1. Dla każdego z następujących języków proszę ustalić, czy jest to język regularny i czy jest to język bezkontekstowy:

Złożoność obliczeniowa (bioinformatyka) - egzamin 10 lutego 2015

1. Dla każdego z następujących języków proszę ustalić, czy jest to język regularny i czy jest to język bezkontekstowy:

(a) L

= {a

b

a

| m ≡ n + k mod 2};

(b) L

= {a

b

a

| m = n + k};

(c) L

= {a

b

a

| m = n + k ∧ n = k}.

2. Czy wszystkie języki z zadania 1 należą do klasy Logspace?

3. Czy prawdziwe są następujące zawierania:

(a) S

k∈N

Nspace(log

n) ⊆ S

k∈N

Dspace(log

n)?

(b) Dtime(n

√

n) ⊆ Dtime(n

)?

4. Co to znaczy, że problem decyzyjny (język) jest nierozstrzygalny? Proszę podać przykład takiego problemu.

5. Co to znaczy, że problem (język) jest NP-zupełny? Proszę zdefiniować trzy takie pro-

blemy, w tym co najwyżej jeden odnoszący się do rachunku zdań.

Przykładowe rozwiązania

1a: Ten język jest regularny, określony np. wyrażeniem regularnym (a²)^∗(ab ∪ ε)(b²)^∗(ba ∪ ε)(a²)^∗. 1b: Ten język jest bezkontekstowy, generowany przez gramatykę¹ o produkcjach:

ξ0⇒ ξ | aξ0a; ξ ⇒ ε | aξb,

gdzie ξ0 jest symbolem początkowym. Ale nie jest to język regularny, bo ma nieskończenie wiele różnych ilorazów. Na przykład, dla różnych r ∈ N różne są języki

L2\ a^r= {w | a^rw ∈ L2} = {a^mbⁿa^k | r + m = n + k}.

1c: Ten język nie jest bezkontekstowy. Przypuśćmy przeciwnie i niech N będzie stałą z lematu o pompowaniu. Słowo w = a^2Nb^Na^N można przedstawić w postaci w = uvzxy, gdzie uvⁱzxⁱy ∈ L3

dla każdego i ∈ N. Przy tym vx 6= ε, a słowo vzx jest długości co najwyżej N .

W szczególności, słowo w⁰ = uv²zx²y musi być postaci a^2Mb^Ma^M, gdzie M > N , bo w⁰ jest dłuższe niż w. Słowo vzx jest na tyle krótkie, że musi się zawierać w części a^2Nb^N albo w części b^Na^N. W pierwszym przypadku otrzymamy w⁰ = w⁰⁰ba^N (nie zmienia się końcowa część od ostatniego b włącznie) w drugim w⁰ = a^2Nbw⁰⁰ (nie zmieni się część początkowa do pierwszego b włącznie). Stąd M = N , sprzeczność.

2: Tak. Na przykład do sprawdzenia, czy dane słowo w długości n nalezy do L2 wystarczy licznik rozmiaru n (zajmujący na taśmie roboczej log n komórek). Maszyna Turinga przesuwa głowicę wejś- ciową w prawo, zwiększając w każdym kroku licznik o 1, aż do pierwszej litery b (jeśli jej nie ma, to jest jeszcze łatwiej, bo wystarczy sprawdzić czy słowo ma parzystą długość), a następnie zmniejsza- jąc licznik, który powinien osiągnąć wartość 0 na końcu słowa. Język L3 rozpoznajemy podobnie, używając dwóch liczników, a język L1w ogóle nie wymaga licznika, bo wystarczy automat skończony.

3a: Tak, bo Nspace(log^kn) ⊆ Dspace(log^2kn) z twierdzenia Savitcha.

3b: Nie. Ponieważ n²≤ n²√

n oraz lim

n→∞

n²log n n²√

n = 0, więc Dtime(n²) Dtime(n²√ n).

1Pani Paulinie Knut dziękuję za wykrycie pomyłki.