Część 13. Nierówności
Rozdział 7 7. Różne nierówności wymierne
Andrzej Nowicki 4 maja 2013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spis treści
7 Różne nierówności wymierne 89
7.1 Nierówności wymierne ze stałym iloczynem . . . 89
7.2 Nierówności wymierne n zmiennych . . . 93
7.3 Nierówności wymierne jednej zmiennej . . . 95
7.4 Nierówności wymierne dwóch zmiennych . . . 95
7.5 Nierówności wymierne trzech zmiennych . . . 97
7.6 Nierówności wymierne czterech zmiennych . . . 102
7.7 Nierówności wymierne dla liczb całkowitych . . . 103
Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze LATEX.
Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.1 Nierówności wymierne ze stałym iloczynem
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo W tym podrozdziale często zakładać będziemy, że iloczyn rozważanych liczb rzeczywistych jest równy 1. To założenie, że iloczyn danych liczb jest równy 1, można wysłowić przy pomocy innych równoważnych założeń. Zanotujmy kilka tego typu równoważności.
7.1.1. Jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi różnymi od −1, to
xy = 1 ⇐⇒ 1
1 + x+ 1
1 + y = 1.
D. 1
1 + x+ 1
1 + y = 1 ⇐⇒ (1 + y) + (1 + x) = (1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy ⇐⇒ xy = 1.
7.1.2. Jeśli x, y, z są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to
xyz = 1 ⇐⇒ 1
1 + x + xy + 1
1 + y + yz + 1
1 + z + zx = 1. ([MaS] 4/1993, [Mild]). D. Załóżmy, że xyz = 1. Mamy wtedy:
1
1 + x + xy + 1
1 + y + yz + 1
1 + z + zx = 1
1 + x + xy + x
x + xy + xyz + xy xy + xyz + xyzx
= 1
1 + x + xy + x
1 + x + xy + xy 1 + x + xy
= 1 + x + xy 1 + x + xy = 1.
Niech A = 1
1 + x + xy+ 1
1 + y + yz+ 1
1 + z + zx = 1 oraz s = xyz. Zał ˙ożmy, że A = 1. Pokażemy, że s = 1.
Przypuśćmy, że s > 1. Wtedy mamy sprzeczność:
1 = A = 1
1 + x + xy + x
x + xy + xyz + xy xy + xyz + xyzx
= 1
1 + x + xy + x
s + x + xy + xy s + xs + xy
> 1
1 + x + xy + x
1 + x + xy + xy
1 + x + xy =1 + x + xy 1 + x + xy = 1.
Jeśli s < 1, to w ten sam sposób otrzymujemy sprzeczność 1 = A > 1. Zatem s = 1.
Założenie o dodatniości liczb x, y, z jest tutaj istotne. Liczby x = −2, y = −13, z = 12 spełniają równość
1
1 + x + xy + 1
1 + y + yz + 1
1 + z + zx = 1 89
i ich iloczyn jest różny od 1.
Dokładnie tak samo wykazujemy podobną równoważność dla czterech i więcej dodatnich liczb rzeczywistych. Zanotujmy to dla czterech liczb.
7.1.3. Jeśli x, y, z, t są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to xyzt = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy
1
1 + x + xy + xyz + 1
1 + y + yz + yzt+ 1
1 + z + zt + ztx+ 1
1 + t + tx + txy = 1.
Zastępując w powyższych równoważnościach dodatnie liczby x, y, z . . . odpowiednio ich odwrotnościami x−1, y−1, z−1, . . . , otrzymujemy:
7.1.4. Dla dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z, t zachodzą następujące równoważności.
xy = 1 ⇐⇒ x
x + 1+ y
y + 1 = 1,
xyz = 1 ⇐⇒ xy
xy + y + 1+ yz
yz + z + 1 + zx
zx + x + 1 = 1,
xyzt = 1 ⇐⇒ xyz+yz+z+1xyz + yzt+zt+t+1yzt +ztx+tx+x+1ztx +txy+xy+y+1txy = 1.
7.1.5. ab +bc+ac > a + b + c, dla a, b, c > 0, abc = 1. ([OM] Czechy-Słowacja 2003). D. ([Rias]). Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną mamy:
a b +a
b +b c > 33
ra2 bc = 33
ra3 abc = 3a.
Podobnie: b c+b
c+c
a > 3b oraz c a+c
a+a
b > 3c. Dodajemy te trzy nierówności i otrzymujemy tezę. 7.1.6. Jeśli a, b, c > 0, abc = 1, to:
(1) a b +b
c + c
a+ 3> a + b + c + 1 a+1
b +1
c, ([ME] 12(4)(2007)); (2) a
b +b c + c
a+ 5> (1 + a)(1 + b)(1 + c), (Aaron Pixton, [Mild]). 7.1.7. Jeśli a, b, c > 0, abc = 1, to:
(1) 1
a3(b + c)+ 1
b3(c + a) + 1
c3(a + b) > 3
2, ([IMO] Shortlist 1995, [OMm] 1995, [ME] 11(1)(2006));
(2) ab
a5+ b5+ ab + bc
b5+ c5+ bc + ca
c5+ a5+ ca 6 1, ([IMO] Shortlist 1997, [Crux] 1998 s.460);
(3) 1
a3+ b3+ 1+ 1
b3+ c3+ 1+ 1
c3+ a3+ 1 6 1, ([OM] Rosja 1998);
(4) a
b4+ 2+ b
c4+ 2+ c
a4+ 2 > 1, ([Pkh] s.245);
(5)
a − 1 + 1 b
b − 1 +1 c
c − 1 +1 a
6 1, ([IMO] 2000, [LeH2]);
(6) 1
a(1 + c)+ 1
b(1 + a)+ 1
c(1 + b) > 3
2,([Ko00], [OM] Kazachstan 2008, [MaOD] 42);
(7) 1
a2+ a + 1 + 1
b2+ b + 1+ 1
c2+ c + 1 > 1, ([Pkh] s.40);
(8) 1
(a + 1)(a + 2)+ 1
(b + 1)(a + 2) + 1
(c + 1)(c + 2) > 1
2, ([Pkh] s.150);
(9) 1
a2+ a + 1 + 1
b2+ b + 1+ 1
c2+ c + 1 > 1, ([Pkh] s.40);
(10) 6
ab + bc + ca 6 1 + 3
a + b + c,([OM] Rumunia 2003);
(11) 1
(a + 1)2+ b2+ 1+ 1
(b + 1)2+ b2+ 1+ 1
(c + 1)2+ a2+ 1 6 1
2, ([Mild]);
(12) 1
2a + 1+ 1
2b + 1+ 1
2c + 1 > 1, ([Kw] 6/1997 M1597a);
(13) 1
a + b + 1+ 1
b + c + 1 + 1
c + a + 1 6 1, ([Kw] 6/1997 M1597a);
(14) 1
a + b + 1+ 1
b + c + 1 + 1
c + a + 1 6 1
2 + a+ 1
2 + b + 1
2 + c, ([OM] Bułgaria 1997);
(15) a
ab + 1+ b
bc + 1 + c
ca + 1 > 3
2,([ME] 12(4)(2007));
(16) a
(a + 1)(b + 1) + b
(b + 1)(c + 1)+ c
(c + 1)(a + 1) > 3 4,
([OM] Czechy-Słowacja 2005, [MaOD] 12);
(17) a
a2+ 2+ b
b2+ 2+ c
c2+ 2 6 1, ([OM] Serbia i Czarnogóra 2005);
(18) a2
b3c + a + b+ b2
c3a + b + c+ c2
a3b + c + a 6 1, ([Math] 2006); (19) ab
a + 1+ bc
b + 1 + ca c + 1 > 3
2, ([OMm] 1996); (20) ab + 1
a + 1 +bc + 1
b + 1 +ca + 1 c + 1 > 3,
([OM] Ukraina 1998);
(21) a3
(1 + b)(1 + c)+ b3
(1 + a)(1 + c)+ c3
(1 + a)(1 + b) > 3 4,
([IMO] Shortlist 1998, [Djmp] 299(636)). 7.1.8. 1
a(1 + b)+ 1
b(1 + c)+ 1
c(1 + a) > 3
√3
2(1 +√3
2) > 1, dla a, b, c > 0 i abc = 2.
([Ssm] 103(5)(2003) z.4748).
7.1.9. a2
(a − 1)2 + b2
(b − 1)2 + c2
(c − 1)2 > 1, dla a, b, c ∈ R r {1}, abc = 1.
([IMO] 2008). 7.1.10. a − 2
a + 1 +b − 2
b + 1+ c − 2
c + 1 6 0, dla a, b, c > 0, abc = 8.
([OM] Rumunia 2008, [MaOD] 43). 7.1.11. a5− a2
a5+ b2+ c2 + b5− b2
b5+ c2+ a2 + c5− c2
c5+ a2+ b2 > 0, dla a, b, c > 0, abc > 1.
([IMO] 2005, [ME] 11(1)(2006)).
7.1.12. a4+ b4+ c4+ 3(a + b + c)> a2 b +a2
c + b2 c +b2
a +c2 a +c2
b , dla a, b, c > 0 i abc = −1. ([OM] Iran 2003/2004, [Mild]).
7.1.13. Niech x, y, z > 0, xyz = 1. Jeśli 1 x+1
y+1
z > x+y+z, to 1 xn+ 1
yn+ 1
zn > xn+yn+zn, dla n ∈ N. ([OM] Rosja 1999).
7.1.14. Niech a, b, c, d > 0, abcd = 1. Wtedy:
(1) 1
a(1 + b)+ 1
b(1 + c) + 1
c(1 + d)+ 1
d(1 + a) > 2, ([ME] 12(4)(2007)); (2) 1 + ab
a + b +1 + bc
b + c +1 + cd
c + d + 1 + da
d + a > 4, ([IMO] 2002); (3) 1 + ab
1 + b +1 + bc
1 + c +1 + cd
1 + d + 1 + da
1 + a > 4, ([OM] Rosja 1998);
(4) 1
(1 + a)2 + 1
(1 + b)2 + 1
(1 + c)2 + 1
(1 + d)2 > 1, ([OM] Chiny 2004, [Pkh] s.161);
(5) 1
(1 + a)k + 1
(1 + b)k + 1
(1 + c)k + 1
(1 + d)k > 22−k, dla k> 2, (Mathlinks Lore, [Mild]).
7.1.15. Niech x1, . . . , xn> 0, x1x2· · · xn= 1. Wtedy:
(1) x1+ · · · + xn> 2
1 + x1 + 2
1 + x2 + · · · + 2
1 + xn, ([Pkh] s.146);
(2) 1
n − 1 + x1
+ 1
n − 1 + x2
+ · · · + 1
n − 1 + xn 6 1, ([OM] Rumunia 1999, [Mild]);
(3) 1
1 + x1 + 1
1 + x2 + · · · + 1
1 + xn 6 n − 1, dla n > 2,([OM] Rosja 1995);
(4) 1
1 + x1 + 1
1 + x2 + · · · + 1
1 + xn 6 x1+ · · · + xn+ n
4 , dla n> 2, ([Mild]);
(5) 1
1 + x1 + 1
1 + x2 + · · · + 1
1 + xn > 1, dla n > 2,([Zw] 2006);
(6) 1 1 + x1+ x1x2
+ 1
1 + x2+ x2x3
+ · · · + 1
1 + xn+ xnx1 > 1, dla n > 4,
([OM] Rosja 2004, [ME] 12(4)(2007)); (7) x1+ 3
(x1+ 1)2 + x2+ 3
(x2+ 1)2 + · · · + xn+ 3
(xn+ 1)2 > 3, ([OM] W.Brytania 2005, [Pkh] s.198). F S. Malikic, Inequalities with product condition, [ME] 12(4)(2007).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.2 Nierówności wymierne n zmiennych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.2.1. 1
x21+ x1 + 1
x22+ x2 + · · · + 1
x2n+ xn > 1
x21+ x2 + 1
x22+ x3 + · · · + 1 x2n+ x1, dla x1, . . . , xn> 0. ([Mat] 4/1997 z.1391).
7.2.2. 1
1 + x1 + · · · + 1
1 + xn > 1 1 + √n
x1· · · xn, dla x1, . . . , xn> 1.
([IMO] Shortlist 1998, [Djmp] s.299(636)). 7.2.3. (1 + x1)(1 + x2) · · · (1 + xn)
1 x1
+ 1 x2
+ · · · + 1 xn
> nn+1 (n − 1)n−1.
([Cmj] 22(2)(1991) 171).
7.2.4.
n
X
i=1
ai
2 − ai > n
2n − 1, dla a1, . . . , an> 0, a1+ · · · + an= 1. ([Balk] 1984).
7.2.5. a1a2· · · an(1 − (a1+ · · · + an))
(a1+ · · · + an)(1 − a1)(1 − a2) · · · (1 − an) 6 1 nn+1, dla a1, . . . , an> 0 i a1+ · · · + an< 1. ([IMO] Shortlist 1998).
7.2.6. 1 ak1 + 1
ak2 + · · · + 1
akn > nk+1, dla a1, . . . , an> 0, n, k ∈ N i a1+ · · · + an= 1.
([IMO] Longlist 1974). 7.2.7. 1
a1
+ 1 a2
+ · · · + 1
an − n > 8(n − 1)(1 − a1a2· · · an
n2 , dla a1, . . . , an> 0, n, k ∈ N oraz a1+ · · · + an= n. (Pham Kim Hung [Pkh] s.209).
7.2.8. Jeśli a1+ · · · + an= 1, a1, . . . , an> 0, to a21
a1+ a2 + a22
a2+ a3 + · · · + a2n−1
an−1+ an + a2n
an+ a1 > 1 2. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy a1 = · · · = an= 1n. ([OM] ZSRR).
7.2.9.([OM] Mołdawia 2002). Jeśli a1+ · · · + an= 1 oraz u, v, a1, . . . , an> 0, to a31
ua1+ va2 + a32
ua2+ va3 + · · · + a3n−1
uan−1+ van + a3n
uan+ va1 > 1 n(u + v).
7.2.10.([OM] Mołdawia 2009)Jeśli m, n ∈ N, n > 2, a1, . . . , an> 0 oraz a1+ · · · + an= 1, to a2−m1 + a2+ · · · + an−1
1 − a1 +a2−m2 + a3+ · · · + an
1 − a2 + · · · + a2−mn + a1· · · + an−2
1 − an > n +nm− 1 n − 1 . 7.2.11. Jeśli a1, . . . , an, b1, . . . , bn są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to
n
X
k=1
akbk
ak+ bk > AB A + B,
gdzie A =
n
X
k=1
ak, B =
n
X
k=1
bk. ([Fom] 62/93).
7.2.12. Niech a1, . . . , an będą długościami boków n-kąta (n > 3) i niech p = a1+ · · · + an. Wtedy:
(1) a1
p − 2a1 + · · · + an
p − 2an > n
n − 2,([Kw] 2/1997 44); (2) p − a1
a1 + · · · + p − an
an > (n − 1)2
a1
p − a1 + · · · + an p − an
, ([Ko03] 59);
(3) n
n − 1 6 a1 p − a1
+ · · · + an
p − an 6 2, ([IMO] Longlist 1979).
7.2.13. Jeśli n > 2 oraz x1, . . . , xn> 0, x21+ · · · + x2n= 1, to x51
x2+ x3+ · · · + xn + x52
x3+ · · · + xn+ x1 + · · · + x5n
x1+ · · · + xn−1 > 1 n(n − 1). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = · · · = xn= √1n.([OM] Turcja, [Mild]).
7.2.14. Jeśli a1, . . . , an> 0 i an+1= a1, to
n
Y
i=1
1 + a2i ai+1
!
>
n
Y
i=1
(1 + ai). ([MC] 12(1999) 28, [KoM] 1999(12) A224, [Ko03] 109).
7.2.15. Jeśli a1, . . . , an> 0 i an+1= a1, to
n
Y
i=1
1 + a3i ai+1
!
>
n
Y
i=1
(1 + aiai+1). ([Ko03] 113).
7.2.16. Niech 0 < p < q i niech a1, . . . , an∈ [p, q]. Wtedy (a1+ a2+ · · · + an)
1 a1
+ 1 a2
+ · · · + 1 an
6 n2+kn(q − p)2 4pq , gdzie kn= n2 dla parzystych n oraz kn= n2− 1 dla nieparzystych n.([Pkh] s.77).
7.2.17. Jeśli b1, . . . , bn jest permutacją dodatnich liczb a1, . . . , an, to ab1
1 + · · · + abn
n > n.
([Kurs] 115(1935)).
F Kin-Yin Li, Using tangent lines to prove inequalities, [ME] 10(5)(2005) 1-2.
N. Sato, Tips on inequalities, [Crux] 1998 161-167.
N. Siedrakjan, O przekształceniu pewnej nierówności, [Kw] 2(1997) 42-44.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.3 Nierówności wymierne jednej zmiennej
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.3.1. x8− x5−1
x+ 1
x4 > 0, dla x 6= 0. ([OM] Irlandia 1998). 7.3.2. xn+ x−n− 2
x + x−1− 2 > n2, dla x > 0, x 6= 1, n ∈ N.([OM] Węgry-Izrael 1992).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.4 Nierówności wymierne dwóch zmiennych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.4.1. Niech x, y > 0 i xy = 1. Jeśli α 6 β, to
xα+ yα6 xβ+ yβ. D. Niech β = α + γ. Mamy wtedy:
xα+ yα6 xβ+ yβ ⇐⇒ x2α+ 1
xα 6x2β+ 1
xβ ⇐⇒ xγ(x2α+ 1)6 x2α+2γ+ 1
⇐⇒ x2α+γ+ xγ 6 x2α+2γ+ 1 ⇐⇒ x2α+2γ− x2α+γ− xγ+ 1> 0
⇐⇒ (xγ− 1) x2α+γ− 1 > 0.
Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa.
7.4.2. Niech x > 0. Jeśli α 6 β, to
xα+ 1
xα 6 xβ+ 1 xβ.
(Wynika z 7.4.1).
7.4.3. Niech x1, . . . , xn> 0, x1x2· · · xn= 1 i α6 β. Czy prawdą jest, że wtedy xα1 + · · · + xαn6 xβ1 + · · · + xβn?
Z 7.4.1 wynika, że tak jest dla n = 2.
7.4.4. 1
(1 + a)2 + 1
(1 + b)2 > 1
1 + ab dla a, b > 0. ([Pkh] s.161). 7.4.5.
a + 1
a
2
+
b + 1
b
2
> 25
2 , dla a, b > 0 i a + b = 1. ([OM] Indie 1988). 7.4.6. 1
3 6 a2
a + 1+ b2 b + 1 < 1
2, dla a, b > 0 i a + b = 1.([OM] Indie 1997). 7.4.7. 1
a
x+ by 6 ax + by, dla a, b, x, y > 0, a + b = 1. ([OM] Grecja 2001). 7.4.8. ab
a + b + 2 6√
2 − 1, gdy a2+ b2= 4 i a, b > 0. ([OM] Austria 1989).
7.4.9. Jeśli 0 6 a 6 b 6 1, to:
(1) 06 b − a 1 − ab 6 1, (2) 06 a
1 + b + b
1 + a 6 1, (3) 06 ab2− ba26 1
4. ([MaOD] 4). 7.4.10. a2
b − 1 + b2
a − 1 > 8, dla a > 1, b > 1. ([OM] ZSRR 1992). 7.4.11.
1 +a
b
m
+
1 + b
a
m
> 2m+1, dla a, b > 0, m ∈ Z.
([IMO] Shortlist 1968, [Djmp] s.53(263)). 7.4.12. a
b + ab + b
a + ab > 1, dla a, b > 0, a + b 6 2. ([OM] St Petersburg 1995). 7.4.13. a
a4+ b2 + b
b4+ a2 6 1
ab, dla a, b > 0. ([Kw] 5/1995). 7.4.14. as+1
xs + bs+1
ys > (a + b)s+1
(x + y)s , dla a, b, x, y, s > 0. ([Bryn] 4.3). 7.4.15. 1
1 − a2 + 1
1 − b2 > 2
1 − ab, gdy |a| < 1 i |b| < 1.
([OM] Rosja 1993, [MaS] 2/1993).
7.4.16. Jeśli f : R+→ R+ jest funkcją rosnącą, to 1
f (a) + a+ 1
f (b) + b > 1
f (a) + b + 1 f (b) + a, dla a, b ∈ R+. ([Bedn] 62).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.5 Nierówności wymierne trzech zmiennych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.5.1. Jeśli a, b, c > 0, to:
(1) a
1 + bc+ b
1 + ca+ c
1 + ab > 9
10,([OM] Indie 1997);
(2) a
b2+ c + b
c2+ a + c
a2+ b > 9
4, ([OM] Serbia i Czarnogóra);
(3) 1 + 3
ab + bc + ca > 6
a + b + c, ([MaOD] 32);
(4) 1
ab + a+ 1
bc + b+ 1
ca + c > 3 1 + abc,
(M. Aassila, [Crux] z.2362, [OM] Indie 1997, [KoM] 2003 A324); (5)
1 a+1
b +1 c
1
1 + a+ 1
1 + b+ 1 1 + c
> 9
1 + abc, (W. Janous, [Pkh] s.145); (6) a + b + c > ac + 1
a + 1+ ba + 1
b + 1 + cb + 1
c + 1, ([OM] Rosja 1998); (7) 3 + a + b + c + 1
a+1 b +1
c +a b +b
c+ c
a > 3(a + 1)(b + 1)(c + 1)
1 + abc , ([Kw] 1988); (8) 1 + a2
a2+ b + 1+ 1 + b2
b2+ c + 1+ 1 + c2
c2+ a + 1 > 2, (IBMO 2002); (9) a2− b2
2a2+ 1+ b2− c2
2b2+ 1+ c2− a2
2c2+ 1 6 1, ([OM] Grecja 2005);
(10) 1 + bc
a(a − b)(a − c)+ 1 + ac
b(b − a)b − c)+ 1 + ab
c(c − a)(c − b) > 1 a+1
b +1
c, dla różnych a, b, c,
([Ssm] 103(1)(2003)); (11)
1 +a
b
1 +b
c
1 + c
a
> 2 + 22(a + b + c)
√3
abc , ([A-P] 1998, [Pkh] s.18). 7.5.2. a4
(b − 1)2 + b4
(c − 1)2 + c4
(a − 1)2 > 48, dla a, b, c > 1. ([ME] 13(5)(2009)). 7.5.3. a
1 + a < b
1 + b + c
1 + c, gdy a, b, c > 0 i a < b + c.
(Stellenbosch, L´eo Sauv´e, [Crux] z.54). 7.5.4. 1
a2+ a + 1
b2+ b+ 1
c2+ c > 1
a2+ b+ 1
b2+ c + 1
c2+ a, dla a, b, c > 0.
([Mat] 4/1997 z.1391).
7.5.5. a2+ 3ab
a + b +b2+ 3bc
b + c +c2+ 3ca
c + a 6 2, dla a, b, c > 0, a + b + c = 1. ([Kw] 6/2008 14).
D. ([Kw]). Dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność 2xy
x + y 6x + y 2 .
Mamy bowiem: 4xy6 (x + y)2 ⇐⇒ 0 6 x2− 2xy + y2= (x − y)2. Z tej nierówności wynika, że x2+ 3xy
x + y =(x2+ xy) + 2xy
x + y = x + 2xy x + y = 3
2x +1 2y.
Mamy zatem: a2+ 3ab
a + b +b2+ 3bc
b + c +c2+ 3ca c + a 63
2(a + b + c) +1
2(a + b + c) = 2. 7.5.6. Jeśli a, b, c > 0 oraz a + b + c = 1, to:
(1) 1
1 + 4a2 + 1
1 + 4b2 + 1
1 + 4c2 > 2, ([Kw] 2/2007 24); (2) 1
a+1 b +1
c > 25
1 + 48abc, ([Kw] 6/2006 19);
(3) 1
a + b+ 1
b + c + 1
c + a > 2
1 + a+ 2
1 + b + 2
1 + c, ([OM] Rosja 2003, [Kw] 2/2004 M1881);
(4) a
a + 1+ b
b + 1 + c c + 1 6 3
4, ([OM] Polska 1987); (5) 1 + a
1 − a+1 + b
1 − b +1 + c 1 − c 6 2a
b +2b c +2c
a, ([OM] Japonia 2004, [Pkh] s.42);
(6) a
b + c + 1 + b
c + a + 1+ c
a + b + 1 > 3
5,([OM] Rosja 1998); (7) ab
c + 1 + bc
a + 1+ ca b + 1 6 1
4, ([MOc] 2000, [OMm] 1998/1999); (8) a2+ b
b + c +b2+ c
c + a +c2+ a
a + b > 2, ([AnC]); (9) a − bc
a + bc+b − ca
b + ca+ c − ab c + ab 6 3
2, ([OM] Kanada 2008); (10) a2
a + bc+ b2
b + ca + c2 c + ab > 3
4, ([Cmj] 19(3)(1988) 291-292); (11) a3
a2+ b2 + b3
b2+ c2 + c3
c2+ a2 > 1
2, ([OM] Chorwacja 1999, [MOc] 2002 z.161); (12) (ab + bc + ca)
a
b2+ b + b
c2+ c + c a2+ a
> 3
4, (G. Dospinescu, [Crux] z.3062); (13)
a + 1
a
2
+
b + 1
b
2
+
c + 1
c
2
> 100
3 , ([MaOD] 30); (14) a7+ b7
a5+ b5 + b7+ c7
b5+ c5 +c7+ a7 c5+ a5 > 1
3, ([OM] Kazachstan 2000).
7.5.7.
1 +1
a
1 +1
b
1 +1
c
> 64, dla a, b, c > 0, a + b + c = 1.([Crux] 1998 s.164).
7.5.8.
1 a− 1
1 b − 1
1 c − 1
> 8, dla a, b, c > 0, a + b + c = 1. ([Crux] 1998 s.167).
7.5.9.
1 a1
− 1
· · ·
1 a5
− 1
> 1024, dla a1, . . . , a5 > 0, a1+ · · · + a5= 1. ([WyKM] 447-65).
7.5.10. Jeśli a, b, c > 0 oraz a + b + c = 3, to:
(1) 1
2 + 2a2b2 + 1
2 + b2c2 + 1
2 + c2a2 > 1, (Pham Kim Hung, [Pkh] s.211); (2) ab + bc + ca
a3b3+ b3c3+ c3a3 > a3+ b3+ c3
36 , (([Pkh] s.160);
(3) 1
1 + 2b2c + 1
1 + 2c2a+ 1
1 + 2a2b > 2, ([Pkh] s.30); (4) 1
a2 + 1 b2 + 1
c2 > a2+ b2+ c2,(V. Cirtoaje, [Pkh] s.56);
(5) 1
a2+ b + c + 1
a + b2+ c+ 1
a + b + c2 6 1, ([Pkh] s.59);
(6) 1
9 − ab+ 1
9 − bc + 1
9 − ca 6 3
8, ([Pkh] s.62);
(7) a
1 + b3 + b
1 + c3 + c
1 + a3 > 3
2, ([Pkh] s.237); (8) a2+ b2+ c2 > 2 + a
2 + b +2 + b
2 + c + 2 + c
2 + a, ([Pkh] s.147);
(9) a
b2+ 1+ b
c2+ 1+ c
a2+ 1 > 3
2, ([OM] Bułgaria 2003, [Crux] z.2994, [Pkh] s.27);
(10) a
b2+ c + b
c2+ a+ c
a2+ b > 3
2, ((Pham Kim Hung, [Pkh] s.247);
(11) a
1 + ab+ b
1 + bc + c
1 + ca > 3
2,(([Pkh] s.35); (12) a + 1
b2+ 1+ b + 1
c2+ 1+ c + 1
a2+ 1 > 3, ([Pkh] s.30); (13) a2
a + 2b3 + b2
b + 2c3 + c2
c + 2a3 > 1, ([Pkh] s.29); (14) a
b + 1 + b
c + 1+ c a + 1 > 3
2, ([Crux] z.2994); (15) a2
b2+ 1+ b2
c2+ 1+ c2 a2+ 1 > 3
2, ([Crux] z.2994); (16) a2
a + 2b2 + b2
b + 2c2 + c2
c + 2a2 > 1, ([Pkh] s.29); (17) a2
b + 1 + b2
c + 1+ c2 a + 1 > 3
2. ([Crux] z.2994).
7.5.11. 1
2ab + ac + bc + 1
2bc + ba + ca+ 1
2ca + cb + ab 6 1 abc, dla a, b, c > 0, a + b + c = 4. ([MOc] z.556).
7.5.12. a
1 + bc + b
1 + ac + c
1 + ab 6 2, dla a, b, c ∈ [0, 1]. ([Fom] 25/90). 7.5.13. a
b + c + 1 + b
c + a + 1 + c
a + b + 1+ (1 − a)(1 − b)(1 − c) 6 1, dla a, b, c ∈ [0, 1].
([Mild]).
7.5.14. a
1 + b + ca + b
1 + c + ab+ c
1 + a + bc 6 3
a + b + c, dla a, b, c ∈ (0, 1].
([OM] Ukraina 1998, [Crux] 2003 s.445). 7.5.15. a
1 − a+ b
1 − b+ c
1 − c > 3x
1 − x, dla a, b, c ∈ (0, 1), gdzie x = √3
abc.([OM] Irlandia 2002).
7.5.16. 2 6a + b
1 + c + b + c
1 + a+c + a
1 + b 6 3, dla a, b, c ∈ [12, 1]. ([OM] Rumunia 2006). 7.5.17. (a + b + c)
1 a+1
b + 1 c
6 10, dla a, b, c ∈ [1, 2]. (Patrz 7.2.16, [Pkh] s.76).
7.5.18. (a + b + c)
1 a+1
b + 1 c
> 6
a
b + c + b
c + a+ c a + b
, dla a, b, c ∈ [1, 2].
([OM] Wietnam 2006, [Pkh] s.146).
7.5.19. Liczby a, b, c są długościami boków trójkąta.
(1) 1 a+1
b +1
c 6 1
b + c − a+ 1
c + a − b+ 1
a + b − c. ([OM] Polska 1993/1994); (2) 2
a b +b
c + c a
> a c + b
a+c
b + 3,([Kw]); (3) 3
a b +b
c + c a− 1
> 2
a c + b
a+c b
, (Vasile Cirtoaje, [Mild]); (4) 3
2 6 a
b + c+ b
c + a+ c
a + b < 2, ([OM] Indie 89, [OM] Norwegia 1993, [Pa97]);
(5) a
b + c+ b
c + a+ c
a + b+ab + bc + ca a2+ b2+ c2 6 5
2, ([Pkh] s.202);
(6) a
b + c − a+ b
c + a − b+ c
a + b − c > 3, ([Kw]);
(7) a
b + c − a+ b
c + a − b+ c
a + b − c > b + c − a
a +c + a − b
b +a + b − c
c , ([Zw] z.40);
(8) a
3a − b + c+ b
3b − c + a + c
3c − a + b > 1, (S.Riasa,, [Pkh] s.41);
(9) 3 a2 b2 +b2
c2 + c2 a2
!
> (a2+ b2+ c2)
1 a2 + 1
b2 + 1 c2
, ([MM] 44(3)(1971) 172);
(10) a2+ 2bc
b2+ c2 + b2+ 2ac
c2+ a2 +c2+ 2ab
a2+ b2 > 3, ([OM] Moskwa 1999); (11) a2
b + c − a+ b2
c + a − b+ c2
a + b − c > 3√
3R,([OM] Bośnia Hercegowina 1999).
7.5.20. Jeśli a, b, c są długościami boków trójkąta, to
a − b
a + b+b − c
b + c +c − a c + a
< 1
16. ([Ibe] 1989, [OMm] 1999/2000).
7.5.21. Znaleźć największą liczbę naturalną n taką, że dla każdego trójkąta o bokach a, b, c zachodzi nierówność
a − b
a + b+ b − c
b + c+c − a c + a < 1
n. Odp. n = 23. (P. Kumor, [Mat] 4/2004 z.1629, rozw. [Mat] 3/2005).
7.5.22. Jeśli a2+ b2+ c2 = 1 i a, b, c > 0, to:
(1) a
1 − a+ b
1 − b + c
1 − c > 3√ 3 + 3
2 ([Ko03] 47);
(2) 1
1 − ab+ 1
1 − bc + 1
1 − ca 6 9
2, (V. Cirtoaje, [Crux] z.3032);
(3) a
1 − a2 + b
1 − b2 + c
1 − c2 > 3√ 3
2 ([Crux] 2003 s.243, [OM] Brazylia 2004, [Ko03] 47);
(4) a
1 − an + b
1 − bn + c
1 − cn > (n + 1)(n+1)/n
n (T. Zvonaru, [Crux] z.2935); (5) 1
a2 + 1 b2 + 1
c2 > 3 + 2(a3+ b3+ c3)
abc (Hojoo Lee, [Crux] z.2532);
(6) a
b2+ 1+ b
c2+ 1+ c
a2+ 1 > 3 4(a√
a + b
√ b + c√
c), (Mediterranean Math. Comp. 2002);
(7) a
a3+ bc + b
b3+ ca + c
c3+ ab > 3, ([Pkh] s.171); (8) a2
1 + 2bc + b2
1 + 2ac+ c2
1 + 2ab > 3
5 ([OM] Bośnia Hercegowina 2002); (9)
1 a+1
b +1 c
− (a + b + c) > 2√
3 (P. E. Tsaoussoglou, [Crux] z.2946); (10)
1 a+1
b +1 c
+ (a + b + c)> 4
√
3 (P. E. Tsaoussoglou, [Crux] z.2946); (11) a + b + c + 1
abc > 4√
3. ([OM] Kazachstan 2000).
7.5.23. Jeśli a2+ b2+ c2= 3 i a, b, c > 0, to:
(1) 1
2 − a+ 1
2 − b + 1
2 − c > 3, ([Pkh] s.165);
(2) a
a + 2+ b
b + 2 + c
c + 2 6 1, (V.Cirtoaje, [Pkh] s.200);
(3) a
a2+ 2b + 3 + b
b2+ 2c + 3 + c
c2+ 2a + 3 6 1
2, (Pham Kim Hung, [Pkh] s.145));
(4) 1
1 + ab+ 1
1 + bc + 1
1 + ca > 3
2,([OM] Białoruś 1999);
(5) 1
1 + 2ab+ 1
1 + 2bc+ 1
1 + 2ca > 1, ([OM] Estonia 2004);
(6) 1
3 − ab+ 1
3 − bc + 1
3 − ca + 1
3 − a2 + 1
3 − b2 + 1
3 − c2 > 3, ([Pkh] s.181));
(7) 1
a3+ 2+ 1
b3+ 2+ 1
c3+ 2 > 1, (Pham Kim Hung [Pkh] s.31). 7.5.24. 1
4 − ab + 1
4 − bc + 1
4 − ca 6 1, dla a4+ b4+ c4= 3 i a, b, c > 0.
([OM] Mołdawia 2005, [Pkh] s.64). 7.5.25. a3
1 − a8 + b3
1 − b8 + c3
1 − c8 > 9√4 3
8 , dla a4+ b4+ c4= 1 i a, b, c > 0. ([Ko03] 47).
7.5.26. Jeśli ab + bc + ca = 1 i a, b, c > 0, to:
(1) 1
a + b+ 1
b + c + 1 c + a > 5
2, (Berkely Math. Circle, [Pkh] s.159); (2) 1
a + b+ 1
b + c + 1
c + a+ 1
a + b + c > 3, ([Pkh] s.159).
F P. Aleksiejew, L. Kurlandczyk, Boki trójkąta (po rosyjsku), Matematiczeskij Krużok 3/99, 42-45.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.6 Nierówności wymierne czterech zmiennych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.6.1. a
b + b a+ c
d+ d
c 6 1
64abcd, dla a, b, c, d > 0, a + b + c + d < 1. ([OM] Indie 1995). 7.6.2. a2
a + b+ b2
b + c + c2
c + d+ d2 d + a > 1
2, dla a, b, c, d > 0, a + b + c + d = 1.
Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy a = b = c = d = 14. ([OM] Irlandia 1999). 7.6.3. Jeśli a, b, c, d > 0 oraz a + b + c + d = 4, to:
(1) 1
5 − abc+ 1
5 − bcd + 1
5 − cda + 1
5 − dab 6 1, (V.Cirtoaje, [Pkh] s.27);
(2) 1
a2+ 1+ 1
b2+ 1+ 1
c2+ 1+ 1
d2+ 1 > 2, ([Pkh] s.30);
(3) a
b2+ 1+ b
c2+ 1+ c
d2+ 1+ d
a2+ 1 > 2, ([Pkh] s.27);
(4) 1
a2+ 11+ 1
b2+ 11+ 1
c2+ 11+ 1
d2+ 11 6 1
3, ([Pkh] s.55); (5) a + 1
b2+ 1+ b + 1
c2+ 1+ c + 1
d2+ 1+ d + 1
a2+ 1 > 4, ([Pkh] s.30);
(6) a
b2c + 1 + b
c2d + 1+ c
d2a + 1+ d
a2b + 1 > 2, ([Pkh] s.28); (7) 1 + ab
1 + b2c2 + 1 + bc
1 + c2d2 + 1 + c
1 + d2a2 + 1 + d
1 + a2b2 > 4, ([Pkh] s.30). 7.6.4. a + b
b + c + c + d
d + a 6 4a + c
b + d, dla a, b, c, d ∈ [1, 2]. ([OM] Ukraina 1992). 7.6.5. Jeśli a, b, c, d > 0 oraz a2+ b2+ c2+ d2= 4, to:
(1) 1
5 − a+ 1
5 − b + 1
5 − c + 1
5 − d 6 1, (Pham Kim Hung [Pkh] s.61);
(2) a2
b + c + d+ b2
c + d + a + c2
d + a + b+ d2
a + b + c > 4
3, ([Pkh] s.54);
(3) 1
3 − abc+ 1
3 − bcd+ 1
3 − cda+ 1
3 − dab 6 2, (Pham Kim Hung [Pkh] s.195).
7.6.6. a3
b + c + d+ b3
c + d + a + c3
d + a + b+ d3
a + b + c > 1 3,
dla a, b, c, d > 0, ab + bc + cd + da = 1. ([IMO] Shortlist 1990, [Djmp] s.253(540)).
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.7 Nierówności wymierne dla liczb całkowitych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 7.7.1. 1
1999 < 1 2 ·3
4 · · · · · 1997 1998 < 1
44. ([OM] Kanada 1997). 7.7.2. nn> (n + 1)n−1+ n
n + 1, dla 26 n ∈ N. ([Miss] z.153). 7.7.3.
1 + 1
n2
n
< 2, dla n ∈ N, n > 1. ([Bryn] 4.1).
7.7.4.
1 − 1
n21
· · · 1 − 1 n2k
!
> 1
2, gdzie k> 2 oraz n1, . . . , nksą parami różnymi liczbami naturalnymi większymi od 1. ([WyKM] z.553).
