Das von dem verainfachten wirbelsystem eines propellers induzierte geschwindigkeitsfeld

1Q9

WISSENSCHAFTLICH.TECHNISCHE MITTEILUNGEN

Herousgegeben vom Institut für Schiffbou, Rostock

und der Sektion Schiffstechnik der Universität Rostock

DK-Nr.: DR 532.5.031

DK 629.12.037.1.001.24

Dos von dem vereinfachten Wirbelsystem eines Propellers

induzierte Geschwindigkeitsfeld

Atis dem Institut für Schiffbau Rostock Dircktor: DipL-Ing. S. Kr'uppa

69. Mittcilung dcr Schiffhau-Vcrsuchsanstait Loitor: Dr..Ing. e. h. IV. Hen8chke

Von Dr.-Ing. Kari-OUo Edet, Borlin

Einleitung

Urn schon mi ersten Entwurfsstadiiiin die Wii'kung

cincH Propellers auf cino in seilicin Strnhl vorhnndcnc andero St,röinungsleitvorriclitung, wio zui ii lloi.spiol auf ciiieii zwoiten, gloich. oder gcgonliiufigon Propeller, auf cia Loitrad odor iuifcm Ruder, erfasMen zu könneii, vor-oinfachte GutRclie [I] clas von cinom Scliraubonpropci icr

crzougte \Virbclsystem so wcit,1 dnf3 sich die iiiduzicrto Axialgcscliwindigkeit relativ cinfach bcst,inirncii Iief3.

Die Vcrciiifachting bcsteht in cler Annahrnc ciiicr

kon-stanton Zirkulation lungs cbs Flugeirnclius und ciner unondlichen Flugclzahl. Das dcii l'ropeller und scino

Wirkuiigon ersctzcndo Wirbei8ystom bcsteht dann aus

ci nor kreisforinigcn Schci ho gobundcncr Wirbel mit

radutl vcriiiiclçrlichcr Stãrke, ans eincm cinseitig

uncod-lichen, lrnmogciicn Wirhclzylinder mit konstanter

Steigu ug cler Wirbelolemento und aus eincm cbcnfails cinseitig uiiond lichen Nabenwirbel.

Tm folgonden werdoii Formoiri zur Bostimmung dor

incluzierton Gcschwi iid igkoi ton in axialer, tangoiitinlcr und radialor Richtung angegebon. Für die niihcro Urn-gobung des idealisierton Propellers werden die Formein

flu incrisch ausgowertot.

Die Bestimmung

des induzierten Geschwindigkeitsfeldcs

Dio Borochnung des Feldes der iiidiiziertcn

Cescliwiiulig-kei ton wird unter der Voraussctziii ig durchgefuhrt, dalI sich diis Wirbeisystorn iii oiner idoalcn, roibungsfrcien Flussigkeit von der Propellcrcbono his zurn Unondiichon

mit unveriindcrter Stárko crstrockt. Die gobundenc

Zirkulation kings der Propoilorflugel mid die Steigung

dor von don Flugeispitzen dos Propellers ahgehcnden frcicn Wirhel wird ebenso wie dor Radius R, auf dern

sich dieso froien Wirbel befinden, als konstant

angenom-men. Wegon der gloichforniigen Anströmung und der

woiterh in vorausgesotzt.en unendlichen Flügelzahl 1st das gosarnte System rotationssymmetrisch; unter diesen

SthtffbauforsdUflg 9 5/6/1970

Lab.

v

Scheepsbouwkuth

Tecknische Hogeschoof

DeIft

Umstönden ist es mdglich, den Pnnkt, für (lelk

(lie induzierteii Cescliwindigkcitcn bcstiinint werden sullen. so zu legeii, dalI die Ableit,ung dc'r .Eu'orrneln rnögliclist

oinfaeh wird. Als Grundlago für die ]3ercchnutigen

orgibt sich das im Bud I dargestellto Wirbclsystcrn.

BuId 1. Das idcalbulerte SVirbelsyLtem e1nc14 SchrauI,enprowIIcrs

1st auf doin Radius r die Gcsamtzirkulation (los

Z'-flüge-ligen Propellers gleich der des unendiicli.Iiugeligcii

Propellers, dor Wirbclscheibe, so orgibt sich die flüchcn-haft vertoilto Zirkulation der Propellcrscheibo zu

z.r

₍₁₎

Die allgomeino Beziehung für die Stãrke der frcicn Wir-bol in Abhiingigkcit von clor Anckrung der

Zirkulations-strke der gcbundenen Wirbel ist

rgcb

=

_øs ds. (2)

Somit orgibt sich die Zirkulation des Nabenwirbols zu

I'NW.ZI'.

(3)

Die Zirkutatioiisstãrko (108 hoinogonon, hal bunendl ichén Wirbeizylirniets it

Z.f,

'frel

2.

(4)

Aus dieson' drei Zirkulationsanteilen vordezi mit Ililfo des Cesetzes von Diet -Savart die induzierten

Goschwin-ctigkcitt'n Ilk der Umgcbuiig des Propellers durch Inte-gration Uher die gesamtv Ausdohnnng der Wirbel be.

stiinint. Das Koordinatensystem wird so golegt, dali tier I'iiiikt L', für dcii die Geschwiiidigkeiten bestirnint wer-dèii sollen; nuT der ra(iial gerichteten x-Achse liegt; die axiale Etitfertititig volt dem Punkt P bzw. dem

Koordi-nateliurSprtiiig zur l'ropellorebcno ist z. Die '-Aclise fiillt mit tier Drchnchso ties Propellers zusammen; sie

weist iii die Riehtiirig dos Propellcrst.ra}iles liild 2.

IJild 2. lilt !t.idI g tier Induzkrten Gcsehwlnttlgkeltsits den Etenten liii ties VIrbeIzyIIiiders

Aus dem homogenoit, halbunendlichea Zylinder der freien Wirbel ergibt sich dor Vektor (icr indtiziorten

Coschwindigkoit uvz. mit den Einhitsvektorcit i, j utid I in den Achseniiehttingon x, y und z bzw; xii

2,T

rrel

(

(d_xr

It.dO.

/

_J

In3

Ux Ur

__2f

J(

eot/31 eos8R sine)

itd-df)

In3 Uy =U1j = j2s:

f

(. cot.fij. sin 0 r +

i_.0 Cx

±R.cosO)

1n13 (9) (8) J-Z

d1(1

Jz2+K)

gclost weidcn [2] [3) [4] . [5]. Bui der Durehführung tier Integration uber den Winket 0 lieferti die mit dote Fak-tor siit 8 'crbundeiiomi Anteilo tier I iitegrtuidoti wegoi

I lirer Syininetrieeigcnschafteii ii n lmtt.cgratioiishoroich von 0 bis 2r kt-iiien ]3eitmag. Ei,i wuiteror Toil tier

Iiit.egrale litlit tech inittels dur Bezieliutig [61

ab. cos U

2r/a für a> b

I.

dO=

... (13).

/

a2+b--2a.b.cost

0

_fura<b.

,5=0

auswerton. Die verblothoitticit Antoilo In (loll Boziehun-gee (8), (9) ned (10) Itisson tech zwar auf vollständige elliptiseho Integralo zurQekführen, doch werclon sie für

(lie Auswert.ung folgonderinalieii zusatninuitgefi'ilit:

R.(Rr.cos0).d8

.

(I 2)

Y1t+ r2 + 2

2 H r cos U

Wird das in tier Formo! (5) enthaltoite Vektorprodukt .

durcit die Beziehutigon (6) ausgedruckt. so ergiht sich

' 12*

j

.

ltz

_f

f cot fi

tfl1 r (r - R cos U) c18

O'O

rRcos8 ilsinU

---(Jt2+r2-2R-r-eosU). 'R2 +r2 +z2-2Rr.cos8

H- cos 8. dO F1t2 + r2 -J- z2-21t.r. cosU (16) Daboi d

=

r

=

In

=

oo

sind

cot fii.sinö.d.i+

+cot1ti-eos8.d.i±

+d-r

(rRcos8).iRsin8.j--!.

(6)'. 190 Seh1ftbmniZoraehung 9 3/0/1070

=

=

.?-!iJj

cot/it.

(It - r. cos

0)-In3 (I 0)

Dci Beachtung dor Boziehung für don Botrag dos

Radius-voktors rI nach 01. (6) köiiiioii' die inneren Integrale, flbcr mit Hilfeder Foninoin

L.

-

' I

I'-

-4-- i' )' z2 + J'

dir. }.d/

(.7) Die Koinponenton : des. Geschwindigkeitsvektors flwz.

mit

c1= dc-!

= r.i+0-j---!

ri

= 1/r2+2.

Aus dor ausfuhrlichefl Darstelluhg

.

i.

ii

UNW. =

r,v.

₀₀

C r

Die ntimcrischo Aiiswcrttlflg

dieser Integralo ist mit

Hilfo l)ekalultor Mothodoli, z.

B. mittels dor

Cantl-Intogration moglich. Die am Schltil3 dieser Arbeit' wiedergegeheflCfl integraltafelti wurdoim -each dcr

Mothodo von Gafl bei 20fncher Untortcilultg des

Into-grationsbercichos mit, je 2StutzstClICfl pro interval1 be-rcchnet. Die von dein cinseitig unendlichcn Wirbclzylin der mh konst,autot Stãrkcund Stoigung clerWirhclfclen induziorton Geschwindigkoitsantodo sind nunrnehr

-

r

UNw.

-J

it;3

I

BUd3. 7iir Bcst.irnnulflg ,ierIrniuzicrtCfl oescliwindigkcit ills ticu

Eicrncfl-ten des NabCflWiFbCiS

Die Anwonduuig des Gesotzcs von Biut.Savart auf den

halbunondliChot1 Nabonwirbcl konstanter Strko liefert

(20)

(21)

ist sofort orkonnbar,

dalI our die

GoschwiiIdigkcit8-komponcfltO in y-B ichtiing,.fllSo.dio TangontialgCScl1'.'fl1

digkoit, existiert. Sic ist

"NW.

r

rd

Uy = U t2

=

J

Mit der Beziehung (12) ergiht sich hieraus

NW.

/

Z

=

I

I +

4xr

_\

I'r2+z2

Die induziorten 05chwindigkeiten infolge der heiden Anteilo der froien Wirbel, Wirbeizylinder und

Naben-5chtgtbauforsthung 9 5/6/1970

wirhel, orgeben sich aus dor Uberlagcruflg der

Einzol-ergobnissc zu Ur = . . .15*

zr

I

___I

Ut - - ;;

i,,' +

fürr<R

st,irnlndIi, . . (Bud 7).

.:.

.

Das Biot.Savart'sCIlO Gcsetz lautot für (liOSCflFall

221 1t

flwS.

_{= /}

J

0=0 Q'O

mit .

cos8-di ±,sindet -f

0-I

= (r_e.COS0)fi

suii-1 +t

(29)

ti

Vr2+2±z2_2!05

Wird des VcktorprodUkt in tier Forinel (28) durch dio Boziohungen (29) ansgedrdckt, so ergiht sich

.e.dt

:(28)

1%VS. =

.r

_.i '

o=0 e'=O

r-2 co8

siii z

de- (30) Uy fl'.

- f

₄ 0,0 ci -

I.d-

(31)

\ J

J1r2 + Ci2.+

z2 2 r

- cos i /. QO .

Die Integration Ol)er dcii Radius kano minter

13eah-tung 4cr Tatsachedurchgeführt wcrdcn, claL3 das Pro-dukt ntis dcr gcbundeiiefl- Zirkulatioli der PropIler-scheibo geb. mit dem Radius nach Cl. (1) omen

koim-stanton Wert ergibt Es folgt somit [43

191

Wegon dor Sym etrieeigeflStt00 cmos Teils 1os

Integrandon im Bercich von

= 0 his 0 =

2

ver-t(22) schwiidcfl die Komponefltefl dos Vektors uvs. in

radialer itud

in azialer Richtung.. Die tatigontialo

Komponeiit.0 ist . -Ut Uti = yrret

_fli

furr.(R

(17) (18)

_0

4zr

fiirr>14

Zr

2 T2* 2 r _{us =}

cófli.(1+1i5)

- .(1 +12)

fürr>R

für r(R

(27) 2 r

Zr

* fit-It cot

4t R

fü r > R.

U Yrrel .cotfli.(1+TI*)

fürr..<R

(19) Vfrei _{fit. '1*}

cot für r. >R. (Bilder 4 his (1).

2

Bud 3.

Es bleiht zum SchiulI nur noch ubrig, den mcistcns

ver-i machver-i üssver-igtcnAntcil der induzierten Gcschwi ndigkcitefl

iiifolgo clor gobundenenZirkulation dcr utiondlich widen

be-PropellcrflügOl bzw. der propellorwirbdl5ch0b0 zu

0 VgcI'.

4 r.

d

(.

nil,! .5. Die von den freien VIrbcIn des SysteluslnduztCrtell TangCUtIflI

gd,WlntIIghefle0 u

--cos 8

lits - -

4 I

r(I - cos2 8) +

z2

oo

2+r2Z2_2158

+Vfl

+ z2

r.cos8)d8

(32)

Dor Wert dos

Integrals ubr den

zweitefl Tell des Inte-graitdefl in der G1..(32) kaun für z 0 aiigegebon

wer-den ç4]. Für den etstelk Toil (los IntegranCiCil in tier

GI. (32) wird die]3ezoichflUitg oingofQhrt

Ii lid S

Dk von dem Vrb&sYBtern Induzierten

Ur

do.

R2+r2+Z2_2Rr co8

(33)

Die BeziehUng für die flgcr1tia1g050hw ltgkett, die

von der

gobundoflen Zirku!atiOIl dor jsforinig0fl

WirbesChOib0 induziert wird, lautot nunmehr

Ut3 =

(i

>

(_1+?+2+I***) fürz>O.

Aus dem )3iid 8 jet ersichtlich, dal3 derAnteil dor tan-. gontial induZiortetl ceschwjfldjgkoitsk0rnp0e1ttd1 in-folge dar gobundeflen ZirkulatiOil mit dcraxialen Ent-fernung i. von dorPropollerOb0t0 stark abklingt. Sornit

ist die dieses Auteils für viole Füllo

g(,reChtfertigt. Für die nahere Uingebuilgdes.PrePOlI0t

1st these 01achlaS9ig1g jedoch nicht ineltr statthaft; ullorciings ist uilter dioseitUIflstüII(l01l dann auch die

her

benutzto Jdealisicrttttg nicht mohr zulüssig, so dai3 zu

ancleren Modetloil ubergegaflgefl wcrdon iruiU3to.

Die J3ilder 5 iind 8

zeigen. da3 -

ahgosehcit von dor nüchsten Nâhe der Propcllorcb010 - vor (loin Propeller so gut wiekeiiie 11g0flt,ialg05 iwuaigkeitoit wirksaiti

scm werden. Die 11gelItia1g05 rindigk0it hinter dorn Propeller ist anniiheriiddoppelt so groB wie die von den freion Wirbelii

an den

propeileIu1üg0 i,i(ltlziorto

fürz<O

(34)

R r. cos 8

3. Die Darsteilung der induzierten 0schwjndigkt0 mit Hilfe von Distanzfaktorofl

Urn die un vorigen Abschltitt erhaltonen ResuittitO für

die iii der Einleittlttg nitgofflhrtefl Aufgahofl bei

Pro-pellern mit endlichor Flugolztthl Z anwondon ukOnmiol',

1st es weckmnül3ig, das Verliãltflis der von don freicmi

Wirl,eln induziCrtCti 05ehwindigk0it iii oinern em z

von der

Propellerel)01b0

eritferuton Punkt auif dent

Radius r zur glcielten 0 eschv adigkoitskOIflp0tit0 tLttf

demn gleichort Radius r, abet iii durPropellerobcnO. d. h. boi z = 0, zu bilden. Wird woitór tioch. beaclitot, daB.

9 3/43/1070 z

=

oo

-r.(Rr..00SO

tr2(1_C0828) +2].

)iId 7. Znj 1let.Iminiin der intiuzierten

(echwindigkcit an denElernen.

ten der kreh4fOrllligen\Virbelgrlicibo

dio radialoKomponeiitO u mitwaclisendom z

verschwin-det, und dal3 dioanderumi boidon Kompononten, Utund

u, wait vor

dem Propeller Null sind, weit hinter clor

Propcl)crebono aber doppolt so gro skid wic in cler Propdllorebeno sclbst, so lasson sich die Bcziohungcn

n.ngcben: (35)

furr<R,<O

1 ₍₃₆₎

fürr<R, z>O

für r ( R, z <0

furr<R,

z>o.j

(37) SchiuIbau(orscbung 9 5/6/1970

=

u1(z)

=

u1(0).(1

gt)

= ut(0).(1

+gt)

u3(z)

=

Ua(0) (1 ga)

= Ua(0) (1 + gft)

L 6 -Q4 -0)

0 42

z/A'

ihid 6. DIe von dem VirbciyBtem induzicrton

Axlalgeschwlndigkeiten u

Ilild S. Die on dengebundenen Wirbein de Systems nduzierten

Tangen-tialgcsc)iwintligkettcn U6 193

_____:

&c.

-

_4t.

0 '(I 8 -01 az 0,3 05 L . z

'J5

6 - -02

__83

-a q 6 8 ID

Mit Ausnahmo für die RadialkompOflentOlassen sich die

vorstelionden efinit.iorishoziehUflgeIt für die

Distanz-fitktoren abor nur auf die induzierton

Geschwindig-keiten intierhaib de Propellerst.rahleS.

also für r < R,

iutweiidon, da die Kornponenten

t und U

in der

Propellerebene für r > R Null sind.

Suit das Fold cior induziorteli Geschwindigkeitefl urn

omen Z.flugeligen Propeller bcstiinmt verdcn, so ergibt sicli mac erste Nülicrurig, wcnn in (ho Formeln(35), (36)

mid (37) dio mit eiiicm geeigneten MittolwoitfaktOr

verseheiicn Geschwiiid igkeitskoinpononteit ci iigcSotzt

werden, die ii. a. nach dorn Vorfnhren von Lerbs [7]

an den trageuderi Liiiien cler Propohlorflügel bestimint

vordcii sind. Die Fornieln für die zu

verwondenden

Distanzfuktorcn lai,ten: (38)

12* mitr < R

(39)

rnitr<R.

(40) J**(z) 9t 0 42 4* 48 48 W 2 14. 7,

lWd 30. Ocr DIst.anzfáktorgtfür die tiingentlute Komponente der von don

frelen Wirbein Induziertcfl Ccschwindigkelt

-4.9 48 q 90 4 4 a

_#z/R-0 itd 11. Ocr Dlstanzfaktor 5a für die azinle Komponeute der Induzlerten

GCSLhwiud}gkelt

kompononton bestimmt. Es wordon Distanzfaktoren definiert, mit doren Hilfe es moglich ist, eino erBto Nãhe-rung für dus Fold dor indiiziertoii Oeschwindigkoiten an Prapellorn mit end hieher Flugelznhl zu gewinflon.

:

.iill 48 47 -... '0*

46

.jf/1fl8

-/

--- .. 48$

-tiff

4

43__UL

-194 SehiCTbnUfOrscliiUflg 9 9/Gj'lOTO 0 42 0* 46 48

JJild 9. Ocr D!stanzfaktor 5r für die radiala Koinponcute derinduzierten

(jcschwlndtgkeit -.

Bilder 9 bis 11.

1st die Tangontialgesehwindigkeit ut(Z) unter Einschlu3

(los Anteils aits den goburiclonen Wirbeln gesucht, so kann - in Uboremnstimmung mit den irn vorigen Ab.

schnitt orwfthnten Schluf3folgeruiigen aus don Bilderri 5

micE 8 - (icr Distanzfaktor als konstant, gt = 1, an-genommen wercien.

4. Zusammonfassung

Atis dern stark idealisierten VirboIsystern oines,

Schrau-Iioitpropehlers wercieri die incluzierten

Goschwindigkeits-4*

Uteratur

[) (/&iM, 1)11) r,olirIirn hr 4)InIeI) $)rI(lIIIIl(Ig*IsIIiwIui)i0lI lu

der IJmgcI g (icr Sc) I,cnehcnc. Mc(illlslcchnik 3 (1955) 12/13,

8.31 14s 33.

2I Z,rirk, II'.: Zur Ilerechnunil dir Zirkulatlon nnd (icr Irlkftc clues Pro-pellers im achst,rom. SchllUbahIforRc)iiing 1(1062) 4, S. 157 bis (84. 13) Qriibner, W., und II ofreifrr, N.: Integraltafeln, 1)d.2. Springcr-Vvrla.

WIen 1000.

141 Meyer z,Ir Capelliz. I I.: In) egrallalein. S1iringcr-erlag. BrrIin/( 5l tfl gen/Ilriddhcru (950.

131 l9il.'4', I

it

((1)1) )ln#Iofrmo1 1 llftllnen l'roiliik) 1(11(1 In) er!i

I lOin. V 1 I) 1)euI selier \'erlag (i('r W'IssennehiE)en, I(crltn (1)57.

[0) Isaji, (V.-!!.: Propeller) heoric - Ilydrod)nalnlsrhc l'rohlerne. Springer-Verlag, llerlin/llOt,tingenhlleidcIlJCrg 1963.

[71 J,rb. II.: Moderately loaded propellers with a finite number of blanles and arbit mr) elistributlon of circulatIon. Transactions of thc S NA SI E 60 (1952)8.73 hIs 117.

Tofd I. 1)asIntegral 1 nich 0I.(14)

NzI1t 0.0 0.1 0.2 0.3 .0.4 0.5 - 0.6 0.7 0.14 0.9 . 1.0 r/R 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.00 0.70 0.80 0.00 0.05 0.90 l.01 1.05 1.10 1.20 1.40 t.60 1.80 2.00 0 0.0995 0 0.1002 0 0.1025 O 0.1067 0 0.1132 0 0.1232 0 0.1387 0 0.1644 0 0.2120 0 0.3215 0 0.4373 0 0.2837 0 -0.1422 0 -0.3007 0 -0.1040 0 -0.0966 0 -0.0300 0 -0.0209 0 -0.0(28 0 -0.0086 0.1001 0. (975 0.2(117 0.2093 0.22 12 0.2388 0.2652 0.3056 0.3699 0.4704 0.5568 0.3474 -0.1 109 -0.3237 -0.2498 -0.1540 -0.07(7 -0.0391) -0.0249 -0.0168 0.2874 0. 2892 ((.2048 .0.1048 0.3 (99 0.34 II) 0.3731 0.4171 0.4786 0.5637 0.6225 0.39 18 -0.0774 -0.3 (08 -0.2508. -0.1790 -0.0952 -0.0559 -0.0358 -0.0244 0.37 14 0.3735 0.3799 0.39(0 0.4070 0.4309 0.4623 0.5038 0.5508 0.0236 0.6697 0.4279 -0.0469 -0.2010 -0.2488 --0.l873 -0.1101 -0.0682 -'-0.0441) -0.0312 0.4172 0.44 94 0.4559 0.4672 0.4838 0.5003 0.5355 0.5721 0.6(61 0.6603 0.7073 0.4587 -0.0196 -0.2703 -0.2356 -0.1858 -0.1182 -0.0771 -0.0523 -0.0370 0.5 145 0.5 (66 0.5229 0.5337 0.5192 05698 0.5957 0.6270 0.6633 0.7003 0.7386 0.4854 0.0049 -0.2504 -0.2209 -0.1797 -0.12(6 -0.0820 -0.0580 -0.0418 0.5735 ((.5754 0.58 13 0.59 II 0.6051 0.6233 0.6457 0.672k 0.70 19 0.7373 0.7654 0.5080 0.0267 -0.2317 -'-0.2064) -0.1715 -0.1217 -0.0862. -0.0020 -0.0450 0.6247 0.6264 0.6:117 0.6404 0.0527 0.0685 0.0876 0.7097 0.7342 0.7037 0.7888 0.5298 0.0464 -0.2145 -0.1917 -0.1023 -0.1197 -0.0870 -0.0647 -0.0485 0.6690 0.0705 0.675 1 0.6827 0. 611:13 0. 7008 0.7220 0.74 14 0. 76 17 0.7865 0.8002 0.5483 0.0630 -0.1087 -0.1782 -0.1528 -0.1103 -0.0876 -0(1602 -0.0505 0. 707 1 0.7084 0.7 124 0.718) 0.72a0 0.7305 0. 75:10 0.7685 0.7854 0.8005 0.8273 0.56411 0.071)5 -0.1843 -0.1655 -0.1435 -0.1120 -0.0865 -0.0668 -0.05)9

Fortsct,aing der Tafel 1:

z/R 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.0 2.8 3.0 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.00 0.95 0.99 1.0I 1.05 1.10 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.7071 0.7682 0.7084 0.7692 0.7 124 0.7721 0.7190 0.7768 0.7280 0.7833 0.7395 0.79 IS 0.7530 0.8011 0.7685 0.8 120 0.7854 0.8238 0.8065 0.8390 0.8273 0.8577 0.564 1) 0.5931 0.071)8 0.1070 -0.1843 -0.1503 655 -0.1431 -0.1435 -0.1250 -0.1120 -0.1024 -0.0805 -0.0824 -0.0068 -0.0650 -0.0519 -0.0528 0.8 137 0.8 (44 0.8 165 0.8190 0.8240 0.8304 0.8372 0.8450 0.8534 0.8650 0.88 19 0.6 ISO 0. 1291 -0. 1386 -0.124 1 -0.1(02 -0.0925 -0.0768 -0.0633 -0.0520 0.8480 0.8485 0.8500 0.8524 0.8558 0.8600 0.8040 0.8705 0.14766 0.81464 0.90 IS 0.6345 0. 14 72 -0.12(5 -11.1)182 -0.0966 -0.083 -0.0707 -0.0507 -0.0502 0.8742 0.8745 0.8756 0.8774 0.8798 0.8829 0.8805 0.8900 0.8951 0.0032 0.9174 0.6498 0.1621 -0.1073 -0.0940 -0.0840 -0.0743 -0.0047 -0.0557 -0.0478 0.8944 0.8947 0.8955 0.81)68 0.8980 0.9000 0.9035 0.9006 0.9 100 0.9169 0.0305 0.6623 0. 1744 -0.0955 -0.0886 -0.0749 -0.0667 -0.0589 -0.0516 -0.0450 0.0101 0.9106 0.9112 0.1)121 0.9135 0.9152 0.0 (72 0.9105 0.9221 0.0281 0.94(3 0.6728 0.184 7 -0.0855 -0.0742 -0.0604 -0.0599 -0.0530 -0.0477 -0.0421 0.9232 0.0237 0.9244 0.9255 0.0207 0.9283 0.9300. 0.9:120 0.0375 0.9503 0.08(5 0. 11)13 -0.0772. -0.0602 -0.0590 -0.0538 -0.0488 -0.0439 -0.0393 0.0:134 0.9335 0.9338 0.9344 0.9352 0.9362 0.9374 0.9387 0.9(03 0.114 52 0. 1)578 0.6880 0.2005 -0.0701 -0.0504 -0.0127 -0.0485 -0.0444 -0.0104 -0.0300 0.04 17 0.94 1$ 0.9421 ((.942(1 0.0432 ((.9430 0.9441) 0.9451) 0.04 72 0951)4 0.904 2 0.6951 0.21(67 -0.0641 -0.0536 -0.0473 -0.0439 -0.0405 -0.0372 -0.0340 0.9487 (1.114 88 0. 04 00 0.9403 0.9(08 0.0504 (1.95 12 0.9520 0.9530 0.11574 0.0696 1)7004 0.21(1) -0.0590 -0.04)46 -(1.0426 -0.03118 -0.0370 -0.0343 -0.03(5

T1fel 2. Das Integral I' naeh 01. (15)

0.2 0.5. -. 0.0 0.7 - 0.6 0.0 1.0

ruIN

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.00 0.70 0.80 0.90 0.95 0.09 1.01. l.05 1.10 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0 0 0 -(1.0005 0 -0.0021 0 -0.0)1.10 0 -0.0095 0 -0.0168 .0 -0.0286 0 -0.0490 0 -0.0890 0 -0.1880 0 -0.2986 0 -0.1437 0 ((.2811 0 0.4341 0 0.3178 0 0.2030 0 0.1229 0 0.09 10 0 0.0734 0 0.0021 0 -0.00(0 -0(1)130 -0.0093 -0.0(79 -0.0312 -0.0518 -0.(l850 -0.1409 -0.2(05 -0.3200 0.1122 0.3444 0.5521 0.4693 0.3535 0.2349 0.1781 0.1450 0.1232 0 -0.0013 -0.0055 -0.0129 -0.0245 -0.0418 -0.0074 -0.1054 -0.1017 02453 -0.3000 -0.0785 0.3887 0.6106 0.5541 0.4567 0.3308 0.2585 0.2133 0.1823 0 -0.0016 -0(1006 -0.0(54 -0.0289 --0.0485 -0.0760 -0.1142 -0.1059 -0.2356 -0.2854 -0.0478 0.4240 0.6630 0.6(22 0.8308 0.4105 0.3309 0.2770 0.2388 0 -0.0018 -0.0073 -0.0(70 -0.0315 -0.0519 -0.0704 -0.1157 -0.16(9 -0.2213 -0.2641 . -0.02(13 . 0.4552 0.0099 0.6567 0.5872 0.4705 0.3949 0.3358 0.2021 0 -0.0019 -0.0077 -0.0177 -0.0325 -3.0528 -0.0703 -0.1130 --0.l542 -0.2057 -0.2437 0.004 2 0.4810 0.7308 0.6928 0.6323 0.5315 0.4512 0.3894 0.34 19 0 -0.0019 -0.0078 -0.0(78 -((.0321 -0.0520 -0.0771 -0.1080 -0.1440 1903 -0.2248 0.0261 0.5053. 0.7574 .0.7231 0.6606 0.5780 0.5000 0.4381 0.31481 0 -0.00(0 -0.0(177 -0.0175 -0.0316 '-0.0502 -0.0736 -0.1010 -0.1350 -0.1757 -0.2074 0.045)4 0.5261 0.7805 0.7492 0.7012 0.6 170 0.5440 0.4820 0.4309 0 -0.01)19 -0.0074 -((.016)) -0.030 -0.0478 -0.0695 -0.0954 -0.1253 -0.1021 -0.10(6 0.0634 0.5447 0.8010 0.77(0 0.7283 0.0519 0.5822 0.5216 0.4702 -0.00(8 -0.0071 -((.0100 -0.0287 -0.0450 -0.0051 -0.0888 -0.1160 -0.1495 -0.1772 0.0793 0.5613 0.8191 0.7010 0.7520 0.6818 0.6 162 0.5574 0.5063 Schiffbauforschung 9 5/6/1979 195

: j.191J III) IiUflZ))JO{

0L6t19/$ 6

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