Egzamin ósmoklasisty 2021. Matematyka - próbny test z odpowiedziami i rozwiązaniami

MATEMATYKA

Poniedziałek, 17 maja 2021

Przykładowy arkusz egzaminacyjny nr 1. Egzamin ósmoklasisty: matematyka

Instrukcja dla ucznia

1. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera wszystkie zadania (1–22).

2. Czytaj uważnie wszystkie teksty i zadania. Wykonuj zadania zgodnie z poleceniami.

3. Rozwiązania zadań zapisuj długopisem lub piórem z czarnym tuszem/

atramentem.

4. Nie używaj korektora.

5. Rozwiązania zadań zamkniętych, tj. 1–16, zaznacz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach. W każdym zadaniu poprawna jest zawsze tylko jedna odpowiedź.

6. Rozwiązania zadań otwartych, tj. 17–22, zapisz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach.

7. Zapisy w brudnopisie nie będą sprawdzane i oceniane.

Powodzenia

Czas pracy: 100 minut

Liczba punktów do uzyskania: 32

Zadanie 1. ^(0–1)

Z okazji Światowego Dnia Książki  uczniowie klasy VII zorganizowali  quiz wiedzy o postaciach literackich. 

Quiz można było zakończyć na  jednym z poziomów, które zaliczało  się kolejno od I do VI. Na diagramie  przedstawiono, ile procent uczniów  zakończyło quiz na danym 

poziomie.

Na poziomach niższych niż Asia  quiz zakończyło dokładnie 32% 

uczniów biorących w nim udział.

Ile procent uczniów zakończyło ten quiz na poziomach wyższych niż Asia?

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 40% B. 32% C. 28% D. 8%

Zadanie 2. ^(0–1)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia 4,5 : 0,75 jest równa wartości wyrażenia  A B . A. 450

75 B. 45

75 Wartość wyrażenia 1,25  ·  0,4 jest równa wartości wyrażenia  C D .

C. 125 4 100

× D. 125 4

1000

×

Zadanie 3. ^(0–1)

Tata Bartka przed wyjazdem z Krakowa do Warszawy analizuje niektóre 

bezpośrednie połączenia między tymi miastami. Do wyboru ma cztery połączenia  przedstawione w poniższej tabeli.

Godzina wyjazdu z Krakowa

Godzina przyjazdu do Warszawy

Środek

transportu Długość

trasy Cena

biletu

1:35 6:30 autobus 298 km 27 zł

2:32 5:12 pociąg 293 km 60 zł

Godzina wyjazdu z Krakowa

Godzina przyjazdu do Warszawy

Środek

transportu Długość

trasy Cena

biletu

5:00 8:48 pociąg 364 km 65 zł

5:53 8:10 pociąg 293 km 49 zł

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

Za przejazd w najkrótszym czasie należy zapłacić 49 zł. P F Zgodnie z rozkładem jazdy tylko przejazd autobusem trwa 

dłużej niż 4 godziny P F

Zadanie 4. ^(0–1)

Prosta EF dzieli prostokąt ABCD na kwadrat EFCD o obwodzie 32 cm i prostokąt ABFE o obwodzie o 6 cm mniejszym od obwodu kwadratu EFCD.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka AE jest równa A. 2 cm

B. 4 cm C. 5 cm

D. 8 cm

Zadanie 5. ^(0–1)

Narysowany kwadrat należy wypełnić tak, aby iloczyny  liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu  przekątnych kwadratu były takie same.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy 5

¹⁵

.  P F W zacieniowane pole kwadratu należy wpisać liczbę 5

⁹

. P F

Zadanie 6. ^(0–1)

Jacek i Ola testują swoje elektryczne deskorolki. W tym celu zmierzyli czasy  przejazdu na trasie 400 m. Ola pokonała tę trasę w czasie 160 s, a Jacek –  w czasie 100 s.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica średnich prędkości uzyskanych przez Jacka i przez Olę jest równa A. 1,5  km

h B. 5,4  km

h C. 9  km

h D. 14, 4  km

h

Zadanie 7. ^(0–1)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

W pięciu rzutach standardową sześcienną kostką do gry,  jeżeli wynik każdego rzutu będzie inny, można otrzymać 

łącznie dokładnie 20 oczek. P F

W 16 rzutach standardową sześcienną kostką do gry można 

otrzymać łącznie ponad 100 oczek. P F

Wyniki quizu [w %]

Poziom I Poziom II Poziom III Poziom IV Poziom V Poziom VI

28%

32%

16%

12% 8%

4%

D C

E F

B A

5

⁶

5 5

⁸

5

⁷

5

⁵

5

²

LAST

MINUTE

1 RP

Punkt kratowy to miejsce przecięcia się linii  kwadratowej siatki. Pole wielokąta, którego  wierzchołki znajdują się w punktach  kratowych kwadratowej siatki na 

płaszczyźnie, można obliczyć ze wzoru Picka:

P W= +1B− 2 1,

gdzie P oznacza pole wielokąta, W – liczbę  punktów kratowych leżących wewnątrz  wielokąta, a B – liczbę punktów kratowych  leżących na brzegu tego wielokąta.

W wielokącie przedstawionym na rysunku W = 3  oraz B = 5, zatem P = 4,5.

Zadanie 8. ^(0–1)

Wewnątrz pewnego wielokąta znajduje się 5 punktów kratowych, a na jego brzegu  jest 6 punktów kratowych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego wielokąta jest równe

A. 6 B. 6,5 C. 7 D. 7,5

Zadanie 9. ^(0–1)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wielokąt, którego pole jest równe 15, może mieć  A B punktów kratowych  leżących na brzegu wielokąta.

A.7 B. 8

Pole wielokąta, który ma dwukrotnie więcej punktów kratowych leżących na  brzegu wielokąta niż punktów leżących wewnątrz, wyraża się liczbą  C D .

C. parzystą D. nieparzystą

Zadanie 10. ^(0–1)

Z każdej z dwóch jednakowych kostek sześciennych wycięto sześcian i otrzymano  bryły przedstawione na rysunku.

Bryła I Bryła II

Czy całkowite pole powierzchni bryły I jest większe od całkowitego pola powierzchni bryły II? Wybierz odpowiedź A (Tak) albo B (Nie) i jej uzasadnienie spośród 1, 2 albo 3.

A Tak,

ponieważ

1. z pierwszej kostki usunięto mniejszy sześcian niż z drugiej kostki.

2. całkowite pole powierzchni każdej z otrzymanych  brył jest równe całkowitemu polu powierzchni  początkowej kostki.

B Nie,

3. pole powierzchni „wnęki” w II bryle jest większe niż pole powierzchni „wnęki” w I bryle.

Zadanie 11. ^(0–1)

Na bokach trójkąta prostokątnego ABC zaznaczono punkty D i E. Odcinek DE

podzielił trójkąt ABC na dwa wielokąty: trójkąt  prostokątny ADE i czworokąt DBCE, jak na  rysunku.

Odcinek AB ma długość 

4 3

 cm, a odcinek  DE ma długość 3 cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka EC jest równa

A. 1 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 4 cm E. 3 3 cm

Maja grała z przyjaciółmi w ekonomiczną grę strategiczną. W trakcie tej gry  zainwestowała w zakup nieruchomości 56 tys. gambitów – wirtualnych monet. 

Po upływie 30 minut odsprzedała tę nieruchomość za 280 tys. gambitów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość nieruchomości od momentu jej zakupienia do momentu sprzedaży A. wzrosła o 500%. B. wzrosła o 400%. C. wzrosła o 80%. D. wzrosła o 20%.

Zadanie 13. ^(0–1)

Przekątne prostokąta ABCD przedstawionego na  rysunku przecinają się pod kątem 140°.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

Kąt DCA ma miarę 40°. P F

Kąt DAC ma miarę 70°. P F

Zadanie 14. ^(0–1)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba  a = 125 1 jest  A B .− A. mniejsza od 10 B. większa od 10

Liczba  b =4 6 10  jest  C D .−

C. ujemna D. dodatnia

Zadanie 15. ^(0–1)

Punkt S = (3, 2) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (5, 5).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt B ma współrzędne

A. (8, 7) B. (7, 8) C. (–1, 1) D. (1, –1)

Zadanie 16. ^(0–1)

Jedną ścianę drewnianego sześcianu pomalowano na czerwono, a pozostałe – na  biało. Ten sześcian rozcięto na 27 jednakowych sześcianów.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

Tylko cztery małe sześciany mają dokładnie jedną ścianę 

pomalowaną na biało. P F

Tylko cztery małe sześciany mają trzy ściany pomalowane 

na biało. P F

Zadanie 17. ^(0–2)

Na rysunku przedstawiono dwie różne ściany prostopadłościanu. Jedna jest kwadratem o boku 5 cm, a druga – prostokątem o bokach 3 cm i 5 cm.

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o takich wymiarach. Zapisz obliczenia.

1

C

B E

A ^30º D

140º

A B

D C

5 cm

5 cm

5 cm

3 cm

Zadanie 18. ^(0–2)

Ania i Jarek grali w kamienie. Na początku gry kamienie układa się w dwóch  stosach. Następnie gracze wykonują ruchy na przemian. Ruch w grze polega na  wzięciu dowolnej liczby kamieni tylko z jednego ze stosów. Przegrywa ten, kto nie  może już wykonać ruchu.

Na pewnym etapie gry pierwszy stos zmalał do jednego kamienia, a na drugim znajdowały się trzy kamienie. Ruch miała wykonać Ania. Uzasadnij, że aby zagwarantować sobie wygraną, Ania musiała wziąć dwa kamienie z drugiego stosu.

Zadanie 19. ^(0–2)

Na pływalni w marcu obowiązywała promocja. Wojtek był w marcu codziennie jeden raz na pływalni i wykorzystał wszystkie ulgi promocyjne. Ile kosztowało go korzystanie z pływalni w marcu? Zapisz obliczenia.

Zadanie 20. ^(0–3)

Trener chce zamówić 25 nowych piłek do tenisa. Piłki wybranej firmy sprzedawane są w opakowaniach po 3 sztuki albo po 4 sztuki. Ile opakowań każdego rodzaju powinien zamówić trener, aby mieć dokładnie 25 nowych piłek? Podaj wszystkie możliwości. Zapisz rozwiązanie.

Zadanie 21. ^(0–3)

Prostokątny pasek papieru o wymiarach 12 cm na 2 cm jest  z jednej strony biały, a z drugiej – szary. Ten pasek złożono  w sposób pokazany na rysunku.

Pole widocznej szarej części paska jest równe 8 cm². Jakie pole ma widoczna biała część paska? Zapisz obliczenia.

Zadanie 22. ^(0–4)

W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia. Natomiast w wypożyczalni Planszówka płaci się 12 zł za 3 dni i po 2 zł za każdy kolejny dzień. Przy jakiej liczbie dni koszty wypożyczenia tej gry w jednej i drugiej wypożyczalni są jednakowe? Zapisz obliczenia.

Jednorazowe wejście  na pływalnię – 9 zł

PROMOCJA!!!

Co czwarte wejście gratis 

Przykładowy arkusz egzaminacyjny nr 2. Egzamin ósmoklasisty: matematyka

Instrukcja dla ucznia

1. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera wszystkie zadania (1–21).

2. Czytaj uważnie wszystkie teksty i zadania. Wykonuj zadania zgodnie z poleceniami.

3. Rozwiązania zadań zapisuj długopisem lub piórem z czarnym tuszem/

atramentem.

4. Nie używaj korektora.

5. Rozwiązania zadań zamkniętych, tj. 1–15, zaznacz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach. W każdym zadaniu poprawna jest zawsze tylko jedna odpowiedź.

6. Rozwiązania zadań otwartych, tj. 16–21, zapisz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach.

7. Zapisy w brudnopisie nie będą sprawdzane i oceniane.

Powodzenia

Czas pracy: 100 minut

Liczba punktów do uzyskania: 30

Zadanie 1. ^(0–1)

Na rysunku przedstawiono kartkę z kalendarza na rok 2017. 

Natalia obchodzi urodziny 31 sierpnia, jej siostra Ewa –  18 sierpnia, a brat Karol – 2 października.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W 2017 r. urodziny Ewy wypadły w piątek. P F

W 2017 r. dniem urodzin Karola był poniedziałek. P F

Zadanie 2. ^(0–1)

Liczba 1450 jest zaokrągleniem do rzędu dziesiątek kilku liczb naturalnych.

Ile jest wszystkich liczb naturalnych różnych od 1450, które mają takie zaokrąglenie?

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 3. ^(0–1)

W tabeli zapisano trzy wyrażenia.

I II III

5 10² × ⁸ ×5⁴

(

5¹⁰ :5²

)

^⋅10^{8 28 ×58 ×58} Które z tych wyrażeń są równe 50⁸? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. Tylko I i II. B. Tylko II i III. C. Tylko II. D. Tylko III.

Zadanie 4. ^(0–1)

Dane są cztery wyrażenia:

I. 4+ 35 II. 6+ 17 III. 17- 48 IV. 15- 26 Wartości których wyrażeń są mniejsze od 10? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. I i II B. II i III C. III i IV D. I i IV

Zadanie 5. ^(0–1)

Adam przygotował karty do gry z czterech arkuszy kartonu. Najpierw podzielił  każdy arkusz kartonu na cztery części, a następnie każdą z nich ponownie  podzielił na cztery części.

Tak powstał komplet kart. W grze bierze udział 5 graczy, z których każdy  otrzymuje jednakową liczbę kart.

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Adam przygotował  A B  karty do gry.

A. 32 B. 64

Każdy gracz może otrzymać maksymalnie  C D kart.

C. 12 D. 13

SIERPIEŃ 2017 Czwartek

31

Imieniny:

Bogusławy, Augusta

1 RP

Dorota sporządziła z cukru i wody syrop do deseru. Stosunek masy cukru do  masy wody w tym syropie jest równy 5 : 3.

Ile procent masy tego syropu stanowi masa cukru? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 25% B. 37,5% C. 40% D. 60% E. 62,5%

Zadanie 7. ^(0–1)

W pewnej firmie zatrudnionych jest więcej niż 10 pracowników. Połowa z nich  zarabia po 3000 zł, a druga połowa – po 4000 zł.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Średnia arytmetyczna zarobków w tej firmie jest równa 

3500 zł. P F

Gdy z pracy w tej firmie zrezygnują dwie osoby, z których  jedna zarabia 3000 zł, a druga 4000 zł, to średnia 

arytmetyczna zarobków się nie zmieni. P F

Zadanie 8. ^(0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie:

( 2

a

+ 3 3

b

) (

b

− 2

a

)

jest równe A.

4

a²

− 12

ab

+ 9

b²

B.

9

b²

+ 12

ab

+ 4

a²

C.

9

b²

- 4

a² D.

4

a²

- 9

b²

Zadanie 9. ^(0–1)

W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek o końcach w punktach K i L. 

Punkty te mają współrzędne K = (–17, 6) oraz L = (15, –4).

Na którym rysunku zakropkowana część płaszczyzny zawiera środek odcinka KL?

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A.

x y

1 1

B.

x y

1 1

C.

x y

1 1

D.

x y

1 1

Zadanie 10. ^(0–1)

Kwadrat o boku a przedstawiony na rysunku I rozcięto na dwa przystające  prostokąty, z których ułożono figurę, jak na rysunku II. Pole ułożonej figury jest  równe polu kwadratu.

Rysunek I Rysunek II

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Obwód ułożonej figury jest większy o 1,5a od obwodu 

kwadratu. P F

Obwód ułożonej figury jest równy 5a. P F

Na rysunku przedstawiono trzy trójkąty.

76˚

45˚

7

C

B A

49˚

55˚

7

M

L K

76˚

55˚

7

R

Q P

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Na podstawie informacji przedstawionych na rysunku można stwierdzić, że A. trójkąt ABC jest przystający do trójkąta KLM.

B. trójkąt KLM jest przystający do trójkąta PQR.

C. trójkąt PQR jest przystający do trójkąta ABC.

D. wszystkie trójkąty są do siebie przystające.

Zadanie 12. ^(0–1)

Na rysunku przedstawiono równoległobok  ABCD i trójkąt równoramienny AED,  w którym  DE

=

AE

.

 Miara kąta BCE jest równa 106°.

Jaką miarę ma kąt AEC? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 148° B. 122° C. 74° D. 58°

Zadanie 13. ^(0–1)

Na rysunku przedstawiono czworokąt zbudowany  z dwóch trójkątów prostokątnych. 

Dane są długości boków  AB

=

BC

= 1

 oraz  AD = 2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku CD jest równa

A.

3

B. 2 C. 3 D.

2 2

Zadanie 14. ^(0–1)

W koszu były 203 jednakowe sześcienne klocki. Zbudowano z nich możliwie  największy sześcian, a pozostałe odłożono.

Ile klocków odłożono? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 150 B. 125 C. 78 D. 53

Zadanie 15. ^(0–1)

Na rysunku przedstawiono fragment siatki  ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

A. 560 cm B. 360 cm C. 260 cm D. 220 cm

Zadanie 16. ^(0–2)

Na diagramie przedstawiono informacje, jaki procent meczów w ciągu całego  sezonu drużyna piłkarska zakończyła wygraną, jaki – przegraną, a jaki – remisem.

Mecze zremisowane 45%

25%

Mecze wygrane Mecze przegrane

W ciągu całego sezonu drużyna wygrała 10 meczów. Ile meczów w sezonie ta drużyna przegrała? Zapisz obliczenia.

106˚

A B

E C D

A B

C D

40 cm

50 cm 50 cm

Samochód osobowy przebył drogę 120 km w czasie 75 minut.

Prędkość średnia busa na tej samej trasie wyniosła

80 km h .

O ile krótszy był czas przejazdu tej drogi samochodem osobowym od czasu przejazdu busem? Zapisz obliczenia.

Zadanie 18. ^(0–2)

Adam zamówił bukiet złożony tylko z goździków i róż, w którym goździków było 2 razy więcej niż róż. Jedna róża kosztowała 4 zł, a cena jednego goździka wynosiła 3 zł. Czy wszystkie kwiaty w tym bukiecie mogły kosztować 35 zł?

Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 19. ^(0–3)

Z okazji dnia sportu w godzinach od 9:00 do 12:00 przeprowadzono połowę z wszystkich konkurencji zaplanowanych na cały dzień, a między 12:00 a 14:00–

jeszcze

1

3

 z pozostałych. O godzinie 14:00 z powodu deszczu zakończono zawody.

W tym dniu nie przeprowadzono 12 zaplanowanych konkurencji.

Ile konkurencji planowano przeprowadzić podczas całego dnia sportu?

Zapisz obliczenia.

1 RP

Zadanie 17. ^(0–2)

Samochód osobowy przebył drogę 120 km w czasie 75 minut.

Prędkość średnia busa na tej samej trasie wyniosła 80 km h . O ile krótszy był czas przejazdu tej drogi samochodem osobowym od czasu przejazdu busem? Zapisz obliczenia.

Zadanie 18. ^(0–2)

Adam zamówił bukiet złożony tylko z goździków i róż, w którym goździków było 2 razy więcej niż róż. Jedna róża kosztowała 4 zł, a cena jednego goździka wynosiła 3 zł. Czy wszystkie kwiaty w tym bukiecie mogły kosztować 35 zł?

Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 19. ^(0–3)

Z okazji dnia sportu w godzinach od 9:00 do 12:00 przeprowadzono połowę  z wszystkich konkurencji zaplanowanych na cały dzień, a między 12:00 a 14:00– 

jeszcze  1

3  z pozostałych. O godzinie 14:00 z powodu deszczu zakończono zawody. 

W tym dniu nie przeprowadzono 12 zaplanowanych konkurencji.

Ile konkurencji planowano przeprowadzić podczas całego dnia sportu?

Zapisz obliczenia.

Zadanie 20. ^(0–3)

Prostokątną działkę o powierzchni 3750 m

²

podzielono na trzy prostokątne działki o jednakowych wymiarach w sposób przedstawiony na rysunku.

Jakie wymiary miała działka przed podziałem? Zapisz obliczenia.

Zadanie 21. ^(0–3)

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych 12 cm i 16 cm (rysunek I). Następnie połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią przerywaną równoległą do krótszej

przyprostokątnej, a potem rozciął trójkąt ABC wzdłuż tej linii na dwie figury.

Z tych figur złożył trapez PRST (rysunek II).

C

A B

16 cm

12 cm Rysunek I

C

R P

Rysunek II S T

Rysunek I       Rysunek II

Oblicz różnicę obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST. Zapisz obliczenia.

Rozwiązania

Arkusz nr 1

ZADANIA ZAMKNIĘTE

Numer zadania 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Prawidłowe

odpowiedzi A AD PP C PP B PF C

Numer zadania 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Prawidłowe

odpowiedzi BD B2 C B FP BC D FP

ZADANIA OTWARTE

• Zadanie 17. (0–2)

Przykładowy sposób rozwiązania

Zauważamy, że prostopadłościan ma dwie kwadratowe ściany i cztery prostokątne. 

Ma on zatem 8 krawędzi o długości 5 cm i 4 krawędzie o długości 3 cm. 

Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu jest zatem równa 8 5 4 3 40 12 52⋅ + ⋅ = + = ( )cm .

Odpowiedź: Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 52 cm.

• Zadanie 18. (0–2)

Przykładowy sposób rozwiązania

Jeśli Ania wzięłaby tylko jeden kamień z drugiego stosu, to Jarek w kolejnym ruchu może 

1 RP

wygrywa;

– 2 kamienie z drugiego stosu –> Ania bierze kamień z pierwszego stosu i to ona wygrywa.

Jeśli Ania wzięłaby jedyny kamień z pierwszego stosu, to Jarek w kolejnym ruchu może  wziąć: 

– 3 kamienie z drugiego stosu i to on wygrywa;

– 2 kamienie z drugiego stosu –> Ania bierze ostatni kamień z drugiego stosu i to ona wygrywa;

– 1 kamień z drugiego stosu –> Ania bierze 2 kamienie z drugiego stosu i to ona wygrywa;

– 1 kamień z drugiego stosu –> Ania bierze 1 kamień z drugiego stosu –> ostatni kamień zostaje dla Jarka i to on wygrywa.

W każdym z powyższych przypadków wygrana Ani jest uzależniona od ruchu Jarka.  

Jeśli Ania wzięłaby 3 kamienie z drugiego stosu, to Jarek weźmie kamień z pierwszego  stosu i to on wygrywa.  

Pozostaje jedna możliwość – Ania musi wziąć 2 kamienie z drugiego stosu, po czym  Jarek 1 kamień z dowolnego ze stosów. Wówczas ostatni kamień zostanie dla Ani i to  ona wygrywa. Tylko w tym przypadku wygrana Ani nie jest uzależniona od ruchu  Jarka.

• Zadanie 19. (0–2)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

Wojtek korzystał z gratisowego wejścia w następujących dniach marca: 4, 8, 12, 16, 20, 24  i 28, czyli 7 razy. 

Wojtek zapłacił za 31 – 7 = 24 wejścia. 

24 · 9 = 216 

Za korzystanie z pływalni przez cały marzec Wojtek zapłacił 216 zł. 

Drugi sposób

Wojtek korzystał z gratisowego wejścia w następujących dniach marca: 4, 8, 12, 16, 20, 24  i 28, czyli 7 razy. 

Bez ulg promocyjnych Wojtek zapłaciłby 31 · 9 = 279 złotych. 

Zniżki promocyjne to kwota 7 · 9 = 63 złote. 

279 – 63 = 216 

Za korzystanie z pływalni przez cały marzec Wojtek zapłacił 216 zł. 

Trzeci sposób

W cyklu 4 kolejnych dni Wojtek płacił po 9 zł za trzy wejścia na basen, a czwarte miał  darmowe. 

31 : 4 = 7 reszta 3 

Wojtek zapłacił za 7 · 3 + 3 = 24 wejścia. 

24 · 9 = 216 

Za korzystanie z pływalni przez cały marzec Wojtek zapłacił 216 zł. 

Czwarty sposób 1 marca – 9 zł  2 marca – 9 zł  3 marca – 9 zł  4 marca – 0 zł  5 marca – 9 zł  6 marca – 9 zł  7 marca – 9 zł  8 marca – 0 zł 

  9 marca – 9 zł  10 marca – 9 zł  11 marca – 9 zł  12 marca – 0 zł  13 marca – 9 zł  14 marca – 9 zł  15 marca – 9 zł  16 marca – 0 zł

17 marca – 9 zł  18 marca – 9 zł  19 marca – 9 zł  20 marca – 0 zł  21 marca – 9 zł  22 marca – 9 zł  23 marca – 9 zł  24 marca – 0 zł 

25 marca – 9 zł  26 marca – 9 zł  27 marca – 9 zł  28 marca – 0 zł  29 marca – 9 zł  30 marca – 9 zł  31 marca – 9 zł

24 · 9 = 216 

Za korzystanie z pływalni przez cały marzec Wojtek zapłacił 216 zł.

• Zadanie 20. (0–3)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

Rozważamy liczbę opakowań z 3 piłkami, a następnie liczymy liczbę opakowań z 4 piłkami  tak, aby łączna liczba piłek była równa 25.

Liczba opakowań po 3 sztuki

Liczba piłek w opakowaniach

po 3 sztuki

Liczba piłek w opakowaniach

po 4 sztuki

Liczba opakowań po 4 sztuki

Akceptacja rozwiązania

0 0 25 6,25 ✘

1 3 22 5,5 ✘

2 6 19 4,75 ✘

3 9 16 4 ✔

4 12 13 3,25 ✘

5 15 10 2,5 ✘

6 18 7 1,75 ✘

7 21 4 1 ✔

Trener mógł kupić 3 opakowania po 3 piłki w każdym i 4 opakowania po 4 piłki w każdym  albo 7 opakowań po 3 piłki w każdym i jedno opakowanie z 4 piłkami.

Drugi sposób

Wprowadzamy oznaczenia: 

m – liczba opakowań z 3 piłkami  d – liczba opakowań z 4 piłkami

Jeśli m = 0, to  d = 6,25.    ✘ Jeśli m = 1, to  d = 5,5.    ✘ Jeśli m = 2, to  d = 4,75.    ✘ Jeśli m = 3, to  d = 4.      ✔ Jeśli m = 4, to  d = 3,25.    ✘ Jeśli m = 5, to  d = 2,5.   ✘ Jeśli m = 6, to  d = 1,75.    ✘ Jeśli m = 7, to  d = 1.      ✔ Jeśli m = 8, to  d = ¹

3. ✘

Trener mógł kupić 3 opakowania po 3 piłki w każdym i 4 opakowania po 4 piłki w każdym  albo 7 opakowań po 3 piłki w każdym i jedno opakowanie z 4 piłkami.

Trzeci sposób

Zauważamy, że 25 to liczba nieparzysta. Aby kupić łącznie nieparzystą liczbę piłek, liczba  piłek w małych opakowaniach lub liczba piłek w dużych opakowaniach musi być  nieparzysta. 

Jednak skoro każde duże opakowanie zawiera 4 piłki, to ich liczba będzie zawsze parzysta,  czyli liczba piłek w małych opakowaniach musi być nieparzysta.  

Zauważamy, że gdyby trener kupił 0, 2, 4 lub jakąś inną parzystą liczbę małych opakowań  z piłkami, to łączna liczba znajdujących się w nich piłek byłaby parzysta − a ma być  nieparzysta. 

Czyli wystarczy sprawdzić nieparzyste liczby małych opakowań. 

1 małe opakowanie to 3 piłki, wtedy piłek w dużych opakowaniach musi być 22, a to jest  liczba niepodzielna przez 4,  

lub 3 małe opakowania to 9 piłek, wtedy pozostałe 16 piłek mieści się w 4 dużych  opakowaniach,  

lub 5 małych opakowań to 15 piłek, wtedy piłek w dużych opakowaniach musi być 10, a to  jest liczba niepodzielna przez 4, 

lub 7 małych opakowań to 21 piłek, wtedy pozostałe 4 piłki mieszczą się w 1 dużym  opakowaniu. 

Dalej już nie trzeba sprawdzać, bo 9 małych opakowań to 27 piłek, a to już jest więcej  niż 25. 

Trener mógł kupić 3 opakowania po 3 piłki w każdym i 4 opakowania po 4 piłki w każdym  albo 7 opakowań po 3 piłki w każdym i jedno opakowanie z 4 piłkami.

• Zadanie 21. (0–3)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

8 : 2 = 4 

Szara widoczna część paska jest prostokątem o wymiarach 2 cm na 4 cm. 

Biała część jest trapezem o wysokości 2 cm i podstawach 12 – 4 = 8 cm oraz 8 – 2 = 6 cm. 

6 8 2 2 14 + ⋅ =

Odpowiedź: Pole widocznej białej części paska jest równe 14 cm².  Drugi sposób

8 : 2 = 4 

Szara widoczna część paska jest prostokątem o wymiarach 2 cm na 4 cm. 

Biała część składa się z prostokąta o jednym boku długości 2 cm i drugim –  długości 12 – 4 – 2 = 6 cm oraz trójkąta prostokątnego równoramiennego  o przyprostokątnych długości 2 cm.

2 6 2 2 2 14

⋅ + ⋅ =

Odpowiedź: Pole widocznej białej części paska jest równe 14 cm².

• Zadanie 22. (0–4)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

W wypożyczalni Gierka płaci się po 50 groszy więcej za każdy dzień wypożyczenia powyżej  trzeciego, a w wypożyczalni Planszówka płaci się o 4 zł wyższą opłatę stałą za trzy 

początkowe dni wypożyczenia. 

Aby koszty były jednakowe, trzeba znaleźć taką liczbę dodatkowych dni (powyżej  trzeciego), dla której te różnice się zrównoważą. 

4 : 0,5 = 8 (dni)  8 + 3 = 11 

Odpowiedź: Przy wypożyczeniu gry na 11 dni koszty w obu wypożyczalniach są  jednakowe. 

Drugi sposób Oznaczmy: 

x – liczba dni powyżej trzeciego 

8 + 2,5x – koszt w wypożyczalni Gierka na (x + 3) dni  12 + 2x – koszt w wypożyczalni Planszówka (x + 3) dni  8 + 2,5x = 12 + 2x

4 = 0,5x x = 8   x + 3 = 11 

Odpowiedź: Przy wypożyczeniu gry na 11 dni koszty w obu wypożyczalniach są  jednakowe.

Trzeci sposób

Liczba dni

Liczba dni powyżej trzeciego

Wypożyczalnia

Gierka Wypożyczalnia Planszówka

Różnica kosztów Łączny koszt

wypożyczenia Łączny koszt wypożyczenia

8 5 8 + 5 · 2,5 = 20,5 12 + 5 · 2 = 22 22 – 20,5 = 1,5 Gierka tańsza o 1,50 zł

9 6 8 + 6 · 2,5 = 23 12 + 6 · 2 = 24 24 – 23 = 1

Gierka tańsza o 1 zł 10 7 8 + 7 · 2,5 = 25,5 12 + 7 · 2 = 26 26 – 25,5 = 0,5

Gierka tańsza o 0,50 zł

11 8 8 + 8 · 2,5 = 28 12 + 8 · 2 = 28 Równy koszt

12 9 8 + 9 · 2,5 = 30,5 12 + 9 · 2 = 30 30,5 – 30 = 0,5 Planszówka tańsza 

o 0,50 zł Tylko dla 11 dni koszt jest równy, bo kiedy zwiększamy liczbę dni, koszt wypożyczenia  w wypożyczalni Gierka rośnie szybciej niż w Planszówce. 

Odpowiedź: Przy wypożyczeniu gry na 11 dni koszty w obu wypożyczalniach są  jednakowe. 

Arkusz nr 2

ZADANIA ZAMKNIĘTE

Numer zadania 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Prawidłowe

odpowiedzi PP C B D BC E PP C

Numer zadania 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Prawidłowe

odpowiedzi B FP B A B C B

ZADANIA OTWARTE

• Zadanie 16. (0–2)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

100% – (25% + 45%) = 30%   – drużyna przegrała 30% meczów   25%  to 10 meczów

    5%  to   2 mecze

  30%  to 12 meczów    – drużyna przegrała 12 meczów Odpowiedź: Drużyna w ciągu całego sezonu przegrała 12 meczów.

Drugi sposób

x – liczba wszystkich rozegranych meczów 25% z x to 10

Drużyna w całym sezonie rozegrała 40 meczów.

100% – (25% + 45%) = 30%

Drużyna przegrała 30% meczów.

0,3 · 40 = 12

Odpowiedź: Drużyna w ciągu całego sezonu przegrała 12 meczów.

Trzeci sposób

100% – (25% + 45%) = 30%   – drużyna przegrała 30% meczów   25% to 10 meczów

100% to 40 meczów    – drużyna w całym sezonie rozegrała 40 meczów   10% to   4 mecze

  30% to 12 meczów    – drużyna przegrała 12 meczów Odpowiedź: Drużyna w ciągu całego sezonu przegrała 12 meczów.

• Zadanie 17. (0–2)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

Obliczamy czas przejazdu busa    1 h   80 km

0,5 h   40 km 1,5 h 120 km

Obliczamy różnicę 1,5 h – 75 min = 15 minut

Odpowiedź: Czas przejazdu tej trasy samochodem był o 15 minut krótszy niż busem.

Drugi sposób

Obliczamy czas jazdy busa 120 : 80 = 1,5 (h) 1,5 h = 90 minut

Obliczamy różnicę czasu 90 – 75 = 15 (minut)

Trzeci sposób

Obliczamy czas jazdy busa 120 : 80 = 1,5 (h)  75

60 1 1

= 4( )h

Obliczamy różnicę czasu 11 2 1 1

4 1

− =4( )h

Odpowiedź: Czas przejazdu tej trasy samochodem był o 15 minut krótszy niż busem.

Czwarty sposób

Samochód:  75 min   120 km

Bus:  60 min     80 km

15 min     20 km 75 min   100 km

W czasie 75 minut bus przejechał o 20 km mniej niż samochód. Na przejechanie  pozostałych 20 km potrzebował 15 minut.

Odpowiedź: Czas przejazdu tej trasy samochodem był o 15 minut krótszy niż busem.

Piąty sposób 120 km – 75 min   80 km –   x min x = 50

Samochód osobowy przejechał drogę 80 km w 50 min.

60 min – 50 min = 10 min

Oznacza to, że samochód przejechał trasę 80 km w czasie o 10 min krótszym niż bus.

Stąd wynika również, że 40 km pokonał on w czasie o 5 min krótszym niż bus.

80 km + 40 km = 120 km  10 min + 5 min = 15 min

Odpowiedź: Trasę 120 km samochód osobowy pokona w czasie 15 min krótszym niż bus.

• Zadanie 18. (0–2)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

x   – liczba róż w bukiecie 2x – liczba goździków w bukiecie 4x   – koszt róż w bukiecie 2x · 3  – koszt goździków w bukiecie 4x + 6x = 35

       10x = 35 x = 3,5

Gdyby ten bukiet kosztował 35 zł, to zgodnie z warunkami zadania składałby się z 3,5 róży  i 7 goździków. Liczby kwiatów w bukiecie muszą wyrażać się liczbami całkowitymi, zatem  Adam za taki bukiet nie mógł zapłacić 35 zł.

Drugi sposób

„Minimalny” bukiet zgodnie z warunkami zadania: 1 róża i 2 goździki.

Koszt takiego bukietu: 1 · 4 + 2 · 3 = 10 zł 35 zł : 10 zł = 3,5 bukietu

Nie można kupić 3,5 bukietu, zatem Adam nie mógł zapłacić za zamówiony bukiet 35 zł.

Trzeci sposób

„Minimalny” bukiet zgodnie z warunkami zadania: 1 róża i 2 goździki.

Koszt takiego bukietu: 4 + 6 = 10

35 zł = 10 zł + 10 zł + 10 zł + 5 zł – koszt jednego goździka i ¹₂ róży Bukiet Adama nie mógł kosztować 35 zł.

Czwarty sposób

Liczba róż Liczba goździków Koszt bukietu

2 4 2 4⋅ +4 3⋅ =20zł  ¹35

3 6 3 4⋅ +6 3⋅ =30zł  ¹35

4 8 4 4⋅ + 6 3⋅ =40zł  ¹35

Odpowiedź: Bukiet nie może kosztować 35 zł.

• Zadanie 19. (0–3)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

1 1 2

1 1 2 3

1 2

1 1 6

2 1 6

1 3

− =

⋅ =

− =

1

3  to 12 konkurencji 1 to 36 konkurencji

Odpowiedź: Podczas dnia sportu zaplanowano przeprowadzenie 36 konkurencji.

Drugi sposób

x – liczba zaplanowanych konkurencji

x x x

x

= + ⋅ +

= 1 2

1 3

1 2 12 36

1 RP

1 2

1 3

1 2

1

⋅ = 6 2

6 1

=3 1

3 to 12 konkurencji 1 to 36 konkurencji

Odpowiedź: Podczas dnia sportu zaplanowano przeprowadzenie 36 konkurencji.

Czwarty sposób 1

3 z połowy zaplanowanych konkurencji to 6 konkurencji.

6 12 18 6 3 18

18 18 36

+ = ( ⋅ = )

+ =

lub

Odpowiedź: Podczas dnia sportu zaplanowano przeprowadzenie 36 konkurencji.

ALBO 2

3 z połowy zaplanowanych konkurencji to 12 konkurencji.

12 23 18 18 18 36

: =

+ =

Odpowiedź: Podczas dnia sportu zaplanowano przeprowadzenie 36 konkurencji.

• Zadanie 20. (0–3)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

b=2a

Zatem wymiary działki przed podziałem można opisać jako 2a i 3a.

3 2 3750 6 3750 3750 25

2 2

a a a a a

⋅ =

=

=

= 2 2 25 50 3 3 25 75

a a

= ⋅ =

= ⋅ =

Odpowiedź: Działka przed podziałem miała 75 m długości i 50 m szerokości.

Drugi sposób b=2a

Zatem wymiary każdej małej działki można opisać jako 2a i a.

3750 3 1250 2 1250 2 1250 625 25

2 2

: =

⋅ =

=

=

= a a

a a a

Odpowiedź: Działka przed podziałem miała 75 m długości i 50 m szerokości.

Trzeci sposób

Skoro b=2 ,a to każda z trzech prostokątnych działek składa się  z dwóch działek kwadratowych o boku a, stąd

3750 6 625 625 25

2

: =

=

= a

a

Wymiary działki przed podziałem:

b a

a b

= = ⋅ =

+ = + =

2 2 25 50 25 50 75

Odpowiedź: Działka przed podziałem miała 75 m długości i 50 m szerokości.

• Zadanie 21. (0–3)

Przykładowy sposób rozwiązania

Pierwszy sposób

x – długość przeciwprostokątnej 12 16

20

20 2 10

8 10 6

2 2 2

2 2 2

+ =

=

=

+ =

=

x x

y y

cm

cm cm

cm :

12 cm + 16 cm + 20 cm = 48 cm – obwód trójkąta ABC

6 cm + 12 cm + 10 cm + 6 cm + 10 cm = 44 cm – obwód trapezu PRST 48 cm – 44 cm = 4 cm

Odpowiedź: Różnica obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST jest równa 4 cm.

Drugi sposób

x – długość przeciwprostokątnej 12 16

20

20 2 10

8 10 6

2 2 2

2 2 2

+ =

=

=

+ =

=

x x

y y

cm

cm cm

cm :

16 cm – 2 · 6 cm = 4 cm

Odpowiedź: Różnica obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST jest równa 4 cm.

3750 3 1250 2 1250 2 1250 625 25

2 2

: =

⋅ =

=

=

= a a

a a a

Źródło:

Przykładowy arkusz egzaminacyjny i Egzamin ósmoklasisty 2019 – Centralna Komisja Egzaminacyjna  © Wydawnictwo Dragon

Pacha, stopa, paluch. Fuj.

/Slowka

— Nowy — magazyn

o języku

O G Ł O S Z E N I E W Ł A S N E W Y D A W C Y 34096084