Niech dane będą zbiory niepuste X , Y . Definicja 1.1

1. Funkcje

Niech dane będą zbiory niepuste X , Y . Definicja 1.1

Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie kaŜdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y . Funkcję taką oznaczamy przez f : X → Y , lub dokładniej X x y Y

f ∈

→

∋ albo tradycyjnie

) (x f

y = , gdzie x ∈ X .

W dalszym ciągu rozwaŜać będziemy funkcje liczbowo-liczbowe, tzn. takie, Ŝe R

Y X , ⊂ . Definicja 1.2

Dziedziną (polem) funkcji f nazywamy zbiór

{ ^{x R : y f ( x )} }

D

R

f = ∈ y ∃ =

∈ .

Przykłady

) 2

( x x

f = , D _f = R , D _f = ( −∞ ; +∞ ) ,

x x

f 1

)

( = , ^D f = ^{R \} { } ⁰ , D f = ( −∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; +∞ ) , x

x

f ( ) = , D _f ⁼ R + ^∪ { } ⁰ , D f = [ 0 ; +∞ ) ,

2

2 1 1

)

( x x x

f = − + − , D f ⁼ { } ^{− 1 ; 1} , 2

log ) 1 ( log )

( x = ₂ − x − x _{− 1}

f , D f = ∅ .

Definicja 1.3

Przeciwdziedziną (zbiorem wartości) funkcji f nazywamy zbiór

{ ^{y R : y f ( x )} }

PD f = ∈ x ∃ R =

∈ .

Przykłady

) 2

( x x

f = , PD _f ⁼ R + ^∪ { } ⁰ , PD f = [ 0 ; +∞ ) , x x

f 1

)

( = , ^PD f = ^{R \} { } ⁰ , PD f = ( −∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; +∞ ) , x

x

f ( ) = , PD _f ⁼ R + ^∪ { } ⁰ , PD f = [ 0 ; +∞ ) ,

2

2 1 1

)

( x x x

f = − + − , PD f ⁼ { } ⁰ , x

x

f ( ) = sin , PD f = [− 1 ; 1 ] .

Definicja 1.4

Funkcja f jest rosnąca, jeŜeli

) ( )

( _{1 2}

2 ,

1

1

x f x f x x

D

x

x ∀ < ⇒ <

∈ .

Definicja 1.5

Funkcja f jest malejąca, jeŜeli

) ( )

( _{1 2}

2 ,

1

1

x f x f x x

D

x

x ∀ < ⇒ >

∈ .

Definicja 1.6

Funkcja f jest stała, jeŜeli

) ( )

( _{1 2}

,

1

x f x f

D

x

x ∀ =

∈ .

Definicja 1.7

Funkcja f jest niemalejąca, jeŜeli

) ( )

( _{1 2}

2 ,

1

1

x f x f x x

D

x

x ∀ ≤ ⇒ ≤

∈ .

Definicja 1.8

Funkcja f jest nierosnąca, jeŜeli

) ( )

( _{1 2}

2 ,

1

1

x f x f x x

D

x

x ∀ ≤ ⇒ ≥

∈ .

Przykłady

funkcja f ( x ) = x ³ jest rosnąca w zbiorze R , funkcja f ( x ) = 3 − 4 x jest malejąca w zbiorze R , funkcja f ( x ) = x + x jest niemalejąca w zbiorze R , funkcja f ( x ) = 2 x − 1 − 2 x jest nierosnąca w zbiorze R ,

Definicja 1.9

Funkcja f jest ograniczona z dołu, jeŜeli m x f

D

x R

m ∃ ∀ ≥

∈

∈ ( ) .

Definicja 1.10

Funkcja f jest ograniczona z góry, jeŜeli M x f

D

x R

M ∃ ∀ ≤

∈

∈ ( ) .

Definicja 1.11

Funkcja f jest ograniczona, jeŜeli jest ograniczona z dołu oraz jest ograniczona z góry, tzn.

M x f m

D

x R M R

m ∃ ∃ ∀ ≤ ≤

∈

∈

∈ ( ) .

Przykłady

funkcja f ( x ) = cos x jest ograniczona, m = − 1 , M = 1 ,

funkcja f ( x ) = 2 ^x jest ograniczona z dołu, m = 0 , M nie istnieje,

funkcja 1 ₂

)

( x x

f = − jest ograniczona z góry, M = 0 , m nie istnieje

funkcja f ( x ) = x ³ jest nieograniczona, m, M nie istnieją.

Twierdzenie 1.1

Funkcja f jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy K

x f

D

x R

K ∃ ∀ ≤

∈

∈

( ) .

Uwaga 1.1

Nierówność f ( x ) ≤ K jest równowaŜna nierówności − K ≤ f ( x ) ≤ K . Funkcja f ( x ) = 2 sin x − 3 cos ² x jest ograniczona w zbiorze R , gdyŜ

R x x

x x

x x

f ( ) = 2 sin − 3 cos ² ≤ 2 sin + 3 cos ² ≤ 5 , ∈ .

Uwaga 1.2

Podane wyŜej definicje, dotyczące monotoniczności i ograniczoności funkcji f , moŜna sformułować równieŜ dla dowolnego zbioru A ⊂ D _f .

Dla przykładu :

Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A ⊂ D _f , jeŜeli ) ( )

( _{1 2}

2 ,

1

1

x f x f x x

A x

x ∀ < ⇒ <

∈ .

Definicja 1.12

Funkcja f jest parzysta, jeŜeli

) ( )

( x f x

f D

x _f

D

x ∀

− ∈ ∧ − =

∈ .

Definicja 1.13

Funkcja f jest nieparzysta, jeŜeli

) ( )

( x f x

f D

x _f

D

x ∀

− ∈ ∧ − = −

∈ .

Przykłady

funkcja f ( x ) = sin x jest nieparzysta w zbiorze R , sin( − x ) = − sin x , x ∈ R , funkcja f ( x ) = cos x jest parzysta w zbiorze R , cos( − x ) = cos x , x ∈ R , funkcja f ( x ) = 2 ^x + 2 ^{− x} jest parzysta w zbiorze R ,

funkcja f ( x ) = 3 ^x − 3 ^{− x} jest nieparzysta w zbiorze R . Definicja 1.14

Funkcja f jest okresowa, jeŜeli

{ } ( ) ( )

0

\ x T D _f f x T f x

D x R

T ∃ ∀

+ ∈ ∧ + =

∈

∈ .

Liczbę T nazywamy okresem funkcji f . JeŜeli istnieje najmniejszy dodatni okres funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym i oznaczamy symbolem T . ₀

Przykłady

funkcja f ( x ) = sin x jest okresowa, T 0 = ² π , sin( x + 2 π ) = sin x , x ∈ R ^,

funkcja f ( x ) = cos 2 x jest okresowa, T ₀ = π , cos 2 ( x + π ) = cos 2 x , x ∈ R ^.

Definicja 1.15

Niech f : X → Y , g : Y → Z , X , Y , Z ⊂ R . ZłoŜeniem (superpozycją) funkcji f i g nazywamy funkcję h : X → Z taką, Ŝe

X x x

f g x

h ( ) = ( ( )), ∈ . ZłoŜenie funkcji f i g zapisujemy takŜe h = g o f . Uwaga

ZłoŜenie g o f moŜna takŜe określać w przypadku, gdy f : X → Y ₁ ^, g : Y 2 → Z , przy czym Y ₁ ⊂ Y ₂ ^.

Przykład

Niech f ( x ) = x ³ , f : R → R , czyli X = R , Y = R , y

y

g ( ) = sin , ^{g : R →} [ ] ^{− 1 ; 1 , czyli Y = R , Z = [− 1 ; 1 ] .}

Wtedy h ( x ) = g ( f ( x )) = g ( x ³ ) = sin( x ³ ) , ^{h : R →} [ ] ^{− 1 ; 1 .}

Niech f ( x ) = sin x , ^{f : R →} [ ] ^{− 1 ; 1 , czyli X = R ,} Y 1 = [ ] − ^{1 ; 1} , ) 3

( y y

g = , g : R → R , czyli Y 2 = R , Z = R . Wtedy ^{h ( x ) = g (sin x ) =} ( ^{sin x} ) ^{3 = sin 3 x ,} h ^: R → [ ] − ^{1 ; 1} . Definicja 1.16

Niech f : X → Y , gdzie X , Y ⊂ R . Funkcję g : Y → X taką, Ŝe

( ^g o ^f ) ( ^x ) = ^x , ^x ∈ ^{X ,}

( ^f o ^g ) ( ^y ) = ^y , ^y ∈ ^Y

nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy symbolem f ^{− 1} .

Przykład

Niech ^{f ( x ) = e x = exp} [ ] ^{x ,} f : R → R + . Weźmy funkcję g ( y ) = ln y , g : R ₊ → R . Łatwo sprawdzić, Ŝe

( ^g o ^f ) ^{( x ) = g ( f ( x )) = g ( e x ) = ln( e x ) = x , x ∈ R} ,

( f o g ) ( y ) = f ( g ( y )) = f (ln y ) = e ^{ln y} = y , y ∈ R + , czyli f ^{− 1} ( x ) = ln x .

Twierdzenie 1.2

JeŜeli funkcja f jest ściśle monotoniczna (rosnąca lub malejąca), to posiada funkcję odwrotną.

Przykłady

Funkcja f ( x ) = sin x jest rosnąca w przedziale [ − ^π 2 ; ^π 2 ] , a więc posiada funkcję odwrotną, którą oznaczamy f ^{− 1} ( x ) = arc sin x .

Funkcja f ( x ) = tg x jest rosnąca w przedziale ( − ^π 2 ; ^π 2 ) , a więc posiada funkcję

odwrotną, którą oznaczamy f ^{− 1} ( x ) = arc tg x .