Joanna Krwawnik , Julek Nowak Referat – Zadanie 1.8 z serii I Treść zadania:
Pokazać, że podgrupa dowolnej grupy skończonej generowana przez dwa nieprzemienne elementy rzędu dwa jest izomorficzna z grupą dihedralną.
Rozwiązanie:
A.B, B – grupa skończona A=<a,b>
a2=1, b2=1, ab.ba
1) Element b możemy przedstawić w postaci b=ac, ponieważ skoro A jest podgrupą, to zawiera oprócz a i b także a-1 i b-1, a także ich iloczyny. Czyli zawiera element a-1b. Nazwijmy ten element c.
Czyli można przedstawić b
jako ac. Czyli można przedstawić grupę A=<a,b> jako grupę <a,ac>.
Ponieważ b jest rzędu 2, to:
acac=1
Mnożąc z prawej strony równości przez c-1, otrzymujemy:
acacc-1= c-1 aca= c-1
2) Załóżmy, że c jest rzędu 2 (i c=a-1b=ab) , wtedy:
abab=1
Mnożąc równość przez a z prawej strony, otrzymujemy:
aabab=a bab=a
Mnożąc z lewej strony przez b, otrzymujemy:
babb=ab ba=ab
Otrzymana równość jest sprzeczna z warunkami zadania, stąd element c nie może być rzędu 2. Ze skończoności
grupy B, której podgrupą jest A, wynika, że element c jest skończonego rzędu.
3) Otrzymujemy zatem podgrupę generowaną przez dwa nieprzemienne elementy, z których jeden (a) jest
drugiego rzędu, drugi (c) jest rzędu n, dla n.3. Między elementami a i c zachodzi relacja: aca= c-1.
Otrzymana
grupa jest zatem izomorficzna z grupą dihedralną, ponieważ zachowuje strukturę grupy dihedralnej.
Uważny czytelnik mógłby zadać pytanie takie jak"A dlaczego nie ma
innych relacji w tej grupie? Czy naprawdę wiemy że elementy tej podgrupy nie są sobie równe?"
Już spieszymy rozwiać te wątpliwości. Otóż rozwiążemy te zagadnienie, nie wprost.
Załóżmy że dwa dowolne elementy są sobie równe.
Są one postaci a^i * c^p i a^j * c^w, gdzie i,j to 1 lub 0, a p,w to jakaś liczba naturalna mniejsza od n.
Czyli a^i * c^p = a^j * c^w
Najłatwiej to pokazać na 4 przypadkach, w zależności od potęgi a.
Gdy i=0=j to równanie wygląda następująco:
c^p=c^w.
A to jest spełnione tylko gdy (p-w) mod n = 0 czyli gdy są to te same elementy.
Gdy i=1=j to równanie wygląda następująco:
ac^p=ac^w, czyli a*a*c^p=a*a*c^w c^p=c^w
A to jest spełnione tylko gdy (p-w) mod n = 0 czyli gdy są to te same elementy.
sprawdźmy teraz gdy i=0 a także j=1 (lub odwrotnie, nie ma to różnicy) a*c^p=c^w i to także przekształcamy,
1=a*c^(w-p) a to nigdy nie jest prawdą czyli nigdy takie elementy nie są równe. Czyli nie ma dwóch takich samych elementów.
