LII OLIMPIADA MATEMATYCZNA
ZADANIA KONKURSOWE ZAWOD ´ OW I STOPNIA
I SERIA
1. Rozwiaza´, c w liczbach ca lkowitych r´ownanie x2000+ 20001999= x1999+ 20002000.
2. Punkty D i E le˙za odpowiednio na bokach BC i AC tr´, ojkata, ABC. Odcinki AD i BE przecinaja si, e w punkcie P . Punkty K, i L le˙za odpowiednio na bokach BC i AC, przy czym czworok, at, CLP K jest r´ownoleg lobokiem. Dowie´s´c, ˙ze
AE
EL =BD DK.
3. Znale´z´c wszystkie takie liczby naturalne n ≥ 2, ˙ze nier´owno´s´c x1x2+ x2x3+ ... + xn−1xn≤n − 1
n
x21+ x22+ ... + x2n zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x1, x2, ..., xn.
4. Rozstrzygna´,c, czy w sze´sciennym pude lku o krawedzi 4 mo˙zna, umie´sci´c 65 kul o ´srednicy 1.
Rozwiazania powy˙zszych zada´, n (ka˙zde na osobnym arkuszu, pisane jedno- stronnie) nale˙zy wys la´c pod adresem komitetu okregowego Olimpiady w la´, sciwego terytorialnie dla szko ly, najp´o´zniej dnia 10 pa´zdziernika 2000 r. (decyduje data stempla pocztowego). Rozwiazania przes lane w terminie p´, o´zniejszym nie bed, a rozpatrywane.,
II SERIA
5. Dowie´s´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 2 i dowolnej liczby pierwszej p liczba
npp+ pp jest z lo˙zona.
6. Liczby ca lkowite a, b, x, y spe lniaja r´, ownanie a + b√
2001 =x + y√
20012000. Udowodni´c, ˙ze a ≥ 44b.
7. Dany jest tr´ojkat r´, ownoramienny ABC o kacie prostym przy wie-, rzcho lku A. Punkty D i E le˙za na przeciwprostok, atnej BC, przy, czym <) DAE = 45◦. Okrag opisany na tr´, ojkacie ADE przecina, boki AB i AC odpowiednio w punktach P i Q.
Dowie´s´c, ˙ze BP + CQ = P Q.
8. Rozstrzygna´,c, dla jakich par liczb naturalnych m i n prostokat o bokach d lugo´sci m i n mo˙zna, pocia´,c na cze´sci przystaj, ace do figury na ry-, sunku. Ka˙zdy z czterech kwadrat´ow na rysunku ma bok d lugo´sci 1.
Rozwiazania powy˙zszych zada´, n (ka˙zde na osobnym arkuszu, pisane jedno- stronnie) nale˙zy wys la´c pod adresem komitetu okregowego Olimpiady w la´, sciwego terytorialnie dla szko ly, najp´o´zniej dnia 10 listopada 2000 r. (decyduje data stempla pocztowego). Rozwiazania przes lane w terminie p´, o´zniejszym nie bed, a rozpatrywane.,
III SERIA
9. Dowie´s´c, ˙ze w´sr´od dowolnych 12 kolejnych liczb ca lkowitych do- datnich istnieje liczba nie bed, aca sum, a 10 czwartych pot, eg liczb, ca lkowitych.
10. Dowie´s´c, ˙ze wewnatrz dowolnego tr´, ojkata ABC istnieje punkt P, o nastepuj, acej w lasno´sci:,
Ka˙zda prosta przechodzaca przez punkt P dzieli obw´, od tr´ojkata, ABC w takim samym stosunku, w jakim dzieli ona jego pole.
11. Uk lad liczb ca lkowitych dodatnich c1, c2, ..., cn nazwiemy do- puszczalnym, gdy za pomoca wagi szalkowej i dw´, och komplet´ow odwa˙znik´ow o cie˙zarach c, 1, c2, ..., cn mo˙zna zwa˙zy´c dowolny przedmiot o cie˙zarze b, ed, acym liczb, a naturaln, a nie przekraczaj, ac, a, 2(c1+ c2+ ... + cn).
Dla ka˙zdej liczby n wyznaczy´c maksymalna sum, e n liczb tworz, acych, uk lad dopuszczalny.
Uwaga: Odwa˙zniki mo˙zna k la´s´c na obie szalki wagi.
12. Rozpatrujemy ciagi liczb ca lkowitych x, 0,x1,...,x2000 spe lniajace, warunki
x0= 0 i |xn| = |xn−1+ 1| dla n = 1,2,...,2000 . Znale´z´c najmniejsza warto´s´, c wyra˙zenia
|x1+ x2+ ... + x2000| .
Rozwiazania powy˙zszych zada´, n (ka˙zde na osobnym arkuszu, pisane jedno- stronnie) nale˙zy wys la´c pod adresem komitetu okregowego Olimpiady w la´, sciwego terytorialnie dla szko ly, najp´o´zniej dnia 11 grudnia 2000 r. (decyduje data stempla pocztowego). Rozwiazania przes lane w terminie p´, o´zniejszym nie bed, a, rozpatrywane.
Zadania z poprzednich Olimpiad Matematycznych oraz bie˙zace in-, formacje mo˙zna znale´z´c w internecie pod adresem:
www.impan.gov.pl/~olimp/
