MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 235-242, Gliwice 2008
DRGANIA PŁASKIEGO MODELU MAGNETOREOLOGICZNEGO ZAWIESZENIA POJAZDU – ANALIZA I STEROWANIE
P
AWEŁM
ARTYNOWICZKatedra Automatyzacji Procesów, Akademia Górniczo-Hutnicza e-mail: pmartyn@agh.edu.pl
Streszczenie. W artykule rozwaŜono płaski model zawieszenia pojazdu o trzech stopniach swobody, wyposaŜony w tłumiki magnetoreologiczne. Do teoretycznej analizy dynamiki układu wykorzystano ogólny oraz uproszczony model matematyczny. W celu zminimalizowania wpływu drgań podłoŜa na kierowcę/operatora pojazdu zaproponowano kaskadowy, liniowo-kwadratowy algorytm sterowania tłumikami w zestawieniu z modelem odwrotnym tłumika.
Wybrane wyniki analizy teoretycznej poddano weryfikacji eksperymentalnej.
1. WSTĘP
Zawieszenia samochodów, maszyn samojezdnych, pojazdów szynowych, gąsienicowych i innych zostały wprowadzone, aby zminimalizować wpływ drgań wzbudzanych nierównościami podłoŜa na człowieka. Najpowszechniejsze układy pasywne cechuje kompromis pomiędzy komfortem izolacji drgań o niskich i wysokich częstotliwościach oraz stabilnym prowadzeniem pojazdu, wynikającym z niezmienności parametrów pracy tych układów. W artykule rozwaŜono zagadnienie wibroizolacji semiaktywnej na przykładzie modelu zawieszenia w płaszczyźnie przechyłów wzdłuŜnych (bez uwzględnienia dynamiki mas nieresorowanych) [3], rozbudowanego o zawieszenie kabiny/fotela kierowcy [2]. Model ten wyposaŜono w tłumiki magnetoreologiczne (MR) RD-1005-3 firmy Lord Co. Działanie tłumika MR oparte jest na zmianie napręŜeń ścinających w cieczy MR podczas jej przepływu przez obwodową szczelinę w tłoku, w efekcie zmian natęŜenia prądu sterującego w cewce tłumika. Z uwagi na silnie nieliniową charakterystykę pracy tłumika wyzwaniem pozostaje opracowanie odpowiednich algorytmów sterowania, umoŜliwiających uzyskanie poŜądanych własności wibroizolacji. Oryginalnymi elementami zaprezentowanymi w niniejszej pracy są: model matematyczny zawieszenia, zespolone postacie drgań modelu liniowego oraz wyniki badań symulacyjnych i laboratoryjnych układu z regulatorem kaskadowym.
2. ANALIZA TEORETYCZNA
2.1. Płaski model zawieszenia pojazdu o trzech stopniach swobody
Na rys. 1 przedstawiono schematycznie model zawieszenia pojazdu w płaszczyźnie przechyłów wzdłuŜnych. W modelu tym rolę korpusu/ramy pojazdu pełni sztywna belka.
Belka jest podparta przegubowo od dołu w punkcie Pf z przodu modelu oraz w punkcie Pr z
z nią połączonego tłumika MR. Układy te umoŜliwiają izolację drgań podłoŜa o charakterze kinematycznym przemieszczeniowym. W punkcie Ps zawieszona jest, z wykorzystaniem układu: spręŜyna – tłumik MR, sztywna płyta reprezentująca fotel wraz z kierowcą, bądź kabinę pojazdu. Kierunek pracy spręŜyny oraz tłumika jest prostopadły do osi belki.
Rys.1. Model zawieszenia pojazdu w płaszczyźnie przechyłów wzdłuŜnych
Opisywany model ma trzy stopnie swobody dynamicznej: przemieszczenie pionowe x środka cięŜkości belki Pg, przechył wzdłuŜny (obrót) belki φ wokół Pg oraz przemieszczenie płyty δs
w kierunku prostopadłym do osi belki. Wielkości: x, φ są określane względem nieruchomego układu odniesienia. Ograniczenie liczby stopni swobody modelu wynika z zastosowania układu prowadzenia środka cięŜkości belki oraz płyty. Układy prowadzenia mają odpowiednią sztywność poprzeczną.
Wymuszenia działające na przedni i tylny układ zawieszenia pojazdu oznaczono przez: wf i wr, zaś przemieszczenia pionowe punktów Pf i Pr przez: xf i xr. Wypadkowe siły przyłoŜone w punktach Pf, Pr oraz Ps oznaczono odpowiednio: Ff, Fr oraz Fs (za dodatni przyjęto zwrot wektorów sił działających w kierunku pionowym do góry). Przez if, ir, is oznaczono prądy sterujące tłumików MR: df – umiejscowionego w układzie zawieszenia przedniej, dr – tylnej części belki oraz ds – w układzie zawieszenia fotela/kabiny. Symbole: Fdf, Fdr, Fds oznaczają siły oporu tłumików df,dr,ds, zaś: Fkf, Fkr, Fks oznaczają odpowiednie siły spręŜystości.
Przy tworzeniu modelu matematycznego przyjęto oznaczenia: δf =x −f wf, δr =x −r wr,
df kf
f F F
F = + , Fr =Fkr +Fdr, Fs =Fks+Fds. Ponadto załoŜono, Ŝe tarcie toczne w układzie prowadzenia belki oraz płyty, a takŜe tarcie suche w układach prowadzenia spręŜyn, jest pomijalnie małe. Na rys. 2 przedstawiono układ oswobodzony od więzów. Wypadkowe oddziaływanie układu prowadzenia płyty oznaczono Rs, zaś wypadkowe oddziaływanie układu prowadzenia belki oznaczono Rb. Na podstawie zasady d’Alemberta równania równowagi dynamicznej modelu przyjmują postać (1). Równania więzów definiują zaleŜności (2), (3).
( )
+ ϕ
−
=
+ +
−
−
=
−
− +
−
−
=
+ +
−
− +
−
− +
+
− ϕ
−
=
− +
− + + +
−
−
−
=
tr s s
s ds
s s s s
s s
ds s
s s s
s s tr s ds s s s s dr
r
df f r
r r f
f f
s ds
dr df s
s r r f f
R J
R F
k y m
g m R
F k
x m
R h
F l l k F
l
F l l
k l
k J
mg R
F F F k
k k x m
δ
ϕ ϕ
ϕ δ
ϕ ϕ
ϕ δ
δ δ δ
ϕ
ϕ ϕ
δ ϕ δ
ϕ ϕ
ϕ δ δ δ
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
0
cos sin
sin 0
sin cos
cos 0
cos ...
...
cos cos
cos 0
sin cos
cos 0
(1)
ϕ δ cos
sin s
s
s x l
x = + ϕ+ (2)
(
+)
ϕ+(
− ϕ)
= s s sin s 1 cos
s h l
y δ (3)
Rys.2. Układ oswobodzony od więzów
Siły oporu tłumików MR RD-1005-3 w układzie (1) określono na podstawie modelu Spencera uogólnionego dla zmiennych pól magnetycznych, którego równania dla tłumika df mają postać (4).
( ) ( )
( )
[ ]
+
−
−
=
− + + +
=
− +
−
−
⋅
⋅
−
−
=
0 1 1
0 0 1
0
2
1
F k y c F
y k c c z
y c
y z
y z
z y z
f f df
f f f f f
f f f
f f f f f f f
δ
δ δ α
δ δ
β δ
γ
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
(4)
Wartości: α =α(if)=αa+αbif, c0=c0(if)=c0a+c0bif, c1=c1(if)=c1a+c1bif zaleŜą od prądu if. Równania modelu Spencera dla tłumików dr, ds są analogiczne. Wartości parametrów: αa, αb, β, γ, A, c0a, c0b, c1a, c1b, k0, k1, F0 zostały wyznaczone na podstawie pomiarów laboratoryjnych.
W dalszej części pracy rozwaŜono dwa warianty modelu: o symetrycznym oraz asymetrycznym rozkładzie mas. Parametry obu modeli zestawiono w tabeli 1. Model symetryczny moŜe reprezentować maszynę samojezdną, zaś model asymetryczny odpowiada samochodowi cięŜarowemu o masie kabiny 1300 kg i obciąŜeniu osi (bez kabiny): przedniej – 6500 kgf, tylnej – 8500 kgf. W modelu asymetrycznym przyjęto: Fds =(−c1y&s−k1δs+F0)/4.
Tabela 1. Parametry modeli Parametr Oznaczenie M. symetryczny M. asymetryczny
Odległość (Pg, Pf) lf 0.70 m 0.79 m
Odległość (Pg, Pr) lr 0.70 m 0.61 m
Odległość (Pg, Ps) ls 0.00 m 0.79 m
Odległość (Pgs, Ps) hs 0.47 m 0.47 m
Masa belki (korpusu/ramy pojazdu) m 191.68 kg 191.68 kg
Masa płyty (kabiny pojazdu) ms 66.73 kg 16.68 kg
Moment bezwładności belki względem Pg J 33.94 kgm2 41.51 kgm2 Moment bezwładności płyty względem Pgs Js 0.87 kgm2 0.22 kgm2 Wsp.spręŜystości zawieszenia (przód/tył) kf/kr 35714 Nm–1 30993/34476Nm–1 Wsp.spręŜystości zawieszenia (kabina) ks 31565 Nm–1 5855 Nm–1
Fr
Ff
Fs msg
Fs xs
ys
y
mg δtr Rs
Rb
Rs
x
φ
2.2. Uproszczenia modelu
Dla niewielkich wartości kątów (φ < 10–2 rd) oraz ich pochodnych przyjęto załoŜenia upraszczające: sinϕ =0, 22
dt
d (sinϕ)=ϕ&&, cosϕ=1, 22
dt
d (cosϕ)=0. Przy dodatkowym załoŜeniu δs <<hs, model (1) otrzymuje postać (5), zwaną dalej modelem uproszczonym:
+
∆
−
=
−
∆ +
− +
∆ +
∆
−
= ϕ
− + +
∆ +
∆
−
∆
−
=
ds s s s s
ds s s s s dr r df f r r r f f f r
ds dr df s s r r f f
F x k x m
F l x l k F l F l x l k x l k J
F F F x k x k x k x m
&
&
&
&
&
&
(5)
gdzie: Jr =J +Js +mshs2.
Na potrzeby analizy modalnej, przy ustalonej wartości prądów sterujących, siły oporu tłumików MR w układzie (5) przybliŜono liniowymi zaleŜnościami: Fdf =−kMRδf −cMRδ&f,
r MR r MR
dr k c
F =− δ − δ& , Fds =−kMR,sδs −cMR,sδ&s. Otrzymano w efekcie model liniowy w postaci macierzowego równania stanu (6):
W X
X& =A⋅ +G⋅ (6)
−
− +
− + +
− + +
− − +
− −
+
− − +
− − +
− + +
− +
=
s s
s s
s s s
s s s
s s
s s
r s s
r s s
r s s r r f f
r s s r r f f
r s s r r f f
r s s r r f f
s s s
s r r f f s s r r f f s r f s
r f
m c m k m
l c m
l k m
c m
k
J l c J
l k J
l c l c l c J
l k l k l k J
l c l c l c J
l k l k l k
m c m k m
l c l c l c m
l k l k l k m
c c c m
k k k
1 0 0
0 0
0
0 0 1
0 0
0
0 0 0
0 1
0
2 2 2 2 2 2
A
,
−
= −
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
r r r
r r r
r f f
r f f
r f r
f
J l c J
l k J
l c J
l k
m c m k m c m k
G
gdzie X =
[
x x& ϕ ϕ& xs x&s]
T jest wektorem stanu, zaś W =[
wf w&f wr w&r]
wektorem zakłóceń pochodzących od podłoŜa. Dla zerowych wartości prądów sterujących (if=ir=is=0.00 A) przyjęto: kMR = kMR,s= 10000 Nm–1 , cMR = cMR,s= 1800 Nsm–1 (w modelu asymetrycznym przyjęto odmienne wartości: kMR,s=4036 Nm–1, cMR,s=450 Nsm–1).
Rozwiązanie równania (6) dla modelu symetrycznego ma postać (7), a dla modelu asymetrycznego postać (8) (stałe A10, A20, A30 są wyznaczane na podstawie warunków początkowych). Rozwiązania (7), (8) opisują zespolone postacie drgań rozwaŜanych modeli.
( ) ( )
( )
( ) ( )
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅
=
−
−
−
−
−
t t
s
t
t t
e t
A e
t A
x
e t
A
e t
A e
t A
x
74 . 21 30
84 . 5 10
71 . 17 20
74 . 21 30
84 . 5 10
32 . 2 54 . 23 cos 0266 . 0 92
. 1 98 . 15 cos 0515 . 0
20 . 2 20 . 24 cos 0333 . 0
51 . 5 54 . 23 cos 0163 . 0 88
. 1 98 . 15 cos 0281 . 0
ϕ (7)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
⋅
−
⋅ +
+
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅ +
+
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅ +
+
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
t
t t
s
t
t t
t
t t
e t
A
e t
A e
t A
x
e t
A
e t
A e
t A
e t
A
e t
A e
t A
x
68 . 27 30
44 . 11 20
78 . 7 10
68 . 27 30
44 . 11 20
78 . 7 10
68 . 27 30
44 . 11 20
78 . 7 10
54 . 5 08 . 22 cos 0191 . 0 ...
...
08 . 2 35 . 20 cos 0366
. 0 99
. 1 25 . 17 cos 0499 . 0
47 . 2 08 . 22 cos 0205 . 0 ...
...
08 . 2 35 . 20 cos 0192
. 0 24
. 2 25 . 17 cos 0056 . 0
37 . 2 08 . 22 cos 0036 . 0 ...
...
5.42 35 . 20 cos 0111 . 0 86
. 1 25 . 17 cos 0161 . 0
ϕ (8)
3. ALGORYTM STEROWANIA TŁUMIKAMI MR
W celu zminimalizowania wpływu drgań podłoŜa na kierowcę/operatora pojazdu zbadano kaskadowy, liniowo-kwadratowy (LQ) algorytm sterowania tłumikami [3] w zestawieniu z modelem odwrotnym tłumika, o strukturze opisanej w [1][4]. Aby postawić zadanie sterowania LQ, na podstawie modelu (5) utworzono równanie stanu oraz wyjścia (9), w którym funkcje nieliniowe opisujące wartości sił oporu tłumików przeniesiono do wektora U:
⋅ +
⋅
=
⋅ +
⋅ +
⋅
=
U X
Y
W U
X X
D C
G B
& A
(9)
+
− − +
− +
−
−
−
− +
−
+ +
−
−
−
=
0 1 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0 1
0 0
0 0
0
0 0 0 0
0 1
0 0
0
2 2
r f
s f
r f
s r
s s r
s r s s
r r r r
r r f f f
r s f s s
r r f r r
r f f f
l l
l l l
l l l
m k J
l l k m k J
l k m k J
l l k m k
J l l k m k J
l l k m k J
l k m k
A
,
+
− +
−
−
−
− +
=
0 0
0
0 1 0
0 0
0
1 1
1
0 0
0
1 1
1
2 2
s r
s r
r r
r r f
r s f
r r f
r f
m J
l l m J l m J
l l m
J l l m J
l l m J l m
B
−
−
=
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
G
,
−
−
−
−
=
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
s s r
s s
r r r
r f f
s f r
m k J
l k J
l k J
l
k m
k m k m k
C
,
−
−
−
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
1 1 1
s r s
r r
r f
m J l J l J
lm m m
D
gdzie X =
[
x&f δf x&r δr x&s δs]
T jest wektorem stanu, U =[
Fdf Fdr Fds]
T jest wektorem sterowania, W =[
w&f w&r]
T jest wektorem zakłóceń, zaś Y =[
&x&ϕ&& x&&s δf δr δs]
T wektorem wyjść. Wprowadzono wskaźnik jakości w postaci (10):[ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )
{ }
∫
∞ +
=
0
τ τ τ
τ
τ d
JLQ Y TQY U TRU (10)
gdzie: Q=diag
[
108 108 109 111]
, R=diag[
111]
. Z uwagi na postawiony wyŜej cel sterowania, najwyŜsze wartości współczynników wagowych są związane z przyspieszeniem pionowym fotela/kabiny, nieco mniejsze z przyspieszeniami (pionowymi i kątowym) ramy/korpusu pojazdu.Model odwrotny tłumika MR jest oparty na zdyskretyzowanym odwzorowaniu siły oporu, prędkości tłoka oraz prądu sterującego, wyznaczonych na podstawie pomiarów laboratoryjnych przy wymuszeniach trójkątnych (przy róŜnych poziomach ustalonej prędkości tłoka). Model odwrotny wyznacza argument odwzorowania (natęŜenie prądu), dla którego wartość siły oporu – przy chwilowej prędkości tłoka – jest równa wartości referencyjnej, określonej przez algorytm LQ. JeŜeli ze względu na znaki prędkości i siły (oraz dysypatywny charakter tłumienia) wartość taka nie istnieje, przyjmowany jest prąd zerowy. Prąd sterujący ograniczono do wartości 0.15 A.
Na podstawie nieliniowego modelu zawieszenia (1)–(4) i jego implementacji w pakiecie MATLAB/Simulink zbadano symulacyjnie własności wibroizolacyjne układu otwartego oraz układu zamkniętego z regulatorem kaskadowym (rozdz. 3). Przedstawiono wyniki symulacji przeprowadzonych przy wymuszeniach harmonicznych obustronnych o zgodnej fazie oraz takiej samej amplitudzie (równej 3.75·10–3 m) i częstotliwości. Jedynie dla potrzeb porównania modelu „pełnego” (1)–(4) oraz modelu uproszczonego (4)–(5) zaprezentowano wyniki symulacji przy jednostronnych wymuszeniach harmonicznych osi przedniej o amplitudzie 3.75·10–3 m – na rys. 3 oraz rys. 4 zestawiono charakterystyki częstotliwościowe współczynnika przenoszenia drgań T =xs A(xs) A(wx) (opisującego amplitudę A(•) drgań pionowych fotela/kabiny w odniesieniu do wymuszenia wx=(wf+wr)/2) wyznaczone dla modelu symetrycznego oraz asymetrycznego przy zerowych prądach sterujących. Ze względu na charakter uproszczeń (rozdz. 2.2) przy wymuszeniach harmonicznych obustronnych o zgodnej fazie, równej amplitudzie i częstotliwości, róŜnice są pomijalne lub nie występują.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Częstotliwość [Hz]
Współczynnik przenoszenia drgań T xs Model peł ny Model uproszczony
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Częstotliwość [Hz]
Współczynnik przenoszenia drgań T xs Model peł ny Model uproszczony
Rys. 3. Model symetryczny, układ otwarty, if=ir=is=0.00 A (symulacja)
Rys. 4. Model asymetryczny, układ otwarty, if=ir=is=0.00 A (symulacja) Na rys. 5 oraz rys. 6 przestawiono charakterystyki częstotliwościowe współczynnika przenoszenia drgań Trms =rms(&x&s) rms(w&&x) opisującego wartość średniokwadratową rms(•) przyspieszenia pionowego fotela/kabiny w odniesieniu do wymuszenia, wyznaczone dla układu otwartego (przy prądach sterujących if=ir=is=0.00 A oraz 0.15 A) oraz układu zamkniętego.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Częstotliwość [Hz]
Współczynnik przenoszenia drgań T rms
Ukł ad otwarty 0.00 A Ukł ad otwarty 0.15 A Ukł ad zamknięty
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Częstotliwość [Hz]
Współczynnik przenoszenia drgań T rms
Ukł ad otwarty 0.00 A Ukł ad otwarty 0.15 A Ukł ad zamknięty
Rys. 5. Model symetryczny, układ otwarty oraz zamknięty (symulacja)
Rys. 6. Model asymetryczny, układ otwarty oraz zamknięty (symulacja)
Zarówno dla modelu symetrycznego (rys. 5), jak i asymetrycznego (rys. 6) układ zamknięty wykazuje lepsze własności wibroizolacyjne od układu otwartego przy zerowych prądach sterujących w paśmie rezonansowym oraz od układu otwartego przy prądach sterujących if=ir=is=0.15 A w paśmie nadrezonansowym.
5. BADANIA LABORATORYJNE
Uwzględniając wyniki badań symulacyjnych, dla modelu symetrycznego przeprowadzono implementację kaskadowego algorytmu sterowania w środowisku czasu rzeczywistego MATLAB/Simulink/RTW/RTWT. Badania laboratoryjne przeprowadzono przy wymuszeniach obustronnych (takich, jak opisane w rozdz. 4) na stanowisku zilustrowanym na rys. 7 [1][4], którego parametry odpowiadają przyjętym podczas badań symulacyjnych modelu symetrycznego (tab. 1). Konfigurację układu pomiarowo-sterującego opisano w [1][4].
Rys. 7. Stanowisko laboratoryjne
Na rys. 8 zestawiono charakterystyki częstotliwościowe współczynnika przenoszenia drgań Txs wyznaczonego symulacyjnie (model (1)–(4)) i w warunkach laboratoryjnych przy obustronnych wymuszeniach harmonicznych i zerowych prądach sterujących.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Częstotliwość [Hz]
Współczynnik przenoszenia drgań T xs Symulacja Pomiar
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Częstotliwość [Hz]
Współczynnik przenoszenia drgań T rms
Ukł ad otwarty 0.00 A Ukł ad otwarty 0.15 A Ukł ad zamknięty
Rys. 8. Model symetryczny, układ otwarty, if=ir=is=0.00 A (symulacja i pomiar)
Rys. 9. Model symetryczny, układ otwarty oraz zamknięty (pomiar)
Belka stalowa LVDT(xf)
LVDT(xr)
LVDT(wf)
LVDT(wr) SpręŜyna –
tłumik MR (przód)
SpręŜyna – tłumik MR
(tył)
Wzbudnik z mech.
korbowym (tył) Prowadnice
stabilizujące
Płyta stalowa
Wzbudnik elektro- hydrauliczny (przód)
LDT(xs)
SpręŜyna – tłumik MR
drgań Trms wyznaczonego na podstawie pomiarów przeprowadzonych dla układu otwartego (if=ir=is=0.00 A, bądź if=ir=is=0.15 A) oraz układu zamkniętego.
6. WNIOSKI
Nieliniowy model matematyczny zawieszenia pojazdu o trzech stopniach swobody wykorzystano do przeprowadzenia badań symulacyjnych. Model uproszczony wykazuje zbliŜone własności dynamiczne, umoŜliwiając syntezę regulatora. Model liniowy umoŜliwia uzyskanie przybliŜonego opisu zespolonych postaci drgań.
Przy zastosowaniu regulatora kaskadowego, na gruncie symulacyjnym uzyskano poprawę własności wibroizolacyjnych modelu zawieszenia pojazdu w paśmie obejmującym częstotliwości drgań najbardziej niekorzystnie wpływających na człowieka. W warunkach laboratoryjnych pozytywnie zweryfikowano poprawność modelu matematycznego oraz działanie regulatora (rys. 9). Aktualnie są prowadzone badania laboratoryjne implementacji algorytmu sterowania na specjalizowanym mikrokontrolerze Motorola phyCORE-MPC555.
LITERATURA
1. Martynowicz P.: Synteza algorytmów sterowania drganiami dla płaskiego modelu magnetoreologicznego zawieszenia pojazdu. Praca doktorska. AGH : Kraków, 2006.
2. Michałowski S.: Wielofunkcyjne układy sterowania drgań pojazdów i maszyn roboczych.
W: IV szkoła „Metody aktywne redukcji drgań i hałasu” 1999, s. 189-196.
3. Nagai M., Onda M., Hasegawa T., Yoshida H.: Semi-active control of vehicle vibration using continuously variable damper. W: Third International Conference on Motion and Vibration Control. Chiba 1996, p. 153-158.
4. Sapiński B., Martynowicz P.: Experimental study of vibration control in a 3 DOF Pitch- Plane Model of an MR vehicle suspension. “Mechanics” 2007, Vol. 26, No. 3, p. 117- 124.
PITCH-PLANE MODEL OF A MAGNETORHEOLOGICAL VEHICLE SUSPENSION
VIBRATION ANALYSIS AND CONTROL
Summary. The paper concerns a pitch-plane vehicle suspension model with three degrees-of-freedom, equipped with magnetorheological dampers. The general and simplified mathematical models were used for the theoretical analysis of system dynamics. In order to minimise the base vibration influence on the vehicle driver/operator, cascade linear-quadratic control algorithm in conjunction with the damper inverse model is proposed. Selected results of the theoretical analysis are verified experimentally.
Niniejsza praca powstała w ramach projektu badawczego KBN: Badania algorytmów czasu rzeczywistego dla semiaktywnego sterowania drganiami w wybranych obiektach mechanicznych (2006–2008), Nr 4T07C01630.
