WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW wykład 9 Grafy nieskończone. Definicja: Graf G jest nieskończony jeśli zbiór V (G) jest nieskończony oraz zbiór E(G) ⊆ P

WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW wykład 9

Grafy nieskończone.

Definicja: Graf G jest nieskończony jeśli zbiór V (G) jest nieskończony oraz zbiór E(G) ⊆ P2(G) jest nieskończony

Graf G jest przeliczalny jeśli zbiory V (G) i E(G) są przeliczalne.

Uwaga: Jesli zbiór V (G) jest nieskończony a zbiór E(G) skończony, to graf G jest zwykłym grafem skończonym z dodanym nieskończonym zbiorem wierzchołków izolowanych.

W grafach nieskończonych: stopień wierzchołka v = moc zbioru krawędzi incydentnych z v

Definicja: Graf nieskończony, którego każdy wierzchołek ma skończony stopień nazywamy lokalnie skończonym.

Graf nieskończony, którego każdy wierzchołek ma przeliczalny stopień nazywamy lokalnie przeliczal- nym.

Tw. Każdy spójny, lokalnie przeliczalny graf nieskończony jest przeliczalny.

Dowód: Niech v dowolny wierzchołek w grafie nieskończonym G. iech A0 = {v}, A1 = NG(v) (zbiór sąsiadów wierzchołka v w G), A₂ = N_G(A₁), . . .. Z założenia o lokalnej przeliczalności wynika, że zbiór A₁ jest przeliczalny. Stąd A₂, A₃, . . . też są przeliczalne (bo suma przeliczalnej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym). Zatem również suma ciągu zbiorów A₀, A₁, A₂, . . . jest też zbiorem przeliczalnym i zawiera każdy wierzchołek tego grafu bo graf G jest spójny.

Wniosek: Każdy spójny, lokalnie skończony graf nieskończony jest grafem przeliczalnym.

Definicja: Trasa (ścieżka, droga) jednostronnie nieskończona o poczatku w wierzchołku v0

w grafie G, to nieskończony ciąg v₀, v₁, v₂, . . . taki, że v_i−1v_i ∈ E(G) dla i = 1, 2, . . ..

Trasa (ścieżka, droga) dwustronnie nieskończona w grafie G, to nieskończony ciąg . . . , v−1, v−1, v₀, v₁, v₂, . . . taki, że v_i−1v_i ∈ E(G) dla każdej liczby całkowitej i.

Lemat K¨oniga (1937):

Niech G będzie spójnym, lokalnie skończonym grafem nieskończonym. Wtedy dla każdego wierzchołka v grafu G istnieje droga jednostronnie nieskończona o początku w v.

Inna wersja Lematu K¨oniga:

Niech V₀, V₁, V₂, . . . będzie nieskończonym ciągiem rozłącznych, niepustych zbiorów skończonych i niech V (G) =^S+∞_i=0 V_i. Załóżmy, że

∀n ­ 1 ∀v ∈ V_n ∃f (v) ∈ V_n−1 {v, f (v)} ∈ E(G).

Wtedy G zawiera nieskończoną drogę v₀, v₁, . . . , v_n, . . ., gdzie ∀n v_n ∈ V_n. Dowód Lematu K¨oniga:

Ze spójności G wynika, że dla każdego wierzchołka z różnego od v istnieje vz-droga w G. Zatem

w G jest nieskończenie wiele dróg mających poczatek w v. Ponieważ deg_G(v) jest liczbą skończoną, to nieskończenie wiele z tych dróg musi zaczynać się tą samą krawedzią vv₁. Powtarzając powyższe rozumowanie otrzymujemy nieskonczenie wiele dróg zaczynających się od vv₁v₂. Kontynuując to postę postępowanie otrzymujemy jednostronnie nieskończoną drogę v, v₁, v₂, . . .. Za każdym razem zbiór dróg jest zmniejszany, ale za kazdym razem pozostaje nieskończony.

Dowód innej wersji Lematu Kóniga:

Jest nieskończenie wiele dróg postaci v, f (v), f (f (v), . . . kończących się w zbiorze V₀ (bo wierzchołków v ∈ V (G) jest nieskończenie wiele). Nieskończenie wiele z tych dróg kończy się w v₀ ∈ V₀ (bo V₀ jest skończony). Spośród tych dróg nieskończenie wiele ma przedostatni wierzchołek v₁ ∈ V₁ (bo V₁ skończony) itd. Po n takich krokach mamy drogę v₀, v₁, . . . v_n, gdzie v_i ∈ V_i dla i = 1, 2, . . . , n, od której zaczyna się nieskończenie wiele dróg o kolejnym wierzchołki v_n+1 ∈ V_n+1. Kontynuując to rozumowanie otrzymamy nieskończoną drogę v0, v₁, . . . , v_n, . . ., gdzie ∀n v_n ∈ V_n.

Lemat K¨oniga pozwala wyprowadzić twierdzenia o grafach nieskończonych z ich odpowiedników dla grafów skończonych .