Potentialtheorie zweiter ordnung für vertikal schwingende zylinder

24 JUU 97t

ç, ,..ç

ARCHIEF

Potentiaitheorie zweiter Ordnung für

4

vertikal sdiwingende Zylinder

Lab. y.

Scheepsbouwkut

Apostolos Pap a.n i kola o u, Institut für Schiffstechnik, TU Berlin

_{Technische Hogeschoo}

¿

so-.

M-

-'e /' ¿

'ci (

Deift

c:c

L

Hinblick auf die Entwicklung eines nichtlinearen bertragungsmodells für die

Behandlung von endlich groben Schiffsbewegungen im schweren Seegang Ist zunächst

das n±cbt-lineare Glattwasserproblem eines tauchenden Zylinders behandelt worden.

Das potentialtheoretisch sich ergebende nichtlineare Randwertproblem gemischter Art ist mit Hilfe der Störungsrechnung und von Integralgleichungsmethoden bis

zur zweiten Ordnung bezüglich des Entwicklungsparameters gelöst wbrden.

Anhand der numerischen Ergebnisse für schiffsähnliche Spanten sind Vergleiche mit bekannten Resultaten bisheriger Theorien sowie mit Versuchsergehnissen

angestellt worden.

EINLEITUNG

Untersuchungen über die Hydrodynamik von zylindrischen Körpern, die an oder nahe der freien Wasseroberfläche harmonisch schwingen, sind für die Behandlung der praktisch wichtigen Schiffsschwingungen im Seegang von grundsätzlicher Bedeutung. Sie bilden die Voraussetzung für Berechnungen für Schiffe und meerestechnische Objekte, wenn anschließend das Superpositionsprinzip und eine Streifenmethode

zugrundegelegt werden.

Bis vor kurzem hat man bei solchen Berechnungen fast ausschließlich mit lineari-sierten Theorien gearbeitet, die von der Annahmeverschwindend kleiner Bewegungs amplituden ausgehen.Der Vergleich von experimeñtell ermittelten Ergebnissen nit solchen nach einer linearen Theorie hat jedoch gezeigt, daß beim Vorhandensein einer endlich großen Bewegungsamplitude der Einfluß der bislang vernachlässigten

nichtlinearen hydrodynamischen Glieder erheblich sein kann /1/ , /2/ , /3/.

Mit dem fast gleichzeitigen Erscheinen der Arbeiten von C. M. LEE(1966)/)4/ und

G. PARISSIS/5/ über nichtlineare Theorien zweiter Ordnung für an der freien

Wassèroberfläche vertikal schwingende LEWIS bzw. Kreisspanten wurden erstmalig -ziemlich _{vollständige theoretische Entwicklungen sowie numerische Ergebnisse}

für den nichtlinearen Fall von schwimmenden Spanten bei unendlicher Wassertiefe

vorgelegt. Eine von _{C. H. KIM(1961)/6/ veröffentlichte Arbeit über den Einfluß}

nichtlinearer Effekte auf die hydrodynamischen Kräfte bei erzwungenen

Tauchbe-wegungen prismatischer Körper greift auf die Multiplentwicklungen von O. GRIM

(1953) zurück und liefert nur für Dreiecksspanten konkrete Ergebnisse.

Die bislang umfangreichste Arbeit über das vorliegende Problem wurde von

R. POTASH(1970)/7/ vorgelegt und zwar für beliebige Spantformen und alle drei Freiheitsgrade der Ebene einschließlich deren gegenseitiger Kopplung. Seine Lö-sungstechnik enthält-neben einer Störungsrechnung zur Linearisierung des Rand-wertproblems, eine Close-Fit- Methode, die auf Einfach- und

Doppelschichtpoten-tialdarstellungen beruht. Die gelieferten numerischen Ergebnisse sind infolge

des bei der zweiten Ordnung verstärkten Einflusses des sog. Irregularitätenphä-nomens

/8/,

/9/ z.T. zweifelhaft.

In einem kurzen Bericht von _{H. SDII'TG(1976)/1O/ wurde ferner eine Möglichkeit}

aufgezeigt, wonach sich relativ einfach auf der Grundlage der GREEI'Tschen Sätze

die gesamten hydrodynamischen Kraftwirkungen zweiter Ordnung berechnen lassen,

wenn die Randwert des potentials erster Ordnung für bestimmte

Schwingungsfre-quenzen vorliegen.

Ein Vergleich der numerischen Ergebnisse bezüglich der Werte der hydrodynamischen

Druckkiaft zweiter Ordnung für einen tauchenden Kreiszylinder nach den oben

er-wähnten Autoren und A. PAPMTIKOLAOU(1977)/1iI (Diagr. 1) offenbart eine gewisse

Unsicherheit des derzeitigen Standes der Forschung auf diesem Gebiet, obwohl die

Tendenzen von verschiedenen nichtlinearen Effekten klar erkennbar sind. Diese

werden auch von neuen umfangreichen Versuchsergebnissen aus Japan( F. TASAI

W. KOTERAYAMA (1916)1121) bestätigt.

Ziel dér vorliegenden krbeit, die auf der Basis der Dissertationsschrift des Ver-fassers/'11/ entwickelt wurde, ist es, einige der aufgetretenen Unsicherheiten auf

diesem Gebiet auszuräumen, so bei der Formulierung der Randwertprobleme zweiter

Ordnung sowie bei den erzielten numerischen Ergebnissen.. Durch die Anwendung

ei-ner Integralgieichungsmethode( Close-Fit ) bei der Lösung der anfallenden

Rand-wertprobleme werden nahezu beliebig geformte Spantformen erfaßt, was für die

praktische Anwendung der vorliegenden Theorie von großer Bedeutung ist. Der

stö-rende Einfluß der Irregularitäten wird dabei dirch numerische Methoden behandelt..

Der Fall endlicher Wassertiefe wird bei der Problemformulierung und Lösung

be-rücksichtigt. Die numerische Auswertung beschränkt sich jedoch auf dn Fall

un-endlicher Wassertiefe

PROBLEMFORMTJLIERUNG

AAHMEN

Der zu untersìchende Zylinder mit der getauchten Körperkontur S soll vertikal

an oder nahe unter der freien Oberflâche einer vor der Störung in Ruhe befind-lichen Flüssigkeit endlicher Wassertiefe h mit der Schwingungsamplitude a

und der Kreisfrequenz harmonisch schwingen. Neben einem ortsfesten kartesi-schen Rechtssyste! o - x - y , dessen x-Achse längs der ungestörten Ruhewasser-linie verläuft, wird ein körperfestes - i - Rechtssystem eingeführt. Die

nach oben gerichtete Vertikalachse , die mit y zusammenfällt, soll die

Kör-persymnetrieachse bilden (Abb. i).

L

,

y

2b

,,,,,,,,,i,i,iii,,,iií,iiii/iii//I/IlIII/IlI iii/.'í/(/f till

ui/ui

Abb.1

Sthiffstethnik Bd. 25 1978 54

-X

Bei Bericksichtigung einer eitifach harmonischen, erzwungenen Bewegung der Form

y0(t) = a sin wt (i)

lassen sich folgende Beziehungen zwischen den Körperkoordinaten in beiden

Koor-dinatensystemen. aufstellen:

x(s;t) i(s)

(2) y(s;t) = i(s) + y(t)

Unter den üblichen Voraussetzungen der Potentiaitheorie für das Mediun(Wasser) und die sich ergebende ebene Strömung existiert ein die Flüssigkeitsbewegung

allein beschreibendes Geschwindigkeitspotential (x,y,t) , das, aus

Kontinui-tätsgründen, dieS LAPLACEsche Differentialgleichung(Potentialgleiching) im ge-samten Flilssigkeitsbereich érfüllen muß. Der Flüssigkeitsbereich wiid durch

folgende Ränder begrenzt: die augenblicklich getauchte Körperkontur S , die

zunächst unbekannte freie Wasseroberfläche beiderseits des Körpers bis zun

Un-endlichen, mit y = ?(x;t) außeihalb des Körpers, die feste Bodenlinie y = -h,

sowie zwei vertikale Kontrollinien im positiven und negativen Unendlichen.

RAND BED INGUNGEN

Aus der kinematischen

Yt(x;t) + ' (x,Y(x;t);t) Y

-= O (3)

und .dynaniscten(BERNÓULLI)

g Y +

!V2

= o (14)

Randbedingung an der freien Wasseroberfläche y = Y(x;t) ergibt sich durch

Sub-stitution des Wellenprofils folgende kombinierte Freie-Oberflächen-Randbedingung

nach /11/:

= - 2(

xtx

)_2

_2

y ty x xx x y xy y yy

Die kinematische Körperrandbedingung beagt, daß die Strömungs-'. und Körperge-:

schwindigkeit entlang der festen Korperkontur S gleich groß sein mussen, oder

für (x,y) E S

( y) (x,y;t) V

mit

V=y(t)

-$

wobei der Strich eine Differentiation nach der Bogeni.nge s , der punkt die

entsprechende Ableitung nach. der Zeit t und ( V) den

No±maleÍi-DifÍerential-operator in Richtung der äußeren Normale bedeutet (Abb. i).

Bei Beschränkung der Untersuchung auf bezügiich der - Achse symmetrische

Kör-per Únd Bewegungen ergibt sich für

y;t) = (-x,y;t) ,

(8)

oder

(o ,y;

)=

_(8Y

Da durch den geraden festen Boden y = -h nichts hindurchfliei3en kann, ergibt sich für

(x,-h;t) = O (9)

Schließlich muß im Unendlichen beiderseits des Körpers eine

Endlichkeitsbedin-gung von erfüllt werden. Da es sich um einen bis zum Unendlichen reichenden Schwingungsvorgang, infolge von im Endlichen sich befindenden Quellen, handelt, kann die Erfüllung der SOMtRFELDschen Ausstrahlungsbedingung gefordert werden,

was die Eindeutigkeit der sich ergebenden mathematischen Lösungen für

si-chert.. Diese Bedingung besagt physikalisch, daß im Unendlichen in x-Richtung

beiderseits des Körpers abgehende, regelmäßige ebene Schwerewellen die Strömung charakterisieren/ui.

STiRUNGSRECRNUNG:.:

Die Störungsrechnung nimmt ihren Ausgang von einer auf der Basis. eiñes.geeiget

definierten klei±ien Störungsparameters E entwickelten Schar von

Randwertauf-gaben, die die zu lösende sog. g e. s t ö r t e Aufgabe sowie die schon bekannte

sog. u n g e s t ö r t e Aufgabe enthält.

Es sei

(o)

die bekannte und exakte Null-Lösung der ungestörten Aufgabe. Nun

soll die gesuchte Potentiallösung von der bekannten

(o)

-Lösung sich nur

durch den kleinen Parameter e unterscheiden, mit

hm (x,y;t;c) = °(x,y;t) .

(io)

Unter Berücksichtigung dieser Forderung wird als Störungsparameter e das

rela-tiv kleine Verhältnis der Schwingungsainplitude a zur maximalen I{albbreite des Zylinders b

a

(ii)

gesetzt. Bei dem Störungsarameter handelt es sich um einen dimensionslosen

physikalischen Parameter it der Eigenschaft, daß für E O ( a O ) die

Stö-rung der Grundlösung 0j nach

(io)

verschwindet.

Im folgenden wird angenommen, daß ds gesuchte Geschwindigkeitspotetitial

nach dem kleinen Parameter e in Form eines Störungsansatzes entwickelt werden

kann

N

= - _E1

'(x,y;t)

(1.2)

n 1

(o)

'obei = O vorausgesetzt wurde.

Die Konveigenzfrage für (12), im Zusammenhang mit (io), insbesondere die

gleich-mäßige Konvergenz, bleibt zunächst offen. Sie hängt offenbar von der Größe des

kleinen Parameters e ab/ii!.

Da die erzwungene Körperbewegung zeitlich einfach harmonisch vorausgesetzt

wur-de., kann im folgenden angenommen werden, daß die sich ergebende Störung der

Flüssigkeit und der entstandene Strömungszustand - nach Abklingen von

Anfangs-störungen - zeitlich periodisch sind. Untér Zugrundelegung eines nichthinearen

Ubertragungsmodells N-ter.. Ordnung

N

z=

.

Ax',

(13)

n0

wObei X ein Input-Signal, Z das entsprechende Output-Signal und A konstante

Faktoren bedeuten, und Berücksichtigung der Erregérfunktion (i) ergib sich für

aus (12): .

(x,y;t;E) = e (xy)

e_t

(i4)

n=1 k=O

Die Suinmenkomponenten in (1)4) werdenaus den komplexen Ortsfunktionen

- (n)

k > i (i

k kc + ' -. '

die jeweils mit der k-fachen Erregerkreisfrequenz zeitharmonisch oszillieren,

gebildet Da das Geschwindigkeitspotential eine reelle Große ist, bedeutet

das,daß

nur

die Realteile auf der rechten Seité von (14) einen physikalischen

Sinn besitzen. Es wird darauf hingewiesen, daß, sobald das Prothikt von zwei

sog. z e i t komplexen Funktionen auftritt - im Unterschied zu den später

ein-gefuhrten sog o r t s komplexen Funktionen mit i

= ¡T-,

die beide als

Realteile von komplexen Produkten definiert sind, xiur das Produkt der Realteile berücksichtigt werden soll.

Entsprechend zu Ausdruck (1)4) für ergibt sich unter Berücksichtigung des

gleichen Übertragungsmodells (13) eine Störungsentwicklung

für

das

Wellenpro-fil Y(x;t) L

M

Y(x;t;c) =

E1 y(l)(t)

1=1 m=O

Y(x;t)

y(l))

et

(1) (i) . (i) > = 1mc + J?,rms , m ._ i

Durch Einsetzen der Störungsanstze für (i4) und

_Y(16)

in die LAPLACEsche

Differentialgleichung und die zu erfüllenden Randbedingungen läßt sich das

auf-gestellte nichtlineare Zeit-Randwertproblem mit dem z.T. f r e i e n Rand

linearisieren

und

in mehrere - für dieTheorie zweitei Ordnungin drei -

line-are Randwertproblerne mit f e s t e n Rändern uwande1n. Dabei werden beim

Einsetzen von (i)4) in die Randbedingunen der freien Oberfläche (5) und der

Körperkontur (6) die Teilpotentiale 1 _{in TAYLOR-Reihen bezüglich der}

u n g e s t ö r t e n -

und

bekannten - Lage dieser Ränder entwickelt. Durch

Ordnen der sich ergebenden Ausdrücke nach der gleichen Ordnung bezüglich E

sowie der gleichen zeitharmonischen Abhängigkeit ergeben sich bei

Berücksichti-gung von Gliedern bis OÇc2) die zu lösenden drei linearen Randwertprobleme

fur

die Teilpotentiale

4)

Gleichzeitig vereinfacht sich der Losungsansatz

für

zu der Form

(x,y;t;c) =

c1)(x,y) eWt

+ + E2(

(2) (2) e_2Wt

) + O(e3)

o 2

da manche der für n k , mit Ausnahme von

42)

für die zweite Ordnung,

nur triviale Lösungen liefern/ui.

RAND WERTPROBLEME

Zur Abkürzung werden folgende Differentialoperatoren entlang der bekannten

Rän-der

_{SF ,S}

, S

und

_5L eingeführt

(Abb. 2):

Freie-Oberflächen-Differentialoperator E ₍ F - F ) y (x,y) _SF

(16)

(18) - 57 - Sthiffstedmik Bd. 25 1978

mit

und

mit der Wellenzahl der Erregung

V_g

(21)

und der Wellenzahl der abgestrahlten Wellen im Unendlichen y ,die sich aus

y th(v h). =

₀

0 (21Y'

Körp.eroberflächen-Di fferent ialoper.ator

Aus strahiungs-Di fferent iaioperator

R(){F(x,y)}

B {F(x,y)} E

(

= i F

) s E Re. {F ; (x,y)c{5 L SB

Abb. 2

Es ergeben sich folgende lineare Randwertprobleme für die nichttrivialen

Teil-potentiale n) (17):

Lineares Randwertproblern erster Ordnung

Problem O für (x,y) D

B{' (x,y)}

= O , (,y) e S (i) 1y

(,y) =0.,

(x,y) e SB

R(v0){(xy)}

(xy) {,

(x,y)

= (,y) ,( sym. Spanten

- wb#,(x,y)

e S o o (20) (22) Schiffstechnik Bd. 25 -. 1978 58

-Lineare Randwertprobleine zweiter Ordnung 2) Problem = O , für (x,y) C D , (28)

B{42)(x,y)}

_j{q)},

_(x,y)

F(1

j

(2{'2

+

F(v){})

, (x,y)

C SF,

(30)

x,y) = O , (x,y) S3 ₍₃₁₎ R(v0){42)(x,y)} = O , (x,y) ₍₃₂₎ = (2)(_XY) ,

( s. Spnten )

(33) (2) Problem O , ür (x,y) c D _{, (3h)}

E jB{'} ,

(x,y.) E

S,

(35)

um

-h , (29)

as 2)_ _{Problem wird im weiteren nicht mehP betrachtet, da dessen Beiträge}

für die hydrodynamischen Kraftwirkungen von vierter Ordnung bezüglich C sind.

Seine physikalische Bedeutung für die zweite Ordnung beschränkt sich auf die

Erklärung des bei Wellen endlicher Amplitude in Wellenfortschrittsrich-tung statt-findenden Massentransports (38') /11/.

(1)

aufgestellten linearen Randwertprobleme fur das j

-

(Gl. (22)-(27)) bzw.

)

(Gi. (28)-(33)) Potential sind bog. ROBINsche Probleme, deren

Randbedii-gungen auf Teilen des Randes durch inhomogene bzw. homogene NEUMANNsche odér

ROBINsche(gemisçhte) Beziehungen charakterisiert sind (Abb. 3,rechts). Ein

Ver-gleich des c1)_ mît dem entsprechenden 2)_ Problem zeigt, da2 der zu losen-de Randwertty-p genau losen-der gleiche ist, mit Ausnahme losen-der homogenen Freie-Oberflä-chen-Randbedingung (2)-i) im Vergleich zu (30) _{Insofern laßt sich das Problem}

erster Ordnung ais Spezialfall des Problems zweiter Ordnung behandeln, wenn

fili-'das letztere ein Lösunsverfahren vorliegt. Ugkehrt _{ann mai durch en}

leich-te Modifikation des 2)_ Potentials, mit 2j + _{,'das 2-'Problem}

- 59 - Srhiffstechnik Bd. 25 '1978

(x,y)

_{= d}

(x,y) c , (2) = O , (x,y) c , (x,y)dy = - M(w) , (x,y) C{s (2) (2) (x,y)

SJ

Ss

y=o

y-h

® Q(,ri) X+co =o

RANDWERTPROBLEME ZWE ITER ORDNUNG

G(2) VG(2) = 0

y

Ss-G(2) = & y o P(x.,y). (2) (2) 22y = L SS-x=oo

-&+

j04)=o

-= o

-o y=-h SR S5 SL SL

Abb

3

-Ss

y=0

F-

x-Abb. 4

y=O

X

Ss

x-y=-h y=O SF )+ y=-h

= o

1)_ = 0 y

SS

q)

-

.4V42) L(2) A4(2)

= o

= o

55 55 SL (2) 12x+ . (2)

jv012

y=-h =0 (2) i2 (2) 12x

y=0

(2) jI4v42 =0

RANDWERTPROB LEME ERSTER ORDNUNG

y=o

G(1)

=)

y

SS

y

® Q(;n)

o P(x,y)

x-

G(1)+ ivG(1)=0 G(1) = o y=-h

G1=0

y F in =

F'

X+co G(2) = O j4vG(2)=0

vG0

(2) ' 2n X=+cx, SB

y=o

auf den

Typ und

ein zusätzliches Randwertproblem

mit

bekannter Lösing

zurückí'ffliren (Abb. IL) ¡li.!, /11/.

-Anm.: Gi. (30) und (36) sind bislang in der Literatur umstritten gewesen.

P ROB LEMLO SUNG INTEGBALGLEICHUNGEN

Dirçh die Zurückfiilirung der eben beschriebenen Randwertrobleme für bzw.

mit

Hilfe der GREENschen Satze der Potentialtheorie auf Integraigleichungen

lassen sich zunächst Existenz- und Eindeutigkeitsff'agen von Lösungen behandeln,

wie in /11/ gezeigt wird. Anderèrseits ergeben sich durch numerischeLösung der aufgestellten Integraigleichungen direkt oder indirekt - über die Quellfunktio1 bei Einfachschicht-Potentialdarstellung - die gesuchten Potentialfimktionen

bzw. (2)

Die..Aufstellung der .Integ-raiglei-ch.ungen- i-s.t-vom-..Auff-i-nden geeigneter GREENscher

Fariktionen abhängig., die -zu den Potentialrandwertproblenien. äquivalente, jedoch

einfachere Randwertprobleme erfüllen müssen (Abb. 3 links) /11/. Die zu den

dargestellten Randwertprobiemen für Çi)

bw.

421

passende GREENsche Funktion

wird durch das komplexe Potential in P(x,y) einer in der unteren Halbebène im

Punkt Q(,r) pu],serenden Einheitsquelle ausgedruckt, wobei die

Schwingungsfre-quenz

für

das 2)_ Problem doppelt so groi wie für das 1) _{Problem ist;}

ent-sprechend ist bei der GREENschen Funktion erster Ordnung die Wéllenzahl der

Erre-gung sowie der ausgestrahlten Wellen durch 4. bzw. zu ersetzen, um die GREENsche Funktion zweiter Ordnung zu erhalteìi.

Für

den Fall e n d 1 'i c h e r Wassertiefe nimmt die GREENsche Funktion

folgen-de Form an /11/

-G(11)(x,y;,n) (h) . (h)

G

jG

C S

mit ( log : natürlicher Log.

G(h) _{= lög R + log 2 log h}

-- 2 _'l'i1(k ± y) e'ch k( + h)ch k(y ± )cos k(x - e_khldn

k(kshkh-ychkh)

k

G=

.(±

y)

e0hsh

y0h ch \)ç(fl+h)ChV(y+h

cos vfl(x

-- 0(vh sh2vh)

wobei die dimensionslosen Radien

R = ((x

)2 (

- )2)1/2

((x -

)2

(y + + 2h)2)h/2

(42.)

eingeführt wurden.

Der später numerisch ausgewertete Ausdruck

fUr

die GREENsche Funktion u n e n d

-1 i e h e r Wassertiefe (h -- co) ergibt sich zu:

G(z,) = Re1{ 1og(zrn) - log(z - ) +

j

d.k-j2îe

.-ik(z _:)

. iy(z

-(43)

O

mit den o r t s komplexen Variablèn

z=x+iy

=+irì ,=-iIl

Die GREENsche Funktion ()3) wird als harmonische Funktion im z e i t komplexen Raum wie folgt dargestellt:

G(z,;t) = Re.{ G e_3Wt

} (14)

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Aufstellung von lösbaren

Integral-gleichungen auf der Grundlage der formulierten Randwertproblexne. lin Rahmen der

vorliegenden Arbeit wird nur auf eine IntegragJeichungsdarstel1ung

eingegan-gen, die sowohl für das wie für das Problem Gültigkeit hat. Wei-tere Möglichkeiten werden in /11/ genau aufgezeigt.

Durch Anwendung der sog. d. r i t t e n GREENschen Formel der Potentaltheorie

- auch als HELMHÔLTZsche Integralgleichung bekannt - auf das Çr)

Randwertpro-blem (Abb. 2) ergibt sich folgende inhomogene Integralgleichtmg vom Typ

FREDHOLM-zweiter Art: - 2 ₊

_f

(n) G n

(x,y;,)

ds = (45)

(s)

f GF(,)

(SF) dSQ _-

_f

G(n)(x,y;,o)

L() d

(x,y) D

Dabei erfolgt die Integration über D entlang SG , dem Rand von D , und die

Differentiation in Richtung der äußereh Körpernormale nach den

Quelipunkt-koordinaten(Index Q). Bei (45) handelt es sich um e,ngekòppeltes

Integraiglei-chungspaar, da die gesuchten Potentialfunktionen komplexe Größen sind

(Gi. (15)) n

Die aufgesteJ7lte Integralgieichung(45) läßt sich folgendermaßen deuten: Das

Potential 1)(x,y) betçht aus einem Doppelschichtpotential 1it der

unbekann-ten Belegungsdichte

_"(,n)

infolge von entlang 5 angeordnetn Dipolen,

einem Einfachschichtpotential mit der bekannten Belegungsdichte

-infolge von entlang S0 .ngeordneten einfachen Quellen und schließlich, im Falle des Potentials

42)

, einem weiteren Einfachschichtpotential mit der aus

den Potentialgrößen erster Ordnung gebildeten Belegungsdichte

L(2)()(

mho-mogenität der Freien-Oberflächen-Randbedingung ) infolge von entlang der

Ruhe-wserlinie

_SF angeordneten einfacheñ Quellen. in (45) bedeuten F(n) und

Ln) die rechten Seiten der Körper- und Freien-Oberflächen-Randbedingungen

erster(n = 1)bzw. zweiter(n = 2) Ordnung (Gi. (23),(24) bzw. (29),(3O)).

Die dargestellte Integralgleichungsmethode hat neben ihrem allgemeingültigen,

Charakter den Vorteil, daß das gesuchte Potential am Körper direkt, ohne eine zusätzliche Integration wie bei konventionellen Close-Fit-Methoden über die Quellstärke erforderlich, erhalten wird. Dagegen sind die Existenzbeweise für die Lösungen solcher Integrlgleichungen komplizierter. Sie lassen sich jedoch

unter gewissen Vo±'aussetzungen auf die einfacheren Integralgleichungen der

Einfachschicht-Potentialdarsteflungen zurückführen. Mehr Erfahrungen über ähn-liche Integralgleichungen, die im Zusammenhang mit Schiffsschwingungen bislang kaum benutzt worden sind, liegen aus dem Bereich der Hydroakustik vor /11/.

LÖSUNGSVERFAHREN

Die in (45) aufgestellten Integraigleichungen für die e r s t e (n = i) bzw.

z w e i t e (n = 2) Ordnung sind beide inhomogene FREDHOLMsche

Integrälglei-chungei zweiter Art von folgender allgemeinen Form:

- X

_f

K(s,t) c(t) dt = f(s) (46)

(s)

Aufgrund der komplizierten Form des Integralkernes K(s,t) ,der die

Normalab-leitung der GREENschen Funktion (41) bzw. (3) enthält, als auch der

-funktion f(s) , die beim Problem zweitr Ordnung die Berechnung eines

un-eigentlichen Integrals voraussetzt, ist eine g e s e h i o s s e n e Lösung

der vorliegendn Integraigleichungen für b e. i i e b i g e Spantformen nicht

möglich.

Nebén den Näherungsinet-hoden, die auf Entwicklungen des Integralkernes und der

gesuchten Funktion nach Eigenfunktionen basieren und nur für spezielle

Spant-formen möglich sind, ergibt das Quadraturverfabren von. W. FRANK/9/ , die sog.

CLOSE-FIT-Methode, ausreichend gute Lösungen für fast beliebige Spantformen.

Die Methode bildet eine konsequente Ausdehnung des von ITESS und SMITH(1962)

für die gleichförmige Umströmung von getauchten Körpern eingeführten Verfahrens.

Es wird angenommen., daß die getauchte Körperkontur S ausreichend genau durch einen aus N Strecken betçhenden Polygonzug approximiert werden kann (Abb. 5).

Das gesuchte Potential nJ der entlang S angeordneten Doppelschicht nach

Gi. (5) - soll sich nur langsam entlang S ändern, so daß es entlang des zu

einem Segmer1t gehörenden Bogenstücks ais 1onstant betrachtet werden kann.

Fer-ner wird n) im Mittelpunkt der Sehne des jeweiligen Segmentes berechnet,

wobei von der tatsächlichen Körperköntur nur unerheblich abgewichen wird, wenn

ein genügend großer Polygonzug angenommen wird. Die Genauigkeit der erzielte'n

Ergebnisse wird jedenfalls nicht wesentlich verbessert, wenn die tatsächliche

Körperkontur berücksichtigt wird.

Unter diesen Annahmen lassen sich die zu lsenden Integralgleichungen (5) in

lineare algebraische Gleichungssysteine umwandeln, bestehend aus N oplexen

Gleichungen zur Bestimmung der N unbekannten Potentiaiausdrücke bzw. i = 1,2,...,N , im Mittelpunkt der zu den N Segmenten gehören-den Sehnen entlang S0 .

Die entstehenden Gleichungssysteme der Form

- 2 {I} +

{(fl)}

_{) +} =

{R}

n

it CI}: .Enheitsmatrix,. _{Einfluß-Koeffizientenmatrix n-ter Ordnung,}

(n) . .

. (n')

}: gesuchte Potentialmatrix n-ter Ordnung und CR }:Stormatrix n-ter Ord-nukg , lassen siçh bequem nach einem Reduktionsalgorithmus lösen. Die Störmatrix zweiter Ordnung hängt dabei durch die Inhomogenität der

Freien'-Oberflächen-Rand-(7)

bedingung L(2) sowie derjenigen der Krperrandbedingung

F(2)

in (5) von

folgenden Größen e r s t e r Ordnung ab:

(i)

{ .1 _; ; } (x,y) , (x,y)

(1)

{ i ;.-- , --- } t1 (x,y) , (x,y) _SF

Die erforderlichen Größen erster Ordnung werden nach der vorangehende Lösung

des Problems erster Ordnung durch numerische Differentiation des Poten-.

tials entlang S0 und _SF ermittelt.

i IRREGULARITÄTENPROBLEM

Im Zusammenhang mit denExstenz- und Êiideutigkeisfragenvon Lösungen der

au-gestellten Integralgleichungen (15) erster und zweiter Ordnung istin. /iiJ

nach-gewiesen worden, daß das Auftreten von sog. i r r e g u 1 a r e n Wellenzahlen,

bei denen die Lösuigsdarstellung nach den üblichèn Integralgleichungsmethoden versagt, unmittelbar mit dem Vorhandensein von nichttrivialen Lösungen für die

entsprechenden h o m o g e n e n a d j u n g i e r t e n Integralgleichungen zusammenhängt. Durch die gleichzeitige Betrachtung des i n n. e r e ±i und

u ß e r e n Potentialproblms lassen sich jedoch e i n de u t i g e und

für alle Wellenzahlen gültige Lösungen erzielen. Dies wird praktisch durch die

Anwendung einer sog. k o in b i n i e r t e n Integralgleichungsmethodé

ermög-licht, wie genäu in /11/ dargelegt wird.

Die als Eigenfrequenzen des adjungierten i n n e r e n Potentiaiproblems sich

ergebenden I r r e g u i a r i t ä te n verfälschen die Ergebnisse des

inte-ressierenden ä u B e r e n Potentiaiproblems bei konventionellen

Close-Fit-Methoden nicht nur bei den Eigenfrequenzeù selbst, sondern in einer gewissen Bandbreite um diese Frequenz herum, wenn die zu lösende Integralgleichung

alge-braisiert worden ist. Ein guter Indikator fili- das Erreichen einer Irregularität auf dem Frequenzband ist der Determinantenwert der Koeffizienterimatrix, der von der Größenordnung 10N ist( N : Anzahl der Seente im vierten Quadranten + i )..

Theoretisch würde dieser Wert, bei einer exakten Lösung der IntegMigleichung, beim Vorhandensein einer Irregularität gleich Null werden. Durch die Algebrai-sierung der Integraigleichung jedoch nimmt beim Vorliegen einer Irregularität

der Determinantenwert zwar stark ab, jedoch nicht is um Nuliniveau ;

ande-rerseits begirmt dieses Abnehmen schon vor der Irregularitätenlage, so daß ein Irregularitäten-Einfiußbereich gebildet wird. Währenddessen sind die gelieferten

algebraischen Lösungen nicht vertretbar, wie aus -Diagr. i erkenìibar ist.

Ein in der vorliegenden Arbeit angewandtes, relativ einfaches numerisches

Ver-fahren zur Vermeidung. der Auswirkungen der Irregularitäten besteht darin, die

Lage der irregulären Wellenzahlen sowie die Breite ihres jeweiligen

Einflußbe-reichs durch einfache Algorithmen abzuschätzen und die im kritischen Bereich

gesuchten Potentiallösungen durch Interpolation - SPLINE-Polynome - zwischen

sinnvollen Lösungen zu ermitteln ( vgl. Diagr. 2 und i ).

Die angewandten Algorithmen basieren auf den Ergebnissen eines sog. E r s a t z

-Rechteckprofils, das das gleiche B/T Verhältnis aufweist wie der zu

untersuchen-de Spant. Für Spantformen, untersuchen-deren Völligkeiten sich erheblich von 3= 1,00

unter-scheiden, sind leichte Korrekturen in den Algorithmen vorgesehen worden.

Für die erste Irregularität e r s t e r (n i) und z w e i t e r.(n 2)

Ordnung eines Ersatz-RechteckprofilS gilt /11/:

B ) - cth ( ) . 9)

Es ist anzumerken,daß die niedrigste gestörte Fequenz für die zweite Ordnung

sich auf ca. ₁₁₎₄ des Wertes erster Ordnung nach unten verschiebt und daß .die

Irregularitäten zweiter Ordnung erheblich dichter im interessanten unteren

SchiffstechnikBd. 25-1978 .

64

Frequenzbereich auftreten.

POTENTIAL ERSTER ORDNUNG

Unter Aìwendung des beschriebenen Lösungsvefahren-s auf die Integraigleichung

(15) für die ?otentiale. erster Ordnung und

qÇ)

ergibt sich das

fOl-gende lineare algebraische Gleichungystem, best.hend aiis 2N Gleichungen für

2N Unbekannte

j!,

-2

+ j!1

j

+ für i 1,2,... - 27r ,N. j!1

'U

=jIl

F(1KP)

j1

'ii

=

F'LÇ

,

= 1,2,...

,N,

Mlttelpuxìlct der-zu-den 1 --egmenten gehörenàen Sehnen,

j

1,2,

der Köíperkontur S0 -, bestitht

Die Einflußkoeffizienten erster Ordnuñg im Punkt infolge des j-ten Segmentes

i) bzw.

werden wie folgt definiert /ii/)

(1) 1 -*

I..

= Re..{

_j

(n(,n)

v){ log(z. - -- iog(

J (

Di-e-'-unbekannten

werden dabei -ith

,N, entiang

--Potent i-a-iausdrüke . (x. ,y.) und

j.'

j

= --

2ir Re.{ _I 13 1 (si.) J ik(z.

-2e(b)1

dk}ds

+

Jv)

log(z. + -- 1og(z _{+ +} -ik(z. + + 2 (vb) - k dk} d .-i(vb)(z. - )} + + _(sd)

J

((-,n)

v){

ei +

-Die Störfunktionen erster Ordnung ergeben sich aus:

-(1)

i

-F

==cos.,

J

rr4t den aus er GREENschen Funktion erster Ordnung gebildeten Ausdrücken

und L»

1J 13

(50)

(51)-+)Anm.: _Im

_{folgenden werden- durchgehend dimerisionslose Darstellungen verwendet.}

Die Längen werden mit b1 und die Zeitvariablen mit w dimensionslo

ge-maáht. Es ist darauf zuachten, daß alle Feidgrößen -(Koordináten,-Längen, Zei-ten und PoZei-tentiale) ihre bisherige Bezeichnung äls dimensionslose Größen

bei-behalten.

KÇ =Re.{

J

lög

j

+Hiog

(si.)

-j

-

iog(z

-LÇ'.

= -

2iî Re.{ _I {e_ (vb)(z _- .} ds

+

J {

e b)(z1 + ds}

i. (J

_(s.)

Die in (51)

und

₍₅₃₎

auftretenden Integralausdrücke über die Sehnen der eente

s - bzw

s1

fur den dritten Quadranten - kannen analytisch aufoereitet

wer-den. Die CAUCYschen Hauptwertintegrale werden durch Reihenen-twicklungen oder

nurierische Quadraturverfahren ausgewertet /11/.

Nachdem die Potentialausdrücke und entlang S0 durch

Lösung

des

Gleichungssystems

(50)

bestimmt worden sind, Ïä1t sich das Potential e r s t e r

Ordnung in jeder beliebigen Stelle der Flussigkeit uber Gl

₍₅₀₎

angeben, auch

entlang der Ruhewasserlinie y = O , wie in p48) für die Störgrößen z w e i.

t e.r Ordnung entlang S, gefordert wird. Das Gleichungssystem (50) vereinfacht

sich hierbei zu ungekoppelten algebraischen Gleichungen.

POTENTIAL ZWEITER ORDNUNG

Analog der Verfahrensweise bei der Lösung des Problems erster Ordnung ergibt sich

aus Integralleichung ()5) (n = 2) für die Potentiale z w e i t e r Ordnung

und 4) das folgende lineare algebraische- Gleichunsystem, bestehend aus 2N Gleichungen zur Bestimmung der 2N Unbekannten uid.

(x.,y.) , i

= l,2,...,N

im-Mittelpunkt der zu den N Seenten gehörenden

Seh-nen etlang der getauchten Körperkontur S

N N - - N - 2îr 2)(x.,y.)

(2)(x.,y.)

1Ç)

()

F' KÇ

-2e

i

i

. 2c

j

j

ij

. 2s

ij

. e

ij

-

j=1

j=1

j=1

-F(2)

+

P(2)(x'y.)

2) (5)4)

- 2t

+ - + F LÇ + +

(2) KÇ

+

Q(2)(xy)

Q(2) -für i =

1,2,...,N.

D5,.e Einflußk9efizienten zweiter Ordnung im Punkt i infolge des ej-ten Seientes

und j1 ergeben sich aus (51) , wenn man bei den den dort enthatenen

GREENsehen

Funktionen

den dimensionslosen Frequenzparameter ('vb) durch (vb)

ersetzt.

hnlichs gilt fii2ie Störfujiktionen zweiter Ordnung entlang S0 , die sich

aus

K) und L' ergeben und entsprechend aies

(53) bestiimnen lassen. Die inhomogeni-täten der Körperrandbedingung für

421

ergeben sich aus (29) zu:

-F(2) i a (i) e -

2 xs

1s F(2) a2

(2)

s 2 axas le Schiffstechnik Bd. 25-- 1978

66

---ik(z.,

-+ )

-

log(z. ) + 2

dk}

ds

O.

-(vb) k dk} ds +

(53)

-(55)

Schließlich sehen die Störfunktionen zweiter Ordnung entlang _{SF (Linienintegrale)} folgendetmai3eh aus:

ky

(2) (2) e i cos k(x1 -(x.,y.) 2

J

M

(){

k o SF ky. 2 2 e

i

cos k(x. -Q (x1,y) = 2

J

M

)){

ib) - k

O dk + ky e i cos k(x b) - k - } d ,' O

J M(){

cos (vb)(x. - + cos (vb)(x _{+ )}

}d,

SF

(2)

(x,y.

= -

2 ei

_{J M(){}

cos (vb)(x. - + cos 1i(vb)(. +) }d.,

O

mit den Inhomogerdtäten der Freien-OberflächenRandbedingung für

42)

nach

UJ. (jU)

M(2)(X)

= - j.

_(vb){'(x,O)

₊

6(.Ub)2'?

')

+ (i) 2 (1) (1) (1) + 1c is + ax 1c

x1s

}

M(2)(x)

₌

_{j. (b){}

_(x,O)

+ 3(Jh)2(q,')2

»)2)

(57) ) + 2( ')2

-Die zur Bildung der Inhomogenitäten zweiter Ordnung (55,) und (57) erforderlichen

partiellen Ableitungen von Potentialgräßen erster Ordnung (8) sind, durchdie vorangehende Lösung des Problems erster Ordnung, als bekannt anzusehen.

Die Linienintegrale (56) entlang der Ruhewasserlinie

5F enthalten im

Schnitt-punkt von S0 mit _SF eine Singularität, die auf Unstetigkeiten der zweiten

Ableitungen des Potentials erster Ordnung nach x zurückzuführen ist .. Der

stö-rende Einfluß dieser Singularität kà.nn jedoch numerisch behandelt werden,

ins-besondere für den Th.11des y e r t i k a 1 schwingenden Zylinders. Für die

an-deren Freiheitsgrade der

Ebene

müssen zusätzliche tiberlegungen über den Einfluß

dieser Singularitat angestellt werden Ferner wird die bis zum Unendlichen

rei-chende Integrationlängs der Ruhewásserlinie in (56) nur bis zum praktischen Er-reichen des asymptotischen Zustandes der Potentiale erster Ordnung durchgeführt, da der Integrand éntsprechend gegen Null strebt /11/

PHYSIKALISCHE GRSSEN

Druck

Der hydrodynamische Druck P ( relativ zum konstanten atmosphärischen Druck

dk +

ei òos k(x

+ 4(vb) - k dk} d (56) - 67 - Schiffstechnik Bd. 25 - ₁₉₇₈ x±,y)

= -

2r SF

ergibt sich durch Anwendung der ERI'TOULLIschen Gleichung a jeweils

interes-sierenden Ort als Funktion der Zeit. Insbesondere gilt für P entlang der

sich bewegenden Körperkontur S , unter Berüchsichtigung von (2)

P(x,y;t)

= -

pg (i(s)

+ y(t)) -

p

_t((s),(s)

y0(t)) - p

(58)

Entsprechend Gi. (12) für läßt sich der Druck P in Form eines

Störungs-ansatzes ausdrücken:

P(x,y;t) + + 2 p(2)(x,y;t) + 0(c3) .

(5g)

Nach einer TÄYLOR-Reihenentwickltg von

(58)

und

(59)

bezüglich der Ruhelage

S0((s),(s)) und Berücksichtigung von (iï) ergeben sich folgende Ausdrucke

für

p),

n 0,1,2.

,.wenn4ie..

anfallenden Glieder bezüglich c geordnet wer-den:

(o)

-p (x,y) =-.pgy

p'(;t)

=

((1)()

-

gb) wt

p(2)(,;t)

₊

_j

_b p(1)(.,;t)e_Wt=

j

_{pbw x,y) -}

_p(

₊ {_ j?w + wb

')

+j

((1)2 +

(i)2)}

-j2wt

Der hydrostatische Druckterm (o) wird. im weiteren vernachlässigt.

Mit den Abkürzungen

e(i) (i)

(2)

+

b

(.l)

jwt

y

und nach Einführung dimensionsloser Größen läßt sich der hydrodynamische Druck

zweitèr Ordnung folgendermaßen darstellen:

(1)(i)) ly P(x,y;t) -pgb +

c2f

Physikalisch lassen sich die erzielten Ergebnisse wie folgt interpretieren:

Bezogen auf den atmosphärischen Druck

Po kot zum

hydrostatischen Druck p

nach der The9re

z w e i t e r

Ordnung ein zusätilicher zeitunabhängiger

Druckterm

p2)

hinzu. Die daraus resultierende Kraft in Verti.kalrichtung

ist i. allg. eine Sinkkraft. Neben dem mit einfacher Erregerfrequenz

oszillie-renden hydrodynamischen Druckanteil liefert die Theorie zweiter Ordnung

darüber-hinaus einen mit der doppelten Frequenz harmonisch schwingenden Anteil.. Das

Absolut-GrößenverhältniS der Amplituden der Druckgrößen erster und zweiter

Ord-nung ist von der GrößenordOrd-nung O(c1)

Für

einen Kreis-, einen U-Lewisspant ( ß = O,91.O5)4 ) und einen Wulstspant (

2,52329 ) mit vorgegebener Spantfoim sind in den Diagranmen Nr. 3 - 6 die

Druckkenngrößen erster und zweiter Ordnung über dem dimensionslosen Frequenz

-parameter ('sb) , Ò

-.vb i 2,0

, graphisch aufgetragen worden. Die Auftragungen

selten jeweils für zwei ausgezeichnete Punkte der Körperkontur, in Kielnähe

des Spantes (K) undnahe der freien Oberfläche (FO) (erstes und letztes Seg-ment für die CloseTFit Rechnung).

Schiffstechnik

Bd. 25

1978 68

-sin (wt + +

+

(2)(,)!

sin (2wt +

Die Übereinstimmung der erzielten Ergebnisse mit denen anderer Autoren ist

unterschiedlich

gut. Naturgemäß

ist die tJbereinstimmung

für

die Größen erster

Ordnuñg p1)

und am besten; ebenso für

p2)

, da hierfür allein die

Lösungen des Probiemserster Ordnung erforderlich sind

/11/

. Die

Bestimmungs-gleichungen für diese Größen waren bei allen Autoren ähnlich, so daß étwaige

Differenzen, die kaum vorhanden sind, auf die unterschiedlichen

Berechnungs-methoden zurückzuführen wären.

Beim Vergleich der hydrodynamischen Größen zweiter Ordnung ist zunächst anzu-merken, daß einerseits die Ausgangsleichungen bei den verschiedenen Autoren

nicht exakt die gleichen

waren /11/

. Andererseits waren die Lösungsmethoden

für die Randwertprbbleme unterschiedlich, mit Ausnahme von R. POTASH

_/71

im

Hauptverfahren, der jedoch das- frregularitätenproblem niht w-ie in dieer

A±-belt behandelt

hat. Dié

ÜbéeinstimmungderErgebnise ist trotzdemrelät-ivT.

gut,

mit Ausnahme der - bereits einmal korrigierten - Ergebnisse von

C M LEE

/lt/ für

(Vb) o(

p2l.

) , diephysikalièch nicht sinnvoll erscheinen.

Die vergleichbaren Ergebnisse von R. POTASH sind unter Berücksichtigung der

Irregularitäteneffekte, die dort nicht ausgeschaltet worden sind, zu

interpre-tieren. Jedoch zeigen die Vergleichsergebnisse für den Wulstspant, dessen

e r s. t e Irregularität relativ hoch liegt ( kleines B/T ) , eine relativ

gute ¡Jbereinstimmung.

Kraftgrößen

Durch

Integration des hydrodynamischen Druckes P nach (58) über die

augen-blicklich getauchte. Körperkontur S ergibt sich die auf den Körper wirkende

hydrodynamische Druckkraft. pro Längeneinheit:

I.

+

F(t) =

-

J

P((s),i(s);t) n ds . (63)

S

Dabei wird die Integration entlang 5(t)

mit

Hilfe der ]:ntegrationsregel von

as

In (6L) sind Glieder bis 0(c) berücksichtigt worden, da f(s) mindestens von

der Ordnung s ist, so daß schon die Ausdrucke mit e(i) von zweiter Ordnung

sind.

Nach Einführung dimensionslosér Größen läßt sich die hydrodynamische Druckkraft

zweiter Ordnung in Vertikalrichtung wie folgt darstellen:

2pgb2 - £ c

(2)

O (c 3) ₍₆₆₎

- 69 Schiffstechnik Bd. 25-1978 LEIBNIZ ( über variable Integrationsgrenzen )

auf

ein Integral über die

Körper-kontur in der Ruhestellung S und Zusatzterme der Ordnung e umgewandelt

/11/:

F(L;c)

=

J f(s)

d (61) =

mit L : halbe Bogenlänge von

und

()

{(vb)

((L),O) - i}

J f(s) ds

+

sin wt

(vb) e

ef(L) +0(c2).

cos wt

(65)

mit Schiffstechnik Bd. 25 - 1978 70 -= I sin (wt +

41))

(6î) (2) ₌

+ IIsin

(2t

Far die gleichen Spantformen, wie bei den Druckkenngrößen, sind in den

Diaam-men Nr.1 - 9 _di dimnions1osen Kraftkenngrößen erster und zweiter Ordnung

Fk)

F)

, F(2) 5'1) (2) über dem dimensionslosen F±eq.uenzparameter

( vb) graphisch aufgetragen worden.

Beim Vergleich mit anderen Autoren zigt sich, daß insbesondere die von C. M.

LEE gelieferten Ergebnisse für ( ('ob) - O ) nicht. richtig sein können,

da dienichtlinearen hydrodynamischen Effekte bei verschwindender

Schwingungs-frequenz abklingen müssen. Dagegen stehen seine Resultate für (vb) > O,1 in

relativ guter Ubereinstiminung zu den hier erzielten Ergebnissen. Die

vergleich-baren Ergebnisse von R. POTASH sin,n.ch Ausschaltung der

Irregularitäten-effekte z.T. gut, mit Ausnahme von _F.1I f den Wuistspant im Diagramm 9

wo anscheinend ein Versehen die Ursache für seinen Verlauf sein könnte.

Schliess-lich sind die von

G. PRSSiS und

H. SDING geliefei'ten Ergebnisse für einen

Kreisspant bezüglich F1 voneinander erheblich abweichend, obwohl im Verlauf

über (vb) und in der Örößenordnung gut vergleichbar.

Die physikalische Interpretation der Kraftkenngrößen ist schon bei der Erklärung der Druckkoeffizienten erster und zweiter Ordnung geliefert worden.

Darüberhin-aus liefertDiagra.mm 10 ein charakteristisches Beispiel fili- die auf einen Spant

pro Längeneinheit in Vertikalrichtung ausgeübte hydrodynamische Druckkraft als

Funktion der Zeit, bei vorgegebener Schwingungsainplitude und Frequenz. Das Dia-gramm gilt fili- einen schiffsähnlichen U - Lewisspant, bei festem c = 0,14 ( =

Schwingungsamplitude / max. Halbbreite ) und (vb) = 1,0 ( etwa

Seegangs-schwingungen ). Die nichtlineare hydrodynamische Gesamtkraft ist betragsmäl3ig

bis zu 60 % größer als bei linearen Annahmenl

Im Diagramm 11 ist das Amplitudenverhältnis der hydrodynamischen Druckkraft zweiter Ordnung zu derjenigen erster Ordnung für einen Kreiszylinder über dem

Frequenzparamete (vb) für verschiedene Störungsparameter C dargestellt

worden. Zum Vergleich sind im gleichen Diagramm entsprechende

Versuchsergebnis-se von TASAI und KOTERAYAMA /12/ eingetragen worden. Die nichtlinearen

Effek-te nehmen mit zunehmendem (vb) und zunächst zu, klingen jedoch

bei_ö1e-ren Frequenzen wieder ab. Dies hängt hauptsächlich mit dem Verlauf von FjI

über (vb) zusammen, der i. allg. ,ii betrachteten Frequenzbereich ein Minimum

aufweist, was den Verlauf von F1!/IFfl entscheidend beeinflußt.

Die tibereinstimmung zwischen Theorie und Messung für kleine e (bis 0,14)

50-wie für kleine bis mäßig große Frequenzparameter (bis (vb) 1,5) ist

erstaun-lich gut. Gleichzeitig werden jedoch durch die - nicht eingetragenen -

Meßergeb-nisse fili- größere e und (vb) Parameter /12/ die Grenzen der Anwendung für die vorliegende Störungstheorie aufgezeigt. Mit zunehmendem Frequenzparameter

(vb) und Störungsarameter e nehmen die bisher vernachlässigten

Zähigkeits-effekte stark zu. Sie beeinflussen hauptsächlich die Wellen- und eventuelle Spritzerbildung - abgesehen von der Verwirbelung der Flüssigkeit - bei relativ großen Bewegungsamplituden, so daß insbesondere die Vorhersage der

hydrodynami-schen Dämpfung sehr unsicher wird.

Hydrodynamische Masse

Hydrodynamische Dämpfung

Die in der Hydromechanik im Zusammenhang mit Schiffsschwingangen üblichen Be-griffe der hydrodynamischen Masse und Dämpfung lassen sich nur dann sinnvoll definieren, wenn die erregende Bewegung und der sich ergebende hydrodynamische

Druck mit der g i e i c h e n Frequenz harmonisch schwingen, d.h. wenn ein

i i n e a r e s Íibertragungsmodeli zugrundegelegt werden kann. Da diè hier

sich ergebenden hydrodynamischen Drücke und Kräfte zweiter Ordnung diese

Be-dingung nicht erfüllen., entfällt die Definition éiner hydrodynamischen Masse

und Dämpfung z w e i t e r Ordnung.

Unter Berücksichtigung der zugrundegeiegten sinusförmigen ErÍegrfurktion

y0(t) (i) lassen sich jedoch aus der hydrodynamischen Druckkraft e r s t e r

Ordnung die üblichen Größen der hydrodynamischen Masse und Dämpfung X

ableiten:

(1)

C _Fv

= -

p

y0

-

X oder in dimensionsloser Form.:

= O5

-)()

_{r ds}

L X -0,5 íipb2w - 11 J 1s (x,7) x ds O

Im Diagramm Nr. 2 sind die dimensionslosen Koeefizienten der hydrodynamischen

Masse und Dämpfung A über dem Frequenzparameter (vb) für ein Rechteck-profil ( B/T = 2,5 )im Vergleich zu W. FRA1K /9/ ( Close-Fit Methode ohne

Berücksichtigung der Irregularitäteneffekte ) graphisch aufgetragen worden.

Die übliche physikalische Interpretation der hydrodynamischen Dämpfung als ein Maß für die in Form von abgehenden Wellen abgestrahlte Energie ist hier nicht

mehr haltbar. Es läßt sich für die zweite Ordnung nachweisen /11/ , daß das

auf-grund einer ei n f a c h harmonischen Erregung im Unendlichen entstehende Wellenprofil durch die Superposition dreier Weliensysteme gekennzeichnet ist, die mit verschiedener Amplitude, Frequenz und Wellenzahl zeitharmonisch

oszil-lieren. Das aus der BERNOULLIschen Gleidhung für y = Y(x;t) sich ergebende

Wellenprofil sieht folgendermaßen aus /11/ , für _xl -'

Y(x;t) b -

cIh'Jco {(b)x

-

wt-6(1)} - 71 - Schiff stechñik Bd. 25 1978 4

242)j

cos {1(vb)x 2wt (2 +

(to)

+ cos {2(vb)x - 2wt -

2'}

+

Die dimensiOnslosen Wellenprofilamplituden und Phasenwinkel erster ünd zweiter Ordnung in (70) lassen sich aus den asymptotischen Potentiaiwerten erster und

zweiter Ordnung im Unendlichen ermitteln /11/.

Aus Gl. (70) ist erkennbar, daß die in Form von Wellen abgeführte Energie durch einen einzigen hydrodynamischen Koeffizienten nicht vollständig erfaßt werden kann. Es wäre deswegen unkorrekt, von hydrodynamischen Dämpfungskoeffizienten

zweiter Ordnung im linearen Sinn zu sprechen.

ZUSAMMENFASSUNG

Das Problem eines an oder nahe der freien Oberfläche einer endlich tiefen Flüs-.

sigkeit mit endlicher Amplitude vertikal schwingenden zylindrischen Korpers be-liebiger Querschnittsform ist als nichtlineares zeitabhängiges Randwertproblem gemischter Art potentialtheoretisch mît Hilfe von Integralieichungsmethoden

- gelöst worden. Für den Fall unendlicher Wassertiefe sind verschiedene schiffs-ãhnliche Spantforinen mit Hilfe eines dafür erstellten EDV-RechenprograTnins

/i4/

nuinerisdh untersucht und die erzielten Ergebnisse graphisch aufgetragen worden.

Anhand dieser Ergebnisse sind Vergleiche mit bisherigen Theorien und

Versuchs-ergebnissen angestellt worden.

Die sich ergebenden Nichtlinearitäten zweiter Ordnung sind direkt dem Quadrat des kleinen, jedoch endlichen Verhältnisses, der Erregeramplitude zur Spant-Halbbreite proportional. Sie nehmen mit wachsender Erregerfrequenz zunächst zu, klingen jedoch bei höheren Frequenzen wieder ab. Dabei muß allerdings der zunehmende Einfluß der Zähigkeit berücksichtigt werden, der die Anwendung der vorliegenden Potentiaitheorie auf die Behandlung von kleinen jedoch endlichen -Bewegungsamplituden und mäßigen Frequenzen beschränkt. Dies wird durch den

Ver-gleich mit. Versuchsergebnissen deutlich, die sonst, die erzielten...physikalischen

und numerischen Ergebnisse vollkommen bestätigen.

'Die auf dh' tauchenden Körper im Vérgléî'ch 'zur liéareTheòie'usätzlich

eti-geübten hydrodynamischen Kräfte zweitér Ordhung sitjd bei sehr kleinen Bewegungs-amplituden ( bis O,1 ) sowie ür sehr kleine oder hohe Frequenzen nicht

ent-scheidend.. Bei den Roll- und Querbewegungén sind jedoch diese Verhältnisse oft

nicht gegeben; c nimmt hierbei beträchtliche Werte an, so daß eine nichtlineare

Betrachtungsweise /7/ erforderlich ist.

Obwohl sich diese Ergebnisse nicht direkt auf den Fall Schiff im Seegang

über-tragen lassen - dazu müßte ein noch unbekanntes tibertragungsmodell dazwischen

geschaltet werden - wird damit die in der Praxis bewährte - lineare,-

Streifen-methode bestätigt, die 'bekanntlich von verschwindend kleinen Bewegungsamplituden ( e + o) und hohen Schwingungsfrequenzen ausgeht.

Die Notwendigkeit für eine bessere Erfassung der extremen Be1astungen und

Bewe-gungen im schweren Seegang, die sowohl fahrende Schiffe als auch ineerestechnische

Konstruktionen betreffen, erfordert jedoch eine, die konventionelle

Streifenme-thode ergänzende, nichtlineare BerechnungsmeStreifenme-thode. Als Ausgangspunkt ÍUr den Auf-,

bau einer solchen Methode sollten die Ergebnisse dieser Arbeit dienen.

Ein von der Deiitschen Forschungsgemeinschaft gefördertes Forschungsvorhaben des

Fachgebiets Schiffsentwurf der Technischen Universität Berlin wird sich mit

die-ser Thematik in der nächsten Zeit eingehend befassen.

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Spant-Nr. .2 (U-Lewis-Spant) (BIT)-2 A T

-0.94054 UNTERSUCHTE SPANTFORMEN 1 Ha1bkreis) 1 I.

j

w. A o 0,78540: . . o e e e

o.

e e e Spant Nr. 3 e e e o Spant Nr. 2 F0 e e o e _e e o A i-Koordinate -Koordinate Spant-Nt. Aufmal3 - punkt-Nr. 1 0.00000 -1.00000 3 1 -0. 99 692 2 -0,98769 (Bugwulstspant) 3 4 0,23345 -0. 972 37 4 5 0.30902 -0.95 106 (B/I)- 0,16149 5 -0.92388 6. 7 0.45399 -0. 89101 A . 7 8 0.52250 -08.5264 -e-- - 2,52329. 8 9 0.58779 -0. 80902

BI

r 9 10 0.64945 -0.76041 10 11 . 0.7071.1 -0.70711 11 12 . 13 0.76041, 0.80902 -Ò. 64 94S -0. 58:779 12 13 14 0.85264 -0.52250 14 15 0.89101 :0.45399 15 16 0.92388 -0. 382 68 16 17 0.95106 -0.30902 17 18 0.97237 -0. 2 3345 18 19 0.98769 -0.1564 3 19 20 0.99692 -0.07846 21 1.00000 0.00000 Spant Nr. 1 0.00000 -1.00000 2 0.12560 -0. 999 56 3 0.. 24 8 50 -0. 99 801 4 o 3661 4 -0. 99 468 5 0.47625 -0.98855 6 0.57690 -0.97825 7 0. 66667 -0.962 25 8 0.74463 -0. 9 3893 9 0.8 1043 -0.90672 .10 0. 864 24 -0.86424 e 11 0.906 72 -0.8 1043 e e 12 0.93893 -0.74463 13 0.96225 -0. 6666 7 14 0.9 7 825 -0. 57690 1.5 0.98855 -0. 4 762 5 16 0.99468 -0.36614 17 0.99801 -0. 248 50 18 0. 999 56 -0.12560 19 1 .00000 .oi00000 -Koordinate -Koordinate 0.00000 . -3a22000 0.19000 -3.22000 0.59Ó00 -3.07000 0.91000 . -2.72000 1.00000 -2.32000 0.98000 -2.15000 0.91000 -1.88000 0.80000 -1.63000 0.70000 -1.43000 0.58000 -1.23000 0.49000 -.1.06000 0.41000 -0;. 88000 0.38000 -0.77000 0.34000 -0.63000 0.31000 -0.48000 0.29000 -0.34000 0.27000 -0.21000 0.26000 -0.08000 0.26000 '.0.00000

HYDRODYNAMISCHE MASSE

KOEFFIZIENT

Rechteckprofil, (B / T)

2,5

75 --V

b)

N=.24

'N=16

o N.=

8 DIAGRAMM NR. .1

0,5

HYDRODYNAMISChE MASSE UFD DXMPFUNG - KOEFFIZIENTEN

10

HYDRODYNAMISCHE DRUCKGRÖSSEN ERTER UND ZWEITER ORDNUNG

mummia

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auuuammu

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um.

ama

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umuuuu

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ilium aimai

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DIAGRAMM NR. 2 (1) FO. g(n) A 2) K Fo p Kreisspant 350 N = 2.1 300 6Lee(1.u20.) 250 ePotash(2 .0.) Parissis (2 .0.) 200.nie.hr Aut. K : Kiel 150 F0 Freie Oberf 1. 100 50 Recht

:1

..

h I 'I

1

o, o, o, o, o, o, o, o, o, eckprofi IT 2,5 utor,N = 16 rank,N = 1. 0,5 1,0 (-y b) DIAGRAMM NP. 3 SchiffstethnikBd. 25 1978 76

-1 0 0,5 O,s 1 0

I.

iuiu

UI,

p(Z) 0,5 0.

HYDRODYNAMISCHE DRUCKGRÖSSEN ERSTER UND ZWEITER ORDNUNG

0,5 1 0

77

-p

e

1 5

ZE I TVN.ABFÄNG IGE DRUcKGRo.ssEN ZWE I TER ORDNUNG

Q

Q-4

IC

(2) p K - 100 (n) p. o 1 5

RR

UI_

I.

UI-U

U.0

F0 U - Lewisspant .350 N 19 OLee(1 .u.2.0.) QPotash(2.O.) Aut. (1) P. ç, zoo IC : Kiel. FO: Freie Oberfi. 150 50 e b) DIAGRAMM NR. L4 U - Lewisspant N 19 Kreisspant N = 21 (yb) e Lee Potash inhr. Aut. K Kiel FO freie Ober fi. DIAGRAMM NR. 5

» (2) A 0 1,4 0,5 (n)

_r2

VA 0V 1,2 0,5 (2) ,

HYDRODYNAMISCHE DRUCKGRÖSSEÑ ERSTER ut ZWEITER ORDNUNG _K

e 1,0 .5

aa

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a. aaa

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HYDRODYNAMISCHE DRUCKKRAFTGRÖSSEN ERSTER UND ZWE I-TER ORDNUNG

g(1) VA e (7 Bugwulstspan t N 19 300 200 Kiel FÓ Freie Oberfi. 100 50 (vb) DIAGRAMM NR. (n) Kreisspant 300 N = 21 250. Söding(2.0.) Lee(1.u.2.0.) .0. Potash(2 .0 . mehr. Aut. 1 50 100 50 I DIAGRAMM NR, 7 Schifisteehmk Bd 25-1978 78 -o 5 250 ePotash(I .0.) QPotash(2 .0.)

(n) (2)

FVA

Fv

i 1

iui.iiiiUi.

iuiiiamuuaui

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i,oRiUs.55

55551R51

.,.,

.. . i PO 0,5 (n) VA 1 ,4 i ,o 0,5 /

fr-HYDRODYNAMISCHE DRUCKKRAFTGRÖSSEN ERSTER UND ZWEITER ORDNUNG

ft'DRODYNA'IISCHE DRUCKKRAFTGRÖSSEN ERSTER UND ZWEITER ORDNUNG

0,S r, o C (2 (n) 350 U - Lewisspant N 19 300 250 eLee(1 .u.2.0.) QPotash(2.O.) 200mehr. Aut. I 150 100 (y b) DIAGRAMM NR. ₃

(i)

g(n) 350 Bugwu is t sp ant

N9

300 250

ePotash(,

Potash(2.0.) 200 15b 100 50 '' b) Q rfl 50 DIAGRAMM NP., 9 -, 79 - Schifistechnik Bd. 25 1978

_o,8

_o

, î

,6

0,1

10 VERTIKALE HYDRODYNAMISCHE DRUCKAFT

U-Lewis spant (yb) = 1,0 = nichtlinear(2..Q.) linear DIAGRA NR. p(2) VA e VA

-0,9

nichtl. Messurig/12/ C _Theorie/11/

.0

-.0,1 e 0,2

----

0,333---e 0,4 I,

.:.---

..

-._ ,----

I

4)

o linear

0,1

0,2 0,3

0,4

_{0,5 0,6}

_0,7

0,8 Ö,9

1,0 - 1,1 1,2, 1,3 1 ,I

1,5

1

'DIAGRAÌ NR.. 11 AMPLITUDENVERHLTNIS DER HYDRODYNAMISCHEN KRXFTE

ERSTER UND ZWEI.TE ORDNUNG FUR EINEN KREISZYLINDER

Sthiffstchríik Bd. 25 - 1978 80 -G

t)

(vb)

-0,5

_0,1

-0,3

-0,2

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-. --I-.-, 1 ..-. e_s.