Teoria miary i całki 2012/2013

Teoria miary i całki 2012/2013

Seria VII, 12 V 2013 r.

Javier de Lucas

Zadanie 1. Niech X będzie zbiorem i (Y, C) będzie przestrzenią mierzalną. Dane T : X → Y , wykaż, że T

(C) to σ-algebra podzbiorów dziedziny D(T ) funkcji T . Jeżeli D = X, to T

(C) jest σ-algebrą X.

Zadanie 2. Dane funkcje f, g : R → R. Wykaż, że jeżeli f i g są B

-mierzalne, czyli mierzalne w sensie Borela, to g ◦ f też. Udowodnij, że jeżeli f jest M

-mierzalna na R i g jest B

-mierzalna, to g ◦ f jest M

-mierzalna.

Zadanie 3. Niech f : R → R będzie B

–mierzalną funkcją na D ∈ B

. Wykaż, że jeżeli zmienimy wartości f w przeliczalnym zbiorze D

⊂ D, to f jest jeszcze B

-mierzalna.

Zadanie 4. Niech f : R → R będzie M

-mierzalna na D ∈ M

. Wykaż, że

|f | jest M

-mierzalna.

Zadanie 5. Niech f : R → R będzie rosnącą funkcją. Wykaż, że f jest B

–mierzalną funkcją na D ∈ B

, więc, M

-mierzalna.

Zadanie 6. Dane dwie przestrzenie topologiczne (X, D

) i )Y, D

). Wykaż, że jeżeli T : (X, D

) → (Y, D

) to homeomorfizm, wtedy T

(B

) = B

i T (B

) = B

.

Zadanie 7. Niech f : D ⊂ X → R będzie A-mierzalną funkcją na D ∈ A na mierzalnej przestrzeni (X, A, µ). Dla M

, M

i M

< M

zdefiniujemy

g(x) =











M

, f (x) < M

, f (x), M

¬ f (x) ¬ M

, M

, x > M

.

Wykaż, że g jest mierzalna na D.

1