Kilka uwag o zagadnieniu prawdy w matematyce

Anna Lemańska

Kilka uwag o zagadnieniu prawdy w

matematyce

Studia Philosophiae Christianae 38/2, 117-126

2002

re prowokowałyby do dobrego postępow ania radością przyszłej wizji uszczęśliwiającej i chroniłyby przed złem - lękiem wiecznego potę­ pienia, zostawiając w tym wszystkim jeszcze miejsce na działanie ła­ ski, którą Bóg wspomaga wysiłki człowieka.

A R S V IV E N D I E T A R S M O R I E N D I IN D E N S C H R I F T E N V O N JA C O B U S D E P A R A D IS O

Z u s a m m e n fa s s u n g

D a s P ro b le m d e s T o d es h a t u n te r d e n , im g a n z e n M itte la lte r a u fg e n o m m e n e n T h em en , e in e b e s o n d e re S te llu n g u n d w u rd e n a tu rg e m ä s s m it g e n u s vivendi als eine A r t d e r V o rb e re itu n g a u f d e n T od v e rb u n d e n . D ie F a c h lite ra tu r p la z ie rt das T h em a im R a h m e n d e r d re i b r e ite r e n T en d e n z e n :

1 c o n te m p tu s m u n d i (X I/X II J a h r h u n d e r t) , 1 m e m e n to m o ri (X III-X IV J a h r h u n d e r t) , 2 ars m o rein d i (X V J a h r h u n d e r t) .

J a k o b u s von P a ra d ie s (1381-1465) b e tr a c h te te d a s P ro b le m d e s T o d es im R a h ­ m en d e r ars m o rien d i. D a s fü r ih n sp ez ifisch e ist: d a s L e b e n als im m e rw ä h re n d e V o rb e reitu n g a u f d e n Tod zu b e tra c h te n . D a r a u s re s u ltirt d ie S o rg e um ein m o d u s vivendi, w e lch e s d a s ew ige L e b e n g a r a n tie r t als se in H a u p tp o s tu la t. A ls u n v e ­ rzich tb ar in d iese m P ro z e ss e rs c h e in t ih m d ie m y stisch e E rfa h ru n g . D ie n ä h e re B e sc h reib u n g d e r ars m o rien d i, v e rs ta n d e n als 'ric h tig e' ars vivendi, w a r m it e in e r e x tre m e n m o n a s tic h e n R ic h tu n g v e r b u n d e n , d e re n D u r c h fü h ru n g m it d e m g a n ­ zh eitlich en A u fg e b e n d e r in d is c h e n W e rte g le ic h z u se tz e n w ar. In se in e m W erk D e triplici genere h o m in u m w ird J a k o b u s v o n P a ra d ie s 'w eich er'. E r k o m m t d e r devotio m oderna u n d J. G e rs o n n ä h e r, in d e m e r d ie W ü rd e u n d d a s N u tz e n au s a n d e re n als m o n a s tisc h e n L e b e n s a rt b e rü c k sic h tig t.

A N N A L E M A Ń S K A

W ydział F ilo zo fii C hrześcijańskiej, U K S W

KILKA UWAG O ZAGADNIENIU PRAWDY W MATEMATYCE

Zagadnienie prawdziwości w m atem atyce stanowi złożony i wie­ loaspektowy problem i, jak w przypadku większości kwestii z zakre­ su filozofii m atem atyki, nie m a prostego, jednoznacznego rozwią­

zania. M atem atyce bowiem m ożna przypisywać rozm aite cechy charakterystyczne, które zdają się nawzajem wykluczać. Jest uzna­ wana ona za naukę form alną, ale wskazuje się na jej empiryczne korzenie. Jej pojęcia są abstrakcyjne i dla większości z nich nie m ożna wskazać fizycznych, m aterialnych odpowiedników, jedno­ cześnie m atem atyka posiada szerokie zastosowania w rozmaitych naukach. Toteż wśród filozofów m atematyki nie ma zgody co do te­ go, jaka jest istota m atem atyki, czym jest jej przedm iot i jakie są re­ lacje między pojęciam i matematycznymi a umysłem człowieka. Wszystko to ma wpływ również na rozum ienie prawdziwości. Oka­ zuje się, że m ożna do form uł i teorii matematycznych zastosować różne kryteria prawdy w zależności od tego, który z aspektów mate­ matyki bierze się pod uwagę. W niniejszym opracowaniu wskażę, jaki wpływ wywiera na pojmowanie prawdziwości uwzględnianie bądź m etody m atem atyki, bądź relacji między teorią a jej modelem, bądź wykorzystywania kom puterów , bądź zastosowań matematyki do opisu rzeczywistości przyrodniczej.

Jak wiadomo, m etodą m atematyki jest m etoda aksjomatyczno- dedukcyjna: z przyjętych aksjom atów za pom ocą rozum owań de­ dukcyjnych wyprowadza się twierdzenia teorii. Toteż matematyk uznaje form ułę za prawdziwą tylko wtedy, gdy istnieje jej dowód w danej teorii aksjomatycznej. W m etam atem atyce pojęcie dowodu dedukcyjnego jest precyzyjnie określone. Zatem posiadanie dowo­ du jako kryterium prawdziwości zdaje się być naturalne, a zarazem pozwala na jednoznaczne sprawdzenie, czy form uła jest prawdziwa. W takim ujęciu prawdziwość sprowadza się do niesprzeczności da­ nej form uły z innymi, tworzącymi razem teorię m atematyczną. To­ też często jest przyjmowany pogląd, że w m atem atyce mamy do czynienia z koherencyjnym rozum ieniem prawdziwości.

Powyższe stanowisko jednak niesie ze sobą pewne trudności, a koherencyjne rozum ienie prawdziwości nie oddaje wszystkich cech charakterystycznych m atem atyki. Jeżeli mianowicie umiesz­ czamy daną form ułę w pewnej teorii m atematycznej, to, jak łatwo zauważyć, jej prawdziwość w istotny sposób zależy od niesprzecz­ ności (spójności, koherencyjności) całej teorii. Tego, że teoria jest niesprzeczna nie daje się jed n ak wykazać bezpośrednio, w sposób absolutny (wynika to z drugiego twierdzenia G ódla). Niesprzecz- ność m ożna stwierdzić przez interpretację danej teorii w innej lub poprzez znalezienie dla niej m odelu. W tym pierwszym przypadku

pojawia się problem wykazania niesprzeczności tej innej teorii. W drugim powstaje zagadnienie, czy istnieje m odel - odpowiednia struktura m atematyczna. Rozwiązanie tego zagadnienia wymaga znowu odwołania się do jakiejś teorii (m oże nią być teoria m nogo­ ści, na przykład Z erm elo -F raen k la lub M orse’a), w której dowodzi się istnienia odpowiedniego m odelu. Co więcej, ponieważ nie ist­ nieją absolutne dowody niesprzeczności teorii matematycznych, za­ tem ich niesprzeczność jest w pewnym sensie faktem empirycznym - teoria jest z powodzeniem rozwijana i nie napotyka się w niej na sprzeczność. N a przykład, wydaje się wręcz niepraw dopodobne, by arytmetyka liczb naturalnych okazała się teorią sprzeczną, gdyż ca­ ła historia m atem atyki i nauki zdaje się potw ierdzać jej niesprzecz­ ność. M ożna zatem powiedzieć, że niesprzeczność teorii niejako jest spraw dzana w praktyce m atematyków, że jest potwierdzana przez swoiste doświadczenie.

Problemy ze stw ierdzeniem niesprzeczności teorii nie są wszyst­ kimi trudnościam i, jakie stwarza koherencyjne rozum ienie praw ­ dziwości. Odw ołanie się do dowodu przy interpretacji prawdy rów­ nież nie jest wolne od komplikacji. Przede wszystkim, dowód jest zawsze przeprowadzany w ram ach pewnej teorii aksjomatyczno- dedukcyjnej lub sformalizowanej. Budow anie teorii zgodnie z m e­ todą aksjom atyczno-dedukcyjną rozpoczyna się od przyjęcia reguł dowodzenia i aksjomatów. Każdy dowód bowiem oparty jest na przesłankach oraz regułach uzyskiwania z przyjętych form uł n a­ stępnych tez. Nie wszyscy m atem atycy akceptują jednak reguły do­ wodzenia stosowane w logice klasycznej. Niektórzy ograniczają środki dowodowe tylko do efektywnych konstrukcji. Zm ienia to za­ sadniczo oblicze m atem atyki, a co za tym idzie, także rozum ienie prawdziwości. Nie wszystkie bowiem twierdzenia udowodnione zgodnie z zasadam i obowiązującymi w logice klasycznej są akcepto­ wane przez konstruktywistów. W tym przypadku prawdziwość zo­ staje zawężona do posiadania konstrukcji efektywnej.

Z kwestią przyjmowania reguł dow odzenia ściśle łączy się zagad­ nienie uznawania aksjomatów. N iektóre z przyjmowanych aksjo­ matów są tautologiam i logicznymi. W śród m atematyków nie ma jednak powszechnej zgody, który system logiki jest najwłaściwszy dla upraw iania m atem atyki. W szczególności intuicjoniści odrzuca­ ją, na przykład, prawa wyłączonego środka i podwójnego przecze­ nia. Z tego względu prawdziwość w sensie posiadania dowodu b ę­

dzie w istotny sposób zależeć od wyboru systemu logiki, który leży u podstaw danej teorii.

Co do akceptacji aksjom atów pozalogicznych sprawa jest jeszcze bardziej zawikłana. W ujęciu formalistycznym z reguły przyjmuje się, że ich wybór m oże zależeć wyłącznie od upodobań m atem aty­ ka. W historii m atem atyki jednak nie m a przykładów takich teorii, dla których układ aksjom atów powstał w wyniku arbitralnej decyzji m atem atyka. Teorie m atem atyczne nie powstają jako gotowe teorie aksjom atyczno-dedukcyjne, lecz zawsze przechodzą przez stadium teorii nieformalnych. D opiero po pewnym czasie zostają ukształto­ wane podstawy teorii i teoria nieform alna staje się teorią aksjoma- tyczną. Powstaje zatem kwestia, jak określić kryteria wyboru takich, a nie innych aksjomatów.

Często głoszony jest pogląd, że aksjom aty powinny być oczywi­ ste i że ich pewność nie m oże wzbudzać żadnych wątpliwości. Poja­ wia się jednakże pytanie: co oznacza w powyższym kontekście określenie „oczywisty” w odniesieniu do aksjomatów. W różnych sytuacjach mówi się, że coś jest tak pewne lub oczywiste jak to, że 2-2=4. Czy rzeczywiście oczywistość tego, że 2-2=4 (i podobnych form uł) nie budzi żadnych wątpliwości? Prawdziwość powyższej form uły jest uznawana, gdyż są rozum iane poszczególne występu­ jące w niej pojęcia: 2, 4, -, = ; rozum iana jest zatem treść formuły. Rozum ienie treści musi się jed n ak odnosić do jakiejś rzeczywisto­ ści pozajęzykowej, gdyż nie wystarcza w tym przypadku sam kształt napisów, a istotne staje się znaczenie poszczególnych symboli. Prawdziwość form uły zostaje w tej sytuacji pośrednio uzależniona od tego, jak rozum ie się tę rzeczywistość, a w szczególności, w jaki sposób ona istnieje i w jaki sposób jest poznawana. W chodzi się zatem w obszar głównych sporów toczonych w filozofii m atem aty­ ki między aprioryzm em a aposterioryzm em oraz platonizm em a antyplatonizm em .

W pewnym zakresie m ożna próbować uniknąć wikłania się w kwestie ontologiczne przy rozpatrywaniu prawdziwości poprzez ustalenie struktury m atematycznej i dokonanie w niej interpretacji języka danej teorii. M amy wtedy do czynienia z m odelem dla teorii. M odelem jest pewien system relacyjny, a prawdziwość formuły w takim systemie jest zdefiniow ana poprzez relację spełniania Tar- skiego. Jej sens (w znacznym uproszczeniu) m ożna wyrazić nastę­ pująco: w strukturze R jest spełnione zdan ie p (innymi słowy,/? jest

prawdziwe), jeżeli w R jest tak, jak m ów ip po interpretacji symboli występujących w p . Potocznie przyjm uje się, że definicja prawdy Tarskiego określa w m atem atyce klasyczne (arystotelesowskie) ro­ zumienie prawdziwości. Sprawdza się bowiem zgodność między zdaniem a stanem rzeczy, który zachodzi w danej strukturze m ate­ matycznej.

Dla określenia prawdziwości form uły przez odniesienie do m o­ delu kwestie związane ze sposobem istnienia struktury mają zna­ czenie drugorzędne, gdyż struktura m atem atyczna jest pojęciem matematycznym i z pewnego punktu widzenia to, czym są i jak ist­ nieją obiekty w strukturze, nie m a zbyt wielkiego znaczenia, ponie­ waż zawsze na plan pierwszy m ożna wysunąć relacje między tymi obiektami. Konsekwencje tw ierdzeń limitacyjnych ukazują jednak ograniczenia takiego stanowiska. Przede wszystkim, twierdzenie Skolema-Löwenheima głosi, że teorie (z reguły) posiadają m odele różnych mocy, a więc nieizom orficzne między sobą. Zaś z pierwsze­ go twierdzenia G ódla o niezupełności wynika, że teorie aksjoma- tyczne pierwszego rzędu nie są w stanie opisać w pełni danej dzie­ dziny m atematycznej; zawsze pozostaną jakieś kwestie nierozstrzy­ gnięte, dające możliwość przypisywania tym obiektom różnych, wy­ kluczających się nawzajem własności. Teoria zatem nie wyznacza jednoznacznie wszystkich własności relacji zachodzących między obiektami w danej strukturze m atem atycznej, toteż trudno jest zgo­ dzić się ze stwierdzeniem, że obiekty m atem atyczne są wyznaczone poprzez teorię je opisującą (na przykład, liczbami naturalnym i są takie obiekty, które spełniają aksjom aty Peano). Jeżeli zaś przyjmie się, że dziedzina obiektów m atem atycznych istnieje w jakiś sposób poza sform ułow aną teorią, to nie uniknie się problem ów ontolo- gicznych.

Pojawiają się również problem y z uznawaniem prawdziwości zdań niezależnych od danego systemu aksjomatyczno-dedukcyj- nego. Nasuwa się pytanie: czy jest w ogóle sens mówić o prawdzi­ wości na przykład hipotezy continuum , skoro istnieją m odele, w których jest ona prawdziwa, i takie, w których jest prawdziwa jej negacja. Przyjęcie bądź odrzucenie hipotezy continuum może pod­ legać swobodnej decyzji m atem atyka. Jego wybór będzie uzależnio­ ny od tego, do czego dana teoria m a służyć. W tym przypadku ak­ ceptacja form uły jest uwarunkow ana czynnikami praktycznymi. Wydaje się zatem , ze branie pod uwagę samej tylko m etody m

ate-matyki i wynikającego z tego koherencyjnego rozum ienia prawdy jest zbytnim uproszczeniem i nie pozwala w pełni scharakteryzować prawdziwości w m atematyce.

W tym miejscu należy podkreślić, że w matematyce w zasadzie nie można mówić o prawdziwości jednego zdania wyizolowanego z kontekstu. Tym kontekstem może być bądź szerszy układ zdań, tworzący teorię aksjomatyczno-dedukcyjną, bądź struktura mate­ matyczna, czyli dziedzina obiektów matematycznych. Z atem praw­ dziwość zdania musimy rozważać bądź przez odniesienie do teorii, bądź jakiegoś m odelu. W pierwszym przypadku to, czy dane zdanie jest prawdziwe, jest ściśle powiązane z niesprzecznością teorii. W tym drugim zaś prawdziwość zostaje w pewnym zakresie uzależ­ niona od przyjętego stanowiska w kwestii istnienia przedm iotu ma­ tematyki.

Przy rozpatryw aniu prawdy w m atem atyce odniesienie do teorii względnie jej m odeli jest jed n ak z różnych względów niewystarcza­ jące. Teorie m atem atyczne są ze sobą powiązane w rozmaity spo­ sób, toteż konieczne jest całościowe widzenie matematyki, czyli uwzględnienie zależności między poszczególnymi teoriam i mate­ matycznymi. W tym przypadku traci na znaczeniu koherencyjne ro­ zum ienie prawdziwości. W tedy bowiem, gdy m atem atyka zostaje potraktow ana jako integralna dyscyplina naukowa i nie rozczłon- kowuje się jej na szereg oddzielnych teorii, znaczenia nabierają obiekty m atem atyczne, czyli przedm iot badań matematyków. Ma­ tematycy m ają przed sobą pewien świat obiektów matematycznych i ten świat starają się zbadać przez poznanie jego właściwości i za­ leżności między obiektam i w nim się znajdującymi. Jeżeli przyjmuje się obiektywne, niezależne od m atem atyka, istnienie tego świata, to m atem atyk staje się odkrywcą, zaś do formułowanych przez niego stwierdzeń daje odnieść się klasyczne rozum ienie prawdy: twier­ dzenia m atem atyczne m uszą oddawać faktyczny stan rzeczy, zacho­ dzący w świecie obiektów matematycznych.

Z agadnienie sposobu istnienia obiektów matematycznych jest jed n ak kontrowersyjnym problem em z zakresu filozofii m atematy­ ki. W szczególności stanowiska, przyjmujące obiektywne, niezależ­ ne od m atem atyka istnienie przedm iotu m atematyki, stwarzają roz­ m aite trudności interpretacyjne, zwłaszcza dotyczące możliwości poznawania świata obiektów matematycznych. Istnienie zaś zdań typu hipotezy continuum i aksjom atu wyboru sprawia, że i w tym

przypadku pewnym zdaniom nie da się jednoznacznie przypisać prawdziwości.

Wykorzystywanie kom puterów przez m atem atyków stwarza no­ wą perspektywę przy rozpatryw aniu prawdy w m atem atyce. Zostają bowiem stworzone możliwości dokonywania swoistych doświad­ czeń z modelami kom puterowym i obiektów matematycznych. N ie­ które hipotezy dotyczące pojęć m atematycznych (na przykład zbio­ rów fraktalnych, układów dynamicznych) są w swoisty sposób „te­ stowane” za pom ocą kom putera. W prawdzie w taki sposób spraw­ dzone hipotezy nie są jeszcze przez m atem atyków traktow ane jako pełnoprawne twierdzenia (te muszą zostać udow odnione), to na­ bierają większego praw dopodobieństw a. Praca matematyków z kom puterem przypom ina badania przyrodnika. D o hipotez sta­ wianych przez m atem atyków m ożna stosować określenia, takie jak praw dopodobne, weryfikowalne, sfalsyfikowalne itp., za pom ocą których charakteryzuje się stw ierdzenia z zakresu nauk szczegóło­ wych. Obiekty m atem atyczne bowiem zdają się tworzyć rzeczywi­ stość analogiczną do rzeczywistości m aterialnej. Pozwala to na b a­ danie zgodności między treścią form uł m atematycznych a zależno­ ściami zachodzącymi w obszarze rzeczywistości m atematycznej. Pa­ radoksalnie jedn ak zastosowanie kom puterów nie tylko ukazuje analogie między teoriam i m atematycznym i a teoriam i z dziedziny nauk szczegółowych, lecz również wskazuje na odniesienie pojęć matematycznych do jakiejś rzeczywistości m atematycznej poza kom puterem . Te obiekty, które są m odelow ane w kom puterze, ist­ nieją bowiem w pewien sposób zarów no poza kom puterem , jak i poza światem przedm iotów fizycznych.

Problem prawdziwości w arto jeszcze rozpatryw ać w znacznie szerszym kontekście, a m ianowicie m iejsca m atem atyki w całym systemie naszej wiedzy i zastosow ań m atem atyki w innych n a­ ukach. Teorie m atem atyczne często są bowiem wykorzystywane przez przyrodników do konstruow ania teorii przyrodniczych, opi­ sujących jakiś aspekt rzeczywistości fizycznej. W takim przypadku można mówić o swoistym eksperym entalnym potw ierdzaniu teorii matematycznej; w pew ien sposób teo ria m atem atyczna poprzez swoje zastosow ania zostaje eksperym entalnie zweryfikowana. Poddajemy bowiem teorię m atem atyczną interpretacji i zadajemy pytanie: czy zinterpretow ana teo ria „pasuje” do rzeczywistości fi­ zycznej. Jeżeli teoria przyrodnicza przechodzi przez kolejne testy

eksperym entalne, to wraz z nią zostaje przetestow ana teoria m ate­ matyczna. D okonuje się tu swoistej weryfikacji teorii m atem atycz­ nej poprzez znalezienie szczególnego m odelu dla teorii, jakim jest pewien aspekt rzeczywistości m aterialnej. Dzięki tem u tw ierdze­ nia czy cale teorie m atem atyczne są odnoszone do świata m ate­ rialnego. To sprawia, że m ożna mówić o eksperym entalnym po ­ twierdzaniu pewnych teorii m atematycznych. N a przykład, po od­ kryciu geom etrii nieeuklidesowej C. F. G auss zaproponow ał, by w wybranym trójkącie zmierzyć kąty, a tym samym przekonać się, w jakiej przestrzeni żyjemy. Uzyskane tą drogą pom iary z jednej strony dałyby nam inform ację o świecie nas otaczającym (o rodza­ ju przestrzeni, w której żyjemy), z drugiej zaś mogłyby stać się swo­ istym potw ierdzeniem dla jednej z geom etrii, gdyż przestrzeń fi­ zyczna stanowiłaby dla niej m odel.

Badanie prawdziwości zdań czy teorii matematycznych może być przeprow adzone za pom ocą eksperym entowania, mającego na celu stwierdzenie zgodności między zdaniam i a rzeczywistością, którą te zdania opisują. Należy jed n ak podkreślić, że występują tu przynaj­ mniej dwa różne poziomy. Jednym z nich jest rzeczywistość obiek­ tów matematycznych, drugim świat materialny. Eksperym ent kom ­ puterowy pozwala zbadać zgodność twierdzeń z rzeczywistością m atem atyczną, zaś poprzez zastosowania m atem atyki możemy sprawdzać ich zgodność z rzeczywistością fizyczną, pozam atem a- tyczną. W m atem atyce pojawiają się zatem takie aspekty, które da­ ją podstawy do m ówienia o jej aposteriorycznym (a nie apriorycz­ nym jak w przypadku koherencyjnego rozum ienia prawdziwości) charakterze. Prawdziwość w takim ujęciu nie może być interp reto­ wana tylko koherencyjnie, a znaczenie zaczyna mieć rozum ienie prawdziwości w sensie klasycznym. Należy jednak jeszcze raz pod­ kreślić, że rzeczywistość - stan rzeczy - z którym konfrontow ane są form uły m atem atyczne, może być rozmaicie rozum iana.

Trzeba w tym miejscu dodać, że interpretacja prawdziwości teorii m atem atycznej, która służy jako formalizm dla teorii przyrodniczej, zależy od przyjmowanej koncepcji nauk przyrodniczych. Jeżeli przyjmuje się koncepcję realistyczną nauk przyrodniczych, to są podstawy do mówienia o odniesieniu teorii matematycznej do rze­ czywistości fizycznej i o klasycznym rozum ieniu prawdziwości. Przy interpretacjach antyrealistycznych teorii przyrodniczych nie może być mowy o prawdzie w klasycznym rozum ieniu. M ożna natom iast

interpretow ać prawdziwość jako spełnianie przez teorię roli narzę­ dzia sprawnego, skutecznego i użytecznego poznawczo. Mielibyśmy wtedy do czynienia z pragm atyczną koncepcją prawdy zastosowaną do m atematyki.

W arto zauważyć, że bez względu na stanowisko w odniesieniu do teorii przyrodniczych w przypadku zastosowań m atematyki mogą odgrywać rolę elem enty konwencjonalne bądź pragm atyczne. Taki a nie inny wybór teorii matematycznej przez przyrodnika bywa bo­ wiem czasami podyktowany wygodą lub użytecznością.

To, co do tej pory stwierdziłam, odnosi się przede wszystkim do sytuacji, gdy rozpatruje się niejako „gotowy” produkt, jakim jest za­ awansowana teoria m atem atyczna. Problem prawdziwości wygląda jednak nieco inaczej z perspektywy tworzenia nowej wiedzy m ate­

matycznej. Przede wszystkim w tej fazie nie mamy z reguły do czy­ nienia z jakąś teorią - układem form uł. Brakuje zatem punktu od­ niesienia do stw ierdzania niesprzeczności form uły z jakimiś innymi formułami.

K orzeni wiedzy m atem atycznej, jak się wydaje, należy dop atry ­ wać się w dośw iadczaniu przez człowieka otaczającej go rzeczywi­ stości. Przy dalszym rozw ijaniu wiedzy m atem atycznej również wskazuje się na rozm aite m etody heurystyczne (na przykład in­ dukcję, analogię) pom ocne w uzyskiwaniu nowych faktów m ate­ matycznych. Z atem rozm aite elem enty związane z dośw iadcze­ niem m atem atyków odgrywają istotną rolę i one również stają się ważne dla przyjęcia danych wyników. W tym kontekście powraca w nieco innej form ie zagadnienie odniesienia między treścią tw ierdzeń m atem atycznych a w łasnościam i rzeczywistości otacza­ jącej człowieka.

W zależności zatem od aspektu wiedzy m atem atycznej, na który zwracamy w danym m om encie szczególną uwagę, do m atematyki da się odnieść rozm aite rozum ienia prawdziwości. Przede wszyst­ kim bardzo ważne jest koherencyjne rozum ienie prawdy, ściśle związane ze swoistą m etodą m atem atyki. Wydaje się jednak, że kryteria akceptowalności form uł m atem atycznych oparte na sa­ mym powiązaniu tych form uł z innymi są niewystarczające. Oczywi­ ście dowód dedukcyjny jest niezbędny i również wystarczający do tego, by uznać daną form ułę za tw ierdzenie m atem atyczne. M ate­ matyka nie wyczerpuje się jed n a k bez reszty w dedukowaniu je d ­ nych twierdzeń z już wcześniej udowodnionych. Toteż obok

kohe-rencyjnego rozum ienia prawdziwości do twierdzeń matematycz­ nych m ożna odnosić klasyczną interpretację prawdy, a także kryte­ ria pragm atyczne, takie jak wygoda czy użyteczność. W ymienione rozm aite kryteria prawdziwości wskazują na bogactwo rzeczywisto­ ści m atem atycznej, a także na obiektywne jej istnienie poza umy­ słem m atem atyka.

T H E I S S U E O F T R U T H IN M A T H E M A T IC S S u m m a ry

T h e q u e s tio n o f tr u th in m a th e m a tic s is a c o n tro v e rsia l a n d c o m p lex issue. In th e p a p e r th e r e a r e in d ic a te d v a rio u s p o ssib ilitie s o f in te rp re tin g th e tr u th o f m a ­ th e m a tic a l fo rm u la s a n d th e o rie s . D e p e n d in g o n a p a rtic u la r a sp e c t o f m a th e m a ­ tical k n o w led g e, a n u m b e r o f w ays o f u n d e rs ta n d in g tr u th c an b e ap p lie d . D iffe ­ r e n t c rite ria o f t r u th , su c h as: co n sisten c y in a n a x io m a tic th e o ry , a d e q u a c y b e tw e ­ en a fo rm u la a n d m a th e m a tic a l reality , a d e q u a c y b e tw e e n a m a th e m a tic a l th eo ry an d physical reality, c o n v en ien ce , u se fu ln ess o f a m ath e m a tic al th eo ry , an d co n v en ­ tio n a l a n d p ra g m a tic a sp e c ts o f a p p lic a tio n s o f m a th e m a tic s a re d iscu ssed . T h e s e c rite ria show th e ric h e s o ffe re d by m a th e m a tic a l re ality , as well as its o b jec tiv e exi­ s te n c e o u ts id e th e m in d o f a m a th e m a tic ia n .

W IE S Ł A W D Y K

In sty tu t F ilozofii U niw ersytetu S zczeciń skieg o

MIĘDZY ZOOLOGICZNĄ KONCEPCJĄ CZŁOWIEKA A ANTROPOLOGICZNĄ WIZJĄ ZWIERZĘCIA

Próby ujęcia zwierzęcości w człowieku m ożna, na zasadzie na­ czyń połączonych, łączyć z określaniem zakresu człowieczeństwa w zwierzęciu. D obrostan życia zwierząt, mający znaczenie biolo­ giczne, porównywany bywa z przeżywaniem szczęścia wśród ludzi; świadomości zwierząt odpow iada samoświadomość człowieka, a co za tym idzie ból porównywany bywa z cierpieniem , posłuszeństwo instynktom z cnotą, biologia z etyką. N agrom adzone osiągnięcia nauk szczegółowych, w wyniku braku odniesień do postępu nauk humanistycznych, dają podstaw ę do tworzenia mitów.