Sterowalność i sterowanie optymalne układów typu M-D

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria; AUTOMATYKA z. 74

Jerzy Klamka Politechnika Śląska

STEROWALNOSC I STEROWANIE OPTYMALNE UKŁADÓW TYPU M-D.

Streszczenie. W artykule podano definicję lokalnej sterowalności liniowego,stac jonarnego układu typu M-D. Zaproponowano postać transforma­

cji przekształcającej układ typu M-D w liniowy,niestacjonarny ,o zmień »- nej strukturze układ typu 1-D. Wykorzystując odpowiednio zdefiniowaną macierz lokalnej sterowalności,sformułowano warunki konieczne i wystar­

czające lokalnej sterowalności układów typu M-D. Rozpatrzono również problem optymalnego sterowania układami typu M-D przy kwadratowym wskaź­

niku jakości.'

1

W ostatnich latach w literaturze teorii sterowania ukazało się wie­

le prac dotyczących analizy,syntezy oraz zastosowań tzw.układów typu 2-D, tzn. układów dyskretnych o dwu zmiennych niezależnych, [1 - 0], [11 - l^.

Głównym celem niniejszej pracy jest rozszerzenie na przypadek układów typu IS-D ,rezultatów dotyczących sterowalności oraż sterowania optymal- n'ego tymi układami.

Rozpatrywany będzie liniowy,stacjonarny układ typu M-D ,tzn.układ dyskretny o II zmiennych niezależnych. Podana zostanie transformacja doprowadzająca układ typu M-D do postaci liniowego,niestacjonarnego, o zmiennej strukturze układu typu 1-D. Dzięki temu będzie można przy analizie układów typu M-D wykorzystać znane w literaturze [14] , [15] »re­

zultaty dotyczące układów typu 1-D.

Niniejsza praca koncentruje się na badaniu własności sterowalności lokalnej układów typu M-D ,wykorzystując do tego celu macierz lokalnej sterowalności .Następnie rozpatrywany jest problem optymalnego sterowania ukła&mi typu M-D przy kwadratowym wskaźniku jakości. Jako szczególny przypadek,rozważa się zagadnienie tzw.sterowania z minimalną snergią, które stosunkowo prosto nożna rozwiązać posługując się zmodyfikowaną macierzą lokalnej sterowalności.

Rezultaty niniejszej pracy s^ uogólnieniem na przypadek układów typu M-D rezultatńw zawartych w pracy [lO]a dotyczących układów typu 2-D.

19S4 Nr kol. 810

^ p-j ŁJŁlaaŁB.-

2. Modele matematyczne układów M-D .

W celu uproszczenia skomplikowanego zapisu charakteryzującego układy tl-D wprowadza się następujące oznaczenia :

Z ,zt>iór liczb całkowitych,

,Z»Z« ... »Z, = ZK ,H-krotny iloczyn kartez jański zbioru Z, M razy

(i1 ,i2 ,...,iu )e ZM ,punkt w przestrzeni ZM,

Dla ustalonej liczby całkowitej Ie Z symbolem Cj oznacza się M-1 wymia­

rową hiperpłaszczyznę postaci : 1=H

W zbiorze Z^ wprowadza się relację częściowego porządku w sposób nastę-

pujący ; niech C i ^ ^ Z oraz Z ,

wówczas ; j=M

ti^,•• • |i-j» • • • >ijj) = tr^,...,r^,... jijj) i ^ r j j=H

tiyj,.*. ,i^t.. • ,ijj) < Cr^,...,rjf ...,rjj) <_^> J>_~ij < Tj

• d= •

Zatem poszczególnymi warstwami wyznaczonymi relacją częściowego porządku są zdefiniowane powyżej JJ-1 wymiarowe hiperpłaszczyzny Cj , Ie Z .

Dla Sy) ziiec h t

D (s1 ,,..,s3,...,stI) = : ^ ^ j * 0 * "5 ^ sl£ijćsj U i

CiSl *3.... ^ = { ( i v " - ’ij.... iM ) 6 DUi).... .... Sm) :

j=M j=M_ -j

0 <k = '5 — < "> s, =

s

1 5 T 3 i = T 3 J

k=S / s

Zatem : D 3 I = U. C ^ l > * ’ * *sj' • • • * V

Zbiór c^s1****,sj’” ',SK^ jest podzbiorem hiperpłaszczyzny C^,zawiera­

jącym następujące punkty :

**' = { U1>S2.... s ^ , Bj + k ) ,Cs1 ,s2,...

j=M- 1 j=ti 3

8j + k + 1 > »•••»i- | § ^ Sj + k + 1 »s2 ~ 11 • • •»su_i] » V 8j + k + 1 ł C- 3i + k + 1 ,Sp-1f...,£

^ 2" aj+k ’ 32»*'’»bM-1 »gM

W przypadku, gdy nie będzie to prowadzić do nieporozumieii stosowane takfcfl

będzie oznaczenie = Sy .

S t e r o w a l n o ś ć i s t e r o w a n i e o p t y m a l n e ...

Niech będzie dany liniowy,stacjonarny układ U-D opisany równaniem różnicowym postaci :

,1=M

x(i^ + j , « * • , lj+1 , • « • , l^j+1 ) = AjX[l,j+1 t . . » ,j j t # * . ,i^+1) +

+ 1> B juCl^+1 ,«..,ij,... ,1^+1) /2.1/

U= *

z warunkami brzegowymi zadanymi na M- 1 wymiarowej hiperpłaszczyżnie Cq postaci x(Cq) = x0(CQ ) ,

gdzie eRn jest wektorem sterowań ,

x(i,j, ... ,1 ^ »^iPe ^ jest wektorem stanu lokalnego , Aj » j = 1 f2 ,...,M są n*n wymiarowymi stałymi macierzami , Bj , j = 1 ,2 ,...,M są n*m wymiarowymi stałymi macierzami ,

J

W pracy [10] rozpatrywany jest inny model układu ŁI-D ,bazujący na tzw, modelu Boessera [13] postaci następującej s

Xj^ 1 ’ * * * ’ * ’ * = ^jkPSc^l »•••»Aj,««*, ijj) +

+ SjU^iyj,»• • ,i j, * * # ,iy) | j=1 ,2 ,... ,M /2 .2/

gdzie XjVi^,...,ij,..«,i^)£R n i ,j=1 ,2 ,«.«,I£

^jk ' 5»k=/'»2 ł,,,»M s 3 nj"I1k wymiarow7mi stałymi macierzami, Ej t j =1>2,...,M są nj*m wymiarowymi stałymi macierzami,

j=M n = ^ a 1

Sektor stanu lokalnego xCiy|,...,i^,...,iu ) dla układu Łl-D o modelu /2.2/

jest postaci następującej [10], [13 ]:

X<1 1 * *

Xj(ii,.. • l i jf»»iM )

XU^1** •

6 Rł /2.3/

Sykażemy,że model postaci /2 .2/ jest szczególnym przypadkiem ogólnego nodelu /2.1/ . Istotnie,przyjmując : xCl1 ,...,ij,...,iŁ!) = x U 1 ,...,ij,

o r a z

i o «* • • • 9 0 , • • • , 0

^ i » ‘ ** » ^ ¡jk’ *** , I 0 | ••• , 0 , . . . . 0

jU B ó 3

j=1 ,2 , ... ,li

1 2 1 ■7 . n s m k a

otrzymujemy poszukiwaną regułę transformacji.

Obecnie zajmiemy się transformacją układu dynamicznego M - D o mode­

lu postaci /2.1 / do modelu liniowego,niestacjonarnego,o zmiennej struk­

turze układu 1r-D . W tym celu wprowadza się następujące oznaczenia : xis1 ,s2 ,...,sI4_1 ,-S + Sjj + k )

, s 2 , . . . , S j J_<1- 1 , —S+Sjj+k+7)

S , , S SjjCk) =

xi-S+s1+k+1 s2—1,.

ki-S+s^+k , s2 » — uCs^,s2,...

,SM-1 *-S +sM +k ) ul s^,s2,...

SM-1~1» -S+Sy+k+1)

ut-S+s^+k+7 s2-1,.* * * SJJ—1» sh ^ ui-S+s^+k ,

s2

e /2.4/

t s 0^11•• • |S

e Rn(s-k+'l> /2.5/

k SC 0 ) 1 ) »««yS

31 ,s2 ’* *' =

A2 • Ay O O O A>j A^ • • • Ajj O

• ••*••••*•«•• O A/j A2 •»• Aj^ O O O A^ A2 ••• Ay

'A,s^*s2 ,...,sijik) Bą n(8-k)* n(S-k+1) wymiarowymi macierzami.

B2 ••• Bm O 0 .*•••««•••••• O O B2 ••• By O •••«•«•••••• O

/2.6/

lfcO)1 y•••)S“ 1

f ^2 » • • • t =

O B1 3 2 . . . B jj O

0 0 B2 ... By

/ 2 , 7 /

k=01 *1 ^ • s • y S-1

Bs s ... s s4 macierzami niS—k)*mlS—k+1 ) wymiarowymi.

1 ł 2 f * * * * M

Stosując oznaczenia /2.4/ - /2.7/ układ M-D o modelu /2.1/ można przed- stawić jako liniowy,niestacjonarny ,0 zmiennej strukturze układ 1-D postaci następującej :

* 3 S A

1 ’ 2 '' * * ’ 1! „ ik) x Ck) +

+ B

S1 ’ s2 ’ Ck) u, Ck) ^ — 0 ) 1 ) » « « y S "1 / 2 . B /

S t e r o walność i s t e r o w a n i e o p t y m a l n e . . .

i warunkiem początkowym x (0) . 1 * 2 ’* * * * M

Ponieważ dalsze rozważania będą prowadzone dla ustalonego punktu Cs*,...

Z ,więc bez utraty ogólności stosowane będzie oznaczenie

skrótówe ) s S.f *

W celu przedstawienia rozwiązania równania /2.8/ w zwartej postaci definiuje się tzw. macierz tranzycji Ag (k.l) dla układu /2.B/ w nastę­

pujący sposób [14] , [15]? M

A- (k,k) = k = 0,1,2,...,S /macierz jednostkowa o odpo-

Sjj 1) wiednim wymiarze /

Ag^k.l) = Ag^tk-1 )Ag^tk-2).. .Ag^tl+1 )Ag^Cl) dla k > l > 0 Ag lk,l) są n(S-k+l) nfS-1+1) wymiarowymi macierzami.

Ae (k,l) są niedefiniSwalne dla k c l e Z . Td

Używając macierzy tranzycji Ag (k,l) można rozwiązanie równania /2.8/

przedstawić następująco [14] »pif.

l=k- 1

Ig^(k) = As^(k,0)xs^tO) + >• o A^tk.DBg^llOu^Cl) ,k=1,2,...,8 /2.9/

Zatem do tak transformowanego układu M-D możemy stosować znaną z litera­

tury teorię niestacjonarnych układów 1-D o zmiennej strukturze.Zostanie to wykorzystane do badania sterowalności oraz sterowania optymalnego tych układów.

Sterowalność.

Pojęcie sterowalności jest przydatnym narzędziem służącym do analizy dynamicznych układów sterowania, [14] , [15]* W niniejszym podrozdziale roz­

patrzymy lokalną sterowalność układów M-D zdefiniowaną w sposób następu­

jący [10]:

Definicja 1. Układ dynamiczny /2.8/ nazywa się lokalnie sterowalnym w przedziale [ k ^ k g ^ C O ^ k ^ k g - ś S ) .jeżeli dla dowolnego lokalnego stanu początkowego I l k ^ ć R 11^ -k^+1 ) oraz dowolnego żądanego końcowego stanu lokalnego Xg^(kg) € jjn(S-kg+1 ) istnieje sekwencja sterowań

* aSMlk1+1> »•••» uS1Jlllc2-2^ » US tk2-l)j- »takai że odpowiadająca tej sekwencji sterowań trajektoria Xg^(k) układu /2 .8/ spełnia następu­

jący warunek końcowy :

1 2 6 J . K l a m k a

Wykorzystując znane z literatury rezultaty dotyczące sterowalności układów niestacjonarnych 1-D / patrz przykładowo [14] , [15] / ,można stosunkowo łatwo otrzymać warunki konieczne i wystarczające lokalnej sterowalności w przedziale [k.,,^] układu M-D.

Twierdzenie 1. Układ /2.8/ jest lokalnie sterowalny w przedziale [k^,k2] wtedy i tylko wtedy gdy

rząd Wtk^kg) = niS - k2 + 1. ) /3.1/

gdzie -symetryczna nlS-k2+1)*ntS-k2+1) wymiarowa macierz sterowalności Wik,,,k2) jest zdefiniowana następująco :

lz:k?-1

w(k1 fk2) = A ^ l ^ . D B ^ C D B ^ C D A ^ . l ) /?.2/

Wniosek 1. Układ /2.B/ jest lokalnie sterowalny w przedziale [k^jkg] wtedy i tylko wtedy,gdy

rząd[ASyilC2,kl^BSM^k1 ) l ASM tlŁ2 »k1 +1 ^BSMił!:1+l5 ł ***lASM ^k2 »k2’'2 ^BSł^ k2“2^

ils^ik2tk2-1 jB^Ckg-l)] = n(S - k2 + 1 ) /3.3/

Dowód. Oznaczając macierz występującą po lewej stronie równości /3.3/ jako Pik^.kg) »łatwo można wykazać,że

W(k^ ,k2 ) = Pi k ^ k ^ P ^ k . , , ^ )

Zatem wniosek 1 jest prostą konsekwencją twierdzenia 1 .

Wniosek 2 . Lokalna sterowalność w przedziale [k^,k2] implikuje lokalną sterowalność w przedziale dla każdych h-, , h2 spełnia­

jących następujące nierówności :

0 $ h1 6 k 1 < k 2 -eh2 =SS /3.4 / Dowód., Z równości /3«2/ wynika następująca nierówność :

rząd WCk^.kg) ^ rząd Wlhj.hg).

Zatem lokalna sterowalność w przedziale [k,,,k2] implikuje lokalną ste­

rowalność w przedziale [h^fc^].

Twierdzenie 1 wynika bezpośrednio z / 2 . B / oraz znanych [14], ¡15]

warunków koniecznych i wystarczających sterowalności układów 1-D . W przypadku,gdy dane jest również algebraiczne równanie wyjścia układu U-D ,można stosunkowo łatwo sformułować warunki konieczne i wys­

tarcza jące, tzw. lokalnej wyjściowej sterowalności,Warunki te uzyskuje się w oparciu o znane kryteria wyjściowej sterowalności układów 1-D ,[15]*

Bt e r o w a l n o ś ć i s t e r o w a n i e o p t y m a l n e . ..

121

4. Sterowanie optymalne w układach M-D,

Wykorzystując znaną zasadę optymalności Bellmana [14] , [15] i* oparciu o model postaci /2.B/ można rozwiązać zagadnienie optymalnego regulato­

ra dla układów H-D, Problem ten formułuje się w sposób następujący !

^Xa liniowego,stacjonarnego układu Łi-D postaci /2.1/ z warunkami brze­

gowymi Xq( Cq) , należy wyznaczyć Cs^ + 1 )is2 + + 1 ) - 1 wek­

torów sterowań|uCi^,•••, i •••,i^) ^Ci^,•••,i^f•••,1^) 6

- CgB1 ,s2," * ,slPj, jako funkcji stanów lokalnych rCi.j,...,!^,...,!^ ) , tak aby kwadratowy wskaźnik, jakości

^ s « p 8 2 » * • • * s j f ^ * ^ 2 * * ' ‘ » ^ 2 ’ * ’ * ^ =

*T Civ i2,..

^1 ,i2 ,,*,,lłPe D SJi “ °o“

+ * U^^l^ ,12 , . . • jijjlP^i^j ,i^, , . . ,ijj)uVi/|, • . . ,iy)

^ j ’ ^2* * * * *^ł!^ ^ / 4 . 1 /

osiągał wartość minimalną, gdzie Qti^,i2 ,...,iM ) są n«n wymiarowymi , symetrycznymi,nieujemnie określonymi macierzami , Pii^.i.,,...,^) są

a*m wymiarowymi,symetrycznymi,dodatnio określonymi macierzami, W celu rozwiązania zagadnienia sterowania ze sprzężeniem zwrotnym w układach K-D należy transformować wskaźnik jakości J„

1 ’ 2 * * * * * K w podobny sposób jak równanie /2.1/. W tym celu wprowadza się następują­

ce oznaczenia s

= % Ck) = diagtq(s1 ts2 ,...,sJJ_1, - S + Sjj + k ) , Q(s^ 182^ • • • | | » * S + s ^ j + ł c ) ^ • • • j^^•“S+s^+k+l f 9^ -11 • • • > ^ f ) f

Q(— S+s^+k, 82» • • • y t ^ = /Q+2/

% , s2,...,su ik5 = = diagiP(s1 ,s2 ,...,sli_1 , - S + ^ ♦ k ) , s^,s2 , # ,,, — 1 , —S+Sy+iC), •, • 1P^—S+s^ +k+1 , s2 —*1,, •», s^, ^ , s^i 1 ,

K-S+s^+k, s2 , ••», 1 t ) / k — 0,1,«««,S — 1 /4.3/

Zatem Og^Ck) są nlS-k+1 )*n^S-k+1 ) wymiarowymi, symetrycznymi,nieujemnio określonymi macierzami, Pc ik) są mCS-k+1) * mtS-k+1) wymiarowymi,syae- trycznymi,dodatnio określonymi macierzami.

1 2B J. K l a m k a

Wykorzystując oznaczenia /2.4/,/2.5/»/4.2/ oraz /4.3/ można przed­

stawić kwadratowy wskaźnik jakości /4.1/ w następującej,bardziej przy­

datnej do dalszych rozważań,formie t

k=S s—1

*> x! tk)Qo lk)xq (k) + > ui (k)Pq (k)uq (k) /4.4/

M % M k3T~ M - • M

Biorąc pod uwagę relacje /2.B/ oraz /4.4/ jest oczywiste,że problea optymalnego regulatora dla układów typu M-D może być sprowadzony do rów- ! noważnego problemu optymalnego regulatora dla liniowych,niestacjonarny:^ i

o zmiennej strukturze układów typu 1-D.Zatem przy rozwiązywaniu proble­

mu optymalnego regulatora dla układów typu 1I-D można bez utraty ogólności posługiwać się znanymi z literatury ¡14] , [15]rezultatami dotyczącymi ukła­

dów typu 1-D .

Twierdzenie 2, Optymalne sterowanie dla problemu /2.B/ oraz /4.4/, a tym samym dla problemu /2.1/ oraz /4.1/ jest dane następującym wzorea i U3 (S-l-1) = - G(S-1)Ag (S-l-1)xg (S-l-1) 1=0,1, •.., (S-1) /4.5/

ii M M

gdzie s

G(S-l) = (Bg (S-l- 1 )F(S- 1 )B- (S-l-1 ) + Pg (s-l-1 ))_/lBg (S-l- 1 )F(S- 1 )

M % 11 M /4.6/

są mll+2 )*n(l+l) wymiarowymi macierzami,

FIS-l) = A|^tS-l)H(S-l+1)ASii(S-l) + Og^tS-l) /4.7/

M Ł!

są n(l+1 )*n(l+1 ) wymiarowymi macierzami ,

H(S-l) = F(S-l) - F(S-1)B- (S-l-1 )G(S-1) /4 .B/

są n(l+1 )*n(l+1 ) wymiarowymi macierzami.

Z powyższych zależności wynika,że optymalne sterowanie jest linio- i wą funkcją stanu lokalnego,a ponadto kwadratowy wskaźnik jakości odpo­

wiadający sterowaniu optymalnemu jest kwadratową funkcją początkowego stanu lokalnego (0 ) , a mianowicie !

/4.9/

Podstawiając zależność /4.5/ do wzoru /2.B/ uzyskuje się równanie reku- rencyjna dla stanu lokalnego x- (k3 , a mianowicie s

M

Sterowalność 1 s t e r o w a n i e o p t y m a l n e . . . _______________________________________ 129

Xg (S-l) = (A- (S-l-1) - Bo (S-1-1)G(S-1)A_ (S-l-1)h o [S-l-1) /4.10/

h T! TJ Tl • TJ

1 = 0,1,...,[S-1) W celu rozpoczęcia rekurencyjnych obliczeń należy najpierw założyć, żeH(S+l) = 0 , Następnie obliczenia przeprowadza się rekurencyjnie przy innie jszającym się indeksie 1 .

Podobne rezultaty można uzyskać dla sterowania z ustalonym punktem końcowym,czyli dla tzw. problemu sterowania z minimalną energią [9], [11] ,

[12]. Problem sterowania z minimalną energią może być sformułowany w spo­

sób następujący :należy wyznaczyć sekwencję [3^+1)...[s^+1 )...(iSy+1 ) - 1 wektorów sterowań ~|u[i^,.,.,i^,..., 1 ^] , ii^,...,ij,.,.,i^#)

D[a'1 ,...,s;jt...,Sjl) ” Cga1 ,***,8j,,,*,sU?j- tak ,aby końcowy stan lokalny ..,s^) przyjmował, z góry zadaną wartość c oraz aby kwadra­

towy wskaźnik jakości

=

u Ci^,i^, • • • ,ijj)PCi^ , , •.., 1-jj)u[i^ ,1 ^, • •• »d-jj) 3

k=S-1

= l £ r Us M ik)V k ) % (lC) / 4 *1 V

osiągał swoje minimum.

Rozwiązanie problemu sterowania z minimalną energią może być uzys­

kane na podstawie twierdzenia 2 ,przy dodatkowym założeniu,że rozpatry­

wany układ typu Ł5-D jest lokalnie sterowalny w przedziale [ 0 , 3 ] . Zatem po prostych modyfikacjach,wykorzystując dodatkowo pewne zależności cacierzowe podane w pracach [1ń] oraz [15] otrrymuje się następujące twier­

dzenie.

.Twierdzenie 5. Niech rozpatrywany układ typu U-D będzie sterowalny

* przedziale [o , S]. Wówczas sterowanie optymalne dla problemu mini- aalno-energetycznego uzyskuje się na podstawie twierdzenia 2 podstawiając

i • • • i • • • f ijp = O dla f t f # • #,ij|)€ Dg -• Cg“* oraz

■T. Klamka.

Należy zaznaczyć,że równania /4.5/ - /4.8/ mogą być przedstawiona w postaci umożliwiającej określenie wzajemnych zależności pomiędzy op­

tymalnym sterowaniem a macierzą lokalnej sterowalności zdefiniowaną relacją /3.2/. Wykorzystując tzw. zmodyfikowaną macierz sterowalności

[11], [12],w pracech [11] oraz [12] sformułowano i udowodniono analityczną .zależność określającą sterowanie z minimalną energią oraz podano wzór na wartość wskaźnika jakości odpowiadającą temu sterowaniu,w odniesie­

niu do układów typu 2-D. Rozszerzenie tych rezultatów na układy typu 3-D zawiera praca[9] ,gdzie wyznaczono również ogólną postać rozwiązania dla układów typu 3-D*

3, Układy typu 2-D,

Najczęściej spotykaną w praktyce klasą układów typu H-D są układy typu 2-D ,opisane następującymfmaoierzowym równaniem różnicowym o sta­

łych współczynnikach :

x U1+1 ,i2+l) = A^U^+l.ig) + A2xti1 ti2+1 ) + B^uti^+1 ,i2 )+32utiyj ,i2+1 )i /5«V gdzie:

u(i1 ,i2 )eRIB jest wektorem sterowania, xti^,i2 ) £Rn jest wektorem stanu lokalnego,

A^,A2 ,B^,B2 są stałymi macierzami o odpowiednich' wy miara eh, wynikających z wymiarów wektorów xCŁ-,,i2 ) oraz uti^ig) .

Wcelu rozwiązania równania /5.1 / należy zadać warunek Brzegowy na pros­

tej + i2 = 0 / jest to jednowymiarowa hiperpłaszczyzna /.Warunek ten jest postaci następującej :

xlh,-h) = xQ(h) , h € Z .

Zgodnie z zależnościami podanymi w podrozdziałach 2 oraz 3 macierz ste­

rowalności dla układów typu 2-D jest postaci : l=kp-1

W(ki,k2) = > A (k2 ,l)B (i)Bg s Cl)Ag (k2 ,l), /5.2/

l=k^ 1»s 2 * 1* 2 1 » 2 1 * 2 gdzie:

As^,s2 oraz .,s Halerzami wyznaczonymi na podstawie wzorów /2.6/

oraz /2 .7/.

Macierz sterowalności /5 .2/ jest oczywiście macierzą symetryczną , nks^+s2-k2+1 )xni.s1 +s2-k2+1 ) wymiarową.

Twierdzenie 1 oraz wnioski 1 1 2 pozostają w mocy,podobnie jak i rezul­

taty podrozdziału 4. Czytelnik pragnący dokładniej zaznajomić się z pro­

blematyką układów typu 2—D,znajdzie wyczerpujące omówienie tych zagad­

nień w pracach [2], [4] , [6], |>] , £10] , [11] , £13]

Strero w a l n o ś ć i s t e r o w a n i e o p t y m a l n e . 131

6. Podsumowanie.

W artykule sformułowano warunki konieczne i wystarczające lokalns j sterowalności układów typu M-D. Warunki te uzyskano w oparciu o odpo­

wiednio zdefiniowaną macierz lokalnej sterowalności. Wykorzystując znane i literatury rezultaty dotyczące układów typu 1-D niestacjonarnych, rozwiązano kilka podstawowych problemów sterowania optymalnego układani typu M-D. Zasadniczą sprawą jest tutaj sformułowanie transformacji do­

prowadza jącej układ typu M-D do niestacjonarnego,liniowego,o zmiennej strukturze układu typu 1-D.

Wyniki prezentowane w niniejszej pracy mogą być uogólnione na.przy­

padek układów typu M-D opisanych w nieskończenie-wymiarowych przestrze­

niach liniowych ,np. w przestrzeniach Hilberta. Pracą traktującą o tych zagadnieniach w odniesieniu do układów typu 2-D jest pubłikac jo [li] . Inne uogólnienie polega na możliwości rozpatrywania niestac jom myc h układów typu M-D ,zarówno w przestrzeniach Suklidesowych ,jak i w przes­

trzeniach Hilberta.

Istnieje również możliwość zastosowenia do analizy i syntezy ukła­

dów typu M-D metod ściśle algebraicznych ,bazujących na teorii wielo­

mianów M-zmiennyc h.Metody te zostały z powodzeniem zastosowane w od­

niesieniu do układów typu 2-D w pracach [i - J , 5 , 6 ], oraz [?1 Zastosowanie metod algebraicznych pozwala na pewne uproszczenia za­

pisu oraz umożliwia otrzymanie zwartych i łatwo czytelnych zależności matematycznych.

W pracy [12] rozpatrywano zagadnienia sterowalności układów typu

«¿-D opisanych za pomocą modelu Roessera [13] ,który jesp szczególnym przypadkiem modelu /2.1/ .Zatem rezultaty niniejszej pracy w odniesie­

niu do zagadnień sterowalności lokalnej są uogólnieniem wyników uzys­

kanych w pracy [12],

132 J. K l a m k a

l i t e r a t u r a

[1] Eising R. ¡Realization and stabilization of-2-D systems, IEEE Tran­

sactions on Automatic Control, vol. AC-23, no. 5,1978,str. 795-799»

[2] Eising R. : Controllability and observability of 2-D systems, IEEE Tran­

sactions on Automatic Control,v oIt-AC-24,no.1,1979,sfer.132-133.

[3] Eising R.¡Separability of 2-D transfer matrices,, IEEE Transactions on Automatic Control,vol.AC-24,no.3,1979,str.508-510.

[4] Fornasini E, -Marchesini G, ¡State-space realization theory of two- dimensional filters, IEEE Transactions on Automatic Control, vol.AC-21,no.4,1976,str.484-492.

[5] Fornasini E, Marchesini G. : Computation of reachable and observable realizations of spatial filters,International Journal of Control, vol.25,no4,1977,sfer .621-635.

[6] Fornasini E, Marchesini G.¡Doubly-indexed dynamical systems¡state space models and structural properties, Mathematical System Theory, vol.12,no.1,1978,str.59-72.

[7] Kaozorek T^Separability of transfer function matrices of 2-D linear systems by state feedbacks, International Journal of Control,vol.15, no.9,1962,str,1013-101B.

[S] Kaozorek T. ¡Pole assignment problem in two-dimensional linear sys-teną International Journal of Control,vol.37,no.1,1963,str.183-190,

[9] Kaczorek T.¡Minimum energy control of 3-D linear systems,Proceedings of IV Polish-English Seminar on Real Time Process Control,Jabłonna, 1983,str.137-15 2 .

[10]Elemke J^Controllability and optimal control of 2-D linear système, Foundations of Control Engineering /w druku/,

[11] Klamka J. ¡Sterowalność układów dynamicznych typu 2-D ,Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej,zeszyt Automatyka,no.63,1932,str.51-66.

[12IKlamka J.¡Controllability of M—dimensional linear systems, Foundations of Control Engineering,vol.8,no.2,1983,str.65-74.

M3]Roesser R ^ A discrete state—space model for linear image processing, IEEE Transactions on Automatic Control,vol.AC-20,no.1,str.1-10.

[14] Sorenson H. ¡Kalman filtering techniques,Advances in Control Theory, Academic Press,New Tork,1966,str.219-192.

- _

Sorenaon H» : Controllability and observability of linear, śtoc ha sic, time-discrete control systems,Advances in Control Theory,Academic Press,New York,1968,str.95-158.

Recenzen^Prof.dr hab.inż.Tadeusz Kaozorek ..płynęło do Redakcji do 30.03.19S4r.

Ster o w a l n o s d i s t e r o w a n i e o n t v m a l n e

m .

ynPABMEMOCTL H OimiMWDbHOE ynPABJIEHPffi CHCTEMAM» THUA M - J[

P e 3 d m e

B C TaTte rrpextcTasjieHO onpeaeJieHHe jiokejibhoh ynpaaiweMocTH CHCTeKU Tuna M - fl. Il0Ka3UBaeTCH npeodpaBOBaime cacTeuH Tima M - b jiraeKH yB HecTartH- oaapHys , c nepeweHHoK cTpyK Typoii, cHCTeMy Tuna I - . Kcno.11.3yB: c o o t - BeTCTBeHKHM odpasoM onpesejteHHyK) M aipnuy ynpaBJiseMocTH , cfopMyjmposaHH BeofaojpiMHe h NOCTaTOHHHe ycjioB hh jiOKajn>Hoii ynpaBjraeM ocrn c u c T e w j ra n a i! - i . PaccMOTpeHa Tarose npodJieMa 0nTKi.1ajn.H0r0 ynpasjieHHH npn KBanpaT—

hou KpzTepKK KanecTBa

THna M - £.

CONIROLLABILITI AND OPTIMAL CONTROL OF U-D SIS?£!1S

S u m m e r y

In the paper a definition of local controllability for linear, time- -iavariaat LI—D system is given. Transformation napping i!-D system into lineer, time-varying, variable structure 1-D system is proposed. Using appropriately defined controllability matrix, necessary and sufficient conditions for local controllability of U-D system are formulated.

Moreover the optimal control problem with quadratic performance index for f'j-D systems is also considered.