Grafy–zadaniaróżne Dyskretna

Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 13 Semestr letni 2020/2021

Kraków 28 maja

Grafy – zadania różne

Zadanie 1 (1p.). Pilot do telewizora potrzebuje pracuje na dwu bateriach. Aby działał obie muszą być naładowane. Mamy 9 baterii przy czym 3 są naładowane, a 6 jest rozłado- wanych. Jedyny sposób aby rozpoznać czy wybraliśmy dobre baterie to włożyć je do pilota i sprawdzić czy działa. Ile minimalnie prób musimy wykonać w najgorszym przypadku?

Zadanie 2 (1p.). Rozważ zbiór X zawierający n punktów na płaszczyźnie takich, że odlegóść (euklidesowa) pomiędzy dowolnymi dwoma punktami jest ¬ 1. Wykaż, że liczba dwójek punktów w X oddalonych o

2

to co najwyżej n

/3. Podaj przykłady zbiorów świadczących, że to ograniczenie jest najlepsze możliwe.

Zadanie 3 (2p.). Niech ex(n, K

) będzie maksymalną liczbą krawędzi w grafie na n wierz- chołkach bez K

. Wykaż, że dla n ­ r + 1 każdy graf na n wierzchołkach i o ex(n, K

) + 1 krawędziach zawiera K

− e jako podgraf (klika na r + 1 wierzchołkach bez jednej kra- wędzi).

Zadanie 4 (2p.). Załóżmy, że T jest drzewem oraz φ : V (T ) → V (T ) jest funkcją spełniającą warunek:

jeżeli x, y ∈ E(T ) to φ(x) = φ(y) lub φ(x), φ(y) ∈ E(T ).

Wykaż, że istnieje wierzchołek v ∈ V (T ) taki, że φ(v) = v lub istnieje krawędź x, y ∈ E taka, że φ(x, y) = x, y.

Zadanie 5 (2p.). W poniższym zadaniu przez ścieżkę maksymalną rozumiemy ścieżkę maksymalną pod względem liczności. Czy prawdą jest, że:

(i) dowolne dwie maksymalne ścieżki w grafie spójnym G mają niepuste przecięcie, (ii) przecięcie wszystkich maksymalnych ścieżek w drzewie T jest niepuste.

Zadanie 6 (1p.). Niech (X, Y, E) będzie grafem dwudzielnym. Wykaż, że rozmiar mak- symalnego dopasowania w (X, Y, E) jest równy rozmiarowi minimalnego pokrycia wierz- chołkowego w (X, Y, E). Czy powyższe twierdzenie jest prawdziwe w klasie wszystkich grafów?

Zbiór wierzchołków U jest pokryciem wierzchołkowym w grafie G jeżeli każda krawędź ma przynajmniej jeden swój koniec w U .

Zadanie 7 (2p.). Wykaż, że w grafie G niezawierającym w sposób indukowany ścieżki P

(ścieżki prostej na 4 wierzchołkach) algorytm first-fit używa ω(G) kolorów.

Zadanie 8 (2p.). Wykaż, że istnieje funkcja f taka, że dla każdego k ­ 1 i dla każdego grafu G niezawierającego w sposób indukowany ścieżki P

zachodzi

χ(G) ¬ f (ω(G)).

Strona 1/2

Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 13 Semestr letni 2020/2021

Kraków 28 maja

Zadanie 9 (2p.). Macierz M rozmiaru n×n nazywamy kwadratem łacińskim jeżeli każdy wiersz i każda kolumna macierzy zawiera pewną permutację liczb ze zbioru {1, . . . , n}.

Niech n

,n

będą dwiema liczbami naturalnymi mniejszymi bądź równymi n. Niech M będzie macierzą o rozmiarze n

× n

, której wszystkie pola M [i][j] dla 1 ¬ i ¬ n

oraz 1 ¬ j ¬ n

są wypełnione pewnymi liczbami ze zbioru {1, . . . , n} w taki sposób, że wszystkie częściowo wypełnione wiersze i kolumny zawierają różne liczby. Znajdź warunek konieczny i wystarczający na to, aby:

(i) macierz M była rozszerzalna do kwadratu łacińskiego n×n przy założeniu że n

< n oraz n

= n,

(ii) macierz M była rozszerzalna do kwadratu łacińskiego n × n przy założeniu że n

< n oraz n

< n.

Strona 2/2