n ej, ,czy stosowania matematyki. Zauważmy, że - z grubsza biorąc - mamy do czynienia z dwoma poziomami procesu s p e c y fik a c ji.

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria V: DYDAKTYKA MATEMATYKI 8 (1987)

Stanisław Serafin

Kraków

Kilka uwag na marginesie artykułu Z. Dybiec

„ O pewnej trudności związanej ze specyfikacją w nauczaniu matematyki ”

1. Specyfikowanie p ojęć, tw ie rd ze ^ c zy całych t e o r i i je s t i s ­ totnym składnikiem matematycznego myślenia, twórczości matematycz­

n ej, ,czy stosowania matematyki. Zauważmy, że - z grubsza biorąc - mamy do czynienia z dwoma poziomami procesu s p e c y fik a c ji.

Ze sp ecyfikacją na pierwszym poziomie mamy do czynienia w sy­

tu a c ji, gdy w ramach danej dziedziny matematycznej zdefiniowane zostało pewne p o ję c ie czy udowodnione ja k ie ś tw ierdzenie, które na stępnie w t e jż e d zied zin ie poddawane są „obróbce" s p ecy fik a cy jn ej.

Konstruuje s ię np. obiekty, o których trzeba rozstrzygać, czy wcho dzą^czy nie wchodzą w zakres rozważanego p o jęcia , z jakiego powodu nie sp ełn iają warunków d e f in ic ji tego p o ję c ia (niezależność warun­

ków użytych w d e f i n i c j i ) . Opisuje s ię pewną sytuację - problem, w k tó re j należy rozstrzygnąć, czy poznane tw ierdzenie może być, czy nie może być zastosowane. Trudności obserwowane przy tego typu spe c y fik a c ji związane są n a jc zę ś c ie j z ogólnym poziomem obycia mate­

matycznego uczniów (studentów), stanem przyswojenia wiedzy z danej dziedziny, stopniem skomplikowania wykonanej konstrukcji czy opisu s y tu a c ji. Szczególne trudności obserwuje s ię w tym procesie specy­

f i k a c j i odnośnie do przypadków skrajnych, specyficznych wartości parametrów. Te zaś przypadki często odgrywają ważną’ r o lę k ształcą­

cą. Gdy dajemy uczniom (studentom) problem, w rozwiązaniu którego

pomocne może być użycie wprowadzonego p o ję c ia czy tw ierdzenia (a

więc pewna ich sp e c y fik a c ja ), to sformułowanie problemu nie musi

222

STANISŁAW SERAFIN

(a być może nawet nie powinno) ukierunkowywać na i^Ką sp ecyfik ację W ta k ie j sytu acji pojawić, s ię mogą dodatkowe trudności z odkryciem, ja k ie elementy zdobywanej wiedzy nadają s ię w n ie j do wykorzystania Inny - jakby wyższy - poziom s p e c y fik a c ji mamy wtedy, gdy po­

ję c ie czy tw ierdzenie jednej dziedziny matematycznej specyfikujemy w innej poprzednio poznanej d zied zin ie lub równolegle w kilku d zie­

dzinach. Specyfikacja na tym poziomie służy różnym celom. Chodzić w n ie j może o skonstruowanie w t e j znanej d zied zin ie obiektów wcho­

dzących lub nie w zakres pewnego p o ję c ia (przykład, kontrprzykład).

Bywa jednak, że przed taką specyfikacją stawiamy c e l daleko ambit­

n ie js z y : uprzytomnienie uczniom (studentom) ja k ie jś nowej struktu­

ry w sytu a cji w cześniej, in aczej poznanej, a więc pewna reorganiza­

cja ich dotychczasowej wiedzy w znanej d zie d zin ie . Reorganizacja wiedzy prowadzić może w konsekwencji do dalszego i głębszego (na wyższym poziom ie) poznania t e j dziedzin y. Specyfikacja na tym po­

ziomie wydaje s ię dwojako trudna. Jedne trudności wynikają ze stop­

nia kom plikacji p o ję c ia czy tw ierdzenia w d zied zin ie, z k tó rej one pochodzą. Inne zaś mają swe źródło w słabym przyswojeniu dziedziny, w k tó re j chcemy s p e c y fik a c ji dokonać. Jakże często przekonujemy s ię że grunt, na którym zamierzamy specyfikować p o ję c ie czy twierdzenie j e s t dla znacznej grupy uczniów (studentów) zbyt „g rzą sk i” , za mało znany, nieoperatywnie przyswojony. W ta k ie j sytu acji specyfikacja je s t szczególn ie utrudniona, wymaga przygotowań, powtórki nieodzow­

nych wiadomości. Te za b iegi przygotowawcze dekoncentrują uwagę, prowadzą niekiedy do „rozmycia” celu, ku któremu mamy zmierzać, a więc także błędów i pomyłek uczniowskich zupełnie nieoczekiwanych.

Równoległe specyfikowanie np. jednego p o ję c ia w dwóch różnych d z ie ­ dzinach, niezwykle kształcące i ważne w nauczaniu (stu diach), n ie­

s ie oczywiste i często obserwowane niebezpieczeństwo przemieszania dzied zin , niewłaściwego „tra n sferu ” , „p rzeb ić” z dziedziny dominu­

ją c e j w umyśle do s ła b ie j przyswojonej.

2. Z dwóch procesów: uogólniania i s p e c y fik a c ji, ten pierwszy uważa s ię na ogół za tru d n iejszy. Kształtowanie um iejętności uogól­

niania pojęć twierdzeń czy fragmentów t e o r i i wymaga - jak wskazują doświadczenia i te o r ia dydaktyczna - specjalnych, świadomie orga­

nizowanych zabiegów i nie u wielu uczniów uzyskać s ię daje oczeki­

wany w tym w zględzie rozw ój. Proces s p e c y fik a c ji, zwłaszcza rozu-

UWAGI NA MARGINESIE ARTYKUŁU Z. DYBIEC 223

miany wąslćo (a więc nie w rozwiązywaniu zadań-problemów), uchodzi za ła tw ie jsz y . Tymczasem doświadczenia (np. przedstawione przez p. Z. Dybiec) ukazują w iele trudności, zwłaszcza gdy chodzi o dru­

gi z wyróżnionych przeze mnie poziomów specy fik acji.

świadome ujawnianie tych trudności, a nie ich unikanie w pro­

cesie dydaktycznym, oraz zabiegi zmierzające do ich twórczego przez uczniów (studentów) przezwyciężania, stanowią istotny element s p i­

ralnego podejścia do zdobywania przez uczniów wiedzy z danej dzie­

dziny na coraz wyższym poziomie j e j rozumienia.

SOME REMARKS CONNECTED WITH THE NOTE BY Z. DYBIEC

S u m m a r y

The author points two le v els of specificatio n of mathematical

notions and theorems and students

d ific u lt ie s connected with them.