Michał Latarnik Politechnika śląska
OPTYMALNE STEROWANIE DYSTRYBUCYONE W UKŁADACH NAPĘDOWYCH ROBOTA
St r e s z c z e n i e . W artykule przedstawiono oryginalne metodę opisu nlbyclęgiych układów napędowych robota wykorzystujęcę zaproponowaną w pracy [2] dystrybucję wibracyjną. Sformułowano i rozwiązano pro
blem syntezy dystrybucyjnego sterowania optymalnego układem napędo
wym roboto.
Szybkość działanie i precyzyjne odtwarzanie pożądanej trajektorii ru
chu należiąj do podstawowych wymagań stawianych robotom przemysłowym.
Osiągnięcie dużych prędkości działania przy równoczesnym precyzyjnym ru
chu transportcwanego elementu wymaga pełnej znajomości obiektu robot - ele
ment transportowany. Rozpatrywana w referacie koncepcja wibracyjnego (ni- byciągłego) typu sterowania wskazuje na możliwości spełnienia wy mi en io
nych wymagań również w przypadku niepełnej informacji o obiekcie. A n a l i za i synteza takich układów sterowania wibracyjnego Jest Jednak utrudnio
na ze względu na konieczność opisu pewnych granicznych zachowań układu przy częstotliwości przełączeń zmierzającej do nieskończoności. Wydaje się, że zaproponowana w niniejszym artykule oryginalna metoda opisu za pomocą dystrybucji wibracyjnej Jest skutecznym narzędziem w analizie i syntezie układów wibracyjnych.
2. Sformułowanie problemu
Rozpatrzmy zagadnienie sterowania w układzie napędowym robota (rys.l).
Celem uproszczenia zapisu załóżmy, że interesuje nas tutaj Jedynie obrót masy M względem osi O przy stałych kątach y « const oraz w = const.
W3zy3tkie przeprowadzone tu rozważania w łatwy sposób można rozsze
rzyć na przypadek złożonych ruchów robotów.
Niechaj równanie interesującego nas ruchu ramienia "c" obciążonego ma
są M przyjmuje postać:
1. Wstęp
X “ o ( X , X , u, t) /!/
140 M. Latarnik
gdzie g(x> x , u, t) - nieznana funkcja klaay C 1 ze względu na x oraz x, cięgła ze względu na u oraz t, u(t) - sygnał sterujęcy elementu napędowego przewidzianego do ustawiania kęta x (np. napięcie silnika prędu stałego).
Nieznajomość funkcji g(x, x, u, t) może być wynikiem na przykład braku informacji o masie M. Zakładamy, te nieznana funkcja g(x, x, u, t) może być jednak ograniczona od dołu i od góry przez znane funkcje cięgłe GjCx
min u c B
max u c B
, x , t )
g(x, x,
g ( x , x ,
G 2 (x, x, t) takie, że:
t) \ G 1 (x -
°>
G2 (x,t)
t)
/2/
/ 3 /
Rys. 1. Schemat robota
B - baza, zbiór dopuszczalnych warto- gdzie
ści u.
Zbiór ob ie kt ów g opisywanych zależnościę /l/ i spełniajęcych ograni- -czenia / 2 / i / 3 / oznaczać będziemy przez G. Baza B utworzona Jest przez
zbiór m funkcji cięgłych u 1 (t), u2 ( t ),... ,uB ( t ) określonych w prze
dziale sterowania t c [O, T], Zapis u c B oznacza zatem, że;
u(t) •= ju jítív u 2 ( t )V... Vu^C t )| / 4/
dla t c [O, t].
Ograniczenie / A / wskazuje, że sterowanie polegać będzie na próbkowaniu sygnałów bazowych u^it). Ola przykładu, Jeśli źródłem energii wykorzy
stywanej w sterowaniu Jest typowa sieć prędu zmiennego, to bazy mogę sta
nowić wprost napięcia fazowe i zero (potencjał odniesienia). Stały rozwój elementów półprzewodnikowych zabezpiecza coraz łatwiejszę praktycznę rea
lizację sterowania opartego na próbkowaniu napięć bazowych. Taki sposób generowania sygnału sterujęcego może odbywać się praktycznie bez strat na
■formowanie" sygnału sterujęcego z napięć bazowych.
W niniejszym artykule rozpatrywany Jest problem sterowania czasowo-op- tymalnego. Konkretnie poszukiwać będziemy | ¡jednej, op tymal
nej trajektorii dla wszystkich obiektów g c G. Wymagamy, aby sterowanie u przeprowadzało nieznany w pełni obiekt f i ) z zadanego stanu poczętkowe- go [x(0), x(o)] do zadanego stanu końcowego [x(T), x(t)], zapewniajęc rów
nocześnie uzyskanie czasu sterowania T q równego:
T « max min
g c-G u c B /5/
Innymi słowy poszukiwana jest taka trajektoria cz as o- op ty ma łn a, która osięgalna jest dla wszystkich obiektów należęcych do zbioru G. Można się spodziewać, że w wielu przypadkach trajektoria optymalna będzie odpowia
dała nieskończenie krótkim próbkowaniem poszczególnych funkcji bazowych u ^ Opisywanie takiego granicznego zachowania się układu, odpowiadajęce- go nieskończenie dużej częstotliwości przełęczeń Jest niezwykle uciężliwe i niejednoznaczne w klasie funkcji. Z tego powodu wprowadza się do opisu tych granicznych zachowań tzw. dystrybucję wibracyjnę [2]. Podobnie jak powszechnie stosowana dystrybucja "delta Diraca" również zaproponowana tutaj dystrybucja wibracyjna Jest tylko modelem pewnego przypadku granicz
nego, pozwalajęcym wprowadzić prosty i Jednoznaczny opis oraz umożliwiaję- cy uproszczenie obliczeń.
3. Dystrybucja wibracyjna [21
Pojęcie dystrybucji wibracyjnej wprowadza się w oparciu o podejście cięgowe zaproponowane przez Prof. 0. Mikusińskiego [i]. ¿Jednakże specyfi
ka przyjętego sposobu generacji sterowania u polegajęcego na próbkowaniu bazy B skłania do pewnej modyfikacji definicji dystrybucji podanej w
[l]. Zaproponowana tu modyfikacja polega na zastępieniu cięgów po dstawo
wych opartych na funkcjach 'cięgłych cięgami bazowymi opartymi na funkcjach przedziałami cięgłych. Zakładamy, że funkcje f^(t), j = 1,2,... tworzęce cięgi bazowe:
(a) sę prawostronnie cięgłe (f^(t) = f^(t+)) w punktach n i e c i ę g ł o ś c l , (b) przyjmuję tylko wartości określone przez funkcje bazy B (f (t) *
*■ u A (t)).
3.1. D e f i n i c j a c i ą g u b a z o w e
Cięg funkcji przedziałami cięgłych, określonych w przedziale 0 <^t <^T i posiadajęcych właściwości (a),' (b) nazywa się bazowym, Jeśli istnieje taki cięg funkcji oraz taka liczba całkowita k^, 0, że (c) F < k ) (t+ ) - f (t>,
(d) cięg (t ) jest zbieżny Jednostajnie,
gdzie F.jk ^(t+) oznacza k-tę pochodnę prawo3tronnę funkcji w P a k cie t.
3.2. D e f i n i c j a r ó w n o w a ż n o ś c i c i ą g ó w b a z o w y c h
Dwa cięgi bazowe f^(t) oraz h,(t) będziemy nazywać równoważnymi, jeśli istnieję takie cięgi F^ q ^ t 'j oraz liczba całkowita k N 0, że dla dowolnej funkcji cięgłej qtsl:
142 M. Latarnik
(e) F j k ^(t+)=q[fjCt)] oraz k^ (t+)=q[ h^ (t )J,
(f) cięgi |f (t) orazjH.. (t) zbieżne sę jednostajnie do tej samej funk- I J <9 : J >9
cj i zależnej od funkcji q.
Można udowodnić, źe podana tu definicje równoważności cięgów bazowych zapewnia rozkład zbioru wszystkich cięgów bazowych na klasy równoważności bez wspólnych elementów.
I
3.3- D e f i n i c j a d y s t r y b u c j i w i b r a c y j n e j klasę równoważnych cięgów bazo- t <^T i posiadajęcych dwie w ł a ś c i w o ś c i :
(g) istnieje cięg funkcji taki, że F ^ ^ C t * ) « fj(t),
(h) cięg Jest zbieżny jednostajnie do funkcji F(t) określonej nast ępuj ę c o :
t
"
f+ ___ + p« / 8 ^,un^9 }] ds + C //6/^
O
gdzie C - stała; p 1 ( s ),.. .,pm ( s ) - funkcje wagowe, funkcje przedziałami • cięgłe posiadajęce co najwyżej niecięgłości pierwszego rodzaju oraz do
datkowo spełniajęce ograniczenia:
0, i «= 1 , 2 m; p Ł + p 2 + ... + pn - 1 /7/
3-4. W ł a ś c i w o ś ć d y s t r y b u c j i w i b r|a c y j n e j W tym punkcie zostanie przedstawiona tylko Jedna, najistotniejsza w ł a
ściwość dystrybucji w i b r ac yj ne j. Właściwość ta dotyczy Jednoznaczności określenia, w klasie dystrybucji wibracyjnych, odpowiedzi statycznego elementu nieliniowego na pobudzenie sygnałemwejściowym o postaci dystry
bucji wibracyjnej.
Niech sygnał wejściowy u(t) będzie dystrybucję wibracyjnę określonę przez funkcje wagowe P r2Y zadanej bazie B = ,. .. .u^J . Element nieliniowy natomiast niech będzie opisany zależnościę:
y = r(t ,u ) /8/
gdzie r(t,u) cięgła funkcja swoich argumentów.
Można zauważyć, źe sygnał wyjściowy y jest również dystrybucję wi br ac yj
nę określonę Jednoznacznie na bazie = [r (t ,u1 ) ,. . . ,r (t .u^)] przez funk
cje wagowe p ^(s), równe odpowiednim funkcjom wagowym sygnału we jścio
wego :
Pyl (S ) P j- (^4 /9/
Dystrybucję wibracyjnę będziemy nazywać wych f.(t) określonych w przedziale 0
4. Sterowanie optymalne w klasie dystrybucji wlbracylnych
Niech sygnał sterujęcy u rozpatrywanych obiektów ( i J będzie dystry
bucję wibracyjnę określonę na bazie B = przez funkcje wago- we p 1 ,...,Pm . W oparciu o właściwości przedstawione w p. 3.4 można stwier
dzić, że sygnał x jest dystrybucję wibracyjnę określonę na bazie 8^ =
= [g(x ,x .u^ , t ) ,... ,g(x ,x ,um , t )] i posiadajęcę te same funkcje wagowe p ^ ,- -.»P m co sygnał sterujęcy u. Zgodnie z definicję dystrybucji wibra- ęyjnej (p. 3.3) mamy:
t
x(t) « x (O) + j ^p1 g(x ,x ,u^ , t ) + ... + pn g(x ,x ,un , t )] dt / 1 0 / O
Z drugiej strony można pokazać, że przynależność obiektu g do zbioru G daje się w sposób równoważny wyrazić przez następujęce warunki narzuco
ne na funkcje wagowe:
1° dla dowolnej chwili t c ( 0 , T ) funkcje wagowe P1 ,...,Pm muszę speł
niać oprócz warunku (7/ jeszcze dodatkowe ograniczenie:
G 1 (x,x,t) ^ p 1 g( x,x,u1 ,t) + ... + p m g(x,x,um ,t) ^ G 2 (x,x,t) /ll/
2° dla dowolnej chwili t c (0,T) istnieję takie dwie kombinacje funkcji wagowych, że:
pj g(x,x,u1 ( t) + ... + p* g( x,x,um ,t) = G ^ z . i . t ) /12)
p^ g(x,x,u1 ,t) + ... + p^ g(x,x,u ,t) = G2 (x,x,t) /1 3/
W tej sytuacji rozpatrywane pierwotne zadanie optymalizacji (l) r (5) można sprowadzić do następujęcego zadania wtórnego: dla obiektu
z = P1 g ( z , ż , U j , t ) + ... + pm g(z,ź,um ,t) /14/
wyznaczyć takie sterowanie które zapewnia uzyskanie minimal
nego czasu przejścia ze stanu [z(o), ż (0)] do stanu [z(t), ż(t)J :
min T = T o /15/
P l .... ,pm przy ograniczeniach
V
p \ O, Pl + p2 + ... + pm = 1 /16/oraz *
G ^ z . ż . t i ^ z ^ G 2 (z,ż,t) /17/
144 M. Latarnik
Z definicji dystrybucji wibracyjnej wynika x(t) = z(t) oraz x(t) ■
» ż(t). Ponieważ przyjęto, Ze funkcje wagowe p1 ,p2 ,... ,pm sę pr ze dz ia
łami cięgłe, zadanie wtórne może być rozwięzane Jako klasyczne w oparciu o zasadę maksimum Tontriagina [3].
Hamil.tonian dla zadania wtórnego przyjmuje postać:
H = v j.ź + v 2 [pa g(z,ż,u1 ,t) + ... + p^ g(z,ż,um ,t)] /18/
gdzie v , , v„ - zmienne sprzężone.
Uwzględniajęc właściwość 2° (/12/, /13/) oraz zależności ( 1 4 ) , (1 7 J łatwo zauważyć, że maksimum hamiltonianu zostaje osięgnlęte dla:
^G„(z,ż,t) dla v_(t)^> O
Z = i ~ / / 19/
| (z , ż , t } dla v 2 (t) <^0
Można udowodnić, że w rozpatrywanym zadaniu wtórnym nie występuje przy
padek osobliwy odpowiada jęcy v2 (t) = 0 dla tc (t ^ , 12] • 9 ^ * 1 <\ t2 ^ T ‘ Oeśli zatem dla zadania wtórnego istnieje sterowanie optymalne odpowiada
jące.punktom brzegowym jx(0), x(0)j oraz [x(T), x(t)] , to trajektorię op
tymalną można wyznaczyć bez znajomości modelu obiektu g(x,x,u,t) poprzez złożenie odcinków trajektorii ( 1 9 ) . Otrzymujemy wtedy:
z o “ G( zo'i:o ' t) /2 0/
Pełne rozwiązanie zadania pierwotnego wymaga jeszcze określenia sposobu wygenerowania dystrybucji wibracyjnej x3 , dla której:
t t t
‘ I x odl * f [Pl g(xo ,xo ,U l ,l) ♦ ... + p m gfxo ,x0 ,ugi,l)] dl = / z 0dl
0 0 o
/
21/
Oeden z możliwych sposobów generacji optymalnej dystrybucji x podano w przykładzie. Bardziej ogólne omówienie sposobów generacji optymalnych dy
strybucji przedstawiono w
[2I .
5, Przykład
Załóżmy, że elementem wykonawczym w rozpatrywanym układzie napędowym ramienia “c" robota jest silnik prędu stałego. Niechaj napięcia bazowe sę równe Ujft) • 30 [ v ] , u2 (t) = -30 [v], natomiast dla pewnego zakresu pracy ramienia i dopuszczalnych mas M funkcje ograniczające określone
sę następujęco: G ^ x . x . t ) = -50 [r/'s2 ] . G2 (x,x,t) = -20 . Celem uproszczenia przyjmijmy dodatkowo x ( o ) » x(T) « O. Dla tego zakresu pra
cy przebieg trajektorii optymalnej ( 2 0 ) Jest następujący:
gdzie z^ ■
0 N O-x(0)) dla 2 o < Z1 oraz x ( T ) > x(0)
O O N O-x(t ).) dla . z o > Z1 oraz x(T)^> x(0)
- V 100( zo--x(0)) dla Zo > z2 oraz x ( T ) <^x(0)
“V 4 0 (zo--X (T )) dla
2 o < Z2 oraz x(T) <^x(0)
20x(0) + 5 0 x ( T ). 50x(0) + 20x ( T )
70 70
/22/
Można pokazać, że układ przedstawiony na rys. 2 realizuje przy a — »-0 optymalne sterowanie dystrybucyjne określone zależności? /22/.
xío).x(o)
Przełącznik pot przeuodnikouu 0[VJ
[ R ) ---@ ---®
Silnik rachogenerotor Rezotuer
Rys. 2. Schemat blokowy układu napędowego pojedynczej osi robota
6. LITERATURA
[1] Mikusiński 0., Sikorski R . : Elementarna teoria dystrybucji. PWN^War- szawa 1964.
[2] Lat arnik M . : Sterowanie optymalne w klasie dystrybucji wibracyjnych.
Referat przyjęty na VIII KKA. Szczecin, 1980.
[3] Pontriagin L . , Bołtiański W., Gamkrelidze R . , Miszczenko E.: Matiema- ticzeskaja tieorija optlmalnych procesow. Nauka^ Moskwa 1976.
146 &. Lata ra lt
OriTHMAJIbHOE 7HPABJIEHHE BHM 0E0EIKEHHH7. oyHKEJffl B ITPHBOJIE POEOIA
V e a » m e
B c r a r t e « a e i o a opHrHKajii>Hufl x e i o a o n n c a H H H c k o d i i 3 H U 2 x O H C T e M n p H B O , a a pofio i a. 3 t o t w e T O ^ O a s n p y e T s a B H C p a n n o H H O i ! o C o C m e H B O f t d y H i c n H B s a HKO i! b [ Z j•
B
C T a T t e O o p M y a H p y e i o a a a j i a q a 0 H H i e 3 a o n T H w a j u > H o r o y n n a a n e H H a , 3 H * a o C o S a e K H O ? . (SyHKnHrc, a x a C H C T e u n p H B O j i ' a p o O o i a .S *
