XLIX Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawod´ ow stopnia pierwszego
I seria (okres od 11 wrze´snia do 10 pa´zdziernika 1997 r.) 1. Rozwiaza´, c uk lad r´owna´n
(
|x − y| −|x|
x =−1
|2x − y| + |x + y − 1| + |x − y| + y − 1 = 0.
2. Proste zawierajace wysoko´, sci tr´ojkata ABC, wpisanego w okr, ag o ´, srodku O, przecinaja si, e w punkcie H,, przy czym AO = AH. Obliczy´c miare k, ata CAB.,
3. Ciagi (a, n), (bn), (cn) sa okre´, slone przez warunki: a1 = 4, an+1= an(an− 1), 2bn = an, 2n−cn = bn dla n = 1, 2, 3, . . . . Wykaza´c, ˙ze ciag (c, n) jest ograniczony.
4. Dana jest liczba dodatnia a. Wyznaczy´c wszystkie liczby rzeczywiste c majace nast, epuj, ac, a w lasno´, s´c: dla ka˙zdej pary liczb dodatnich x, y spe lniona jest nier´owno´s´c
(c− 1)xa+16 (cy − x)ya.
Rozwiazania powy ˙zszych zada´, n (ka ˙zde na osobnym arkuszu) maja by´, c wys lane pod adresem w la´sciwego komitetu okregowego, Olimpiady najp´o´zniej dnia
10 pa´zdziernika 1997 r.
Rozwiazania przes lane w terminie p´, o´zniejszym nie bed, a rozpatrywane.,
II seria (okres od 11 pa´zdziernika do 10 listopada 1997 r.) 5. Dana jest liczba ca lkowita n > 1. Rozwiaza´, c r´owanie
|tgnx− ctgnx| = 2n|ctg 2x|.
6. W tr´ojkacie ABC punkt D jest ´, srodkiem boku BC, punkt E le˙zy na boku AC. Punkty P i Q sa, odpowiednio rzutami prostokatnymi punkt´, ow B i E na prosta AD. Udowodni´, c, ˙ze BE = AE + AC wtedy i tylko wtedy, gdy AD = P Q.
7. Dane sa liczby naturalne m, n > 1. Niech A = {1, 2, 3, . . . , n}. Wyznaczy´c liczb, e funkcji f : A, → A przyjmujacych dok ladnie m warto´, sci oraz spe lniajacych warunek,
je˙zeli k, `∈ A, k 6 `, to f(f(k)) = f(k) 6 f(`).
8. Rozstrzygna´,c, czy istnieje wielo´scian wypuk ly majacy k kraw, edzi oraz p laszczyzna nie przechodz, aca przez,
˙zaden z jego wierzcho lk´ow i przecinajaca r kraw, edzi, przy czym 3r > 2k.,
Rozwiazania powy ˙zszych zada´, n (ka ˙zde na osobnym arkuszu) maja by´, c wys lane pod adresem w la´sciwego komitetu okregowego, Olimpiady najp´o´zniej dnia
10 listopada 1997 r.
Rozwiazania przes lane w terminie p´, o´zniejszym nie bed, a rozpatrywane.,
III seria (okres od 11 listopada do 10 grudnia 1997 r.) 9. Niech a0= 0,91 oraz ak= 0, 99 . . . 9
| {z }
2k
00 . . . 0
| {z }
2k−1
1 dla k = 1, 2, 3, . . . . Obliczy´c lim
n→∞(a0a1. . . an).
10. ´Srodkowe AD, BE, CF , tr´ojkata ABC przecinaj, a si, e w punkcie G. Na czworok, atach AF GE i BDGF, mo˙zna opisa´c okregi. Wykaza´, c, ˙ze tr´ojkat ABC jest r´, ownoboczny.
11. W turnieju tenisowym uczestniczy lo n graczy. Ka˙zdy rozegra l z ka˙zdym innym jeden mecz; nie by lo remis´ow. Udowodni´c, ˙ze istnieje taki gracz A, kt´ory ka˙zdego innego gracza B pokona l bezpo´srednio lub po´srednio, tzn. A wygra l z B lub A pokona l pewnego zawodnika C, kt´ory wygra l z B.
12. Niech g(k) bedzie najwi, ekszym dzielnikiem pierwszym liczby ca lkowitej k, gdy, |k| > 2, oraz niech g(−1) = g(0) = g(1) = 1. Rozstrzygna´,c, czy istnieje taki wielomian W stopnia dodatniego o wsp´o lczynnikach ca lkowitych, dla kt´orego zbi´or liczb postaci g W (x) (x — ca lkowite) jest sko´nczony.
Rozwiazania powy ˙zszych zada´, n (ka ˙zde na osobnym arkuszu) maja by´, c wys lane pod adresem w la´sciwego komitetu okregowego, Olimpiady najp´o´zniej dnia
10 grudnia 1997 r.
Rozwiazania przes lane w terminie p´, o´zniejszym nie bed, a rozpatrywane.,
