KNW- Wykład 4

KNW- Wykład 4

Zbiory przybliżone

Zbiory przybliżone

PROGRAM WYKŁADU NR 4

 Motywacja dla zbiorów przybliżonych

 Podstawy zbiorów przybliżonych

 Odniesienie do logiki modalnej

MOTYWACJA

 Reprezentacja niepewności:

– w analizie danych

– we wnioskowaniu przestrzennym

– w operacjach logicznych

PRZYKŁAD – POJĘCIE REDUKTU

 Redukt: najmniejszy zbiór cech wystarczający do poprawnego zaklasyfikowania obiektów

 Formalnie:

– Niech A={a1, ..., an} oznacza zbiór cech, zaś d – atrybut decyzyjny

– Zbiór R zawarty w A jest reduktem, jeśli:

• nie istnieją takie obiekty o1 i o2, że d(o1) d(o2) i dla każdego atrybutu aR mamy a(o1)=a(o2)

• żaden podzbiór zbioru R nie ma powyższej własności

Outlook Temp. Humid. Wind Sport?

1 Sunny Hot High Weak No

2 Sunny Hot High Strong No 3 Overcast Hot High Weak Yes 4 Rain Mild High Weak Yes 5 Rain Cold Normal Weak Yes 6 Rain Cold Normal Strong No 7 Overcast Cold Normal Strong Yes 8 Sunny Mild High Weak No 9 Sunny Cold Normal Weak Yes 10 Rain Mild Normal Weak Yes 11 Sunny Mild Normal Strong Yes 12 Overcast Mild High Strong Yes 13 Overcast Hot Normal Weak Yes 14 Rain Mild High Strong No

PRZYKŁAD – POJĘCIE REDUKTU

Nie jest reduktem {T,H,W}, ani żaden jego podzbiór

Nie jest reduktem {O,T,H}, ani żaden jego podzbiór

Nie jest reduktem {O,W}, ani żaden jego podzbiór

Reduktami są:

{O,T,W},{O,H,W}

Outlook Humid. Sport?

1 Sunny High No 2 Sunny High No 3 Overcast High Yes 4 Rain High Yes 5 Rain Normal Yes 6 Rain Normal No 7 Overcast Normal Yes 8 Sunny High No 9 Sunny Normal Yes 10 Rain Normal Yes 11 Sunny Normal Yes 12 Overcast High Yes 13 Overcast Normal Yes 14 Rain High No

Sunny Overcast Rain

NormalHigh

Sunny Overcast Rain

NormalHigh

SPRZECZNOŚCI W DANYCH

Outlook Temp. Humid. Sport? Gen(Sport?)

1 Sunny Hot High No {No}

2 Sunny Hot High No {No}

3 Overcast Hot High Yes {Yes}

4 Rain Mild High Yes {No,Yes}

5 Rain Cold Normal Yes {No,Yes}

6 Rain Cold Normal No {No,Yes}

7 Overcast Cold Normal Yes {Yes}

8 Sunny Mild High No {No}

9 Sunny Cold Normal Yes {Yes}

10 Rain Mild Normal Yes {Yes}

11 Sunny Mild Normal Yes {Yes}

12 Overcast Mild High Yes {Yes}

13 Overcast Hot Normal Yes {Yes}

14 Rain Mild High No {No,Yes}

DECYZJA UOGÓLNIONA

Nowy atrybut decyzyjny grupujący oryginalne wartości decyzji tak, by otrzymana tablica była niesprzeczna

Tablica sprzeczna to taka, która zawiera obiekty

nierozróżnialne ze względu na wartości atrybutów,

jednak mające różne decyzje Redukt ma za zadanie rozróżniać pary

obiektów o różnych wartościach decyzji uogólnionej

ZBIORY PRZYBLIŻONE

 Niech dany będzie zbiór obiektów U. Chcemy w nim wyróżnić pewien podzbiór X, jednak

jesteśmy w stanie podać jedynie:

– (X)

: zbiór obiektów na pewno należących do X (dolna aproksymacja X)

– (X)

: zbiór obiektów mogących należeć do X (górna aproksymacja X)

 Zbiór określony za pomocą dolnej i górnej

aproksymacji nazywamy przybliżonym

RELACJA NIEROZRÓŻNIALNOŚCI

Relacją nierozróżnialności może być dowolna relacja równoważności (zwrotna, symetryczna, przechodnia) na zbiorze obiektów U.

Niech „~” będzie rel. nierozr., zaś XU:

x  X  (y ~ x)  y  (X)

x  (X)

 (y ~ x)  y  (X)

x  (X)

 (y ~ x)  y  (X)

Czyli zbiór X mamy prawo opisywać jedynie „blokami” obiektów nierozróżnialnych (klasami abstrakcji relacji „~”)

Outlook Humid. Sport?

1 Sunny High No 2 Sunny High No 3 Overcast High Yes 4 Rain High Yes 5 Rain Normal Yes 6 Rain Normal No 7 Overcast Normal Yes 8 Sunny High No 9 Sunny Normal Yes 10 Rain Normal Yes 11 Sunny Normal Yes 12 Overcast High Yes 13 Overcast Normal Yes 14 Rain High No

Sunny Overcast Rain

NormalHigh

Sunny Overcast Rain

NormalHigh

SPRZECZNOŚCI W DANYCH

Sunny Overcast Rain

NormalHigh

Sunny Overcast Rain

NormalHigh

SPRZECZNOŚCI W DANYCH

Opisujemy obiekty cechami

„Outlook” oraz „Humid.”, więc niektóre z nich stają się dla nas nierozróżnialne

Przykładowo, zbiór:

„obiekty o decyzji Sport=Yes”

jest zbiorem przybliżonym

 

 ^{U A  d} 



 ,

  ^u _B ^  ^{u '  U : } _{a  B}  ^a     ^{u  a u '}  

     

     

 

 

 

B B

upper B B

lower

X X

X

X u

U u

X

X u

U u

X

\ :

:



















ZAPIS FORMALNY

 Tablica decyzyjna:

 Dla BA oraz uU, klasa B-abstrakcji u:

 B-aproksymacje podzbioru obiektów X:

Outlook Humid. Sport?

1 Sunny High No 2 Sunny High No 3 Overcast High Yes 4 Rain High Yes 5 Rain Normal Yes 6 Rain Normal No 7 Overcast Normal Yes 8 Sunny High No 9 Sunny Normal Yes 10 Rain Normal Yes 11 Sunny Normal Yes 12 Overcast High Yes 13 Overcast Normal Yes 14 Rain High No

PRZYKŁAD – APROKSYMACJE

   

   

   ^{4 , 5 , 6 , 10 , 14} 

14 , 13 , 12 , 11 , 10 , 9 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3

13 , 12 , 11 , 9 , 7 , 3







B

boundary B

upper B lower

X X X

Rozpatrzmy X =

{3,4,5,7,9,10,11,12,13}

jako zbiór:

„obiekty o decyzji Sport=Yes”

Przyjmijmy

B = {Outlook, Humid.}

Wtedy:

Sunny Overcast Rain

NormalHigh

ZBIORY PRZYBLIŻONE A LOGIKA MODALNA

Wiersze tablicy

odpowiadają możliwym światom

Graf opisany jest

krawędziami łączącymi w kliki poszczególne klasy nierozróżnialności

Wtedy dolna aproksymacja odpowiada światom, w

których prawdziwy jest operator konieczności, zaś

górna – operatorowi możliwości

     

 

 

 

B

lower B

lower B

lower

Y X

Y X

Y X

Y X













  ^X

 ^{U X} 

U \  \

WŁASNOŚCI

 Dla dowolnego podzbioru cech B oraz dowolnych podzbiorów obiektów X,Y:

 Dla dowolnego podzbioru cech B oraz

dowolnego podzbioru obiektów X:

ZADANIE

 Czy podobne własności zachodzą także dla zdań w logice modalnej:

– Przy założeniu, że relacja pomiędzy

możliwymi światami w modelu Kripke’go jest relacją równoważności

– Bez założeń odnośnie modelu Kripke’go