Zadanie
W badaniu rzeczywistego czasu przebywania cząstek reagentów w reaktorze przepływowym doświadczalnie stosując metodę typu sygnał /odpowiednio dobrana substancja, zwana traserem / -- odpowiedz, uzyskano następujące wyniki / w d /
4,6 5,5 5 4,9 3,9 4,3 4,3 3,7
3,9 2,7 3,3 6,2 5,4 4,5 5,9 8,3
6,2 5,3 5,7 5,1 5,4 6,3 4,7 5,2
5,3 5,7 5,4 6,6 5,5 4,6 5,2 4,6
4,5 4,6 4,2 5,3 5,3 3,8 4 4
3,3 6 3,8 6,1 3,2 3,9 6,1 4,5
4,8 4,4 4,3 6 3,7 3,7 5,1 4,7
5,9 4,3 5,3 4,6 4,7 5,3 6,5 3,7
Dla tych danych utworzyć a). Szereg rozdzielczy
b). Podać interpretację danych / utworzyć histogram danych /
c). Obliczyć podstawowe parametry próby / średnia arytmetyczna , wariancja, odchylenie standardowe / tzw. szacowanie punktowe z próby /
d). Na poziomie ufności 0,95 oszacować metodą przedziałową wartość średnią i wariancję rzeczywistego czasu przebywania cząstek reagentów w reaktorze e). Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że średni czas przebywania cząstek reagentów w reaktorze jest mniejszy niż 5 d
Ad c).
czas
przebywania liczba środki składniki składniki składniki reagentów /w
d / pomiar
ów przedziałów
ai. bi ni xi=(ai+bi)/2 xini
(xi-
xsr)^2*ni xi^2*ni
2,5 3,5 4 3 12 14,77 36
3,5 4,5 17 4 68 14,45 272
4,5 5,5 27 5 135 0,16 675
5,5 6,5 13 6 78 15,11 468
6,5 7,5 2 7 14 8,64 98
7,5 8,5 1 8 8 9,47 64
n = 64 315 62,61 1613
średnia arytmetyczna =
xsr = 315/64= 4,92
wariancja =
s2 = 62,61/64 = 0,98
wariancja sp II =
s2 = 1613/64-
4,92^2 0,98
odchylenie standardowe
s = 0,98^0,5 = 0,99
Znak / - dzielenie Znak ^ - potęgowanie Znak * - mnożenie
Ad a) b)..
czas przebywania liczba środki Częstość funkcja cząstek
reagentów /w d / pomiaró
w przedział
ów przedziału gęstości
ai. bi ni
xi=(ai+bi
)/2 gi=ni/n vi=gi/h
2,5 3,5 4 3 0,063 0,06
3,5 4,5 17 4 0,266 0,27
4,5 5,5 27 5 0,422 0,42
5,5 6,5 13 6 0,203 0,20
6,5 7,5 2 7 0,031 0,03
7,5 8,5 1 8 0,016 0,02
n = 64
h = bi-ai długość przedziału klasowego
1 ...
x
1 2
2 1 1
sr
ki i i k
k
x n
n n
n x n
x n x x
) 1 (
) ( ...
) ( ) s (
1
2 2
2 2 2 1 2 1
2
ki
i i
k
k
x x n
n n
n x x n
x x n x x
2 2
2 2 2 1 2 1
2
...
s
x
n
n x n
x n
x
k k
Ad d).
Przedział ufności dla wartości średniej czasu przebywania cząstek reagentów w reaktorze
Model III przedziałów ufności dla wartości średniej ( spełniony warunek, duża próba n
= 64 > 30 )
1-α = 0,95 to α = 0,05 u0,05
= 1,96 z tablic rozkładu
normalnego
4,68
< m
< 5,16
4,92-1,96*0,99/64^0,5 < m <
4,92+1,96*0,99/64^0,5 Przedział o tych końcach z prawdopodobieństwem 0,95
pokrywa
wartość średnią czasu przebywania cząsteczek reagentów w reaktorze
Przedział ufności dla wariancji czasu przebywania cząstek reagentów w reaktorze
Model II przedziałów ufności dla odchylenia standardowego ( spełniony warunek, duża próba n = 64 > 30 )
1-α = 0,95 to α = 0,05 u0,05
= 1,96 z tablic rozkładu
normalnego 0,84
59 < ϭ
< 1,2020
2 0,99*(2*64)^0,5/((2*64-1)^0,5+1,96 < ϭ< 0,99*(2*64)^0,5/
((2*64-1)^0,5-1,96
Przedział o tych końcach z prawdopodobieństwem 0,95 pokrywa
teoretyczne odchylenie standardowe czasu przebywania cząstek reagentów w reaktorze
Ad e).
0o Ho:
m=5 hipoteza zerowa mo=5 wartość hipotetyczna
1o α = 0,1 poziom istotności 2o H2:
m<5 hipoteza alternatywna po odrzuceniu hipotezy zerowej
3o
Dla zweryfikowana hipotezy zerowej w modelu III dla testów istotności dla wartości średniej
założenia są spełnione ( duża próba i wariancja skończona ) . Przy założeniu prawdziwości
hipotezy zerowej statystyka do testowania w tym modelu ma rozkład normalny standardowy
4o Wartość statystyki dla naszej próby uo = (4,92-5)/0,99*64^0,5 = -0,6319 5o Test lewostronny u2α = u0,2
= 1,282
Obszar krytyczny K = (-∞ , -1,282)
6o Odpowiedz właściwa dla tego zagadnienia po przeprowadzonym teście
Ponieważ wartość statystyki uo nie należy do obszaru krytycznego K ( uo ɇ K) to nie podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej a więc i nie ma podstaw do twierdzenia z
prawdopodobieństwem 0,9 że czas przebywania reagentów w reaktorze jest mniejszy niż 5 d.
n u s x n m
u s
x
1
2 2 1
2 2
n u
n s u
n n s
0 n
S m U X
Gdyby wartość statystyki uo należała do obszaru krytycznego K ( uo
€ K)
to z prawdopodobieństwem 0,9 moglibyśmy twierdzić,
że czas przebywania cząstek reagentów w reaktorze jest mniejszy niż 5 d.
