Joanna Krwawnik, Juliusz Nowak
Rozwiązanie zadania 2.18 Treść: Udowodnić, że GL(2, Z3)/Z(GL(2, Z3)) jest izomorficzne z Σ4. 1) Obliczymy moc GL(2, Z3).
GL(2, Z3) – macierze odwracalne 2x2 o współczynnikach z ciała Z3
|GL(2, Z3)|=(9-1)(9-3)=48 – każdy wiersz można wybrać na 9 sposobów. W pierwszym wierszu mamy więc 9 możliwości, ale macierz jest odwracalna, więc należy wykluczyć możliwość (0,0). Analogicznie w drugim wierszu wykluczamy wiersz zerowy, a także wiersz, który jest powtórzeniem wiersza pierwszego oraz podwojony wiersz pierwszy.
2) Do Z(GL(2, Z3)) należą macierze: (1 0
0 1),(2 0 0 2) . Stąd |Z(GL(2, Z3))|=2
3) Na podstawie Tw. Lagrange'a mamy więc:
|GL(2, Z3)/Z(GL(2, Z3))|=|GL(2, Z3):Z(GL(2, Z3))|=|GL(2, Z3)|/|Z(GL(2, Z3))|=24
4) W grupie GL(2, Z3) istnieje podgrupa rzędu 12. Jest nią podgrupa H generowana przez macierze górnotrójkątne:
(2 00 2), (2 0
0 1),(1 1 0 1) .
5) Z twierdzenia Cayleya wynika, że grupa GL(2, Z3) jest izomorficzna z pewną podgrupą bijekcji elementów zbioru GL(2, Z3), w szczególności jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy Σ48. Jeśli rozpatrzymy odwzorowania GL(2, Z3) w grupy permutacji zbiorów warstw lewostronnych grupy GL(2, Z3) względem różnych jej podgrup, to otrzymamy różne homomorfizmy z GL(2, Z3) w grupy permutacji, w szczególności dla podgrupy trywialnej otrzymamy monomorfizm z twierdzenia Cayleya.
Grupę GL(2, Z3) można zatem homomorficznie odwzorować w grupę permutacji czteroelementowego zbioru warstw lewostronnych grupy GL(2, Z3) względem podgrupy H.
Warstwy lewostronne grupy GL(2, Z3) względem podgrupy H, to (przedstawione przez wskazanie reprezentantów):
A= (1 0
0 1), B= (1 0
1 1), C= (0 1
1 1), D= (1 1 2 0), Zadajmy homomorfizm фH
Dla dowolnego elementu grupy GL(2, Z3) rozważmy permutację фg określoną wzorem:
фg(xH=(gx)H, gdzie xH – warstwa elementu x, (gx)H – warstwa elementu gx Odwzorowanie фH: GL(2, Z3)→ΣG/H, określone wzorem:
фH(g)= фg
jest homomorfizmem grupy GL(2, Z3) w grupę Σ4, ponieważ dla dowolnego elementu g ∈G mamy:
фxy(gH)=(xy)gH=x(yg)H=фx(ygH)=фx(фy(gH))=(фy◦фx)(gH)
6) Szukamy jądra przekształcenia фH
Zauważmy, że każdy element spoza warstwy macierzy jednostkowej przeprowadza warstwę A na warstwę, której jest reprezentantem. Stąd żaden element spoza grupy A nie należy do jądra przekształcenia фH. Sprawdzamy elementy należące do warstwy A:
фH( (1 0
0 1) )=(A)(B)(C)(D) i фH( (2 0
0 2) )=(A)(B)(C)(D) фH( (1 0
0 2) )=фH( (2 0
0 1) )=(A)(BD)(C);
фH( (1 1
0 1) )=фH( (2 2
0 2) )=(A)(BDC);
фH( (2 2
0 1) )= фH( (1 1
0 2) )=(A)(B)(CD) ; фH( (2 1
0 1) )=фH( (1 2
0 2) )=(A)(BC)(D) ; фH( (1 2
0 1) )=фH( (2 1
0 2) )=(A)(BCD) kerфH=Z(GL(2, Z3))={ (1 0
0 1),(2 0 0 2) }
7) Na podstawie twierdzenia o homomorfizmie (założenia są spełnione, ponieważ istnieje homomorfizm фH: GL(2, Z3)→ Σ4, kerфH=Z(GL(2, Z3))) istnieje
monomorfizm φ: GL(2, Z3)/Z(GL(2, Z3))→ Σ4. Ponieważ |GL(2, Z3)/Z(GL(2, Z3))|=24
monomorfizm φ jest surjekcją i tym samym izomorfizmem, zatem GL(2, Z3)/Z(GL(2, Z3)) i Σ4 są izomorficzne.
