1. Niech f ∈ K[X] b¦dzie jednorodny i g, h ∈ K[Y ]. Rozwa»my operacje ujednorodnienia i odjednorodnienia wzgl¦dem i-tej zmiennej. Udowod- ni¢, »e:

KRZYWE ELIPTYCZNE, Lista 2

Niech d, m, n ∈ N >0 , Y = (Y 1 , . . . , X _n ) , X = (X 0 , . . . , X _n ) , K to ciaªo alge- braicznie domkni¦te, W ⊆ A ⁿ to rozmaito±¢ aniczna, V ⊆ P ⁿ to rozmaito±¢

rzutowa, i ∈ {0, . . . , n} oraz

ϕ _i : A ⁿ → P ⁿ , ϕ _i (y ₁ , . . . , y _n ) = [y ₁ : . . . : y _i : 1 : y _i+1 : . . . : y _n ].

1. Niech f ∈ K[X] b¦dzie jednorodny i g, h ∈ K[Y ]. Rozwa»my operacje ujednorodnienia i odjednorodnienia wzgl¦dem i-tej zmiennej. Udowod- ni¢, »e:

(a) (g ^∗ ) _∗ = g ,

(b) (f _∗ ) ^∗ = f /X _i ^v , gdzie v := max{l ∈ N : X _i ^l |f } , (c) (gh) ^∗ = g ^∗ h ^∗ .

2. Dla dziedziny R i ideaªu maksymalnego m P R uto»samiamy R m z odpowiednim podpier±cieniem ciaªa uªamków R. Udowodni¢, »e

R = \

m

R _m .

3. Niech I ⊆ K[W ]. Udowodni¢, »e I jest ideaªem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje P ∈ W taki, »e I = {f ∈ K[W ] |f(P ) = 0}.

4. Udowodni¢, »e dla f ∈ K(W ), dom(f) = W wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ K[W ] .

5. Zaªó»my, »e P ∈ V ∩ ϕ i (A ⁿ ) . Niech V i := ϕ ⁻¹ _i (V ) i P i := ϕ ⁻¹ _i (P ) . Rozwa»my funkcj¦

Ψ _i : ¯ K(V _i ) → ¯ K(V ), Ψ _i

µ g + I(V _i ) h + I(V _i )

¶

= g ^∗ X _i ^deg(h

⁾ + I(V ) h ^∗ X _i ^deg(g

⁾ + I(V ) . Udowodni¢, »e Ψ i jest izomorzmem oraz, »e Ψ i (K[V _i ] _P

) = K[V ] _P . 6. Udowodni¢, »e zªo»enie morzmów jest morzmem i »e id V jest mor-

zmem.

7. Niech f 0 , . . . , f _m ∈ K[X] _d b¦d¡ wielomianami bez wspólnego dzielnika i φ = [f 0 : . . . : f _m ] : P ⁿ 99K P ^m . Udowodni¢, »e

dom(φ) = P ⁿ \ V (f ₀ , . . . , f _m ).

8. Niech V 1 = V (X ₀ ² + X ₁ ² − X ₂ ² ) oraz V 2 = V (X ₀ ² + X ₁ ² − 3X ₂ ² ) b¦d¡

krzywymi rzutowymi zdeniowanymi nad Q. Udowodni¢, »e:

(a) V ₁ nie jest izomorczna z V 2 nad Q.

(b) V ₁ jest izomorczna z V 2 nad Q( √ 3) .

1