Zadania z programowania liniowego
Jakub Mu´ck 16 maja 2017
Zadanie 1. Pan Aleksander chce zainwestowa´c swoje oszczedno´, sci. Ponadto, Pan Aleksander nie lubi ryzyka i uwa˙za, ˙ze co piata z lot´, owka powinna by´c ulokowana w obligacjach skarbo- wych i nie wiecej ni˙z 70 proc. oszcz, edno´, sci w akcje oraz nowe sp´o lki. Oczekiwana rentowno´s´c dostepnych aktyw´, ow zosta la zestawiona w tabeli 1:
Tabela 1: Oczekiwana rentowno´s´c aktyw´ow
Aktywo obligacje lokata akcje nowe sp´o lki
Oczekiwany zysk 5 6 7,5 11
i) Jaka jest optymalna alokacja inwestycyjna Pan Aleksandra?
ii) Pan Aleksander stwierdzi l, ˙ze ´srednie ryzyko portfela nie powinno przekroczy´c 4 p. proc.
Zauwa˙zaono, ˙ze ryzyko lokaty wynosi 2 p.proc, akcji 5,5 p.proc, a nowych sp´o lek 7 p.proc.
Z kolei, obligacje sa uznawane za aktywo pozbawione ryzyka. Czy przy tych informacjach, zmieni sie optymalna alokacja portfela inwestycyjnego Pana Aleksandra?,
Zadanie 2. Zgodnie z nowymi przepisami firma budowalna Burz i buduj musi zagwarantowa´c swoim pracownikom wy˙zywienie. Na rynku sa dostepne jedynie trzy sk ladniki: marchewki,, wo lowina oraz wata cukrowa, kt´ore odpowiednio mo˙zna naby´c po cenie 6, 13 oraz 10 jednostek pienie˙znych. Racje ˙zywno´sciowe powinny zosta´c tak skomponowane, aby gwarantowa ly 150 jednostek bia lka, 550 weglowodan´, ow oraz przynajmniej 2300 kalorii. Warto´sci od˙zywcze waty cukrowej, marchewek oraz wo lowiny zosta ly zawarte w tabeli 2.
Tabela 2: Warto´sci od˙zywcze produkt´ow
marchewki wo lowina wata cukrowa
bia lko 10 70 0
weglowodany, 200 175 0
kalorie 100 350 500
i) Zapisz posta´c zadania programowania liniowego zak ladajac, ˙ze firma Burz i buduj chce, minimalizowa´c koszty wy˙zywienia dla ka˙zdego pracownika.
ii) Jaka jest optymalna racja ˙zywno´sciowa? Ile wynosi w´owczas koszt wy˙zywienia jednego pracownika?
iii) Czy zmiana kt´oregokolwiek z wymog´ow zwiazanych z minimaln, a ilo´, scia sk ladnik´, ow od˙zyw- czych (bia lko, weglowodany, kalorie) spowoduje zmian, e decyzyji optymalnej?,
Zadanie 3. Przedsiebiorstwo Beton dla ka˙zdego chce ustali´, c plan transportu komponent´ow cementu pomiedzy magazynami a zak ladami produkcyjnymi. Produckja firmy odbywa si, e w, 4 zak ladach. Moce produkcyjne wynosza odpowiednio: 500, 750, 650 oraz 600. Beton dla, ka˙zdego posiada r´ownie˙z 3 punkty sk ladujace komponent cementu. I tak, w ka˙zdym z nich jest, odpowiednio 700, 800 oraz 1000 jednostek budulca cementu. Oszcacowany koszt transportu pomiedzy magazynami oraz punktami produkcji zosta l zawarty w tabeli, 3.
1
Tabela 3: Jednostkowe koszty przewozu firmy Beton dla ka˙zdego komponent´ow betonu pomiedzy magazynami a, zak ladami produkcyjnymi
Zak lad 1 Zak lad 2 Zak lad 3 Zak lad 4
Magazyn 1 23 11 13 19
Magazyn 2 12 24 14 23
Magazyn 3 15 12 8 21
i) Zapisz problem firmy Beton dla ka˙zdego jako zadanie programowania liniowego. Jakie sa, zmienne decyzyjne?
ii) Czy zadanie transportowe, kt´orym mo˙zna opisa´c problem decyzyjny firmy Beton dla ka˙z- dego, jest zbilansowane?
iii) Jaki jest optymalny plan przewoz´ow? Jakie wtedy ponosi koszty firma Beton dla ka˙zdego?
iv) Jak sie zmieni optymalny plan przewoz´, ow oraz koszty firmy Beton dla ka˙zdego, je˙zeli ilo´s´c dostepnych jednostek komponent´, ow cementu wyniesie w ka˙zdym magazynie 1000?
Zadanie 4. Firma α chce ustali´c roczny plan produkcji oraz sprzeda˙zy swoich produkt´ow.
Wiadomo, ˙ze poziom zapas´ow na poczatku roku wyniesie 500 jednostek, a na koniec ma by´, c nie mniejszy ni˙z 300 jednostek. W tabeli 4 zestawiono szacunki odno´snie cen sprzeda˙z, kosz- t´ow wytworzenia, koszt´ow magazynowania, mocy produkcyjnych oraz popytu w poszczeg´olnych kwarta lach.
Tabela 4: Szacunki koszt´ow produkcji, mocy produkcyjnych, ceny, popytu oraz kosztu magazynowania
Kwarta l Koszt produkcji Moc produkcyjna Cena Maksymalny popyt Magazynowanie
1 1,5 2000 2 1400 0,03
2 2,2 3000 3 1700 0,05
3 2,6 2100 3,5 1900 0,08
4 2,1 3000 2,2 2300 0,09
i) Zak ladajac, ˙ze firma chce maksymalizowa´, c zysk, zapisz zadanie programowania liniowego odpowiadajace problemowi wielookresowego planu produkcyjnego firmy α. Jakie s, a zmienne, decyzyjne?
ii) Jaki jest optymalny wielookresowy plan produkcyjny firmy α?
iii) Jak zmieni sie decyzja optymalna oraz wielko´, s´c zysku, je˙zeli firma α bedzie chcia la zaspokoi´, c popyt na rynku w ka˙zdym kwartale?
Zadanie 5. Firma kurierska chce zmniejszy´c koszty zatrudnienia pracownik´ow i zdecydowano,
˙ze przyjmie student´ow. Jednak˙ze studenci sa pracownikami o specyficznym tygodniu pracy,, kt´ory trwa cztery dni, po czym sa trzy dni przerwy, czyli np. zaczynaj, ac prac, e w poniedzia lek –, ko´ncza w czwartek. Dobierz odpowiedni, a liczb, e student´, ow potrzebnych do obs lugi zlece´n. Dane historyczne o liczbie potrzebnych pracownik´ow w poszczeg´olne dni tygodnia zosta ly zawarte w tabel 5.
Tabela 5: ´Srednia liczba pracownik´ow potrzebnych do obs lugi zam´owie´n w poszczeg´olnych dniach tygodnia
Pn Wt ´Sr Czw Pt Sb Nd
32 22 26 32 20 46 12
i) Ustal harmonogram prac oraz liczbe student´, ow, tak aby firma ponosi la jak najmniejsze koszty. Przyjmij, ˙ze ka˙zdy pracownik (student) jest op lacany wed lug takie samej stawki.
Ilu student´ow musi zatrudni´c firma?
2
ii) W kt´ore dni tygonia firma kurierska zatrudnia za du˙zo student´ow?
iii) Jak sie zmieni odpowied´, z na dwa poprzednie podpunkty, je˙zeli liczba dni pracy w tygodniu student´ow zostanie zmniejszona z 4 do 3?
Zadanie 6. Trener Najlepszy musi wybra´c wyj´sciowy sk lad dru˙zyny KS Ogie´n przed kluczowym meczem pucharowym. Do dyspozycji jest 12 zawodnik´ow i ka˙zdy z nich mo˙ze gra´c na ka˙zdej pozycji. W wyj´sciowym sk ladzie jest miejsce dla jednego rozgrywajacego, libero oraz atakuj, acego, i dw´och ´srodkowych bloku oraz przyjmujacych. Umiej, etno´, sci zawodnik´ow na poszczeg´olnych pozycjach zosta ly zawarte w tabeli. Ze wzgled´, ow marketingowych, w sk ladzie powinien pojawi´c sie jedna z dw´, och najwiekszych gwiazd dru˙zyny (odpowiednio zawodnicy 4 oraz 5), gdy˙z zabieg, ten pozwoli przyciagn, a´,c kibic´ow. Jednym z za lo˙ze´n taktycznych jest silna zagrywka, kt´orej
´srednia predko´, s´c w´sr´od graczy grajacych na skrzyd lach (atakuj, acy oraz przyjmuj, acy nie mo˙ze, by´c ni˙zsza ni˙z 90 km na godzine. Trener Najlepszy chce wystawi´, c najmocniejszy sk lad, a wiec, taki, kt´orego suma umiejetno´, sci zawodnik´ow na poszczeg´olnych pozycjach bedzie najwi, eksza.,
Zawodnik ROZ ´SRB PRZ ATT LIB Zagrywka Atak Blok
PKT PKT PKT PKT PKT km na h % cm
1 9 0 2 0 3 84 40 315
2 1 9 2 6 1 112 68 329
3 4 2 10 4 8 93 60 310
4 2 7 2 5 1 108 71 312
5 5 3 7 3 5 70 56 333
6 1 1 6 1 8 56 30 302
7 3 8 2 4 2 102 45 317
8 1 8 3 6 2 92 59 356
9 7 4 9 8 5 60 80 332
10 4 3 8 6 3 80 87 300
11 7 2 5 2 6 45 18 307
12 0 0 4 1 9 70 54 300
Oznaczenia: ROZ – rozgrywajacy, ´, SRB – ´srodkowy bloku, PRZ – przyjmujacy, ATT - ata-, kujacy oraz LIB – libero.,
i) Zapisz problem optymalizacyjny trenera Najlepszego, zmienne decyzyjne oraz warunki ogra- niczajace.,
ii) Rozwia˙z zadanie PL w MS Solver.,
iii) Jak sie zmieni zadanie PL, je˙zeli trener Najlepszy b, edzie chcia l wprowadzi´, c kolejne za lo˙zenie taktyczne w my´sl kt´orego ´srednia skuteczno´s´c zawodnik´ow mogacych atakowa´, c (wszyscy opr´ocz libero oraz rozgrywajacego) przekroczy la 50%? Zmodyfikuj zadanie PL oraz rozwi, a˙z, w MS Solver.
Zadanie 7. W pewnej gospodarce istnieja trzy sektory: (a) morski, (b) le´, sny oraz (c) g´or- ski. Produkt globalny w tych sektorach wynosi odpowiednio 80, 100 i 200. Sektor morski wykorzystuje 40 jednostek materia l´ow w lasnej produkcji do produkcji globalnej oraz 20 jedno- stek z sektora g´orskiego. Z kolei sektor le´sny potrzebuje do dotychczasowej produkcji globalnej 10 jednostek z sektora morskiego i a˙z 40 jednostek wytworzonych w ramach sektora le´snego.
Ostatecznie sektor g´orski wykorzystuje 100 jednostek z w lasnej produkcji i po 10 jednostek z pozosta lych sektor´ow. Wiadomo te˙z, ˙ze amortyzacja wynios la odpowiednio 2 , 8 i 15 jednostek, a koszty pracy sa r´, owne odpowiednio 10, 30 i 45 jednostek.
i) Skonstruuj tabele przep lyw´, ow ga leziowych opisuj, ac, a powy˙zsz, a gospodark, e., ii) Wyznacz produkcje finaln, a w ka˙zdym sektorze.,
iii) Wyznacz zyski uzyskane w ka˙zdym sektorze.
3
iv) Kt´ory sektor charakteryzuje sie najwy˙zsz, a materia loch lonno´, scia?, v) Kt´ory sektor charakteryzuje sie najni˙zsz, a rentowno´, scia?,
vi) O ile zwiekszy si, e produkcja finalna, je˙zeli produkcja globalna wzro´, snie o jednostke w ka˙z-, dym sektorze? A jaki bedzie efekt dla jednostkowego wzrostu produkcji ko´, ncowej w ka˙zdym z sektor´ow osobno?
vii) O ile musi wzrosna´,c produkcja globalna, aby produkcja ko´ncowa zwiekszy la si, e o jednostk, e, w ka˙zdym sektorze?
4
