Matematyka w XVII wieku

92  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Matematyka w XVII wieku

Wrocław, 27 kwietnia 2016

Matematyka w XVII wieku

(2)

Walka abacystów z algorystami

Matematyka w XVII wieku

(3)

Przełom kopernikański

Wiemy z codzinnych obserwacji, jakie zmiany przynosi możliwość wykonania bardzo złożonych rachunków w bardzo krótkim czasie (cała nowoczesna diagnostyka medyczna – tomograf, rezonans, ultrasonografia itd).

W XVI wieku też doszło do „przełomu rachunkowego”. Uczeni niemieckiego obszaru językowego, w tym Retyk (Rheticus, 1514 – 1574) sporządzili dokładne tablice funkcji trygonometrycznych.

Retyk pracował w latach 1539 – 1541 z Kopernikiem we Fromborku, potem przez 20 lat w Krakowie.

Matematyka w XVII wieku

(4)

Przełom kopernikański

Doprowadził do wydania najpierw rozdziałów 13 i 14 „De revolutionibus orbium coelestium” jako osobnego dzieła „De lateribus et angulis triangulorum” (O bokach i kątach trójkątów).

Retyk opracował tablice 6 funkcji trygonometrycznych do 10 cyfr po przecinku (należało obliczyć sto tysięcy ilorazów do 10 miejsc po przecinku ...). Wszystko to sprawdził, uzupełnił i wydał w roku 1596, już po śmierci Retyka, jego uczeń Valentin Otho.

Matematyka w XVII wieku

(5)

Matematyka XVI/XVII wieku

Rozwiązano równania wielomianowe (do stopnia 4 włącznie).

Interesowano się kwadraturami i prostowalnością krzywych.

Do roku 1600 powszechnie uważano, że żaden odcinek nie ma takiej długości, jak zadana krzywa (nieciągłość liczb).

W tym czasie nie ma pojęcia funkcji, bada się tylko krzywe. Jedna z nich zrobiłą oszałamiajaca karierę w XVII wieku, zwaną ją nawet

„Heleną geometrów”, bo tyle sporów i kłótni wywoływała.

Matematyka w XVII wieku

(6)

Cykloida

Gdy okrąg porusza się po prostej, jego wybrany punkt zakreśla pewną krzywą, zwaną cykloidą:

Pierwsze pojawienie: Mikołaj z Kuzy, Marin Mersenne.

Nazwa: Galileusz 1599.

Matematyka w XVII wieku

(7)

Cykloida - animacja

Matematyka w XVII wieku

(8)

Cykloida

W roku 1628 Mersenne postawił Robervalowi (1602 – 1675) zadanie obliczenia pola pod łukiem cykloidy, co Roberval zrobił w 1634 roku i posłał rozwiązanie Kartezjuszowi. Ten odpowiedział:

... ładny rezultat, którego nie dostrzegłem wcześniej, ale który nie sprawiłby trudności żadnemu geometrze o umiarkowanych

zdolnościach.

Z kolei Kartezjusz posłał Robervalovi zadanie: znaleźć styczną do cykloidy. Roberval nie potrafił tego zrobić, ale zadanie rozwiązał Fermat (bo problem stał się sławny).

Długość łuku i środek ciężkości: Christopher Wren.

Długość łuku = 8r , czyli ma długość pewnego odcinka!

Pascal (pod pseudonimem Detonville) zaoferował nagrody za obliczenie objętości i pola powierzchni bryły powstałej przy obrocie łuku cykloidy wokół osi OX.

Matematyka w XVII wieku

(9)

Główne problemy matematyki w XVII wieku

Jeszcze w średniowieczu rozpoczęto badania ruchu i powstała potrzeba określenia:

prędkości chwilowej (pochodnej)

kierunku ruchu (stycznej)

maksimów i minimów (zasięg pocisku, orbity planet) astronomia: długość orbity, po której porusza się planeta optyka: normalna, kąt padania i kąt odbicia

Pamiętajmy, że na ma pojęcia funkcji, rozważa się tylko krzywe.

Matematyka w XVII wieku

(10)

Główne problemy matematyki w XVII wieku

Jeszcze w średniowieczu rozpoczęto badania ruchu i powstała potrzeba określenia:

prędkości chwilowej (pochodnej) kierunku ruchu (stycznej)

maksimów i minimów (zasięg pocisku, orbity planet) astronomia: długość orbity, po której porusza się planeta optyka: normalna, kąt padania i kąt odbicia

Pamiętajmy, że na ma pojęcia funkcji, rozważa się tylko krzywe.

Matematyka w XVII wieku

(11)

Główne problemy matematyki w XVII wieku

Jeszcze w średniowieczu rozpoczęto badania ruchu i powstała potrzeba określenia:

prędkości chwilowej (pochodnej) kierunku ruchu (stycznej)

maksimów i minimów (zasięg pocisku, orbity planet)

astronomia: długość orbity, po której porusza się planeta optyka: normalna, kąt padania i kąt odbicia

Pamiętajmy, że na ma pojęcia funkcji, rozważa się tylko krzywe.

Matematyka w XVII wieku

(12)

Główne problemy matematyki w XVII wieku

Jeszcze w średniowieczu rozpoczęto badania ruchu i powstała potrzeba określenia:

prędkości chwilowej (pochodnej) kierunku ruchu (stycznej)

maksimów i minimów (zasięg pocisku, orbity planet) astronomia: długość orbity, po której porusza się planeta

optyka: normalna, kąt padania i kąt odbicia

Pamiętajmy, że na ma pojęcia funkcji, rozważa się tylko krzywe.

Matematyka w XVII wieku

(13)

Główne problemy matematyki w XVII wieku

Jeszcze w średniowieczu rozpoczęto badania ruchu i powstała potrzeba określenia:

prędkości chwilowej (pochodnej) kierunku ruchu (stycznej)

maksimów i minimów (zasięg pocisku, orbity planet) astronomia: długość orbity, po której porusza się planeta optyka: normalna, kąt padania i kąt odbicia

Pamiętajmy, że na ma pojęcia funkcji, rozważa się tylko krzywe.

Matematyka w XVII wieku

(14)

Główne problemy matematyki w XVII wieku

Jeszcze w średniowieczu rozpoczęto badania ruchu i powstała potrzeba określenia:

prędkości chwilowej (pochodnej) kierunku ruchu (stycznej)

maksimów i minimów (zasięg pocisku, orbity planet) astronomia: długość orbity, po której porusza się planeta optyka: normalna, kąt padania i kąt odbicia

Pamiętajmy, że na ma pojęcia funkcji, rozważa się tylko krzywe.

Matematyka w XVII wieku

(15)

Metoda wyczerpywania

Archimedes w „Kwadraturze paraboli” obliczał sumę

1/4 + 1/16 + ... + 1/4n, i „wyczerpywał resztę”, przedłużając sumę dotąd, aż różnica pomiędzy prawdziwym polem a sumą stanie się tak mała, jak chcemy.

Simon Stevin nie przejmował się ścisłością Archimedesa i nie badał reszty, tylko pisał sumy nieskończone. Brak ścisłości zaowocował tym, że metoda stała się bardziej wygodna, choć mogła dawać bezsensowne wyniki !

Matematyka w XVII wieku

(16)

Johannes Kepler 1571 – 1630

Oczywiście do opisu świata potrzebne mu były elipsy (3 prawa ruchu planet)

W roku 1615 napisał dzieło Stereometria beczek na wino, w którym za pomocą nieskończenie małych obliczał objętości niektórych brył obrotowych. Dla Keplera okrąg to „wielokąt foremny o nieskończenie wielu bokach”.

Matematyka w XVII wieku

(17)

Johannes Kepler 1571 – 1630

Przez pewien czas mieszkał też w Żaganiu i w klasztorze augustianów prowadził obserwacje astronomiczne.

W roku 1611 jako prezent noworocz- ny, Kepler napisał dla swojego przy- jaciela Barona Wackhera Noworoczny podarek albo o sześciokątnych płat- kach śniegu. Był to krótki traktat o sześciokątnej symetrii śniegu, która, jak spekulował, mogła wynikać z ziar- nistej budowy materii i faktu, że sze- ściokątne ułożenie jest przestrzennie najefektywniejsze.

Matematyka w XVII wieku

(18)

Johannes Kepler 1571 – 1630

Hipoteza Keplera: ułożenie pomarańczy, jakie widzimy na straganach, jest najgęstsze z możliwych.

Hipoteza ta wynikła z korespondencji z Thomasem Harriotem, którego Walter Raleigh zapytał, jakie ułożenie kul armatnich na okręcie jest najefektywniejsze.

Matematyka w XVII wieku

(19)

Hipoteza Keplera

Thue 1890 (na płaszczyźnie: plaster miodu jest najgęstszy),

Fejes Toth 1953 (sprowadził problem do skończonej liczby obliczeń) Thomas Hales (uczeń P.J. Cohena) 1995 (dowód komputerowy) Despite the unusual nature of the proof, the editors of the Annals of Mathematics agreed to publish it, provided it was accepted by a panel of twelve referees. In 2003, after four years of work, the head of the referee’s panel G´abor Fejes Tóth (son of L´aszló Fejes Tóth) reported that the panel were ”99% certain” of the correctness of the proof, but they could not certify the correctness of all of the computer calculations.

„A proof of the Kepler conjecture,” by Thomas C. Hales, Annals of Mathematics, 162 (2005), 1065-1185

Matematyka w XVII wieku

(20)

Rachunki za pomocą nieskończenie małych

Jak Roberval obliczył pole pod cykloidą?

Matematyka w XVII wieku

(21)

Tautochrona = izochrona

Jak wiemy z nauki fizyki w szkole, okres wahadła zależy od jego długości,

ale NIE zależy od wychylenia początkowego. To byłoby prawdą, gdyby sin x = x , a tak nie jest!

W związku z tym okres wahadła „kołowego” ZALEŻY od wielkości wychylenia początkowego.

Ch. Huygens postawił pytanie: po jakiej krzywej powinien poruszać się punkt, aby okres ruchu nie zależał od wielkości początkowego wychylenia?

Huygens wykazał, że taką krzywą — tautochroną — jest cykloida. Praca Horologium Oscillatorium sive de Motu Pendulorum 1673

Zadanie: Zbudować wiszące wahadło, poruszające się po cykloidzie.

Matematyka w XVII wieku

(22)

Tautochrona = izochrona

Jak wiemy z nauki fizyki w szkole, okres wahadła zależy od jego długości,

ale NIE zależy od wychylenia początkowego.

To byłoby prawdą, gdyby sin x = x , a tak nie jest!

W związku z tym okres wahadła „kołowego” ZALEŻY od wielkości wychylenia początkowego.

Ch. Huygens postawił pytanie: po jakiej krzywej powinien poruszać się punkt, aby okres ruchu nie zależał od wielkości początkowego wychylenia?

Huygens wykazał, że taką krzywą — tautochroną — jest cykloida. Praca Horologium Oscillatorium sive de Motu Pendulorum 1673

Zadanie: Zbudować wiszące wahadło, poruszające się po cykloidzie.

Matematyka w XVII wieku

(23)

Tautochrona = izochrona

Jak wiemy z nauki fizyki w szkole, okres wahadła zależy od jego długości,

ale NIE zależy od wychylenia początkowego.

To byłoby prawdą, gdyby sin x = x , a tak nie jest!

W związku z tym okres wahadła „kołowego” ZALEŻY od wielkości wychylenia początkowego.

Ch. Huygens postawił pytanie: po jakiej krzywej powinien poruszać się punkt, aby okres ruchu nie zależał od wielkości początkowego wychylenia?

Huygens wykazał, że taką krzywą — tautochroną — jest cykloida. Praca Horologium Oscillatorium sive de Motu Pendulorum 1673

Zadanie: Zbudować wiszące wahadło, poruszające się po cykloidzie.

Matematyka w XVII wieku

(24)

Tautochrona = izochrona

Jak wiemy z nauki fizyki w szkole, okres wahadła zależy od jego długości,

ale NIE zależy od wychylenia początkowego.

To byłoby prawdą, gdyby sin x = x , a tak nie jest!

W związku z tym okres wahadła „kołowego” ZALEŻY od wielkości wychylenia początkowego.

Ch. Huygens postawił pytanie: po jakiej krzywej powinien poruszać się punkt, aby okres ruchu nie zależał od wielkości początkowego wychylenia?

Huygens wykazał, że taką krzywą — tautochroną — jest cykloida. Praca Horologium Oscillatorium sive de Motu Pendulorum 1673

Zadanie: Zbudować wiszące wahadło, poruszające się po cykloidzie.

Matematyka w XVII wieku

(25)

Tautochrona = izochrona

Jak wiemy z nauki fizyki w szkole, okres wahadła zależy od jego długości,

ale NIE zależy od wychylenia początkowego.

To byłoby prawdą, gdyby sin x = x , a tak nie jest!

W związku z tym okres wahadła „kołowego” ZALEŻY od wielkości wychylenia początkowego.

Ch. Huygens postawił pytanie: po jakiej krzywej powinien poruszać się punkt, aby okres ruchu nie zależał od wielkości początkowego wychylenia?

Huygens wykazał, że taką krzywą — tautochroną — jest cykloida. Praca Horologium Oscillatorium sive de Motu Pendulorum 1673

Zadanie: Zbudować wiszące wahadło, poruszające się po cykloidzie.

Matematyka w XVII wieku

(26)

Tautochrona = izochrona

Jak wiemy z nauki fizyki w szkole, okres wahadła zależy od jego długości,

ale NIE zależy od wychylenia początkowego.

To byłoby prawdą, gdyby sin x = x , a tak nie jest!

W związku z tym okres wahadła „kołowego” ZALEŻY od wielkości wychylenia początkowego.

Ch. Huygens postawił pytanie: po jakiej krzywej powinien poruszać się punkt, aby okres ruchu nie zależał od wielkości początkowego wychylenia?

Huygens wykazał, że taką krzywą — tautochroną — jest

cykloida. Praca Horologium Oscillatorium sive de Motu Pendulorum 1673

Zadanie: Zbudować wiszące wahadło, poruszające się po cykloidzie.

Matematyka w XVII wieku

(27)

Tautochrona = izochrona

Jak wiemy z nauki fizyki w szkole, okres wahadła zależy od jego długości,

ale NIE zależy od wychylenia początkowego.

To byłoby prawdą, gdyby sin x = x , a tak nie jest!

W związku z tym okres wahadła „kołowego” ZALEŻY od wielkości wychylenia początkowego.

Ch. Huygens postawił pytanie: po jakiej krzywej powinien poruszać się punkt, aby okres ruchu nie zależał od wielkości początkowego wychylenia?

Huygens wykazał, że taką krzywą — tautochroną — jest cykloida. Praca Horologium Oscillatorium sive de Motu Pendulorum 1673

Zadanie: Zbudować wiszące wahadło, poruszające się po cykloidzie.

Matematyka w XVII wieku

(28)

Tautochrona = izochrona

Jak wiemy z nauki fizyki w szkole, okres wahadła zależy od jego długości,

ale NIE zależy od wychylenia początkowego.

To byłoby prawdą, gdyby sin x = x , a tak nie jest!

W związku z tym okres wahadła „kołowego” ZALEŻY od wielkości wychylenia początkowego.

Ch. Huygens postawił pytanie: po jakiej krzywej powinien poruszać się punkt, aby okres ruchu nie zależał od wielkości początkowego wychylenia?

Huygens wykazał, że taką krzywą — tautochroną — jest cykloida. Praca Horologium Oscillatorium sive de Motu Pendulorum 1673

Zadanie: Zbudować wiszące wahadło, poruszające się po cykloidzie.

Matematyka w XVII wieku

(29)

Christiaan Huygens 1629 – 1695

Matematyka w XVII wieku

(30)

Chronometr a nawigacja

Vivere non necesse sed navigare necesse est.

Znając dokładny czas Greenwich w chwili, gdy Słońce jest w najwyższym punkcie, można obliczyć długość geograficzną punktu, w którym się znajdujemy.

Wysokości Słońca, Księżyca, widzialnych planet i 57 gwiazd nawigacyjnych opisane są w Almanachu nawigacyjnym.

Sekstant pozwalał zmierzyć pozycję ciała niebieskiego z

dokładnością do 1 minuty kątowej (dokładność obserwacji gołym okiem).

Potrzebny jest dokładny zegar — chronometr.

Jedna sekunda czasu to około 0,29 mm (mili morskiej), czyli minuta to 17,4 mm.

Matematyka w XVII wieku

(31)

Chronometr a nawigacja

Konkurs rządu brytyjskiego z 1714 roku: 20 000 funtów za zbudowanie chronometru, który pozwoli oznaczyć długość geograficzną z błędem mniejszym niż 30 mm (56 km).

1 mm = 1852 m

Oznacza to, że po rejsie Anglia – Ameryka – Anglia wskazania zegara muszą różnić się od czasu Greenwich o mniej niż 100 sekund.

John Harrison (z zawodu cieśla) otrzymał łącznie 14 315 funtów za 30 lat swojej pracy; chronometr H4, zbudowany w 1764 roku był kieszonkowy i miał 12 cm średnicy.

Matematyka w XVII wieku

(32)

Pierre de Fermat i nieskończenie małe

Kwadratury Fermata:

Aby obliczyć pole pod parabolą y = x2 od 0 do x Fermat ustalił liczbę c < 1 i podzielił odcinek [0, x ] punktami x , cx , c2x , c3x ,...

Następnie obliczył pola kolejnych prostokątów, otrzymując Sc = x3(1−c)+c3x3(1−c)+c6x3(1−c)+... = x3(1 − c)

1 − c3 = x3 1 + c + c2. Gdy c → 1, to suma coraz lepiej przybliża pole pod parabolą,

dając w granicy x33.

Matematyka w XVII wieku

(33)

Pierre de Fermat i geometria analityczna

Fermat wprowadził, niezależnie od Kartezjusza, układ współrzędnych na płaszczyźnie i zaczął opisywać krzywe równaniami. Znał prace algebraiczne Viety i pod ich wpływem zaczął stosowac symbolikę literową w swoich metodach, co nadało im ogólności.

Już Kepler zauważył (badając objętości), że objętość bryły zmienia się najmniej w okolicy tej wartości, dla której osiągane jest

maksimum.

Fermat idzie dalej i dowodzi w pracy De maximis at minimis twierdzenia, które dziś nazywamy twierdzeniem Fermata:

Jeśli różniczkowalna f ma ekstremum w punkcie x0, to f0(x0) = 0.

Matematyka w XVII wieku

(34)

Styczne w ujeciu Fermata

Zadanie: dana jest parabola i punkt P na niej. Przeprowadzić styczną w punkcie P do paraboli.

Matematyka w XVII wieku

(35)

Styczne w ujeciu Fermata, 1629 r.

Szukamy punktu T . Niech QS=d i niech QQ0 = e. Jeżeli QT = a, to z „własności charakterystycznej” paraboli (czyli y2 = 2px ) wynika nierówność

d

d − e > a2 a2− 2ae + e2. Stąd −2aed + e2d > −ea2 czyli de + a2 > 2ad .

Jeśli opuścić wyraz z e, to dostajemy a = 2d , znamy a, więc znamy T i możemy poprowadzić styczną.

Matematyka w XVII wieku

(36)

Styczne w ujeciu Fermata, 1629 r.

Kartezjusz bardzo skrytykował tak niefrasobliwe obchodzenie się z nieskończenie małymi i rozpoczął się spór dwóch uczonych.

Fermat zaczął doskonalić i uogólniać swoje metody i około roku 1640 oznajmił „wolno zastąpić współrzędną y krzywej przez współrzędną jej stycznej”, a w roku 1660 wykazał równoważność dwóch nieskończenie małych: elementu łuku krzywej i elementu stycznej.

To pozwalało mu znajdować styczne zarówno do krzywych

algebraicznych (danych wielomianami), jak i niealgebraicznych (np.

do cykloidy).

Matematyka w XVII wieku

(37)

Pierre de Fermat 1601 – 1665

Fermat był prawnikiem i dzia- łał jako radca parlamentu (ów- czesna nazwa sądu) w Tulu- zie. Znał też języki klasyczne.

Prac matematycznych nie pu- blikował, korespondował m.in. z Mersennem. W roku 1679 jego syn wydał pośmiertnie prace oj- ca. Oprócz analizy i geometrii zajmował się teorią liczb i ra- chunkiem prawdopodobieństwa (uważa się go wraz z Pascalem za twórcę tegoż).

Matematyka w XVII wieku

(38)

Blaise Pascal 1623-1662

Jak ojciec kształcił Pascala w domu?

Mając 16 lat pisze pracę o stoż- kowych — twierdzenie Pasca- la. Podobno Kartezjusz nie wie- rzył, że ktoś tak młody mógł udowodnić takie twierdzenie.

Sposób publikacji: 50 kartek powieszonych na ważnych bu- dynkach w Paryżu, do dziś prze- trwały dwie.

Matematyka w XVII wieku

(39)

Kartezjusz 1596-1650

Uczył się w kolegium w La Fleche (w połowie drogi miedzy LeMans a Angers). W wieku 21 lat wstąpił do armii księcia Orańskiego, by „douczyć się matematyki”.

Matematyka w XVII wieku

(40)

Kartezjusz czyli Rene Descartes

1637 Rozprawa o metodzie z dodatkiem 105 stron Geometrii:

metoda współrzędnych i opis krzywych równaniami czyli geometria analityczna.

1639 Dioptrika zawierająca między innymi prawo załamania światła.

Uważał, że całą wiedzę należy poddać próbie wątpienia. W końcu niewątpliwe okazało się tylko samo wątpienie: aby wątpić, trzeba myśleć, aby myśleć, musi istnieć podmiot myślący, stąd słynne cogito, ergo sum.

Matematyka w XVII wieku

(41)

Rozprawa o metodzie

Dzieło rozpoczyna się następującą deklaracją:

Rozsądek jest to rzecz ze wszystkich na świecie najlepiej rozdzielona, każdy bowiem sądzi, że jest w nią tak dobrze

zaopatrzony, iż nawet ci, których we wszystkim innym najtrudniej jest zadowolić, nie zwykli pragnąć go więcej, niźli posiadają.

Matematyka w XVII wieku

(42)

Izaak Newton 25 XII 1642 (4 I 1643) – 1727

Matematyka w XVII wieku

(43)

Izaak Newton 1642 – 1727

Matematyka w XVII wieku

(44)

Newton Methodus fluxionum et serierum infinitarum

From now on I shall call these flowing quantities, which I shall consider gradually and indefinitely increasing and re- present with the last letters of the alphabet u,y,x and z, so that they can be distinguished from the other quanti- ties in equations, that are considered known and defined, and these are the ones indicated with the initial letters of the alphabet a, b, c, etc. Velocities instead, of the flowing quantities increasing due to the movement that generates them (velocities which I call fluxions or simply velocities) are expressed with the same letters pointed, thus ˙u, ˙y , ˙x and ˙z. In other words, for the velocity of the quantity u I shall put ˙u, and in the same fashion for the velocities of the other quantities x, y and z, I shall write respectively ˙x ,

˙

y and ˙z. Having said this, I shall proceed to treating the subject introduced and I will start by giving the solution of two of the problems posed earlier.

Problem I

Given a relation between flowing quantities, determine the relation between their fluxions.

Matematyka w XVII wieku

(45)

Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 –1716

Matematyka w XVII wieku

(46)

Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 –1716

Prawnik, dyplomata, w czasie wyzyty w Paryżu (1672-1676) zainteresował się matematyką. Stworzył wtedy rachunek nieskończenie małych.

Postulował stworzenie pisma naukowego (Acta Eruditorum).

Inicjator powstania Pruskiej Akademii Nauk (11 lipca 1700), był jej pierwszym prezesem.

Matematyka w XVII wieku

(47)

Leibniz

Given the axis AX and a set of curves such as VV, WW, YY, ZZ, and let VX, WX, YX, ZX be the ordinates of a point on the curves, perpendicular to the axis: the latter will be said v,w,y,z respectively;

and let the segment AX, cut on the axis, be named x. Let the tangents be VB, WC, YD, ZE, meeting the axis respectively in the points B, C, D, E. Now let any segment, choosen arbitrarily, be named dx and a segment that is to dx as v (or w, or y, or z) is to BX (or CX, or DX, or EX) be said dv (or dw or dy, or dz) which is the difference of those very v’s (or of those w’s, or y’s, or z’s). Given that this is true, the rules will be: if a is a given constant quantity, then da = 0 and dax = adx . If y=v (that is if any ordinate of the curve YY is equal to any corresponding ordinate of the curve VV), then dy = dv . Addition and subtraction : if z − y + w + x = v , then d (z − y + w + x ) = dv = dz − dy + dw + dx .

Matematyka w XVII wieku

(48)

Leibniz

Matematyka w XVII wieku

(49)

Rodzina Bernoullich

Rodzina przybyła z Antwerpii przez Frankfurt do Bazylei, uciekajac przed prześladowaniami religijnymi.

W roku 1646 Mikołaj Bernoulli (handlujący przyprawami i lekarstwami) żeni się a Margarethą Sch¨onauer, córką radcy

miejskiego. To małżeństwo zapoczątkowuje najsłynniejszą dynastię w dziejach nauki.

Ojciec chciał, aby synowie byli w przyszłości: Jakub – pastorem, a Jan medykiem. Obaj zostali matematykami.

Jakub, Jan, a potem Daniel (syn Jana) i pozostali wywierają wielki wpływ na rozwój matematyki i fizyki.

W ciagu nastepnych 300 lat ponad 50 profesorów nosiło nazwisko Bernoulli.

Matematyka w XVII wieku

(50)

Rodzina Bernoullich

Matematyka w XVII wieku

(51)

Jakub Bernoulli

Jakub Bernoulli (1654 – 1705) (brat Jana i stryj Daniela) i jego osiągnięcia:

użycie układu biegunowego

badanie krzywej łańcuchowej, lemniskaty i spirali logarytmicznej

podstawy rachunku wariacyjnego

rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

równanie różniczkowe Bernoulliego y0+ p(x )y = q(x )yn rachunek prawdopodobieństwa = rozkład Bernoulliego i Prawo Wielkich Liczb

Ars Conjectandi (użycie słowa stochastik)

Eadem mutata resurgo czyli Ze zmian powstaję ta sama

Matematyka w XVII wieku

(52)

Jakub Bernoulli

Jakub Bernoulli (1654 – 1705) (brat Jana i stryj Daniela) i jego osiągnięcia:

użycie układu biegunowego

badanie krzywej łańcuchowej, lemniskaty i spirali logarytmicznej

podstawy rachunku wariacyjnego

rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

równanie różniczkowe Bernoulliego y0+ p(x )y = q(x )yn rachunek prawdopodobieństwa = rozkład Bernoulliego i Prawo Wielkich Liczb

Ars Conjectandi (użycie słowa stochastik)

Eadem mutata resurgo czyli Ze zmian powstaję ta sama

Matematyka w XVII wieku

(53)

Jakub Bernoulli

Jakub Bernoulli (1654 – 1705) (brat Jana i stryj Daniela) i jego osiągnięcia:

użycie układu biegunowego

badanie krzywej łańcuchowej, lemniskaty i spirali logarytmicznej

podstawy rachunku wariacyjnego

rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

równanie różniczkowe Bernoulliego y0+ p(x )y = q(x )yn rachunek prawdopodobieństwa = rozkład Bernoulliego i Prawo Wielkich Liczb

Ars Conjectandi (użycie słowa stochastik)

Eadem mutata resurgo czyli Ze zmian powstaję ta sama

Matematyka w XVII wieku

(54)

Jakub Bernoulli

Jakub Bernoulli (1654 – 1705) (brat Jana i stryj Daniela) i jego osiągnięcia:

użycie układu biegunowego

badanie krzywej łańcuchowej, lemniskaty i spirali logarytmicznej

podstawy rachunku wariacyjnego

rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

równanie różniczkowe Bernoulliego y0+ p(x )y = q(x )yn rachunek prawdopodobieństwa = rozkład Bernoulliego i Prawo Wielkich Liczb

Ars Conjectandi (użycie słowa stochastik)

Eadem mutata resurgo czyli Ze zmian powstaję ta sama

Matematyka w XVII wieku

(55)

Jakub Bernoulli

Jakub Bernoulli (1654 – 1705) (brat Jana i stryj Daniela) i jego osiągnięcia:

użycie układu biegunowego

badanie krzywej łańcuchowej, lemniskaty i spirali logarytmicznej

podstawy rachunku wariacyjnego

rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

równanie różniczkowe Bernoulliego y0+ p(x )y = q(x )yn

rachunek prawdopodobieństwa = rozkład Bernoulliego i Prawo Wielkich Liczb

Ars Conjectandi (użycie słowa stochastik)

Eadem mutata resurgo czyli Ze zmian powstaję ta sama

Matematyka w XVII wieku

(56)

Jakub Bernoulli

Jakub Bernoulli (1654 – 1705) (brat Jana i stryj Daniela) i jego osiągnięcia:

użycie układu biegunowego

badanie krzywej łańcuchowej, lemniskaty i spirali logarytmicznej

podstawy rachunku wariacyjnego

rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

równanie różniczkowe Bernoulliego y0+ p(x )y = q(x )yn rachunek prawdopodobieństwa = rozkład Bernoulliego i Prawo Wielkich Liczb

Ars Conjectandi (użycie słowa stochastik)

Eadem mutata resurgo czyli Ze zmian powstaję ta sama

Matematyka w XVII wieku

(57)

Jakub Bernoulli

Jakub Bernoulli (1654 – 1705) (brat Jana i stryj Daniela) i jego osiągnięcia:

użycie układu biegunowego

badanie krzywej łańcuchowej, lemniskaty i spirali logarytmicznej

podstawy rachunku wariacyjnego

rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

równanie różniczkowe Bernoulliego y0+ p(x )y = q(x )yn rachunek prawdopodobieństwa = rozkład Bernoulliego i Prawo Wielkich Liczb

Ars Conjectandi (użycie słowa stochastik)

Eadem mutata resurgo czyli Ze zmian powstaję ta sama

Matematyka w XVII wieku

(58)

Jakub Bernoulli

Jakub Bernoulli (1654 – 1705) (brat Jana i stryj Daniela) i jego osiągnięcia:

użycie układu biegunowego

badanie krzywej łańcuchowej, lemniskaty i spirali logarytmicznej

podstawy rachunku wariacyjnego

rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

równanie różniczkowe Bernoulliego y0+ p(x )y = q(x )yn rachunek prawdopodobieństwa = rozkład Bernoulliego i Prawo Wielkich Liczb

Ars Conjectandi (użycie słowa stochastik)

Eadem mutata resurgo czyli Ze zmian powstaję ta sama

Matematyka w XVII wieku

(59)

Jakub Bernoulli

Matematyka w XVII wieku

(60)

Jan Bernoulli

Jan Bernoulli (1667 – 1748) (młodszy brat Jakuba i ojciec Daniela):

rozwinął rachunek różniczkowy i całkowy (uczył młodego markiza de L’Hopitala i podobno podpisali umowę, na mocy której Jan zezwolił uczniowi używać w dowolny sposób swoich wyników, a markiz opublikował książkę ...)

uczył młodego Leonard Eulera bronił Leibniza w sporze z Newtonem

postawił i rozwiązał „zagadnienie brachistochrony” konkurował z bratem i synem!

Matematyka w XVII wieku

(61)

Jan Bernoulli

Jan Bernoulli (1667 – 1748) (młodszy brat Jakuba i ojciec Daniela):

rozwinął rachunek różniczkowy i całkowy (uczył młodego markiza de L’Hopitala i podobno podpisali umowę, na mocy której Jan zezwolił uczniowi używać w dowolny sposób swoich wyników, a markiz opublikował książkę ...)

uczył młodego Leonard Eulera

bronił Leibniza w sporze z Newtonem

postawił i rozwiązał „zagadnienie brachistochrony” konkurował z bratem i synem!

Matematyka w XVII wieku

(62)

Jan Bernoulli

Jan Bernoulli (1667 – 1748) (młodszy brat Jakuba i ojciec Daniela):

rozwinął rachunek różniczkowy i całkowy (uczył młodego markiza de L’Hopitala i podobno podpisali umowę, na mocy której Jan zezwolił uczniowi używać w dowolny sposób swoich wyników, a markiz opublikował książkę ...)

uczył młodego Leonard Eulera bronił Leibniza w sporze z Newtonem

postawił i rozwiązał „zagadnienie brachistochrony” konkurował z bratem i synem!

Matematyka w XVII wieku

(63)

Jan Bernoulli

Jan Bernoulli (1667 – 1748) (młodszy brat Jakuba i ojciec Daniela):

rozwinął rachunek różniczkowy i całkowy (uczył młodego markiza de L’Hopitala i podobno podpisali umowę, na mocy której Jan zezwolił uczniowi używać w dowolny sposób swoich wyników, a markiz opublikował książkę ...)

uczył młodego Leonard Eulera bronił Leibniza w sporze z Newtonem

postawił i rozwiązał „zagadnienie brachistochrony”

konkurował z bratem i synem!

Matematyka w XVII wieku

(64)

Jan Bernoulli

Jan Bernoulli (1667 – 1748) (młodszy brat Jakuba i ojciec Daniela):

rozwinął rachunek różniczkowy i całkowy (uczył młodego markiza de L’Hopitala i podobno podpisali umowę, na mocy której Jan zezwolił uczniowi używać w dowolny sposób swoich wyników, a markiz opublikował książkę ...)

uczył młodego Leonard Eulera bronił Leibniza w sporze z Newtonem

postawił i rozwiązał „zagadnienie brachistochrony”

konkurował z bratem i synem!

Matematyka w XVII wieku

(65)

Brachistochrona

Brachistochrona to krzywa najkrótszego spadku.

W czerwcu roku 1697 Jan Bernoulli postawił w Acta Eruditorum następujący problem

Jeśli na pionowej płaszczyźnie dane są dwa punkty, A i B, to należy znaleźć taką krzywą, po której punkt materialny M, poruszający się pod wpływem własnego ciężaru, przemieści się w najkrótszym czasie.

Matematyka w XVII wieku

(66)

Brachistochrona

Potem Jan rozesłał listy z tym problemem do najznakomitszych matematyków i dał 6 miesięcy na rozwiązanie.

Leibniz nie tylko rozwiązał zadanie w dniu otrzymania listu, ale także

przewidział ile nadejdzie rozwiązań (pięć) i kto je przyśle:

Leibniz

bracia Bernoulli (Jakub i Jan) Newton

de L’Hopital

przy czym ten ostatni z korespondencyjnymi wskazówkami Jana Bernoulliego.

Matematyka w XVII wieku

(67)

Brachistochrona

Potem Jan rozesłał listy z tym problemem do najznakomitszych matematyków i dał 6 miesięcy na rozwiązanie.

Leibniz nie tylko rozwiązał zadanie w dniu otrzymania listu, ale także

przewidział ile nadejdzie rozwiązań (pięć) i kto je przyśle:

Leibniz

bracia Bernoulli (Jakub i Jan) Newton

de L’Hopital

przy czym ten ostatni z korespondencyjnymi wskazówkami Jana Bernoulliego.

Matematyka w XVII wieku

(68)

Brachistochrona

Potem Jan rozesłał listy z tym problemem do najznakomitszych matematyków i dał 6 miesięcy na rozwiązanie.

Leibniz nie tylko rozwiązał zadanie w dniu otrzymania listu, ale także

przewidział ile nadejdzie rozwiązań (pięć) i kto je przyśle:

Leibniz

bracia Bernoulli (Jakub i Jan)

Newton de L’Hopital

przy czym ten ostatni z korespondencyjnymi wskazówkami Jana Bernoulliego.

Matematyka w XVII wieku

(69)

Brachistochrona

Potem Jan rozesłał listy z tym problemem do najznakomitszych matematyków i dał 6 miesięcy na rozwiązanie.

Leibniz nie tylko rozwiązał zadanie w dniu otrzymania listu, ale także

przewidział ile nadejdzie rozwiązań (pięć) i kto je przyśle:

Leibniz

bracia Bernoulli (Jakub i Jan) Newton

de L’Hopital

przy czym ten ostatni z korespondencyjnymi wskazówkami Jana Bernoulliego.

Matematyka w XVII wieku

(70)

Brachistochrona

Potem Jan rozesłał listy z tym problemem do najznakomitszych matematyków i dał 6 miesięcy na rozwiązanie.

Leibniz nie tylko rozwiązał zadanie w dniu otrzymania listu, ale także

przewidział ile nadejdzie rozwiązań (pięć) i kto je przyśle:

Leibniz

bracia Bernoulli (Jakub i Jan) Newton

de L’Hopital

przy czym ten ostatni z korespondencyjnymi wskazówkami Jana Bernoulliego.

Matematyka w XVII wieku

(71)

Brachistochrona

Potem Jan rozesłał listy z tym problemem do najznakomitszych matematyków i dał 6 miesięcy na rozwiązanie.

Leibniz nie tylko rozwiązał zadanie w dniu otrzymania listu, ale także

przewidział ile nadejdzie rozwiązań (pięć) i kto je przyśle:

Leibniz

bracia Bernoulli (Jakub i Jan) Newton

de L’Hopital

przy czym ten ostatni z korespondencyjnymi wskazówkami Jana Bernoulliego.

Matematyka w XVII wieku

(72)

Brachistochrona

Jan Bernoulli sprowadził zadanie do znanego z optyki prawa załamania światła, wyprowadził równanie, jakie musi spełniać ta krzywa i sprawdził, że spełnia je ...

Matematyka w XVII wieku

(73)

Brachistochrona

Jan Bernoulli sprowadził zadanie do znanego z optyki prawa załamania światła, wyprowadził równanie, jakie musi spełniać ta krzywa i sprawdził, że spełnia je cykloida.

Matematyka w XVII wieku

(74)

Brachistochrona

Jakub posłużył się skomplikowanymi formalnymi rachunkami i zapoczątkował rachunek wariacyjny.

Matematyka w XVII wieku

(75)

Daniel Bernoulli 1700 – 1782

Hydrodynamika, w tym zasada Bernoulliego (im szybszy przepływ, tym mniejsze ciśnienie).

1738 Specimen theoriae novae de mensura sortis (Wykład nowej teorii mierzenia ryzyka), a w niej między innymi paradoks

petersburski (W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, tom I, strona 224).

Pierwsze w historii (rok 1766) zastosowanie statystyki: badając dane dotyczące śmiertelności na ospę, Daniel Bernoulli wykazywał dobroczynny wpływ szczepień.

Matematyka w XVII wieku

(76)

Jak wymieniali wiadomości (publikowali)

Wysyłano listy do osób pośredniczących w wymianie wiadomości:

Marin Mersenne w Paryżu (zakonnik, uczył się w La Fleche z Kartezjuszem, intensywnie korespondował z Fermatem i

Pascalem), Henry Oldenburg w Londynie (sekretarz Royal Society, redaktor Philosophical Transactions of the Royal Society).

Upadek uniwersytetów, za to tworzą się towarzystwa naukowe:

Accademia dei Lincei (Rzym 1603), Royal Society w Londynie, 30 listopada 1660 po wykładzie Wrena, 12 uczestników,

http://seefurther.org/

W końcu powstały czasopisma naukowe:

Journal de Savants, 5 stycznia 1655

Philosophical Transactions of the Royal Society, maj 1655, Acta Eruditorum, 1682, Lipsk

Matematyka w XVII wieku

(77)

Jak wymieniali wiadomości (publikowali)

Wysyłano listy do osób pośredniczących w wymianie wiadomości:

Marin Mersenne w Paryżu (zakonnik, uczył się w La Fleche z Kartezjuszem, intensywnie korespondował z Fermatem i

Pascalem), Henry Oldenburg w Londynie (sekretarz Royal Society, redaktor Philosophical Transactions of the Royal Society).

Upadek uniwersytetów, za to tworzą się towarzystwa naukowe:

Accademia dei Lincei (Rzym 1603), Royal Society w Londynie, 30 listopada 1660 po wykładzie Wrena, 12 uczestników,

http://seefurther.org/

W końcu powstały czasopisma naukowe:

Journal de Savants, 5 stycznia 1655

Philosophical Transactions of the Royal Society, maj 1655,

Acta Eruditorum, 1682, Lipsk

Matematyka w XVII wieku

(78)

Jak wymieniali wiadomości (publikowali)

Wysyłano listy do osób pośredniczących w wymianie wiadomości:

Marin Mersenne w Paryżu (zakonnik, uczył się w La Fleche z Kartezjuszem, intensywnie korespondował z Fermatem i

Pascalem), Henry Oldenburg w Londynie (sekretarz Royal Society, redaktor Philosophical Transactions of the Royal Society).

Upadek uniwersytetów, za to tworzą się towarzystwa naukowe:

Accademia dei Lincei (Rzym 1603), Royal Society w Londynie, 30 listopada 1660 po wykładzie Wrena, 12 uczestników,

http://seefurther.org/

W końcu powstały czasopisma naukowe:

Journal de Savants, 5 stycznia 1655

Philosophical Transactions of the Royal Society, maj 1655, Acta Eruditorum, 1682, Lipsk

Matematyka w XVII wieku

(79)

Pierwsze numery najstarszych periodyków naukowych

Matematyka w XVII wieku

(80)

Pierwsze numery najstarszych periodyków naukowych

Matematyka w XVII wieku

(81)

Pierwsze numery najstarszych periodyków naukowych

Matematyka w XVII wieku

(82)

Pierwsze numery najstarszych periodyków naukowych

Matematyka w XVII wieku

(83)

Pierwsze numery najstarszych periodyków naukowych

Matematyka w XVII wieku

(84)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ... Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

(85)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ... Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

(86)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ... Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

(87)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ... Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

(88)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ... Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

(89)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ... Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

(90)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ...

Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

(91)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ...

Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

(92)

W końcu pojawił się ON.

Przez ponad połowę życia widział tylko na jedno oko.

Przez ostatnie 20 lat życia był całkowicie niewidomy.

W roku 1911 zaczęto wydawać jego Opera omnia, wydano do dziś ponad 70 tomów mających łącznie ponad 25 000 stron. I ciągle mnóstwo pracy przed komitetem redakcyjnym.

Sama Analiza zajmuje ponad 9 000 stron.

Gdy się zajął jakimś zadaniem, powstawała z tego cała teoria i pisał książkę.

Prawdopodobnie do dziś matematyka rosyjska jest tak silna, że przez długi czas pracował w Petersburgu.

Nazywał się ...

Leonard Euler

Urodził się w roku 1707, a to już wiek osiemnasty.

Matematyka w XVII wieku

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :