Współpraca belki Bernoulliego z ośrodkiem o niejednorodnych parametrach

Katarzyna CABAŃSKA Wydział Matematyki i Techniki WSP Bydgoszcz

WSPÓŁPRACA BELKI BERNOULLIEGO Z OŚRODKIEM SPRĘŻYSTYM O NIEJEDNORODNYCH PARAMETRACH

Streszczenie. W pracy przedstawiono problem wzajemnego zginania, skręcania i ściskania belki Bemouliego w niejednorodnym ośrodku sprężystym. W tym ośrodku występuje odpór normalny do konturu przekroju poprzecznego belki, odpór styczny do tego konturu i wzdłużny odpór styczny między ośrodkiem i belką. Model matematyczny opisano układem sprzężonych czterech równań różniczkowych.

MATING OF BERNOULLI’S BEAM WITH THE NON-HOMOGENEOUS ELASTIC MEDIUM

Summary. In this paper a mutal o f a influence of a bending, a torsion and an axial compression od Bernoulli beam diped in the non-homogeneous elastic medium is preseted. In this medium occuring uie normal interaction to the contour o f a cross - section of the beam, the tangebal interaction to this contour o f the beam, the longitudinal tangetial interaction between this medium and the beam. The mathematical model o f the system of coupled four differential equations are described.

COTPyaHHUECTBO EAJIKH BEPlIUYlErO C YIIPYrOH CPEZIOH C HEOZIHOPOZlHblMH I 1 APAMETPAMM

PeagiM e. B pa6oTe upezLCTamreHO 3a4u<iy B3aHMHoro crH 6anhH , cjcpyuHBaHHn h c*HMaHHfl 6aJiKH B e p iio y u e ro c p e ita . B 3t oK c p e a e BHCTyiraeT oTiiop HopMauHHfl u KacaTenbHHft k x o H T /py iio n e p eu H o ro ceueHHH Cujikh a tb k x o npoziojibHiift oT nop K acaren b iiirii k oB oum te 6anKH. MaTeMaTHuecjiHii MOiicjib ouwcaHO cmctomoR cbh3h ueT hipex ziH<{)ii>epeHii,HOHHHX ypaBHeHHtł.

60 K. Cabańska

1. WSTĘP

W różnych urządzeniach technicznych, maszynach, budowlach poszczególne elementy współpracuje ze sobą. Najprostszym przypadkiem zanurzania konstrukcji w ośrodku sprężystym jest utwierdzenie części belki np. w murze, fundamencie lub korpusie maszyn.

Wieńce stropowe można rozpatrywać jako belki zanurzone całkowicie w ośrodku sprężystym.

W pracy J. Obrębskiego [3] zajęto się dynamiką belki zanurzonej w trójkierunkowym sprężystym ośrodku typu Winklera. W pracy Z. Wasiutyftskiego, S. Zagrodzkiego, W.

Marksa [4] dokonano analizy zginania pali. Natomiast w pracy K. Cabańskiej [1] rozwiązano problem wzajemnego wpływu zginania i skręcania belki zanurzonej w jednorodnym, dwuparametrowym ośrodku sprężystym.

W pracy przedstawiono belkę Bemoulliego otoczoną na całej jej pobocznicy niejednorodnym, trójparametrowym ośrodkiem sprężystym. Celem pracy jest wprowadzenie równań różniczkowych opisujących wzajemny wpływ zginania, skręcania i ściskania belki zanurzonej w tym ośrodku.

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Fizycznym modelem jest belka Bemoulliego zanurzona w trójparametrowym, niejednorodnym ośrodku sprężystym (rys. 1). Belkę o długości 1 obciążono siłami działającymi w płaszczyznach głównych belki p,(x), py(x), momentami działającymi w płaszczyznach głównych belki m,(x), my(x), momentem m0(x) działającym dookoła osi geometiycznej belki i siłą działającą wzdłuż osi belki p0(x).

p,=Pilx): •

ym j'V'y o v A

| : ;

I 'i 'l 't

U) : l_ ■ V ■ ■

' Z

• ■ ' f t <*)'■•’ v ; : A

Oil

m=mM r.‘r .M

h i l i I m I

\

P t’PcM \ P ‘/iM

: V - v v / . ': A A * A ( x i -‘/ i

L z

Rys. 1. Schemat obciążenia belki w ośrodku sprężystym Fig. 1. The scheme of a load of the beam in the elastic medium

Założono, że belka jest w stałym kontakcie z ośrodkiem, tzn., że oprócz tego, że nie występuje szczelina między belkę o ośrodkiem, to również nie występuje między nimi poślizg. Belka zanurzona w ośrodku sprężystym i znajdujęca się pod wpływem obciężenia ulega odkształceniu, a to odkształcenie powoduje oddziaływanie tego ośrodka na belkę.

Oddziaływanie to przejawia się odporem poprzecznym rt(x), ry(x) oraz wzdłużnym odporem stycznym t(x) do powierzchni belki i jednocześnie równoległym do jej osi (rys. 2). Odpór poprzeczny jest wypadkowę odporu normalnego r„ do tego konturu przekroju poprzecznego belki i odporu stycznego r, do tego konturu (rys. 1). W efekcie obciężeń zewnętrznych i odporów występuje zginanie w płaszczyznach głównych belki, skręcanie i ściskanie belki.

3. MODEL MATEMATYCZNY PROBLEMU

Zjawisko zginania [2], skręcania i ściskania belki o niejednorodnych parametrach w dwóch kierunkach zanurzonej w sprężystym ośrodku opisano nastepujęcym układem równań różniczkowych:

E J ^ - P -

dmz d[iz

- r + —

y dr* r z ~dx dx

E J ^ = D - dmy d Py

- r + — i ,

z dx* r y ~dx~ y dx

(₁)

£ F —

.

O

O

dx

GJs^ ~ = m ' d x '

gdzie: w(x), v(x) - przemieszczenie belki w płaszczyznach głównych I,, Jy - momenty bezwładności powierzchni przekroju poprzecznego względem odpowiednich głównych osi centralnych, r,(x), ry(x) - odpory poprzeczne w płaszczyznach głównych p,(z), fiJ(x) - momenty odporowe działajęce w płaszczyznach głównych belki, <p(x) - kęt skręcenia belki, I, - zastępczy moment bezwładności powierzchni przekroju belki na skręcanie, /i0(x) - moment odporowy względem osi geometrycznej x, F - pole przekroju poprzecznego belki, r„(x) - odpór osiowy w kierunku osi x, E - moduł Younga, G - moduł Kirchoffa.

Po wprowadzeniu wzorów na ^i(x), n,(x), r,(x), ry(x), /t0(x), r„(x) i wstawieniu do układu równań ( l) otrzymano układ czterech liniowych, sprzężonych, niejednorodnych równań różniczkowych w formie:

62 K. Cabańska

dĄw d x4

- X( f w , d \ du , .

T T " >T7 + _{dx dxz} sit: + a>w + V + ci<P + -A(JC)

d*v . d \ . d2w du . .

’ s‘ * * v * •“ * v * /,w (

)

dhi dx2

¿/w i/v

^ + s< * + a ’“ = / ’w

^ -

7

gdzie:

/ iW ' ' * > • /iW

/ ¡ » - i T , - w - 7 7 7GJ." .

a,, b ^ c,, a2, bj, c^, a3, 84, b4j c4 - stałe współczynniki, które zależy od x „ x», P. ©. L,, L, - momenty bezwładności niejednorodnego konturu przekroju belki odpowiednio względem głównych osi centralnych;

LyI - moment dewiacji niejednorodnego konturu przekroju belki względem głównych osi centralnych, S,, S* - momenty statyczne niejednorodnego konturu przekroju belki odpowiednio wzgledem głównych osi centralnych x„ = X»(y>z) “ zmienny moduł sztywności normalny ośroaka sprężystego x, = X, Cy,z) - zmienny moduł styczności ośrodka sprężystego.

Niejednorodny kontur przekroju spowodowany jest zmiennę "gęstościę"

Rys. 2. Schemat składowych odporu poprzecznego oraz składowych odporu normalnego i stycznego Fig. 2. The scheme of components of the transversal interaction

as well as the normal and tangetial interaction

64 K. Cabańska

4. PODSUM OW ANIE

W pracy wyprowadzono sprzężony układ czterech równań różniczkowych, który opisuje zjawisko zachowania się belki w trójparam etrowym , niejednorodnym ośrodku sprężystym.

Z e sprzężenia równań różniczkowych (2) parametrami w , v, u, <p wynika wzajemny wpływ zginania, skręcania i ściskania belki zanurzonej w tym ośrodku. Sprzężenie to występuje w przekrojach o dowolnym kształcie.

LITERATURA

[1] Cabańska K .: W zajemny w pływ zginania i skręcania belki zanurzonej w dwuparam etrowym ośrodku sprężystym. Prace IPPT, z. 8, W arszawa 1993

[2] Nowacki W .: M echanika budow li, t. 3. PW N , Warszawa 1975

[3] Obrębski J .B .: C ienkościenne sprężyste pręty proste. W PW , W arszawa 1991 [4] Z. W asiutyński, S. Zagrodzki, W. M arks: Mosty na podporach z pali betonowych.

P W N , W arszaw a 1963, s. 94 - 108

Recenzent: p ro f dr hab. inż. A. Tylikowski W płynęło do Redakcji w grudniu 1994 r.