Manoeuvreersimulatie met een microcomputer, Deel 1 en 2

MANOEUVREERSIMULATIE MET EEN

MICROCOMPUTER

d o o r I r . W i e t s e de Boer

P u b l i c a t i e i n h e t t i j d s c h r i f t

NTT "De Z e e " .

D e e l I : 1 2 e j a a r g a n g - No.12

D e e l I I : 13e j a a r g a n g - N o . l

Manoeuvreersimulatie met

een microcomputer (

d

door I r . Wietse de Boer

Samenvatting

Op basis van een semi-empirisch wiskun-dig model is een manoeuvreersimulatie programma ontwikkeld voor een micro-computer. Het wiskundig model is ge-toetst aan metingen van proeftochten met diverse schepen. Het b l i j k t vrij goed over-een te komen met de werkelijkheid. Besturing van het schip is mogelijk door het geven van roer- en telegraaf orders. Op een beeldscherm wordt een horizon-tale projectie van het schip en een sche-matische weergave van de omgeving ge-toond. Rechts op het scherm worden nu-merieke waarden van snelheid, rate of turn, koers e.d. weergegeven. Tevens worden de telegraafpositie, de roerhoek en de roerorder grafisch weergegeven. Aan boord van schepen kan een " m i n i -simulator" een nuttig instrument zijn ter ondersteuning van de reisplanning van een passage of haventoegang. Tijdens het ontwerp van een schip kan men met een mini-simulator diverse ontwerpen op hun manoeuvreergedrag vergelijken. B i j het nautisch onderwijs zou deze simulator b i j de lessen "Reisvoorbereiding" kunnen worden gebruikt.

1. Inleiding

De laatste decennia zijn de afmetingen van schepen groter geworden. Ook zijn er diverse nieuwe typen schepen ontwikkeld. Het manoeuvreergedrag van grote tan-kers en bulkcarriers en van diverse spe-ciale schepen verschillen belangrijk met die van de conventionele schepen. Voor het navigatieteam wordt het voorspellen van het manoeuvreergedrag van een schip steeds belangrijker. Met het oog hierop is een manoeuvreersimulatie programma ontwikkeld voor gebruik aan boord van-schepen.

Het manoeuvreersimulatie programma is ontwikkeld aan de T H - D e l f t , b i j de vak-groepen Scheepshydromechanica en Scheepvaartkunde, sectie Navigatiekunde onder supervisie van prof. ir. J. Gerritsma en prof. i r . J. A . Spaans. Het programma is uitgebreid met grafische presentatie op een beeldscherm bij Intersite Systems in Haarlem.

I n de volgende paragraaf wordt het wis-kundig model besproken. Daarna volgt een korte beschrijving van het computer-programma. Vervolgens wordt de

simula-tie vergeleken met de werkelijkheid en tenslotte worden enkele gebruiksmoge-lijkheden van de mini-simulator bespro-ken.

2. Wiskundig model

Eerst wordt ingegaan op de opbouw van een wiskundig model voor een manoeu-vrerend schip, Gerritsma ( I ) en (2), en vervolgens wordt het gebruikte model van Inouee.a. besproken.

Aangenomen wordt dat het schip in een horizontaal vlak beweegt i n een rechtsdraaiend ruimtevast assenstelsel X o Y o -Z o , f i g . 1. De positieve richting van de Zo-as is naar beneden gericht en valt sa-men met de richting van de versnelling van de zwaartekracht. Het assenstelsel x-y-z is aan het schip verbonden met de oorsprong in het gewichtszwaartepunt G. De x-as ligt horizontaal i n het langs-scheepse symmetrievlak, de y-as is hori-zontaal en positief naar stuurboord en de z-as is positief naar beneden.

I n het Xo-Yo-Zo stelsel zijn de kompo-nenten van de kracht en van de snelheid in X o richting:

Xcos V — Ysin f (kracht)

ucosf— vsin f (snelheid)

I n het vaste X o - Y o - Z o stelsel geldt:

Xcos f— Ysin ^ = m 4_ (ucos —

• 1 / X dt

vsm

o f Xcos f Ysin f = m cos -dt

u d / s i n _ dv sin ^ _ V d_ cos ^ )

dt dt . Met d u / d t = u , d v / dt = V, d r / d t =

= r en door de termen met cos f tn de termen met sin f samen te nemen ont-staan twee vergelijkingen:

X = m (ü — vr) Y = m (v + ur) Voor het gieren wordt aangenomen dat de z-as vertikaal b l i j f t , dan geldt:

N =

D i t zijn de vergelijkingen van Euler voor de bewegingen van een schip in een hori-zontaal vlak.

Voor de bepaling van de krachten X , Y en het moment gelden de volgende beperkin-gen:

— vaarwater is in horizontale richting onbegrensd,

— de waterdiepte is konstant.

De krachten en momenten, die op het schip werken, zijn functies van de snel-heden en versnellingen van het schip en het roer t.o.v. het water. Er geldt: .

X = X (u, v, r, l i , V, f,

5 R, R )

Y = Y (u, V , r, V, r,

5 R, 5 R)

N = N (u, V, r, u , V, r, ^ R, j R )

295

De beperkingen van het definitieve model zijn:

— De snelheid van het schip is groter dan of gelijk aan nul.

— Diepgang en t r i m worden constant verondersteld tijdens een manoeuvre. — Stroom, wind en windsterkte worden

constant verondersteld tijdens een ma-noeuvre.

— Golven en een horizontale beperking van het vaarwater worden buiten be-schouwing gelaten i n de berekening van het scheepsgedrag.

Het definitieve stelsel vergelijkingen vormt een niet lineair tweede orde stelsel. Het is mogelijk de orde te verlagen. Dan ontstaat een eerste orde stelsel waarvan de versnellingen expliciet i n de snelheden uit-gedrukt kunnen worden. D i t stelsel worcjt gïntegreerd met de methode van Heun, zie Meulenbeld en Grootendorst.

(wordt vervolgd)

Manoeuvreersimulatie met

een microcomputer (II)

3. Computerprogramma

Het computerprogramma is ontwikkeld aan de T H - D e l f t . De grafische presentatie is ontwikkeld b i j Intersite Systems in Haarlem. Tevens is het programma gestructureerd volgens de methode die daar gebruikt wordt. Na een korte beschrijving van het programma wordt de invoer en de uitvoer besproken.

Een database wordt gedefinieerd als de verzameling data in het computersysteem. Een programma component manipuleert data i n de database. Die component wordt een funtionele eenheid ( F U , engels: Functional Unit) genoemd. Alle taken, die het systeem moet verrichten, worden opgesplitst in FU's. Deze opsplitsing wordt gemaakt om een gestructureerde programma documentatie te kunnen maken. I n een systeem beschrijving wordt iedere F U globaal en gedetailleerd be-schreven. Een globale opsplitsing van het systeem is gegeven in figuur 2.

De karakteristieken van het schip zijn op-geslagen i n vier subroutines. W i l men het programma aanpassen aan een ander schip, dan moet men deze vier subroutines herschrijven. D i t zijn:

1. I N S H I P , F U I . l . l .

In deze subroutine worden de scheeps-grootheden opgeslagen die niet afhan-kelijk zijn van diepgang o f trim (lengte, breedte, holte enz.).

2. S H I P , F U 1.2.

Opslag van variabelen als funktie van diepgang en trim (blokcoefficient e.d., lengte van de waterlijn enz.).

3. P R O P E L L O R . F U 1.6.1.2.

Opslag van de stuwkracht en het mo-ment van de schroef als funktie van de snelheidsgraad.

4. E N G I N E , FU 1.6.1.3.

Hier zijn de karakteristieken van de voortstuwingsinstallatie opgeslagen. Dit betreft het askoppel als funktie van de stoomtoevoer o f brandstoftoe-voer.

Voor het simuleren van een passage wordt een assenstelsel gedefinieerd, waarvan de Xo'-as naar het oosten gericht is en de Yo'-as naar het noorden. Tijdens het simuleren worden vaart, koers en positie berekend t.o.v. dit assenstelsel.

Na het activeren van het programma voert men achtereenvolgens i n :

— C o ö r d i n a t e n van punten die de kust-l i j n e n / o f de haven karakteriseren, het programma verbindt deze punten met rechte lijnstukken.

— C o ö r d i n a t e n van punten op de hartlijn van een vaargeul en de breedte van de geul in die punten.

— De waterdiepte.

— Stroom, homogene stroom: snelheid en richting.

Niet homogene stroom: de richting, c o ö r d i n a t e n van punten waarin de stroomsnelheid bekend is en de stroomsnelheid in deze punten.

— W i n d , beaufort schaal en richting. —- Beladingstoestand, diepgang, t r i m ,

ligging van het gewichts zwaartepunt in hoogte (KG) en lengte ( L C G ) . 1. S Y S T E M - I . input subroutine S H I P subroutine H Y D S H I P subroutine S H A L L O W subroutine I N W I N D subroutine — 1. subroutine H E U N F U N C T I O N subroutine S T O R E T R A C K 1. subroutine I N S H I P

2. select recept — I. keyboard 3. joystick 1—1. printer 8. output • subroutine R E S I S T A N C E subroutine P R O P E L L O R subroutine E N G I N E subroutine C U R R E N T subroutine W I N D -2. display

ware grootte metingen aan boord van een 200.000 tdwt tanker, de , , M a c o m a " en metingen aan boord van een Mariner-type vrachtschip ( L l 1 = 161 m.). B i j Intersite is het model getoetst aan metingen tijdens een proefvaart met de ,,Betelgeuze", een survey vaartuig ( L i l = 4 2 m.). Enkele re-sultaten zijn gegeven in figuur 6 t / m 12, waaruit b l i j k t dat het model vrij goed overeenkomt met de werkelijkheid. W o r d t het model toegepast op bijzondere scheepsvormen, dan is het noodzakelijk om het model uitgebreid te toetsen aan metingen in werkelijkheid. Het kan nood-zakelijk zijn om het model aan te passen aan die scheepsvorm.

5. Gebruiksmogelijkheden

De mini-simulator is ontwikkeld om het navigatieteam aan boord van een schip in-formatie te verschaffen over de manoeu-vreereigenschappen van het schip in een bepaalde situatie. Hierbij wordt vooral gedacht aan schepen die moeilijk te besturen zijn door hun afmetingen, aan schepen die een gevaarlijke lading vervoe-ren waardoor de veiligheid een belangrijk aspect wordt (gastankers) en aan schepen met manoeuvreer eigenschappen die be-langrijk verschillen t.o.v. die van meer conventionele schepen.

Met een mini-simulator kan het navigatie-team een passage vooraf uitproberen en analyseren. De besturing en de toestand van het schip tijdens een simulatie worden vastgelegd, zodat men daarvan gebruik kan maken tijdens het uitvoeren van de passage in werkelijkheid. B i j het simule-ren van een passage kan men de wheel-over punten bepalen en men krijgt een goede indicatie van de nodige roer- en te-legraaforders om stroom en wind te com-penseren.

Met betrekking tot invoer en presentatie van gegevens kan het programma meer gebruikersvriendelijk gemaakt worden. Voor de invoer van coördinaten kan een ,,digitizer" gebruikt worden. En als de simulatie op een radarscherm gepresen-teerd wordt, kan men de invoer van een kustlijn en haven in sommige gevallen achterwege laten.

Men moet zich ervan bewust zijn dat er gebruik gemaakt is van een model van de werkelijkheid, waarin geprobeerd is een goed beeld van die werkelijkheid te geven. De situatie in werkelijkheid zal altijd ver-schillen van de simulatie, omdat snelhe-den van wind en stroom niet exact bekend z i j n en ook omdat de invloed van golven niet in het model beschouwd is.

De resultaten verkregen uit een simulatie dienen als hulpmiddel b i j het uitvoeren van een manoeuvre. Het navigatieteam b l i j f t verantwoordelijk voor de uitvoering van een passage en moet, indien nodig, corrigeren voor de verschillen tussen si-mulatie en werkelijkheid, die altijd aan-wezig zullen zijn.

Een mini-simulator kan ook gebruikt worden tijdens het ontwerp van een schip. Door onder andere de U.S. Coast Guard en de I . M . O . worden onderzoeken

ver-richt om tot algemeen aanvaarde normen te komen met betrekking tot de manoeu-vreereigenschappen van schepen. Men wil in de toekomst eisen gaan stellen aan het manoeuvreergedrag van een schip. Als deze ontwikkeling zich doorzet, betekent het dat er betrouwbare voorspellingen gemaakt moeten worden van het manoeu-vreergedrag van een schip. Met relatief tijdrovende en dure experimenten kunnen de hydrodynamische coëfficiënten van een schip nauwkeurig bepaald worden.

Maar een ontwerper zal tijdens het ont-werpproces zijn alternatieven snel en goedkoop willen vergelijken. Hiervoor zijn betrouwbare benaderingsformules het meest doeltreffend. De mini-simulator is een nuttig instrument voor het vergelijken van manoeuvreereigen-.schappen van verschillende ontwerpen, al kunnen de gebruikte benaderingsformu-les voor de hydrodynamische coëfficiën-ten worden verbeterd.

Tenslotte kan de simulator b i j het

nau-Fig. 6 O

/

\

/

\

.••tl ?»u MM ma ROO 7 ^ 0 n g o ü r i o ) o n a aua i j i o 1 C M . - G ü S B C . Fig. 7 ' O u

\

/ ^

\

\

ffl/

\

iJO 3 6 Ü I H O BÜO 7 3 0 B^JO 9 G U ! 0 ! l ü I J Ü D 13,":ü I C M . - i B Ü S R C . Fig. 8

f\

\

\

\

\:/

De krachten en momenten zijn niet af-hankelijk van de oriëntatie van het schip in het ruimtevast assenstelsel. Voor de be-rekening van deze krachten en momenten ontwikkelt men ze in een Taylorreeks naar de snelheden, de roerhoek en afgelei-den van snelheafgelei-den'en roerhoek in de t i j d (dus naar u, v, r, S R, ü, v, f, J R, Ü, enz.).

De verschillende wiskundige modellen die door onderzoekers worden gebruikt, ver-schillen vooral in deze reeksontwikkeling. Soms worden alleen de eerste orde afge-leiden gebruikt (een lineair model) en uit-gebreide modellen bevatten ook vierde or-de termen. De afgeleior-den van X , Y en N naar de snelheden en versnellingen noemt men hydrodynamische afgeleiden. Voor een nauwkeurige bepaling van deze hydrodynamische afgeleiden zijn model-proeven noodzakelijk. X H + X R -f- X p (schrikken) m (v + ur) = Y H + Y R (verzetten) Izzf= N H + N R (gieren) I x x f K H + K R (slingeren) 2 A Ipp ü = Q E + Qp (omwentelingen van de schroef) waarin:

Qg moment van de voortstuwings-installatie,

Qp moment van de schroef,

Ixx> I z z niassa traagheidsmomenten t.o.v. x-as en z-as.

y-gs

Figuur 1. Assenstelsels.

u, v componenten van de snelheid U r giersnelheid koers 0 drifthoek S R roerhoek X kracht in x richting Y kracht in y richting

K moment om de x-as (hellend moment)

N moment om de z-as (giermoment) Op basis van het voorgaande wordt het wiskundig model van Inoue, Hirano, K i j i m a en Takashina besproken. Ook ko-men de uitbreidingen aan de orde. Het model van Inoue e.a. geldt voor vlak, diep en onbegrensd vaarwater en voor verschillende beladingstoestanden. Het model bevat geen regeling van de voort-stuwingsinstallatie en geeft geen vergelij-kingen voor het gedrag van de stuur-machine en de weerstand van het schip als funktie van de snelheid. Volgens de au-teurs kan de invloed van de hellingshoek ten gevolge van het roergeven bij een aan-tal typen schepen niet verwaarloosd wor-den en daarom bevat het model een verge-l i j k i n g voor het sverge-lingeren. De variaties i n het aantal omwentelingen van de schroef zijn van belang voor de stuwkracht en de krachten op het roer en dus is ook deze invloed i n het model verwerkt.

De basisvergelijkingen zijn: m (ü — vr) =

X-as

pp polair massa

traagheidsmo-ment schroef, as en voort-stuwingsinstallatie, index H staat voor H u i l (romp), index R staat voor Rudder (roer), index P staat voor Propellor

(schroef).

De rompkrachten en -momenten worden ontwikkeld in een Taylorreeks, die afge-broken wordt na de derde orde afgelei-den. De hydrodynamische afgeleiden worden berekend met semi-empirische re-laties. De stuwkracht van de schroef en het moment dat op de schroef werkt vol-gen uit de schroefkarakteristieken. Het moment van de voortstuwingsinstallatie volgt uit de karakteristieken van die in-stallatie. Tenslotte worden de roerkrach-ten en het roermoment berekend met semi-empirische relaties, zie Inoue e.a. Met betrekking tot het scheepsgedrag zijn toegevoegd.

— Een eerste orde benadering voor het gedrag van de stuurmachine, zie Ger-ritsma (1). Aanname: de oliesnelheid in het circuit van een hydraulische stuurmachine is evenredig met het ver-schil tussen roerorder en momentane roeruitslag.

— Een berekeningsmethode voor de scheepsweerstand, te weten de metho-de van H o l t r o p en Mennen. Deze me-thode is redelijk betrouwbaar,

een-voudig te programmeren en vraagt weinig geheugen capaciteit.

— Een schroefmodel voor het achteruit-slaan terwijl het schip vooruit vaart. Gerritsma (2) beschrijft een model van Nomoto, die schematische schroef-karakteristieken geeft voor deze situa-tie.

— De regeling van de voortstuwings-installatie. Hiervoor moet de relatie stoomtoevoer o f brandstoftoevoer — askoppel bekend z i j n .

Met betrekking tot het scheepsgedrag zijn volgende invloeden toegevoegd:

— W i n d .

Isherwood heeft uit een regressie ana-lyse van modelproeven en verzamelde gegevens uit de literatuur formules op-gesteld voor de berekening van de windkrachten en het windmoment op basis van grootheden die het lateraal en frontaal windvangend oppervlak beschrijven.

— Stroom.

Homogene stroom kan eenvoudig op de bewegingen van het schip gesuper-poneerd worden. Voor niet homogene stroom gelden de volgende beperkin-gen in het model:

1. de stroomsnelheid varieert lineair in het horizontale vlak,

2. de stroomsnelheid is constant over de waterdiepte,

3. de richting van de stroom is con-stant.

Het gedrag van schepen in dwarsstroom is en wordt uitgebreid onderzocht door het Waterloopkun-dig Laboratorium te Delft. Z i j bepa-len gewogen relatieve snelheden van het water t.o.v. het schip die in de be-wegingsvergelijkingen worden inge-vuld. Met deze benadering wordt de verzetsnelheid in het algemeen goed weergegeven, maar de invloed van gra-diënten van de stroomsnelheid op de giersnelheid wordt in het algemeen te groot weergegeven.

— Ondiep water.

De waterdiepte heeft een duidelijke i n -vloed op de draaicapaciteit en de sta-biliteit b i j het sturen. We spreken van ondiep water als de verhouding water-diepte/diepgang kleiner is dan 2.5. Er wordt een benadering van Clarke ge-bruikt die geldt voor een vlakke harde bodem. Deze benadering geeft de in-vloed van ondiep water realistisch weer maar de nauwkeurigheid is niet groot. Toch wordt deze benadering gebruikt, omdat er geen betere bena-deringen beschikbaar zijn. Ook stemt de aanname van een vlakke harde bo-dem in de meeste gevallen niet overeen met de werkelijkheid, de oneffenheid van de bodem en de bodemsoort be-ïnvloeden het manoeuvreergedrag. Naar deze invloeden wordt wel een on-derzoek uitgevoerd maar er zijn nog geen bruikbare benaderingen beschik-baar.

— Beginwaarden van snelheid (over de grond), rate o f turn, omwentelingen van de schroef, momentane roerhoek, positie en koers.

Op het scherm wordt de kustlijn, de haven en de vaargeul schematisch weer-gegeven en deze plattegrond wordt afge-drukt, figuur 3. Als men niet homogene stroom ingevoerd heeft, wordt het patroon schematisch in de plattegrond getekend en afgedrukt. Daarna worden de overige invoergegevens afgedrukt. De simulatie begint met het geven van roer- en telegraaforders. Dit is mogelijk door middel van twee schuiven voor roer en telegraaf, o f na het indrukken van een KEY-toets, waarna men de roer- en tele-graaforder op het toetsenbord intypt. Iedere twee minuten gesimuleerde t i j d worden de waarden van de t i j d , snelheid, koers, positie e.d. afgedrukt. Geeft men orders dan worden t i j d , snelheid, koers, positie e.d. en de orders afgedrukt. Op het beeldscherm zien we de plattegrond en het schip als in figuur 3, met rechts in ilaats van de noordpijl gegevens die de toestand van het schip beschrijven, figuur 4. In figuur 4 is de schaal gewijzigd, dit is mogelijk door aan een wieltje (de K N O B ) op het toetsenbord te draaien. In werke-lijkheid is de tekst op het beeldscherm duidelijker dan die in figuur 4.

De simulatie stopt na het indrukken van een KEY-toets, vervolgens wordt de baan

over de grond afgedrukt, zie figuur 5. Nu kan de gebruiker uit de verschillende mogelijkheden kiezen die op iiet beeld-scherm worden gepresenteerd. H i j kan gedeelten van de invoer wijzigen of de oude beginwaarden opnieuw laten inlezen. De simulatie begint weer na het indrukken van een andere KEY-toets.

De t i j d die nodig is voor de simulatie van een manoeuvre is afliankelijk van de

stap-grootte van de numerieke integratie methode. De numerieke integratie moet naar de exacte oplossing convergeren. B i j

en te grote stapgrootte wordt de integra-tie instabiel, dit betekent dat de

numerie-ke oplossing geen goede benadering is van de werkelijke oplossing.

De maximale stapgrootte is afhankelijk

van de traagheid van het schip. Voor een traag schip (met relatief kleine versnellin-gen) als een grote tanker bedraagt de stap-grootte maximaal 4 seconden. De simula-tie wordt dan uitgevoerd in de helft van de t i j d die nodig is voor het in werkelijk-heid uitvoeren van de manoeuvre. Voor kleinere schepen is de maximaal toelaat-bare stapgrootte kleiner.

4. Vergelijking tussen simulatie en werkelijkheid

Om de betrouwbaarheid van het wiskun-dig model te controleren, moeten de re-sultaten van simulatie vergeleken worden met ware grootte metingen. Inoue e.a. hebben in hun artikel metingen aan modellen van diverse schepen vergeleken met simulatie van dezelfde manoeuvres. Op de T H - D e l f t is het model getoetst aan

Figuur 3.

Schematische kustlijn, haven en vaargeul.

M

Figuur 4.

Beeldscherm tijdens simulatie.

---- a . ) fcn == - . 5 l:n r=- 5 . 1 dBg.'nln 4G.fi •riin l E I J J Ï I R F H U B ( 3fl

•m

\ mm. /

N

k

tisch onderwijs gebruiitt worden. Hierbij wordt vooral gedacht aan toepassing bij de lessen „ R e i s v o o r b e r e i d i n g " .

Conclusies

• Het toegepaste wiskundig model is practisch bruikbaar voor het voorspel-len van het manoeuvreergedrag van een schip.

Met de mini-simulator kan het ma-noeuvreergedrag van een schip rede-lijk nauwkeurig voorspeld worden. Hierbij wordt gedacht aan toepassing aan boord van een schip, tijdens het ontwerpstadium van een schip en b i j het nautisch onderwijs. Voor toepas-sing op bijzondere scheepsvormen is meer onderzoek naar de geldigheid van het model en de gebruikte benade-ringen nodig.

Met betrekking tot gebruik aan boord van schepen moet de invoer van het programma meer gebruikersvriende-l i j k gemaakt worden. Toepassing van een ,,digitizer" kan hiervoor nuttig

z i j n . Daarnaast kan het programma uitgebreid worden met de invloed van golven. Vooral met betrekking tot de gebruikersvriendelijkheid vindt meer onderzoek plaats b i j Intersite Systems.

Literatuur

Clarke, D.

,,The application of manoeuvring criteria in huil design using linear theory". The Naval Architect, march 1983.

Gerritsma, J. (1) ,,Scheepsbewegingen in golven en sturen". Rapport nr. 563-K, T H D , L a b . voor Scheepshydromechanica, december 1982. (2) ,,Scheepsbewegingen en sturen I I " . Rapport nr. 487-K, T H D , Lab. voor Scheepshydromechanica, januari 1980.

Holtrop, J., Mennen, G. G. J.

(1) , , A statistical power prediction method".

International Shipbuilding Progress, Vol. 25, October 1978.

(2) , , A n approximate power prediction method".

International Shipbuilding Progress, Vol29, july 1982.

Inoue, S., Hirano, M., Kijima, K., Takashina, J.

, , A practical calculation method on ship maneuvering motion".

International Shipbuilding Progress, V o l . 28, september 1981.

Isherwood, R. M.

,,Wind resistance of merchant ships". Royal Institute of Naval Architecture, 1972.

Meulenbeld, B., Grootendorst, A. W.

,,Analyse 3, differentiaalvergelijkingen". Culemborg 1976, Slam Technische Boe-ken.

Waterloopkundig Laboratorium Delft, Toegepast Onderzoek Waterstaat.

,,Schepen in dwarsstroom, krachten op een vastgehouden schip en baan van een vrijva-rend schip in pulsvormige dwarsstroom-velden".

Verslag modelonderzoek.

Rapport R 775 deel I I I , IM I3I5 deel I I , T O W , november I98I. Fig. 9 S i m u l i t i e S B - d r < i O CemfCen S B - d r a a i Fig. U 3aQ 3G0 [ s . ] Fig. 10 . ? C - 1 5 -l(J - S C b I C 1^1 2C * - R C h R H C E K . l C K . - - I I C H O . rate of turn Fig. 12 • Simulated 5