15.2. PRAWA KOMUTACJI, WARUNKI POCZĄTKOWE

15. STANY NIEUSTALONE W OBWODACH SLS 15.1. WPROWADZENIE

Rozpatrzmy układ SLS, na który działamy zdeterminowanym wymu- szeniem x(t) określonym dla t∈(-∞,+∞).

Jeśli interesuje nas funkcja określonej wielkości fizycznej w tym układzie, to możemy nazywać ją odpowiedzią r(t) układu na istniejące wymuszenie x(t) – rys.15.1.

x t ( )

_układ

r t ( )

SLS

^Rys.15.1.

Dotychczas rozpatrywaliśmy obwody w stanie ustalonym - co oznaczało, że moment włączenia źródła wymuszającego do obwodu był nieskończenie odległy od momentu obserwacji. Wówczas wszystkie na- pięcia i prądy występujące w obwodzie miały ten sam charakter, co wy- muszenie - rys.15.2.

x t( )

r t( ) t t

x t( ) r t( )

t

obs

t_obs

Rys.15.2.

Jeśli w jakimś momencie czasu (t_k) nastąpi dowolnazmiana warunków pracy układu

zmiana sygnału wymuszającego (np. zmiana parametrów sygnału, w tym także załączenia lub wyłączenia)

zmiana struktury obwodu (np. odłączenie ele- mentu, dołączenie elementu dodatkowego)

zmiana parametrów obwodu

to nowe warunki wymuszają oczywiście inną funkcję odpowiedzi układu, czyli inny stan ustalony.

Przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego - przejście zapo- czątkowane w chwili komutacji (t_k) - trwa pewien określony czas, który nazywamy czasem trwania stanu nieustalonego (t∞) a stan układu, w któ- rym znajduje się on w przedziale czasu [tk,t_∞], nazywamy STANEM NIEUSTALONYM (odpowiedź ma charakter różny od wymuszenia) – rys.15.3.

r t( )

t 0 0 t

t 0 0 t t =_k 0

r t( )

t_{k stan}

nieustalony stan nieustalony I stan

ustalony II stan

ustalony

II stan ustalony I stan

ustalony

Rys.15.3.

Przyjmujemy założenie, że czas trwania komutacji jest równy zeru, tzn.

wszystkie zmiany odbywają się bezzwłocznie.

KOMUTACJA

15.2. PRAWA KOMUTACJI, WARUNKI POCZĄTKOWE

Komutacja może być przyczyną występowania skokowych zmian prądów i napięć w obwodzie. Istnieją jednak ograniczenia, którym podlega każdy obwód. Wynikają one z faktu, iż w realnych obwodach moc chwi- lowa nie może być nieskończenie wielka

( )

₌

( )

_{< ∞}

dt t W t d

p (15.1)

co oznacza ciągłość funkcji energii – ciągłość ta musi występować rów- nież w chwili komutacji.

Na podstawie zasady ciągłości energii w obwodzie oraz pamiętając, że wartość energii nagromadzonej

w polu magnetycznym cewki o in- dukcyjności L, przez którą prze- pływa prąd iL wynosi (2.8)

( )

Li

( )

t 2

t 1

W_L = _L²

w polu elektrycznym kondensatora o pojemności C, naładowanego do napięcia uC wynosi (2.5)

( )

Cu

( )

t 2

t 1

W_C = _C²

Możemy sformułować dwa prawa komutacji:

Pierwsze prawo komutacji Prąd płynący przez cewkę nie mo- że ulec skokowej zmianie, co oznacza, że prąd cewki w chwili tuż po komutacji równa się prądo- wi tuż przed komutacją

( ) ( )

^{0+ =} L ⁰⁻

L i

i (15.2)

Drugie prawo komutacji Napięcie na kondensatorze nie mo- że zmienić się skokowo, co ozna- cza, że napięcie na kondensatorze w chwili tuż po komutacji jest rów- ne napięciu tuż przed komutacją

( ) ( )

^{0+ =} C ⁰⁻

C u

u (15.3)

UWAGA: Nie ma żadnych przesłanek wykluczających skokowe zmiany pozostałych wielkości w obwodzie, tzn.: napięć na cewkach, prądów kondensatorów lub też prądów i napięć rezystorów.

Zakładając, że chwilę komutacji uważać będziemy za chwilę począt- kową (tK=0) analizy obwodu w stanie nieustalonym, istotne jest wyzna- czenie warunków początkowych procesu.

Warunki początkowe stanowi zbiór wartości prądów w indukcyj- nościach i napięć na pojemnościach układu w chwili początkowej. Warunki początko- we określają całkowitą wartość energii zgromadzonej w układzie w chwili tK=0.

Wyznaczenie warunków początkowych w obwodzie wiąże się z:

• rozwiązaniem stanu ustalonego obwodu przed komutacją,

• określeniem postaci czasowej tego rozwiązania na prądy cewek i napięcia kondensatorów,

• wyznaczeniem rozwiązania odpowiadającego chwili czasowej komutacji.

Oznacza to, iż podstawą do ustalenia warunków początkowych obwo- du są prawa komutacji.

UWAGA: Warunki początkowe mogą być (i często są) zerowe!

15.3. ANALIZA STANÓW NIEUSTALONYCH

W celu zbadania zmian wartości danej wielkości obwodu (prądu, na- pięcia) w stanie nieustalonym stosuje się w praktyce jedną z dwóch metod:

metodę klasyczną bądź metodę operatorową.

Wyznaczenie rozwiązań obwodów SLS w stanie nieustalonym

Metoda klasyczna

polegająca na bezpośrednim rozwią- zaniu równań różniczkowych (zwy- czajnych, liniowych o stałych współ- czynnikach) opisujących obwód

Metoda operatorowa

wykorzystująca właściwości przekształcenia Laplace’a.

15.4. METODA KLASYCZNA

Modelem matematycznym obwodu elektrycznego klasy SLS, o do- wolnej konfiguracji, jest układ równań różniczkowo-całkowych, wynika- jących z praw Kirchhoffa i definicji elementów R, L i C. W celu wyzna- czenia poszukiwanych prądów i napięć wszystkie równania należy spro- wadzić do układu równań różniczkowych o postaci ogólnej

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

_⎪^⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎫

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

t f t r a t

r a t r dt a

t r d

t f t r a t

r a t r dt a

t r d

t f t r a t

r a t r dt a

t r d

n n

nn n

n n

n n

n n

...

...

...

2 2 1

1

2 2

2 22 1

2 21

1 1

2 12 1

1 11

M

(15.4)

gdzie: r1(t) ... rn(t) – zmienne oznaczające prądy cewek lub napięcia kondensatorów (tzw. zmienne stanu); stałe współczynniki a_ij stanowią kombinację wartości pa- rametrów R, L, C; funkcje czasu f₁(t) ... f_n(t) związane z wymuszeniami x₁(t) ...

x_n(t); liczba równań n zależy od liczby reaktancji w obwodzie.

Rozwiązując układ równań z uwagi na poszukiwaną funkcję odpo- wiedzi r(t) przy znanym wymuszeniu x(t) otrzymujemy równanie różnicz- kowe zwyczajne, liniowe o stałych współczynnikach n-tego rzędu o posta- ci:

( ) ( ) ( )

^{a r}

( ) ( )

^{t x t}

dt t r a d dt ...

t r a d

dt t r

a d _{n 1 1 0}

1 n 1 n n

n

n + ₋ ⁻ ₋ + + + = (15.5)

Rozwiązaniem równania (15.5) określającym analityczną postać od- powiedzi r(t) jest tak zwana całka ogólna równania niejednorodnego (C.O.R.N.)

. N . R . O . C ) t (

r = (15.6)

Teoria równań różniczkowych mówi, że jest ona sumą dwóch składo- wych: całki ogólnej równania jednorodnego (C.O.R.J.) i całki szczególnej równania niejednorodnego (C.S.R.N.). Zatem

. N . R . O . C ) t (

r = = ^C.O.R.J. + C.S.R.N. (15.7) składowa odpowiedzi

niezależna od wymuszenia składowa odpowiedzi wywołana przez wymuszenia oznaczana r_S(t) i nazywana

składową swobodną (przejściową) odpowiedzi

oznaczana r_W(t) i nazywana składową wymuszoną

(ustaloną) odpowiedzi

Czyli:

) t (

r = ^r_S^(t) + ^r_W^(t) (15.8)

Składowa wymuszona r_W(t) opisu- je stan ustalony w obwodzie przy działającym wymuszeniu, może być zatem łatwo wyznaczona dowolną z poznanych metod analizy obwodów.

Składowa swobodna r_S(t) opisuje pro- cesy zachodzące w obwodzie na skutek niezerowych warunków początkowych przy braku wymuszeń zewnętrznych.

Składowa przejściowa zależy jedynie od warunków początkowych, struktury ob- wodu i wartości parametrów tego obwo- du. Cechą charakterystyczną r_S(t) jest jej

zanikanie z biegiem czasu do zera ^lim

[

^r_S^(t)

]

⁰

t =

+∞

→ (15.9)

Równanie składowej swobodnej rS(t) otrzymuje się zakładając wymu- szenie x(t) we wzorze (15.5) równe zeru i zastępując zmienną r(t) poprzez jej składową swobodną rS(t)

( ) ( ) ( )

a r

( )

t 0

dt t r a d dt ...

t r a d

dt t r

a d _n ^S_{1 1} ^S _{0 S}

1 n 1 n n

n S

n + ₋ ⁻ ₋ + + + = (15.10)

Rozwiązanie równania jednorodnego (10.10) uzyskuje się za pośrednictwem równa- nia charakterystycznego, które ma postać

0 a s a ...

s a s

a_n ⁿ + _n−1 ⁿ⁻¹ + + ₁ + ₀ = (15.11) jeśli wielomian ten posiada tylko pierwiastki pojedyncze si (i=1,2, ... n), to

∑

=

= ⁿ

1 i

t i s S(t) A e ⁱ

r (15.12)

gdzie współczynniki Ai (i=1,2, ... n) są stałymi całkowania, których wartości wyzna- cza się w oparciu o znajomość warunków początkowych.

PRZYKŁAD 15.1

Rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RC przy zerowych warunkach po- czątkowych i załączeniu napięcia stałego E (rys.a).

Zerowe warunki początkowe oznaczają, że

0 ) 0 (

u_C ⁻ =

Po przełączeniu wyłącznika w powstaje w obwo- dzie stan nieustalony. Schemat obwodu dla stanu nieustalonego ma postać przedstawioną na rys.b.

C

w

R E

a)

u_C

(t)

C R

E b) i

(t)

Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu możemy napisać

0 ) t ( u ) t ( i R

E− − _C =

i uwzględniając, że

dt ) t ( u C d ) t (

i = ^C otrzymujemy równanie różniczkowe nie- jednorodne o postaci [patrz (15.5)]

E t dt u

t u

RC d ^C( ) + _C( )=

Stan nieustalony jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego.

) (t

u_C = ^u_CS^(t) + u_CW (t)

Stan ustalony przy wymuszeniu stałym ozna- cza, że kondensator stanowi przerwę (rys.c).

Zgodnie z NPK napięcie ustalone kondensa- tora jest równe

E ) t (

u_CW = u_CW

(t)

R E

c)

Schemat obwodu dla stanu przejściowego (po zwarciu źródła napięciowego) - rys.d.

Dla tego obwodu otrzymujemy równanie róż- niczkowe jednorodne o postaci [patrz (15.10)]

0 ) t ( dt u

) t ( u

RCd ^CS + _CS =

iS

(t)

u_CS

(t)

_C

d) R

Równanie charakterystyczne można zapisać jako [patrz (15.11)]

0 1 s

RC + =

Równanie to posiada jeden pierwiastek s1=-1/RC. W związku z powyższym jego rozwiązanie wynikające ze wzoru (15.12) przyjmuje uproszczoną postać

C R

t 1 CS(t) A e

u = ⁻

W rozwiązaniu tym współczynnik A1 jest stałą całkowania, której wartość wyzna- czamy w oparciu o znajomość warunków początkowych.

Rozwiązanie ostateczne, będące sumą składowej wymuszonej i swobodnej przybiera postać [patrz (15.8)]

C R

t 1 CS

CW

C(t) u (t) u (t) E A e

u = + = + ⁻

Ponieważ drugie prawo komutacji mówi, że u_C(0⁻ )=u_C(0⁺ ) stąd wobec

0 ) 0 (

u_C ⁻ = otrzymujemy

A1

E

0 = + oraz A₁ = −E

Czyli rozwiązanie czasowe określające przebieg napięcia na kondensatorze przyjmuje postać

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

−

= ^{− −RC}

t C

R t

C(t) E E e E 1 e

u

) t (

r = ^r_S^(t) + ^r_W^(t)

) (t

u_C = ^RC

t

e E ⁻

− + E

) (t

u_C = ^RC

t

e E ⁻

− + ^E

t 5τ

4τ 3τ

2τ τ

E

-E

0 -0,37 E

0,63 E

u (t)_CW

u (t)_C

u (t)_CS

Miarą prędkości zmian przebiegów nie- ustalonych w obwodzie może być stała czasu obwodu.

Stała czasu τ ob- wodu jest to czas, po którym wartość bez- względna składowej swobodnej odpowie- dzi maleje e-krotnie.

Stała czasu rozpatrywanego obwodu RC wyraża się iloczynem rezystancji R i pojemności C

C

= R τ

Z teoretycznego punktu widzenia obwód osiąga stan ustalony po czasie nieskończonym.

Praktycznie jednak stan ustalony następuje wówczas, gdy składowa swobodna jest do pominięcia

w stopniu zależnym od żądanej dokładności (tabela 1)

Tablica 1.

t 1τ 2τ 3τ 4τ 4,6τ 5τ

% )100 ( A1

t r_S

36,8 13,5 5 1,8 1 0,7

) t ( r

) t ( r

W

0,632 0,865 0,95 0,982 0,99 0,993

15.5. METODA OPERATOROWA

Bardziej efektywną metodą od metody klasycznej jest metoda opera- torowa – jej efektywność polega na „algebraizacji” równania różniczko- wego, przy czym warunki początkowe wchodzą niejako automatycznie do

„zalgebraizowanego”. Mimo iż jest to okrężna droga rozwiązania, wynik uzyskujemy znacznie szybciej niż metodą bezpośrednią.

Schemat dokonywanych operacji

Aby biegle posługiwać się metodą operatorową musimy poznać:

1. Przekształcenia Laplace’a (transformaty sygnałów przyczynowych)

2. Podstawowe twierdzenia rachunku operatorowego

3. Schematy zastępcze i podstawowe prawa obwodów w ra- chunku operatorowym

4. Metody wyznaczania oryginału funkcji operatorowej

rozwiązanie algebraiczne

L

WYMUSZENIE

METODA KLASYCZNA

L

^-1

x(t)

ODPOWIEDŹ CZASOWA

r(t)

Odpowiedź operatorowa R(s)

W.P.

Równanie różniczkowo-całkowe

(w dziedzinie czasu) OBWÓD ELEKTRYCZNY

Operatorowy schemat zastępczy

obwodu Równanie operatorowe (algebraiczne w dziedzinie

zmiennej zespolonej s) W.P.

W.P.

15.5.1. PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A

Rozpatrywać będziemy funkcję f(t) zmiennej rzeczywistej t spełniają- cą następujące warunki:

- funkcja f(t) jest określona dla t >0 i równa zeru, gdy t <0;

- wartość bezwzględna funkcji f(t) nie rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza, gdy t→∞ ( f(t) ≤ M e^bt gdzie M>0 oraz b>0 )

Przekształcenie, które przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t, funkcję F(s) będącą funkcją zmiennej zespolonej s=σ+jω za pomocą zależności

[

f(t)

]

F(s) f(t)e dt

0

t

∫

s

∞ −

=

L

= (15.13)

nazywamy prostym przekształceniem Laplace’a lub

L

-transformatą

Funkcję F(s) zmiennej zespolonej s nazywamy transformatą funkcji f(t).

Wyznaczenie funkcji f(t) (nazywanej oryginałem) odpowiadają- cej znanej funkcji F(s) umożliwia odwrotne przekształcenie Laplace’a nazywane też

L

^-1-transformatą

[

F(s)

]

ds e ) s ( j F

2 ) 1 t (

f ¹

j c

j c

t

s −

∞ +

∞

−

=

= _π

∫ ^L

^(15.14)

Przekształcenia Laplace’a wyrażone wzorami (15.13) i (15.14) są wzajemnie jednoznaczne, czyli

[ ]

{

f(t)

}

f(t) dla t 0

1 = >

−

L

L

(15.15) f(t) F(s)

L

^-1

L

TRANSFORMATY SYGNAŁÓW PRZYCZYNOWCH A) Funkcja jednostkowa

⎩⎨

⎧

>

= <

= 1 0

0 ) 0

( 1 )

( dla t

t t dla

t f

t f(t)

0

1

[ ]

s

1 s

0 1 s e

dt 1 e 1 )

t ( 1 )

s ( F

0 st 0

t

s ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

−

=

−

=

==

=

− ∞

∞ −

∫

L

B) Funkcja wykładnicza

) t ( 1 e A ) t (

f = ^−at

t f(t)

0

A

a >0 a <0

[ ]

^{( )}

( )

a s e A

a s A 1

dt e

A dt e e A dt e e A )

t ( f )

s ( F

0 t a s

0

t a s 0

t s t a 0

t s t a

= +

= +

=

=

=

=

=

+ ∞

−

∞ − +

∞ − −

∞ − −

∫

∫

∫

L

C) Funkcja harmoniczna )

t ( 1 t sin A ) t (

f = ω ⋅

( ) ( )

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

0 t j s 0

t j s

0

t j s t

j s 0

t t s j t

j

A s s

j 2 j 2

A s

j s j s j 2

A

j s

1 j

s 1 j

2 1 A

j 0 s 1 1 j 0

s 1 j

2 A

j e s e 1

j s

1 j

2 A

dt e

j e 2 dt A j e

2 e A e

) s ( F

ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

= +

= + +

+

−

= +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

+ +

− −

−

=

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+ +

−

= −

=

−

− =

=

∞ +

−

∞

−

−

∞ − − − +

∞ − −

∫

∫

Tablica 2. Transformaty Laplace’a wybranych funkcji

lp. f(t) F(s) ^lp. f(t) F(s)

1 1

s

1 13

(

1−at

)

e^−at

(

s a

)

²

s +

2 a

s

a 14 sinωt _{2 2}

s ω

ω +

3 t ₂

s

1 15 cosωt

2

s2

s ω +

4 t ⁿ

n∈N s ^{n 1}

! n

+ 16 e^−at sinωt _{2 2 2}

) s

( ω ω

ω + +

5 e^−at

a s

1

+ ^{17 e−at cos}ω^t _{2 2 2}

) s

(

a s

ω ω + +

+

6 te^−at

(

s a

)

²

1

+ ¹⁸ tsinωt

(

^s22+ωωs2

)

²

7 t ⁿ e^−at

n∈N

(

s a

)

^{n 1}

! n

+ + ^{19 tcos}ω^t

(

^{2 2}

)

²

2 2

s s

ω ω +

−

8 ^τ

τ e t

1 ₋

τ s 1

1

+ ^{20 sh}β^t _{2 2}

s β

β

−

9

(

^{1 e at}

)

a

1 − ₋ s

(

s a

)

1

+ ²¹ chβt _{2 2}

s s

β

−

10 1−e^{−t τ} s

(

1 sτ

)

1

+ ²² e^−at shβt

(

s a

)

² β² β

− +

11 b a

e e ^{at bt}

−

− ⁻

−

(

s a

)(

s b

)

1 +

+ ²³ e^−at chβt

(

s a

)

^{2 2}

a s

β

− +

+

12 a b

e b e

a ^{at bt}

−

− ⁻

−

(

s a

)(

s b

)

s +

+ ²⁴ δ

( )

t 1

15.5.2. PODSTAWOWE TWIERDZENIA RACHUNKU OPERATOROWEGO

A) Twierdzenie o liniowości

Jeżeli funkcje f1(t) i f2(t) posiadają transformaty, tzn.

[

^f₁^(t)

]

^{= F}₁^{(s) i}

_L [

^f₂^(t)

]

^{= F}₂^(s)

L

to dla dowolnych liczb a oraz b zachodzi

[

a f₁(t)+b f₂(t )

]

= aF₁(s)+bF₂(s)

L

^(15.16)

B) Twierdzenie o transformacie pochodnej

Jeśli funkcja f(t) i jej pochodna f’(t) są

L

-transformowalne, to trans- formatę pochodnej możemy wyrazić przez transformatę samej funkcji na- stępująco

[

f '(t)

]

= s

L [

f (t)

]

− f (0⁺) = sF(s)− f (0⁺)

L

^(15.17)

gdzie: f(0⁺) – prawostronna granica funkcji f(t) w punkcie t=0 (wartość początkowa funkcji f(t))

Transformatę pochodnej n-tego rzędu funkcji f(t) obliczamy ze wzoru

[

^f( )^(t)

]

^{s F(s) n 1s( ) ( )f k (0 )}

0 k

1 k n n

n − +

=

−

∑

−

−

L

= ^(15.18)

Jeśli warunki początkowe są zerowe to widać wyraźnie, że różniczkowanie funkcji w dziedzinie czasu

odpowiada mnożeniu

L

-transformaty samej funkcji przez s w potędze równej rzędowi pochodnej.

C) Twierdzenie o transformacie całki

Jeśli funkcja f(t) jest

L

-transformowalna, to transformatę całki może- my wyrazić przez transformatę samej funkcji następująco

[ ]

^{( )}

s f s

s t F

f ( ) (0 )

) (

1 +

+ −

∫

=

L

^(15.19)

gdzie: f^(-1)(0⁺) – oznacza wartość całki w chwili t=0 ⁺

(można ją rozumieć jako wartość początkową - warunek początkowy)

Jeśli warunek początkowy jest zerowy to całkowanie funkcji w dziedzinie czasu

odpowiada dzieleniu

L

-transformaty funkcji podcałkowej przez s

D) Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej (czasu)

Jeżeli dana jest funkcja przyczynowa f(t)1(t)

L

-transformowalna o transformacie F(s), to transformata funkcji przesuniętej f(t-t0)1(t-t0) dla t≥0 określona jest następująco

[

f₁(t−t₀ )⋅1(t −t₀ )

]

= F(s)e^−st0

L

^(15.20)

Przykład: Dana jest funkcja wymuszenia napięciowego w postaci impulsu prosto- kątnego. Należy wyznaczyć transformatę tej funkcji

t f(t)

0

U

t₀ t

f(t)

0

U 1(t)

-U 1(t-t )₀ U

-U

⎩⎨

⎧

<

<

<

= ≤

0 0

) 0 (

0

0

t t dla

t t

dla t U

f

inny opis

) t t ( 1 U ) t ( 1 U ) t (

f = ⋅ − ⋅ − ₀

Zgodnie z twierdzeniem o liniowości oraz o przesunięciu w dziedzinie czasu napi- szemy:

[ ]

[ ] [

₀

]

^st0

0

s e U s ) U t t ( 1 U )

t ( 1 U

) t t ( 1 U ) t ( 1 U )

s ( F

− −

=

−

⋅

−

⋅

=

−

⋅

−

⋅

=

L L

L

E) Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej

Jeżeli F(s) jest transformatą funkcji f(t) oraz a jest dowolną liczbą ze- spoloną bądź rzeczywistą, to transformata o argumencie przesuniętym spełnia następującą zależność

[

^{e f(t)}

]

) a s (

F + =

L

^{−at (15.21)}

F) Twierdzenie o transformacie funkcji okresowej (o okresie T)

Jeżeli f(t) = f(t+kT) , k=1,2 ... ; to

t s T

e 1

) s ( ) F

s (

F ₋

= − gdzie: F (s) f(t)e ^stdt

T

0

T −

∫

=

15.5.3. PODSTAWOWE PRAWA I SCHEMATY ZASTĘPCZE OBWODÓW W RACHUNKU OPERATOROWYM

Najefektywniejszą drogą postępowania w metodzie operatorowej jest określenie transformat prądów i napięć bezpośrednio na podstawie obwo- du bez konieczności układania równań różniczkowo całkowych. Aby to uzyskać należy opracować operatorowy schemat zastępczy danego ob- wodu - w tym celu każdy element obwodu zastępuje się odpowiednim modelem w dziedzinie operatorowej.

Modele operatorowe idealnych elementów obwodu określamy na podstawie:

- operatorowych zależności między napięciem i prądem elementu;

- praw Kirchhoffa w postaci operatorowej

I prawo Kirchhoffa

∑

= K =

1

k λk ik(t) 0

gdzie: ik(t) – natężenie prądu w k-tej gałęzi; K – liczba gałęzi dołączonych do danego węzła λ_k – współczynnik o wartości 1 lub –1, zależnie od zwrotu prądu względem węzła

Po zastosowaniu do powyższego równania przekształcenia Laplace’a i wykorzystaniu twierdzenia o liniowości tego przekształcenia (15.16) otrzymujemy

∑

= K =

1

k λk Ik(s) 0 (15.22)

Równanie (15.22) wyraża I prawo Kirchhoffa w postaci operatorowej Algebraiczna suma transformat prądów we wszystkich gałę- ziach dołączonych do danego węzła schematu operatorowego jest równa zeru

II prawo Kirchhoffa

∑

= J =

1 j

j

j u (t) 0 λ

gdzie: uj(t) – napięcie na j-tym elemencie oczka; J – liczba elementów w oczku

λj – współczynnik o wartości 1 lub –1, zależnie od zwrotu napięcia względem przyję- tego obiegu po oczka

Po zastosowaniu do ww. równania przekształcenia Laplace’a i wyko- rzystaniu twierdzenia o liniowości otrzymujemy

∑

= J =

1

j λjUj(s) 0 _(15.23)

Równanie (15.23) wyraża II prawo Kirchhoffa w postaci operatorowej Algebraiczna suma transformat napięć na wszystkich elemen- tach wchodzących w skład danego oczka schematu operato- rowego jest równa zeru

Operatorowe zależności między napięciem a prądem ideal- nych elementów obwodu i ich modele operatorowe.

REZYSTOR

Przebiegi elektryczne napięcia i prądu rezystora o rezystancji R podle- gają prawu Ohma

) ( )

(t Ri t

u =

Po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a i wykorzystaniu twierdzenia o liniowości tego przekształcenia otrzymujemy

) ( )

(s RI s

U = (15.24)

R U(s) I(s)

Wzór (15.24) wyraża prawo Ohma w postaci operatorowej. Wynika z niego, że model operatorowy rezystora jest charakteryzowany jego rezy- stancją R.

CEWKA

Opis w dziedzinie czasu

Opis w dziedzinie

operatorowej Model operatorowy

dt t i Ld t

u ( )

)

( = U(s)= sLI(s)−Li(0⁺) (15.25)

sL U(s)

I(s) Li(0 )⁺

∫

= u t dt t L

i 1 ( )

)

( ^s

i sL

s s U

I ( ) (0 )

)

( = + ⁺

(15.26)

i(0 )⁺ sL s

U(s)

I(s)

KONDENSATOR

Opis w dziedzinie czasu

Opis w dziedzinie

operatorowej Model operatorowy

dt t u C d t

i ( )

)

( = I(s)= sCU(s)−Cu(0⁺) (15.27)

Cu(0 )⁺ U(s) sC

I(s)

∫

= i t dt t C

u 1 ( )

)

( ^s

u sC

s s I

U ( ) (0 )

) (

+ +

=

(15.28) ^U(s)

I(s)

u(0 )⁺ sC s

1

IDEALNE ŹRÓDŁO NAPIĘCIA I PRĄDU

Idealne źródła napięcia i prądu w obwodzie elektrycznym charaktery- zują napięcie źródłowe u0(t) lub natężenie prądu źródłowego iZ(t) - wielko- ści niezależne od warunków pracy odpowiednich źródeł. W schemacie operatorowym obwodu, źródła te są charakteryzowane transformatami:

napięcia źródłowego

[

( )

]

)

( ₀

0 s u t

U ⁼

L

^(15.29)

natężenia prądu źródłowego

[

^{( )}

]

)

(s i t

I_Z ⁼

L

_Z ^(15.30)

U (s)₀ u (t)₀

L

I (s)_Z i (t)_Z

L

PRZYKŁAD 15.2

Rozpatrzmy gałąź pasywną zawierającą elementy R, L, C.

R

U (s)_R

I(s)

sL

U(s)

sC 1

L

Li (0 )L +

s u (0 )C

+

U (s)L

U (s)C

i(t) R

u(t)

u (t)_C u (t)R

u (t)L

) s ( U ) s ( U ) s ( U ) s (

U = _R + _L + _C

s ) 0 ( ) u

s ( C I s ) 1 0 ( i L ) s ( I sL ) s ( I R ) s (

U _L ^C

+ + + +

− +

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + +

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

+ ^{+ +}

C s sL 1 R ) s ( s I

) 0 ( ) u

0 ( i L ) s (

U _L ^C

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

+

=

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

+

= +

+

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

+

=

+ +

+ + + +

s ) 0 ( ) u

0 ( i L ) s ( Y ) s ( U ) s ( Y

) s ( Z

s ) 0 ( ) u

0 ( i L ) s ( U

C s sL 1 R

s ) 0 ( ) u

0 ( i L ) s ( U ) s ( I

L C

L C L C

gdzie:

C s sL 1 R ) s (

Z = + + impedancja operatorowa )

s ( Z 1 ) s (

Y = admitancja operatorowa

15.5.4. METODY WYZNACZANIA

ORYGINAŁU FUNKCJI OPERATOROWEJ

W celu wyznaczenia funkcji czasu na podstawie danej transformaty najczęściej korzysta się z metod wynikających z własności przekształcenia Laplace’a.

METODA RESIDUÓW

Funkcja operatorowa poszukiwanej odpowiedzi R(s) jest, dla obwo- dów klasy SLS, kombinacją liniową operatorowej funkcji wymuszającej X(s) oraz parametrów obwodu, wyrażonych w konwencji operatorowej (R, sL, 1/sC) a ponadto członów opisujących warunki początkowe {LiL(0⁺), u_C(0⁺)/s}. Jeśli funkcja operatorowa wymuszenia jest funkcją wymierną (dającą się wyrazić jako iloraz wielomianów zmiennej s), to i funkcja ope- ratorowa odpowiedzi jest funkcją wymierną.

Powyższe rozumowanie prowadzi do stwierdzenia, że w ogólnym przypadku funkcję operatorową możemy wyrazić jako iloraz dwóch wie- lomianów zmiennej s

) (

) ) (

(

0 1 1

1

0 1 1

1

s M

s L b

s b s

b s

b

a s a s

a s s a

R _m

m m m

n n

n n =

+ + + +

+ +

+

= + ₋

−

− −

K

K (15.31)

Równanie algebraiczne:

L(s)=0 posiada pierwiastki: s10, s20 ... sn0 , które nazywamy zerami R(s) M(s)=0 posiada pierwiastki: s1, s2 ... sm , które nazywamy biegunami R(s)

R(s) r(t)

Metoda residuów Metoda tablicowa

Jeśli znamy zera i bieguny funkcji R(s), to równanie (15.31) możemy przedstawić w postaci

∏

∏

=

=

−

−

⋅

= _m

k

k n

i

i m

n

s s

s s b

s a R

1 1

0

) (

) (

)

( (15.32)

Z zapisu (15.32) wynika jednoznacznie, że zera i bieguny funkcji R(s) nie mogą się pokrywać. Przyjmujemy ponadto, że n<m (stopień licznika jest mniejszy niż mianownika).

Przy spełnieniu ww. warunków odwrotne przekształcenie Laplace’a możemy przedstawić w postaci

[

^{( )}

] [

^{( )}

]

^{1( )}

) (

1

1 R s res R s e t

t

r ^st

m

k s s_k ⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

= ⎧

=

∑

= =

L

− ^(15.33)

to znaczy, że oryginał poszukiwanej funkcji r(t) jest równy sumie residu- ów funkcji podcałkowej (15.14) we wszystkich biegunach sk operatorowej funkcji odpowiedzi R(s).

UWAGA:

Jeśli w wyrażeniu (15.32), w jego mianowniku wystąpią ele- menty postaci s ^p lub (s-s_k) ^p - oznacza to, że w punkcie 0 lub s_k występuje biegun p-krotny.

W przypadku biegunów wielokrotnych (niech w punkcie s=s_k wy- stępuje biegun p-krotny) funkcji R(s) residuum funkcji R(s)e^st obliczyć na- leży z następującego wzoru

[ ] _{( )}

⁽₍ ⁾₎

[ ]

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ −

= − ⁻₋

= →

t s k p

p p s

s t

s s

s s s R s e

ds d e p

s R res

k k

) ( ) (

! lim 1 ) 1

( ₁

1

(15.34)

Przykład : Rozpatrzymy wyznaczenie

L

^-1 transformaty funkcji )

5 ( ) 3 ( ) 1

( ₂

+

= +

s s s

R

Zadana funkcja ma jeden biegun 2-krotny s1=-3 i jeden pojedynczy s2=-5 Wykorzystując wzór (15.33), otrzymujemy

[ ] [

^st

]

s s t s s

sres R s e res R s e

t

r( ) ( ) ( )

2

1 =

= +

=

Następnie wykorzystujemy zależność (15.34) i uzyskujemy

( ) [ ] [ ]

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

) ( 4 1

1 4

1 2

1

3 5

1 5

3 1 5

3 1

3 lim 1

5 1 5

lim 1

3 lim 1

5 lim 1

5 3

5 1 5 lim

3 3 1

lim

) ( ) 5 ( lim )

( ) 3 (

! lim 1 2 ) 1 (

5 3

3

5 2 3

2 3

5 2 3 2

5 2 3

5 2 2

2 3

5 2

3

t e

e e

t

e e

e t

s e s e

s e t

s e s e

s d

d

s e s s

s e s s

s d

d

e s R s

e s R s s

d t d

r

t t

t

t t

t

t s s

t s t

s s

t s s

t s s

t s s

t s s

t s s

t s s

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

+ = + −

+

− − +

= −

⎟⎟ =

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ + +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− +

= +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + +

⎪⎭+

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + +

=

= +

⎭+

⎬⎫

⎩⎨

⎧ +

= −

−

−

−

−

−

−

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→

−

→