Funkcje uwikłane
Funkcje uwikłane, to funkcje, dla których wzór na zmienną zależną nie jest podany w sposób bezpośredni. Tak więc ze względu na zmienną λ funkcja:
1
√ (λ) =−2log ( Re 2,51 √ (λ) + k 3,71 D )
jest funkcją uwikłaną, bo zmienna ta występuje po obu stronach równania i co gorsza nie da się w tym przypadku jej odwikłać. Jest to wzór wzór Colebrooka-White’a na współczynnik oporów liniowych dla rur o średnicy D i chropowatości k całkowicie wypełnionych płynem. Czynnik Re jest tak zwaną liczbą Reynoldsa, która obrazuje stosunek sił bezwładności do sił lepkości w przepływie hydraulicznym. Powyższy wzór stosuje się dla Re>3000.
Innym przykładem z dziedziny teorii przepływów cieczy jest tak zwany profil Spaldinga, który opisuje prędkość płynu przy powierzchni opływanej, gdzie y to odległość od ściany, a u to prędkość płynu. Jak widać wzór jest odwrócony, a więc ze względu na u jest to wzór uwikłany.
y=u+e
−κB⋅ ( e
κu−1−κ u− (κ 2 u)
2− (κu )
33 − ( κ u)
424 )
Obliczenie wartości λ czy u za pomocą arkusza kalkulacyjnego jest dosyć proste. Korzystamy tutaj z faktu, że skoro to są równości, to różnica między stroną lewą a prawą musi być równa 0.
Obliczenie pojedynczej wartości
Obliczenia pojedynczej wartości pokażę na przykładzie pierwszego wzoru. Są one przeprowadzone w zakładce wzór uwikłany dokumentu fuw.xlsx.
1. Na arkusz należy wprowadzić w osobnych komórkach wartości wszystkich parametrów i zmien- nych równania (dla zmiennej, której wartość chcemy policzyć należy wprowadzić jakąś wartość początkową, traktując ją też na razie jak parametr). Na arkuszu są to komórki B1:B4.
2. W osobnych komórkach liczymy strony prawą i lewą równania. Na arkuszu komórki E2 i F2.
3. W kolejnej komórce (G2) liczymy różnicę stron lewej i prawej, odejmując od siebie komórki, w których te strony były liczone (można pominąć etap 2. licząc w tym miejscu bezpośrednio według przekształconego wzoru różnicę stron lewej i prawej równania).
4. Teraz włączamy narzędzie Szukaj wyniku, które znajduje się w zakładce Dane, w grupie Narzędzia danych, w podgrupie Analiza warunkowa. Kiedy pojawi się okno, w rubryce Ustaw komórkę wstawiamy adres komórki, w której liczymy różnicę stron (tutaj G2), w rubry- ce Wartość wpisujemy 0 (bo różnica pomiędzy stronami ma być równa 0), a w rubryce Zmieniając komórkę adres komórki, w której podaliśmy wartość początkową naszej szukanej zmiennej (tutaj B4).
5. Otrzymana w tej komórce wartość jest wartością poszukiwaną dla tej zmiennej.
Wykres funkcji uwikłanej
Zamiast liczyć pojedyncze wartości, możemy też chcieć wyznaczyć zależność liczonego współczyn- nika od jednego z parametrów (przynajmniej w postaci tabelarycznej lub wykresu). Pokażę to znowu na przykładzie wzoru Colebrooka-White’a i obliczę wartości λ w zależności od Re dla ustalonej pro- porcji k/D. Jest to typowy wykres z diagramu Moody’ego, który można znaleźć w każdych tablicach obliczeń hydraulicznych. Obliczenia przeprowadzę dla 3000 ≤ Re ≤ 10 000.
Obliczenia i wykres są przedstawione w zakładce funkcja uwikłana dokumentu fuw.xlsx.
1. Na arkusz wprowadziłem w osobnych komórkach (A2 i A4) wartości tych parametrów, które będą niezmienne, czyli k i D.
2. Ponieważ chcę docelowo zrobić wykres z osią wartości Re logarytmiczną, bo tak to się zazwy- czaj przedstawia na diagramie Moody’ego, więc chciałbym mieć wartości w równych odstępach, dlatego pomocniczo zrobiłem kolumnę log(Re), gdzie w pierwszej komórce obliczyłem loga- rytm dziesiętny z 3000 (bo z tego miejsca chcę startować), a następnie, za pomocą narzędzia Seria danych, które znajduje się w zakładce Narzędzia główne, w grupie Edytowanie, w podgrupie Wypełnij, po otwarciu okna wypełniłem kolumnę (zaznaczając opcję Kolumny), z krokiem 0,02, wpisanym w rubryce Wartość kroku, aż do wartości 5 (bo 10000 to 105), wpisanej w rubryce Wartość końcowa.
3. W następnej kolumnie obliczyłem wartości Re, podnosząc 10 do potęgi liczb z kolumny log(Re). Tworzenie kolumny log(Re) nie jest konieczne oczywiście, bo można było po prostu wypełnić kolumnę Re równo liczbami od 3000 do 100000, ale wtedy na skali logarytmicznej miałbym zagęszczenie punktów dla większych liczb, a rozrzedzenie dla mniejszych liczb.
4. Kolejną kolumnę, z nagłówkiem lambda, wypełniłem wartościami 1, jak w poprzednim arkuszu.
5. Kolejne kolumny wypełniłem wzorami na lewą i prawą stronę wzoru Colebrooka-White’a (bloku- jąc adresy wartości k i D, aby nie zmieniały się podczas kopiowania wzdłuż kolumny, a wartości Re i λ pobierając adresami względnymi z odpowiednich kolumn w tym samym wierszu).
6. W następnej kolumnie liczę różnicę między prawą i lewą stroną, ale tym razem podnoszę ją do kwadratu. Dlaczego tak, wyjaśni się w następnym punkcie.
7. Teraz, gdyby to było pojedyncze obliczenie, to należałoby włączyć narzędzie Szukaj wyniku., ale ono pozwala na zmianę wartości tylko w jednej komórce. Musimy też ustawić wartości jak najbliższe zeru dla wszystkich różnic w całej kolumnie z nagłówkiem L-P. Trzeba więc użyć narzędzia Solver, które również znajduje się w zakładce Dane, ale w grupie Analiza. Solver pozwala na zmianę wartości w wielu komórkach, ale też warunek można ustawić na tylko jedną komórkę. I po to właśnie były liczone kwadraty różnic. Jeśli je dodamy do siebie, to ich suma będzie równa (bliska) zeru, jeśli każdy składnik będzie równy (bliski) zeru. Ta suma jest poli- czona właśnie w komórce A6.
8. Kiedy pojawi się okno Solvera, w rubryce Ustaw cel wstawiamy adres komórki, w której liczymy sumę różnic stron (tutaj A6), w rubryce Wartość wpisujemy 0 (bo suma kwadratów różnic pomiędzy stronami ma być równa 0), a w rubryce Przez zmienianie komórek zmiennych zakres wszystkich komórek w kolumnie lambda.
9. Pierwsze wywołanie Solvera będzie rozczarowujące, bo nie uda się uzyskać w miarę równych lewych i prawych stron. Jest tak często, gdy mamy do czynienia z silnie nieliniową funkcją, albo gdy duża liczba komórek jest do dopasowania, jak w tym przypadku. Dobrze jest wtedy startować od wartości bliskiej temu, czego się spodziewamy, jeśli wiemy, jakiej mniej więcej wartości się spodziewać. W naszym przypadku możemy sobie pomóc tym, że obliczymy wartość w pierwszej komórce kolumny lambda za pomocą narzędzia Szukaj wyniku. I tak otrzymaną wartość skopiujemy wzdłuż całej kolumny lambda. Teraz po uruchomieniu Solvera dostanie- my zadowalający wynik. Nie zawsze to jednak pomaga. Gdyby to nie pomogło, można by było narzędziem Szukaj wyniku obliczyć wartości w kolumnie lambda na początku i końcu, a resztę komórek wypełnić równomiernymi wartościami narzędziem Seria danych, a potem, licząc na to, że funkcja ma w miarę gładki przebieg, dopasować wartości Solverem.
Wykres funkcji odwrotnej
W drugim przykładowym wzorze mamy szczególny przypadek funkcji odwrotnej. Mamy prostą zależność y od u, a chcemy zrobić wykres u od y. Załóżmy, że chcemy zrobić wykres zależności u od y w zakresie dla y od 0 do 100. Wystarczy wtedy policzyć skrajne wartości u dla y=0 i y=100, a następnie w regularnych odstępach wypełnić kolumnę wartości u od pierwszej do ostatniej licząc tylko wcześniej, jaki krok musimy dobrać, dzieląc różnicę między nimi przez 100. Potem dla nich wyliczyć wartości y i zrobić wykres.
Można tak zrobić, gdy zależność jest monotoniczna, czyli stale rośnie lub maleje, ale gdy nie mamy pewności co do kształtu funkcji, albo wiemy, że tak nie jest, wtedy musimy znowu posłużyć się Solverem, ale teraz można to zrobić w trochę inny sposób.
Obliczenia i wykres są przedstawione w zakładce funkcja odwrotna dokumentu fuw.xlsx.
1. W komórkach F1 i F2 wprowadziłem wartości współczynników κ i B, które występują we wzorze funkcji.
2. W kolumnie pierwszej (y docelowe) wprowadziłem za pomocą narzędzia Seria danych war- tości y takie, jakie chcę otrzymać.
3. W kolumnie z nagłówkiem u wprowadziłem wartości początkowe zmiennej u (w tym wypadku dałem wartość 1 w całej kolumnie).
4. W kolumnie y liczone wprowadziłem wzór na y, w którym zablokowałem adresy współczynni- ków, aby można było wzór skopiować w dół kolumny.
5. W kolumnie kw.różnicy obliczyłem kwadraty różnic pomiędzy y docelowe a y liczone.
6. W komórce F4 obliczyłem sumę tych kwadratów.
7. Teraz wystarczy uruchomić Solvera, w rubryce Ustaw cel wstawić adres komórki, w której liczona jest suma kwadratów różnicę stron (tutaj F4), w rubryce Wartość wpisać 0, a w rubryce Przez zmienianie komórek zmiennych zakres wszystkich komórek w kolumnie u.
Pierwsze uruchomienie solvera dało już zadowalający wynik, ale po zrobieniu wykresu u od y docelowe widać było pewne załamania w przebiegu funkcji, dlatego uruchomiłem jeszcze raz solvera, korzystając już z wyliczeń pierwszego przebiegu. Po drugim przebiegu wykres się wygładził. Czasami taki zabieg pomaga, ale nie zawsze. Dlatego lepiej robić wykres zależności u od y liczone, lub analogicznie, w zależności jaką funkcję badamy.
