5. Rzucamy monetą tak długo, aż nie pojawią się dwa orły lub dwie reszki z rzędu. Niech X oznacza liczbę wykonanych rzutów. Wyznacz rozkład zmiennej X, jej wartość oczekiwaną i wariancję.
Zadanie 6. Rzucamy 12 razy kostką dwunastościenną, na której są oczka 1, 2, 3, . . . , 12. Oblicz wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X = {liczba rzutów z wynikiem większym niż 8}.
Zadanie 7. W pudełku mamy 100 standardowych kostek sześciennych. Rzucamy nimi jednocześnie i obli- czamy średnią m1 liczby wyrzuconych oczek. Eksperyment powtarzamy 10 krotnie uzyskując wyniki m1, m2, . . . , m10. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X = m1+m210+...+m10.
Zadanie 8. Na ścianach kostki sześciennej napsiano liczby (a) 101, 102, . . . , 106;
(b) −250, −150, −50, 50, 150, 250.
Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby uzyskanych oczek.
Zadanie 9. Niech X i Y oznaczają kolejno liczby oczek uzyskanych w dwóch rzutach kostką standardową. Czy pary (a) X + Y , XY , (b) X + Y , X − Y (c) X − 1, Y + 1 są parami zmiennych niezależnych?
Zadanie 10. Rzucamy kością sześcienną tak długo, aż wypadną wszystkie wartości. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję liczby wykonanych rzutów.
Zadania domowe na 27.1.2020
Zadanie 1. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, P (X = 1) = 1/3, P (X = 5) = 2/3, a P (Y = 0) = P (Y = 2) = 1/2. Znajdź rozkład zmiennych Z = min(X, Y ), U = max(X, Y ).
Zadanie 2. Rzucamy raz kostką. Niech X, Y oznaczają resztę z dzielenia przez 2, 3, odpowiednio, z liczby wyrzynonych oczek. Zatem X przyjmuje wartości 0, 1, a Y — 0, 1 i 2. Czy zmienne X, Y są niezależne?
Zadanie 3. Zmienna losowa X ma rozkład: P (X = 0) = 1/4 = P (X = 1), P (X = 2) = 1/2. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych Y = 2X − 1 i Z = 2X.
Zadanie 4. Mamy 2 urny. W chwili początkowej kule są tylko w pierwszej urnie i jest ich 100. W każdej sekundzie losujemy jedną ze 100 kul z równym prawdopodobieństwem i przekładamy wylosowaną kulę do urny, w której nie ma jej w danym momencie. Oblicz wartość oczekiwaną liczby kul w pierwszej urnie po 100 sekundach.
Zadanie 5. Dwóch graczy Adam i Bartek gra w następującą grę: rzucają tak długo kostką sześcienną, aż trzy razy z rzędu wartości będą mniejsze niż 5 lub dwa razy z rzędu wartości będą większe od 4. W pierwszym wypadku wygrywa Adam, w drugim Bartek. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej Adama?
