L Olimpiada Matematyczna

L Olimpiada Matematyczna

Zawody stopnia trzeciego

14 kwietnia 1999 r. – pierwszy dzie´n zawod´ow

Zadanie 1. Punkt D le˙zy na boku BC tr´ojkata ABC, przy czym AD > BC._, Punkt E le˙zy na boku AC i spe lnia warunek

AE

EC = BD

AD− BC. Udowodni´c, ˙ze AD > BE.

Rozwiazanie:_,

Uzupe lniamy tr´ojkat_, BDA do r´ownoleg loboku BDAF . Na p´o lprostej BC^→ odk ladamy odcinek BK o d lugo´sci AD. Dana w zadaniu zale˙zno´s´c przyjmuje teraz posta´c

AE EC = AF

CK .

Z tej r´owno´sci oraz z r´ownoleg lo´sci odcink´ow CK i AF wynika, ˙ze punkty F , E, K sa wsp´_, o lliniowe.



 

 

Punkt E le˙zy wiec na podstawie KF tr´_, ojkata r´_, ownoramiennego BKF . Stad_, dostajemy BF > BE, czyli AD > BE.

Zadanie 2. Dane sa liczby ca lkowite nieujemne a_, 1 < a2 < a3 < . . . < a101

mniejsze od 5050. Dowie´s´c, ˙ze spo´sr´od nich mo˙zna wybra´c takie cztery r´o˙zne ak, al, am, an, ˙ze liczba ak+ al− a^m− aⁿjest podzielna przez 5050.

Rozwiazanie:_,

Rozwa˙zamy wszystkie wyra˙zenia postaci a_k+ a_l, gdzie 1≤ k < l ≤ 101.

Takich wyra˙ze´n jest ¹⁰¹₂
= 5050. Je˙zeli znajdziemy w´sr´od nich dwa, po- wiedzmy a_k+ a_l i a_m+ a_n, kt´orych warto´sci daja t_, e sam_, a reszt_, e z dzielenia_, przez 5050, to liczby a_k, a_l, a_m, a_n spe lniaja warunki zadania — liczby_, te sa bowiem parami r´_, o˙zne (je´sli np. a_k = a_m, to tak˙ze a_l = a_n, gdy˙z 0≤ al, an< 5050).

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, w kt´orym wszystkie powy˙zsze sumy daja r´_, o˙zne reszty z dzielenia przez 5050. Wyka˙zemy, ˙ze ten przypadek za- chodzi´c nie mo˙ze. Gdyby bowiem tak by lo, to rozwa˙zane sumy dawa lyby wszystkie mo˙zliwe reszty z dzielenia przez 5050 — ka˙zda jeden raz. St_, ad_,

S = X

1≤k<l≤101

(ak+ al) ≡

5049

X

i=0

i = 5049· 5050

2 ≡ 2525 (mod 5050) , co dowodzi, ˙ze S jest liczba nieparzyst_, a._,

Z drugiej strony

S = X

1≤k<l≤101

(ak+ al) = 100·

101

X

k=1

ak ,

co oznacza, ˙ze S jest liczba parzysta. Otrzymali´_, smy sprzeczno´s´c.

Zadanie 3. Dowie´s´c, ˙ze istnieja takie liczby naturalne n_, 1< n2< . . . < n50, ˙ze n1+ S(n1) = n2+ S(n2) = n3+ S(n3) = . . . = n50+ S(n50) , gdzie S(n) jest suma cyfr liczby n._,

Rozwiazanie:_,

Wprowad´zmy nastepuj_, ace oznaczenia:_,

a1(k) = 10^{10k +k+1}− 9·10^k = 9999...99

| {z }

10k

1 0000...00

| {z }

k

, a₂(k) = 10^{10k +k+1}= 1 0000...00

| {z }

10k +k+1

.

W´owczas a1(k) + S (a1(k)) = a2(k) + S (a2(k)) = 10^{10k +k+1}+ 1. Okre´slamy liczby k0, k1, k2, . . . wzorami:

k0= 0 oraz ki+1= 10^ki+ ki+ 2 dla i≥ 0 .

Dla dowolnego ciagu ε = (ε_, 0, ε1, . . . , ε5), gdzie ε0, ε1, . . . , ε5∈ {1, 2}, przyj- mijmy

nε=

5

X

i=0

a_εi(ki) .

Otrzymane w ten spos´ob 64 liczby nε sa parami r´_, o˙zne. Wyka˙zemy, ˙ze dla wszystkich 64 ciag´_, ow ε, wielko´sci nε+ S(nε) sa jednakowe._,

Poniewa˙z dla i∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} liczba a_εi(ki) jest co najwy˙zej ki+1-cyfro- wa i ma co najmniej kizer ko´ncowych, wiec ˙zadne dwie z liczb a_{, εi}(ki) i a_εj(kj) (dla i 6= j) nie maja niezerowych cyfr na tym samym miejscu dziesi_, etnym._, Stad_,

S(n_ε) =

5

X

i=0

S a_εi(k_i)
.

Zatem

nε+ S(nε) =

5

X

i=0

a_εi(ki) + S a_εi(ki)

= 6 +

5

X

i=0

10^10ki+ki+1, co jest wielko´scia niezale˙zn_, a od ε._,

(wp, jwr )

L Olimpiada Matematyczna

Zawody stopnia trzeciego 15 kwietnia 1999 r. – drugi dzie´n zawod´ow

Zadanie 4. Rozstrzygna´_,c, dla jakich liczb naturalnych n≥ 2 uk lad r´owna´n















x²₁+ x²₂+ 50 = 16x1+ 12x2

x²2+ x²3+ 50 = 16x2+ 12x3

x²₃+ x²₄+ 50 = 16x3+ 12x4

. . . . x²_n−1+ x²_n+ 50 = 16x_n−1+ 12xn

x²n+ x²1+ 50 = 16xn+ 12x1

ma rozwiazanie w liczbach ca lkowitych x_, 1, x2, x3, . . . , xn. Rozwiazanie:_,

R´ownanie x²₁+ x²₂+ 50 = 16x₁+ 12x₂ jest r´ownowa˙zne r´ownaniu (x₁− 8)²+ (x₂− 6)²= 50 .

Liczby x₁, x₂, . . . , x_n spe lniaja dany w tre´_, sci za- dania uk lad r´owna´n wtedy i tylko wtedy, gdy punkty (x₁, x₂), (x₂, x₃), . . . , (x_n, x₁) le˙za na ok-_, regu o ´_, srodku (8, 6) i promieniu √

50. Na tym okregu le˙zy 12 punkt´_, ow o wsp´o lrzednych_, ca lkowitych: (1, 5), (1, 7), (3, 1), (3, 11), (7,−1), (7, 13), (9,−1), (9, 13), (13, 1), (13, 11), (15, 5), (15, 7).

Poniewa˙z ka˙zda z liczb xi wystepuje raz jako odci_, eta, a raz jako rz_, edna_, punktu kratowego le˙zacego na tym okr_, egu, wi_, ec liczby x_, i moga przyjmowa´_, c tylko warto´sci 1, 7 lub 13. To pozostawia nam trzy mo˙zliwe uk lady dla par (xi, xi+1), a mianowicie: (1, 7), (7, 13) lub (13, 1). Stad wniosek, ˙ze_, w uk ladzie liczb (x1, x2, . . . , xn) bed_, acym rozwi_, azaniem wyj´_, sciowego uk ladu r´owna´n, wystepuj_, a cyklicznie liczby 1, 7, 13. Taka sytuacja jest mo˙zliwa_, wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba podzieln_, a przez 3._,

Zadanie 5. Niech a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn bed_, a liczbami ca lkowitymi._, Udo- wodni´c, ˙ze

X

1≤i<j≤n

(|ai− aj| + |bi− bj|) ≤ X

1≤i,j≤n

|ai− bj| .

Rozwiazanie:_,

Sumy wystepuj_, ace po obu stronach danej w zadaniu nier´_, owno´sci nie zmienia si_, e, je´_, sli w dowolny spos´ob zmienimy kolejno´s´c liczb ai oraz liczb bi. Bez szkody dla og´olno´sci mo˙zemy wiec za lo˙zy´_, c, ˙ze a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an

oraz b₁≤ b2≤ . . . ≤ bn. W´owczas X

1≤i<j≤n

(|ai− aj| + |bi− bj|) = X

1≤i<j≤n

(a_j− ai+ b_j− bi)≤

≤ X

1≤i<j≤n

(|aj− bi| + |bj− ai|) ≤

≤ X

1≤i<j≤n

(|aj− bi| + |ai− bj|) +X

1≤i≤n

|ai− bi| =

= X

1≤i,j≤n

|ai− bj| .

Zadanie 6. W sze´sciokacie wypuk lym ABCDEF zachodz_, a r´_, owno´sci:

<) A + <) C + <) E = 360^◦, AB BC ·CD

DE ·EF F A = 1 . Dowie´s´c, ˙ze AB

BF ·F D DE ·EC

CA = 1 . Rozwiazanie:_,

Na mocy za lo˙zenia <) A + <) C + <) E = 360^◦, istnieje taki punkt P , ˙ze zachodza nast_, epuj_, ace r´_, owno´sci kat´_,ow (rysunek):

(1) <) BCP = <) BAF , <) P CD = <) F ED , <) CDP = <) EDF .

Tr´ojkaty DEF i DCP s_, a wi_, ec podobne, sk_, ad_, dostajemy

(2) <) EDC = <) F DP oraz ED DC = F D

DP . Korzystajac z danej w tre´_, sci zadania r´owno´sci oraz z podobie´nstwa tr´ojkat´_,ow EDF i CDP otrzymujemy

F A AB = EF

DE ·CD BC = CP

CD ·CD BC =CP

BC,







 

co na mocy pierwszej spo´sr´od r´owno´sci (1) dowodzi, ˙ze tr´ojkaty BAF i BCP_, sa podobne. Zatem_,

(3) <) CBA = <) P BF oraz AB BC = F B

BP .

R´owno´sci (2) oznaczaja, ˙ze tr´_, ojkaty EDC i F DP s_, a podobne; z r´_, owno´sci (3) wynika natomiast, ˙ze podobne sa tr´_, ojkaty CBA i P BF . Otrzymujemy wi_, ec_, odpowiednio nastepuj_, ace proporcje:_,

EC DE = F P

F D oraz AB

CA = BF F P . Mno˙zac stronami powy˙zsze dwie r´_, owno´sci dostajemy teze._,

(wp, jwr )