Zasady tworzenia zadania dualnego: Zmienne decyzyjne

Zasady tworzenia zadania dualnego:

Zmienne decyzyjne ↔↔↔↔ warunki ograniczające:

• W zadaniu dualnym jest tyle zmiennych ile warunków ograniczających w zadaniu pierwotnym

• W zadaniu dualnym jest tyle warunków ograniczających ile zmiennych w zadaniu pierwotnym Współczynniki (wagi) funkcji celu ↔↔↔↔ wyrazy wolne układu nierówności:

• Współczynniki funkcji celu zadania pierwotnego są wyrazami wolnymi układu nierówności zadania dualnego

• Wyrazy wolne układu nierówności zadania pierwotnego są współczynnikami funkcji celu zadania dualnego

Transpozycja współczynników w układzie nierówności: Współczynniki układu nierówności w programie dualnym powstają z transpozycji współczynników układu nierówności w zadaniu pierwotnym (i odwrotnie)

Odwrotny kierunek optymalizacji

Znak nierówności w warunku ograniczającym ↔↔↔ warunek znakowy zmiennej decyzyjnej: ↔

• JeŜeli w ZP i-ty warunek jest typową nierównością (odwrotną do kierunku optymalizacji tego zadania, tzn. ≤ dla max i ≥ dla min) to odpowiadająca mu zmienna y_i≥0 (typowy warunek znakowy)

• JeŜeli w ZP i-ty warunek jest równością to odpowiadająca mu zmienna y_i nie ma ograniczeń

• JeŜeli w ZP i-ty warunek jest nietypową nierównością to odpowiadająca mu zmienna yi≤0

• JeŜeli w ZP zmienna x_j≥0 to j-ty warunek ZD jest typową nierównością

• JeŜeli w ZP na zmienną x_j nie nałoŜono ograniczeń to j-ty warunek ZD jest równością

• JeŜeli w ZP zmienna x_j≤0 to j-ty warunek ZD jest nietypową nierównością Zadaniem dualnym dla zadania dualnego (ZD) jest zadanie pierwotne (ZP) Przykład tworzenia zadania dualnego:

zadanie pierwotne: zadanie dualne:

funkcja celu: 2x1+1x2-5x3+7x4→max

warunek 1: 4x₁+6x₂+2x₃+1x₄≤15 warunek 2: 5x₁ -8x₃+2x₄≥5 warunek 3: 9x₁+1x₂+4x₃-5x₄=12

warunki znakowe: x₁≤0, x₂-dowolne, x₃ ,x₄≥0

funkcja celu: 15y1+5y2+12y3→min

warunek 1: 4y₁+5y₂+9y₃≤2 warunek 2: 6y₁+0y₂+1y₃=1 warunek 3: 2y₁-8y₂+4y₃≥-5 warunek 4: 1y₁+2y₂-5y₃≥7

warunki znakowe: y₁≥0, y₂≤0, y₃-dowolne

Interpretacja ekonomiczna: wartość zmiennej dualnej y_i mówi nam o ile zmieni się wartość funkcji celu zadania pierwotnego jeŜeli wartość wyrazu wolnego b_i wzrośnie o 1 (w określonym przedziale).

Wartość zmiennej dualnej y_i nazywana jest takŜe wyceną i-tego środka produkcji. Zakupienie jednostki danego środka produkcji zwiększa nam wartość funkcji celu o y_i (przynosi dodatkową korzyść w tej wysokości), zatem tyle ten środek jest dla nas wart. Jeśli chcielibyśmy go dokupić to opłaca nam się to zrobić po cenie niŜszej od y_i (wtedy osiągniemy jednostkową korzyść netto wynoszącą y_i minus koszt zakupu jednostki środka produkcji).