10. Reguła łańcuchowa, funkcje uwikłane i funkcje jednorodne

(1)

10. Reguła łańcuchowa, funkcje uwikłane i funkcje jednorodne

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

(2)

1 Reguła łańcuchowa

2 Twierdzenie o funkcji uwikłanej

3 Stopa substytucji - zastosowanie twierdzenia o funkcji uwikłanej

4 Funkcje jednorodne i lemat Eulera

(3)

Zapowiedź

Zajmiemy się teraz kilkoma drobniejszymi zagadnieniami związanymi z funkcjami wielu zmiennych.

W tym rozdziale będziemy nadal badać funkcje dwóch zmiennych (x , y ) ze względu na łatwość zapisu. Wyniki tego rozdziału można uogólnić na sytuację wielowymiarową (i będzie to wykorzystywane na ćwiczeniach), ale wymagałoby to paru technicznych poprawek. Idee tu przedstawione pozostają podobne do dwuwymiarowych w dowolnej liczbie wymiarów.

(4)

Motywacja

Przykład

Załóżmy, że przedsiębiorstwo przy zatrudnieniu wielkości l wytwarza dwa półprodukty w ilości q₁(l ) i q₂(l ). Półprodukty te są używane w dalszej produkcji, która przynosi dochód zadany funkcją R(q₁, q₂).

Zauważmy, że skoro q1 i q2 jest funkcją l , to w istocie R też można wyrazić jako funkcję jednej zmiennej l . Jak zmienia się dochód w zależności od zatrudnienia, czyli jak policzyć pochodną R⁰(l ), mając dane pochodne q₁⁰(l ), q⁰₂(l ) oraz pochodne cząstkowe R_q⁰₁, R_q⁰₂?

W takich sytuacjach przydałby się wzór, będący odpowiednikiem formuły na różniczkowanie funkcji złożonej dla jednej zmiennej. I taki wzór istnieje.

(5)

Motywacja

Przykład

Załóżmy, że przedsiębiorstwo przy zatrudnieniu wielkości l wytwarza dwa półprodukty w ilości q₁(l ) i q₂(l ). Półprodukty te są używane w dalszej produkcji, która przynosi dochód zadany funkcją R(q₁, q₂).

Zauważmy, że skoro q1 i q2 jest funkcją l , to w istocie R też można wyrazić jako funkcję jednej zmiennej l . Jak zmienia się dochód w zależności od zatrudnienia, czyli jak policzyć pochodną R⁰(l ), mając dane pochodne q₁⁰(l ), q⁰₂(l ) oraz pochodne cząstkowe R_q⁰₁, R_q⁰₂? W takich sytuacjach przydałby się wzór, będący odpowiednikiem formuły na różniczkowanie funkcji złożonej dla jednej zmiennej. I taki wzór istnieje.

(6)

Reguła łańcuchowa

Niech f będzie funkcją różniczkowalną dwóch zmiennych, a zmienne x i y same będą funkcjami jednej (tej samej) zmiennej t. Wtedy:

Reguła łańcuchowa.

f⁰(t₀) = f_x⁰(x (t₀)) · x⁰(t₀) + f_y⁰(y (t₀)) · y⁰(t₀).

Wzór ten, zapisywany częściej w postaci ^df_dt = _∂x^∂f ·^dx_dt +^∂f_∂y ·^dy_dt, zwany jest regułą łańcuchową.

Oczywiście, wzór ten z łatwością można przenieść na więcej zmiennych.

(7)

Reguła łańcuchowa

Niech f będzie funkcją różniczkowalną dwóch zmiennych, a zmienne x i y same będą funkcjami jednej (tej samej) zmiennej t. Wtedy:

Reguła łańcuchowa.

f⁰(t₀) = f_x⁰(x (t₀)) · x⁰(t₀) + f_y⁰(y (t₀)) · y⁰(t₀).

Wzór ten, zapisywany częściej w postaci ^df_dt = _∂x^∂f ·^dx_dt +^∂f_∂y ·^dy_dt, zwany jest regułą łańcuchową.

Oczywiście, wzór ten z łatwością można przenieść na więcej zmiennych.

(8)

Reguła łańcuchowa - przykład

Przykład

Załóżmy, że przedsiębiorstwo przy zatrudnieniu wielkości l wytwarza dwa półprodukty w ilości q₁(l ) = l¹⁴, q₂ = l¹². Półprodukty te są używane w dalszej produkcji, która przynosi dochód zadany funkcją R(q₁, q₂) = q₁q₂. Jak zmienia się dochód w zależności od

zatrudnienia, czyli ile wynosi pochodna R⁰(l )?

Zgodnie z regułą łańcuchową:

R⁰(l ) = R_q⁰

1(q₁(l ))·q₁⁰(l )+R_q⁰

2(q₂(l ))·q₂⁰(l ) = q₂(l )·1

4l⁻³⁴+q₁(l )·1 2l⁻¹² =

= l¹² ·1

4l⁻³⁴ + l¹⁴ · 1

2l⁻¹² = 3 4l⁻¹⁴.

(9)

Reguła łańcuchowa - przykład

Przykład

R⁰(l ) = R_q⁰

1(q₁(l ))·q₁⁰(l )+R_q⁰

2(q₂(l ))·q₂⁰(l ) =

q₂(l )·1

4l⁻³⁴+q₁(l )·1 2l⁻¹² =

= l¹² ·1

4l⁻³⁴ + l¹⁴ · 1

2l⁻¹² = 3 4l⁻¹⁴.

(10)

Reguła łańcuchowa - przykład

Przykład

R⁰(l ) = R_q⁰

1(q₁(l ))·q₁⁰(l )+R_q⁰

2(q₂(l ))·q₂⁰(l ) = q₂(l )·1

4l⁻³⁴+q₁(l )·1 2l⁻¹² =

= l¹² ·1

4l⁻³⁴ + l¹⁴ · 1

2l⁻¹² = 3 4l⁻¹⁴.

(11)

Reguła łańcuchowa - przykład

Przykład

R⁰(l ) = R_q⁰

1(q₁(l ))·q₁⁰(l )+R_q⁰

2(q₂(l ))·q₂⁰(l ) = q₂(l )·1

4l⁻³⁴+q₁(l )·1 2l⁻¹² =

= l¹² ·1

4l⁻³⁴ + l¹⁴ · 1

2l⁻¹² = 3 4l⁻¹⁴.

(12)

Reguła łańcuchowa - przykład 2

Wcześniejszy przykład był dość trywialnym zastosowaniem reguły łańcuchowej - mając dane wzory funkcji składowych, można było po prostu wstawić je do złożenia, uzyskać wzór funkcji złożonej i policzyć bezpośrednio jej pochodne.

Najważniejsze zastosowanie reguły łańcuchowej pojawia się w sytuacji, gdy potrzebujemy znaleźć pochodną funkcji y⁰(x ), a nie mamy podanego jawnie wzoru funkcji y . Na przykład, na wykładzie 3 (w slajdach - część 3a) rozważaliśmy takie zagadnienie:

Uproszczony model Keynesa - gospodarka zamknięta

Y (C , I , G ) = C (Y ) + I + G . Jak zmiana wielkości inwestycji I wpłynie na zmianę Y ?

(13)

Reguła łańcuchowa - przykład 2

Wcześniejszy przykład był dość trywialnym zastosowaniem reguły łańcuchowej - mając dane wzory funkcji składowych, można było po prostu wstawić je do złożenia, uzyskać wzór funkcji złożonej i policzyć bezpośrednio jej pochodne. Najważniejsze zastosowanie reguły łańcuchowej pojawia się w sytuacji, gdy potrzebujemy znaleźć pochodną funkcji y⁰(x ), a nie mamy podanego jawnie wzoru funkcji y .

Na przykład, na wykładzie 3 (w slajdach - część 3a) rozważaliśmy takie zagadnienie:

Uproszczony model Keynesa - gospodarka zamknięta

(14)

Reguła łańcuchowa - przykład 2

Wcześniejszy przykład był dość trywialnym zastosowaniem reguły łańcuchowej - mając dane wzory funkcji składowych, można było po prostu wstawić je do złożenia, uzyskać wzór funkcji złożonej i policzyć bezpośrednio jej pochodne. Najważniejsze zastosowanie reguły łańcuchowej pojawia się w sytuacji, gdy potrzebujemy znaleźć pochodną funkcji y⁰(x ), a nie mamy podanego jawnie wzoru funkcji y . Na przykład, na wykładzie 3 (w slajdach - część 3a) rozważaliśmy takie zagadnienie:

Uproszczony model Keynesa - gospodarka zamknięta

(15)

Reguła łańcuchowa - przykład 2

Uproszczony model Keynesa - gospodarka zamknięta

Wtedy nasze rozumowanie było dość skomplikowane i opierało się na wielu założeniach i przybliżeniach. Teraz, możemy to zrobić dużo prościej.

Z reguły łańcuchowej mamy:

Y⁰(I ) = C⁰(Y ) · Y⁰(I ) + 1 + 0 ⇒ Y⁰(I ) = 1

1 − C⁰(Y ) = 1 1 − m, gdzie m jest krańcową skłonnością do konsumpcji.

(16)

Reguła łańcuchowa - przykład 2

Uproszczony model Keynesa - gospodarka zamknięta

Wtedy nasze rozumowanie było dość skomplikowane i opierało się na wielu założeniach i przybliżeniach. Teraz, możemy to zrobić dużo prościej. Z reguły łańcuchowej mamy:

Y⁰(I ) =

C⁰(Y ) · Y⁰(I ) + 1 + 0 ⇒ Y⁰(I ) = 1

(17)

Reguła łańcuchowa - przykład 2

Uproszczony model Keynesa - gospodarka zamknięta

Y⁰(I ) = C⁰(Y ) · Y⁰(I ) + 1 + 0 ⇒

Y⁰(I ) = 1

(18)

Reguła łańcuchowa - przykład 2

Uproszczony model Keynesa - gospodarka zamknięta

Y⁰(I ) = C⁰(Y ) · Y⁰(I ) + 1 + 0 ⇒ Y⁰(I ) = 1

(19)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Z reguły łańcuchowej można wyprowadzić ogólniejsze twierdzenie, które pozwala nam obliczyć pochodną funkcji, której postaci nie mamy danej.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Jeżeli funkcja f : D_f → R jest dwukrotnie różniczkowalna i dla pewnego punktu (x₀, y₀) ∈ D_f spełnia warunki: f (x₀, y₀) = 0 oraz f_y⁰(x₀, y₀) 6= 0 to w pewnym otoczeniu U(x₀) punktu x₀ istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła y (x ), spełniająca warunki y₀ = y (x₀) oraz f (x , y (x )) = 0 dla x z tego otoczenia.

Ponadto, funkcja uwikłana y (x ) ma ciągłą pochodną daną wzorem y⁰(x ) = −f_x⁰(x , y (x ))

f_y⁰(x , y (x )).

(20)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - interpretacja

O co chodzi w tym twierdzeniu?

Potrzebne jest ono, gdy mamy następującą sytuację: y jest funkcją x , ale nie znamy jej

bezpośredniego wzoru. Wiemy natomiast, że wielkości x i y łączy pewna zależność wyrażona równaniem f (x , y ) = 0. W takich sytuacjach mówimy o tzw. postaci uwikłanej funkcji y . Takie równanie może być bardzo trudne lub wręcz niemożliwe do

rozwiązania (w sensie: ustalenia jawnego wzoru na y ), może też mieć wiele rozwiązań. Jednak okazuje się, że przy pewnych założeniach (konkretnie, o ile f_y⁰(x₀, y₀) 6= 0) istnieje funkcja y (x ), której wykres w otoczeniu (x₀, y₀) pokrywa się z wykresem krzywej f (x , y ) = 0 i potrafimy obliczyć pochodną tej funkcji y⁰(x₀).

(21)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - interpretacja

O co chodzi w tym twierdzeniu? Potrzebne jest ono, gdy mamy następującą sytuację: y jest funkcją x , ale nie znamy jej

bezpośredniego wzoru. Wiemy natomiast, że wielkości x i y łączy pewna zależność wyrażona równaniem f (x , y ) = 0.

W takich sytuacjach mówimy o tzw. postaci uwikłanej funkcji y . Takie równanie może być bardzo trudne lub wręcz niemożliwe do

(22)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - interpretacja

bezpośredniego wzoru. Wiemy natomiast, że wielkości x i y łączy pewna zależność wyrażona równaniem f (x , y ) = 0. W takich sytuacjach mówimy o tzw. postaci uwikłanej funkcji y .

Takie równanie może być bardzo trudne lub wręcz niemożliwe do

(23)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - interpretacja

rozwiązania (w sensie: ustalenia jawnego wzoru na y ), może też mieć wiele rozwiązań.

Jednak okazuje się, że przy pewnych założeniach (konkretnie, o ile f_y⁰(x₀, y₀) 6= 0) istnieje funkcja y (x ), której wykres w otoczeniu (x₀, y₀) pokrywa się z wykresem krzywej f (x , y ) = 0 i potrafimy obliczyć pochodną tej funkcji y⁰(x₀).

(24)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - interpretacja

(25)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

Rozważmy prosty przykład funkcji y (x ) zadanej w sposób uwikłany równaniem: x²+ y²(x ) = 1 (w dalszej części, wypisując postać uwikłaną funkcji y , będę pisać tylko y , nie y (x ), dla jasności zapisu).

Wiemy, że wykres równania x²+ y² = 1 nie jest wykresem funkcji (bo jest okręgiem, więc funkcja y musiałaby np. w 0 przyjmować dwie wartości). Jednak wyraźnie widzimy, że można w ten sposób opisać dwie funkcje różniczkowalne na przedziale (−1, 1): y (x ) = ±√

1 − x².

(26)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

Wiemy, że wykres równania x²+ y² = 1 nie jest wykresem funkcji (bo jest okręgiem, więc funkcja y musiałaby np. w 0 przyjmować dwie wartości).

Jednak wyraźnie widzimy, że można w ten sposób opisać dwie funkcje różniczkowalne na przedziale (−1, 1): y (x ) = ±√

1 − x².

(27)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

Wiemy, że wykres równania x²+ y² = 1 nie jest wykresem funkcji (bo jest okręgiem, więc funkcja y musiałaby np. w 0 przyjmować dwie wartości). Jednak wyraźnie widzimy, że można w ten sposób opisać dwie funkcje różniczkowalne na przedziale (−1, 1): y (x ) = ±√

1 − x².

(28)

Wykresy funkcji dwóch zmiennych

Widać, że w otoczeniu prawie każdego punktu krzywej wykres równania x²+ y² = 1 wygląda jak pojedyncza funkcja. Dlatego możemy badać fragmenty tej krzywej za pomocą pochodnych, dowiadując się np. kiedy fragment tej krzywej jest wykresem funkcji rosnącej, kiedy malejącej, a kiedy krzywa osiąga ekstrema.

(29)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

Spróbujmy zastosować twierdzenie o funkcji uwikłanej do równania x²+ y² = 1.

W twierdzeniu musimy mieć postać krzywej f (x , y ) = 0, więc odejmujemy obustronnie jedynkę i dostajemy

f (x , y ) = x²+ y²− 1 = 0. Obliczamy f⁰x (x , y ) = 2x i f⁰y (x , y ) = 2y . Twierdzenie mówi nam, że jeśli tylko

f⁰y (x₀, y₀) = 2y₀ 6= 0, czyli jeśli y₀ 6= 0, to potrafimy obliczyć pochodną y⁰(x₀) w punkcie (x₀, y₀).

y⁰(x₀) = −f_x⁰(x₀, y₀)

f_y⁰(x₀, y₀) = −2x₀

2y₀ = −x₀ y₀.

(30)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

Spróbujmy zastosować twierdzenie o funkcji uwikłanej do równania x²+ y² = 1. W twierdzeniu musimy mieć postać krzywej f (x , y ) = 0, więc odejmujemy obustronnie jedynkę i dostajemy

f (x , y ) = x²+ y²− 1 = 0.

Obliczamy f⁰x (x , y ) = 2x i f⁰y (x , y ) = 2y . Twierdzenie mówi nam, że jeśli tylko

y⁰(x₀) = −f_x⁰(x₀, y₀)

f_y⁰(x₀, y₀) = −2x₀

2y₀ = −x₀ y₀.

(31)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

f (x , y ) = x²+ y²− 1 = 0. Obliczamy f⁰x (x , y ) =

2x i f⁰y (x , y ) = 2y . Twierdzenie mówi nam, że jeśli tylko

y⁰(x₀) = −f_x⁰(x₀, y₀)

f_y⁰(x₀, y₀) = −2x₀

2y₀ = −x₀ y₀.

(32)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

f (x , y ) = x²+ y²− 1 = 0. Obliczamy f⁰x (x , y ) = 2x i f⁰y (x , y ) =

2y . Twierdzenie mówi nam, że jeśli tylko

y⁰(x₀) = −f_x⁰(x₀, y₀)

f_y⁰(x₀, y₀) = −2x₀

2y₀ = −x₀ y₀.

(33)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

f (x , y ) = x²+ y²− 1 = 0. Obliczamy f⁰x (x , y ) = 2x i f⁰y (x , y ) = 2y .

Twierdzenie mówi nam, że jeśli tylko

y⁰(x₀) = −f_x⁰(x₀, y₀)

f_y⁰(x₀, y₀) = −2x₀

2y₀ = −x₀ y₀.

(34)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −f_x⁰(x₀, y₀)

f_y⁰(x₀, y₀) = −2x₀

2y₀ = −x₀ y₀.

(35)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −f_x⁰(x₀, y₀) f_y⁰(x₀, y₀) =

− 2x₀

2y₀ = −x₀ y₀.

(36)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −f_x⁰(x₀, y₀)

f_y⁰(x₀, y₀) = − 2x₀

2y₀ = −x₀ y₀.

(37)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −^x_y⁰

0.

W szczególności, jeśli np. ustalimy, że y (0) = 1, to możemy policzyć y⁰(0) = −⁰₁ = 0, co wskazuje, że y może mieć ekstremum dla x = 0 (i wiemy, że ma). Co więcej, łatwo zauważyć, że

y⁰(x₀) = 0 ⇔ x₀ = 0, więc funkcja y nie może mieć ekstremów w (−1, 1) dla argumentów różnych od 0. Z kolei, jeśli np. ustalimy, że y (

√2 2 ) = −

√2

2 , to y⁰(

√2 2 ) = −

√ 2 2

−

√ 2 2

= 1.

(38)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −^x_y⁰

0.

W szczególności, jeśli np. ustalimy, że y (0) = 1, to możemy policzyć y⁰(0) = −⁰₁ = 0, co wskazuje, że y może mieć ekstremum dla x = 0 (i wiemy, że ma).

Co więcej, łatwo zauważyć, że

√2 2 ) = −

√2

2 , to y⁰(

√2 2 ) = −

√ 2 2

−

√ 2 2

= 1.

(39)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −^x_y⁰

0.

y⁰(x₀) = 0 ⇔ x₀ = 0, więc funkcja y nie może mieć ekstremów w (−1, 1) dla argumentów różnych od 0.

Z kolei, jeśli np. ustalimy, że y (

√2 2 ) = −

√2

2 , to y⁰(

√2 2 ) = −

√ 2 2

−

√ 2 2

= 1.

(40)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −^x_y⁰

0.

√2 2 ) = −

√2

2 , to y⁰(

√2 2 ) = −

√ 2 2

−

√ 2 2

= 1.

(41)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −^x_y⁰

0.

Potrzebny jest jeszcze krótki komentarz na temat faktu, że

twierdzenie o funkcji uwikłanej nie mówi nam nic na temat punktów, dla których f_y⁰ = 0, czyli y = 0.

Na okręgu są dwa takie punkty: (−1, 0) i (1, 0).

(42)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −^x_y⁰

0.

Potrzebny jest jeszcze krótki komentarz na temat faktu, że

twierdzenie o funkcji uwikłanej nie mówi nam nic na temat punktów, dla których f_y⁰ = 0, czyli y = 0.Na okręgu są dwa takie punkty:

(−1, 0) i (1, 0).

(43)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - prosty przykład

y⁰(x₀) = −^x_y⁰

0.

W tych dwóch punktach właśnie nie da się funkcji y „rozwikłać”, gdyż wykres krzywej f (x , y ) = 0 nie jest w otoczeniu tych punktów wykresem funkcji, co widać na powyższym rysunku.

(44)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x −1 jest konieczne. Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) = 2y .

Pochodną możemy obliczyć, o ile f_y⁰(x , y ) 6= 0, czyli y 6= 0. Dana krzywa spełnia y = 0, gdy f (x , 0) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 0}, więc y⁰(x ) można obliczyć dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞).

(45)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x².

Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x −1 jest konieczne. Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) = 2y .

(46)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x −1 jest konieczne.

Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) = 2y .

(47)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x −1 jest konieczne. Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) =

− 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) = 2y .

(48)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x −1 jest konieczne. Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) =

2y .

(49)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

(50)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Pochodną możemy obliczyć, o ile f_y⁰(x , y ) 6= 0, czyli

y 6= 0. Dana krzywa spełnia y = 0, gdy f (x , 0) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 0}, więc y⁰(x ) można obliczyć dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞).

(51)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Pochodną możemy obliczyć, o ile f_y⁰(x , y ) 6= 0, czyli y 6= 0.

Dana krzywa spełnia y = 0, gdy f (x , 0) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 0}, więc y⁰(x ) można obliczyć dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞).

(52)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

(53)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

Dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞) możemy zatem obliczyć: y⁰(x ) = −f_x⁰(x , y )

f_y⁰(x , y ) = 3x²+ 2x 2y . W szczególności, jeśli y (1) =√

2, to y⁰(1) = ⁵

2√ 2.

(54)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

f_x⁰(x , y ) =

− 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

2, to y⁰(1) = ⁵

2√ 2.

(55)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) =

2y .

2, to y⁰(1) = ⁵

2√ 2.

(56)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

Dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞) możemy zatem obliczyć:

y⁰(x ) = −f_x⁰(x , y ) f_y⁰(x , y ) =

3x²+ 2x 2y . W szczególności, jeśli y (1) =√

2, to y⁰(1) = ⁵

2√ 2.

(57)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

y⁰(x ) = −f_x⁰(x , y )

f_y⁰(x , y ) = 3x²+ 2x 2y .

W szczególności, jeśli y (1) =√

2, to y⁰(1) = ⁵

2√ 2.

(58)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

y⁰(x ) = −f_x⁰(x , y )

2, to y⁰(1) =

5 2√

2.

(59)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

y⁰(x ) = −f_x⁰(x , y )

2, to y⁰(1) = ⁵

2√ 2.

(60)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

y⁰(x ) = ^3x²_2y^+2x = ^{x (3x +2)}_2y .

y⁰(x ) = 0 ⇔ x = −²₃ (dla x = 0 nie mamy zdefiniowanej pochodnej y⁰(x )). Tak więc, dla punktów w których y (x ) jest różniczkowalna, ekstremum może się pojawić tylko dla x = −²₃. Łatwo zauważyć, że istotnie tak jest: licznik y⁰(x ) zmienia wtedy znak, a mianownik nie (bo wtedy y 6= 0), więc, w zależności od znaku mianownika, funkcja y ma tam minimum lub maksimum.

(61)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

y⁰(x ) = ^3x²_2y^+2x = ^{x (3x +2)}_2y .

y⁰(x ) = 0 ⇔ x = −²₃ (dla x = 0 nie mamy zdefiniowanej pochodnej y⁰(x )).

Tak więc, dla punktów w których y (x ) jest różniczkowalna, ekstremum może się pojawić tylko dla x = −²₃. Łatwo zauważyć, że istotnie tak jest: licznik y⁰(x ) zmienia wtedy znak, a mianownik nie (bo wtedy y 6= 0), więc, w zależności od znaku mianownika, funkcja y ma tam minimum lub maksimum.