MODEL ZAWIESZENIA MAGNETOREOLOGICZNEGO Z ODZYSKIEM ENERGII

MODEL ZAWIESZENIA MAGNETOREOLOGICZNEGO Z ODZYSKIEM ENERGII

Ł

J

, M

W

e-mail:, lukasz .jastrzebski83@gmail.com¹ , mweg@agh.edu.pl²

Streszczenie. W pracy przedstawiono model matematyczny zawieszenia magnetoreologicznego (MR) z odzyskiem energii. Modelowane zawieszenie tworzy układ mechaniczny o dwóch stopniach swobody, zawierający dwa liniowe tłumiki MR oraz generator elektromagnetyczny. Zadaniem generatora jest przetworzenie energii mechanicznej drgań na energię elektryczną służącą do zasilania cewki sterującej tłumika MR. Model zawieszenia składa się z modeli:

tłumików MR (opisanych funkcjami hiperbolicznymi), generatora oraz układu mechanicznego o dwóch stopniach swobody. Został on zaimplementowany w środowisku MATLAB/Simulink. Wyniki przeprowadzonych symulacji pokazano na charakterystykach częstotliwościowych i przebiegach czasowych.

1. WSTĘP

Klasyczny układ zawieszenia pojazdu składa się z elementów pasywnych, co uniemożliwia dostosowanie jego parametrów do zmiennych warunków otoczenia. Wpływa to znacząco na obniżenie komfortu jazdy. W pracy przedstawiono semiaktywny model zawieszenia wyposażony w tłumiki magnetoreologiczne (rys.1), który w przeciwieństwie do klasycznego posiada możliwość zmiany siły tłumienia w zależności od warunków zewnętrznych. W dobie wprowadzania na rynek coraz bardziej ekologicznych środków transportu szczególnego znaczenia nabiera energooszczędność poszczególnych podzespołów, w tym również zawieszenia. W opisywanym zawieszeniu energia mechaniczna drgań pojazdu zamieniana jest przez generator elektromagnetyczny G na energię elektryczną zasilającą cewkę sterującą tłumika magnetoreologicznego MR1.

G

MR2

z x1

x2

I2

m1

m2

k2

k1

i1

MR1

Ft2

Ft2

Fdod2

Fdod2

Ft1

Ft1

Fdod1

Fdod1

Rys. 1. Zawieszenie magnetoreologiczne z odzyskiem energii

2. MODEL ZAWIESZENIA

Proponowane zawieszenie składa się z: dwóch liniowych tłumików MR, dwóch sprężyn o sztywnościachk1 i k2, zespołu łączącego o masie m1 oraz generatora elektromagnetycznego G.

Stanowi ono wraz z obiektem chronionym o masie m2 układ mechaniczny o dwóch stopniach swobody (2DOF). Modelowane zawieszenie składa się z modeli: tłumików MR (opisanych funkcjami hiperbolicznymi [5]), generatora oraz układu drgającego o dwóch stopniach swobody.

Aby zaimplementować model w środowisku MATLAB/Simulink, sporządzono równania (1) opisujące pracę układu.

 





1

1 _{1 2}

1

dod dod

t

t F F F

F z k x k x k m k

x             







2

2 ₂

1

dod

t F

F x k x m k

x       



(1)

W modelu występuje nieliniowość związana z przedstawieniem siły generowanej przez tłumik MR równaniem z funkcjami hiperbolicznymi (2).

 









tgh F

F_t  ₀



oraz p2 – współczynniki określające szerokość pętli histerezy.

Parametry F0 oraz C1 zidentyfikowano dla wybranych natężeń prądu w cewce sterującej.

Korzystając z kryterium minimum błędu średniokwadratowego, dokonano aproksymacji wyznaczonych parametrów wielomianami (3).

3 2 2

1

0 b i b i b

F      _; C₁b₄i² b₅ib_{6 (3)} gdzie i[A] jest natężeniem prądu płynącego przez cewkę sterującą tłumika MR.

Wartości parametrów użytych w modelu tłumika MR przedstawiono w tabeli 1[1].

Tabela 1. Parametry modelu z funkcjami hiperbolicznymi [1]

Parametr Wartość Parametr Wartość b1 3415,7 N/A² b4 2534,1 N∙s/(m∙A²)

b2 93,324 N/A b5 19,55 N∙s/(m∙A)

b3 74,487 N b6 643,1 N∙s /m

β 50 N p1 4 1/s

p2 0.2 1/s

Wybór takiego modelu siły generowanej przez tłumiki MR dokonany jest na podstawie wniosków zawartych w pracy [1].

Tłumienie w górnym stopniu swobody nastawiano, zadając stałą wartość prądu I2

płynącego przez cewkę sterującą tłumika MR2. Cewkę sterującą tłumika MR1 zasilano zarówno z zewnętrznego źródła energii, jak również z elektromagnetycznego generatora opisanego w modelu transmitancją Gp(s) [2].

 



 



p L L s r R R

l B s

V s s I

G    ⁰ 

) (

)

( (4)

gdzie: Gp – transmitancja prądowo-prędkościowa generatora, B0r – składowapromieniowa indukcji magnetycznej (zakłada się, że ma ona wartość stałą w zakresie analizowanych przemieszczeń y),l - długość cewki generatora, Lp,Lt – indukcyjność cewki generatora i tłumika,Rp,Rt – rezystancja cewki generatora i tłumika. Wartości parametrów użytych w modelu generatora przedstawiono w tabeli 2 [2].

Tabela 2. Parametry modelu generatora Parametr Wartość Parametr Wartość

Lt 100 mH Lp 7.5 mH

Rt 5 Ω Rp 0.4 Ω

B0r 0.5 T l 40 m

W modelu oprócz opisanych sił występują również siły tarcia opisane wzorami [4]:

) ( )

sgn( _{1 2 1}

1

1 x z x z

F_dod       (5) F_dod2₃sgn(x₂x₁)₄(x₂x₁) (6) gdzie parametry przyjmują wartości: α1= 670 N, α2= 50 N∙s/m, α3= 830 N, α2= 4 N∙s/m.

Model pełnego zawieszenia MR z odzyskiem energii został przedstawiony na rys. 2.

Jego parametry przedstawiono w tabeli 3.

k1+k2 1 m1

Gg(s) Model

Tłumika MR1

vz vz

+ +

- +

+ - v_x1 v1

i1

Ft1

x1

k₂ 1 m₂

- vx2

x₂

∫

∫

k1

∫

k2

Model Tłumika MR2

v2

i2

F_t2

∫

∫

Model tarcia 1

z

Model tarcia 2

+ -

+ x₁

x2

+

+ + +

Fdod2

F_dod1 +

- -

+

Rys. 2. Model zawieszenia MR z odzyskiem energii (2DOF)

Tabela 3. Parametry modelu zawieszenia MR (2DOF) Parametr Wartość Parametr Wartość

m1 28 kg k1 90000 N/m

m2 44 kg k2 18000 N/m

3. SYMULACJE KOMPUTEROWE

Symulacje komputerowe zbudowanego modelu zawieszenia magnetoreologicznego przeprowadzono dla wymuszeń sinusoidalnych o amplitudzie 3.5 mm i częstotliwości f zmienianej w zakresie od 2 do 16 Hz z krokiem co 0.25 Hz. Na rysunkach 3 ÷ 6 przedstawiono wykresy współczynników przenoszenia drgań Tx1z oraz Tx2z w funkcji częstotliwości f dane wzorami:

 

T_x1z  ¹ (7)

 

Z f X

T_x2z  ² (8)

gdzie: Z - wartość średniokwadratowa wymuszenia, X1, X2 - wartości średniokwadratowe przemieszczeń.

Dla cewki sterującej tłumika MR2 przyjęto stałą w czasie wartość natężenia prądu I2o wartościach: 0 (rys. 3), 0.1A (rys. 4), 0.2A (rys. 5) oraz 0.3A (rys. 6). Wartości stałych w czasie prądów dla cewki sterującej tłumika MR1 wynoszą: 0 (UP 0.00A), 0.05A (UP 0.05A), 0.1A (UP 0.10A), 0.15A (UP 0.15A). Symulowano również zachowanie układu zawieszenia z odzyskiem energii, gdzie cewka tłumika MR1 zasilano bezpośrednio z generatora (UG).

a) b)

Rys. 3.Współczynnik przenoszenia drgań dla I2 = 0 : a) Tx1z, b) Tx2z

a) b)

Rys. 4. Współczynnik przenoszenia drgań dla I2 = 0.1 A: a) Tx1z, b) Tx2z

2 4 6 8 10 12 14 16

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

f [Hz]

T x1z

UP 0.00A UP 0.05A UP 0.10A UP 0.15A UG

2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f [Hz]

T x2z

UP 0.00A UP 0.05A UP 0.10A UP 0.15A UG

2 4 6 8 10 12 14 16

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

f [Hz]

T x1z

UP 0.00A UP 0.05A UP 0.10A UP 0.15A UG

2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f [Hz]

T x2z

UP 0.00A UP 0.05A UP 0.10A UP 0.15A UG

a) b)

Rys. 5. Współczynnik przenoszenia drgań dla I2 = 0.2 A: a) Tx1z, b) Tx2z

a) b)

Rys. 6. Współczynnik przenoszenia drgań dla I2 = 0.3 A: a) Tx1z, b) Tx2z

W przypadku, gdy I2 = I1 = 0 (UP 0.00A), na charakterystyce współczynnika przenoszenia drgań Tx1z (rys. 3a) widoczne są dwa szczyty rezonansowe fr1= 3 Hz oraz fr2 = 8 Hz.

Przypadek ten przedstawia sytuację, w której oba tłumiki MR pracują jako tłumiki pasywne.

Dla współczynnika Tx2z (rys. 3b) zaobserwowano tylko jedną częstotliwość rezonansową fr1dla powyższego przypadku. Zwiększenie wartości natężenia prądu I1 powoduje zmniejszenie wartości współczynnika Tx1z,co jest bardziej widoczne w dla częstotliwości rezonansowej fr2. Jednocześnie zaobserwowano wyraźny wzrost wartości częstotliwości fr2

przy jednoczesnym braku widocznej zmiany wartości fr1. Zastosowanie układu z odzyskiem energii (UG) powoduje obniżenie współczynnika Tx1zdla częstotliwości f< 10Hz, powyżej tej wartości obserwowano jego wzrost. Wzrost natężenia prądu I1 nie zmienia znacznie wartości współczynnika Tx2z (rys. 3b). Na rys 4 ÷ 6 zaobserwowano, iż częstotliwość rezonansowa fr2

ulega wygaszeniu wraz ze wzrostem natężenia prądu I2. Wzrost prądu I1 powoduje obniżenie zarówno wartości współczynnika Tx1z jak i Tx2z. Jednocześnie układ z odzyskiem energii wykazuje dużo większą skuteczność do częstotliwości f< 8Hz.

2 4 6 8 10 12 14 16

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

f [Hz]

T x1z

UP 0.00A UP 0.05A UP 0.10A UP 0.15A UG

2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

f [Hz]

T x2z

UP 0.00A UP 0.05A UP 0.10A UP 0.15A UG

2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.5 1 1.5 2 2.5

f [Hz]

T x1z

UP 0.00A UP 0.05A UP 0.10A UP 0.15A UG

2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.5 1 1.5 2 2.5

f [Hz]

T x2z

UP 0.00A UP 0.05A UP 0.10A UP 0.15A UG

a) b)

Rys. 7. Porównanie symulacji z eksperymentem dla I2 = 0: a) Tx1z, b) Tx2z

a) b)

Rys. 8. Porównanie symulacji z eksperymentem dla I2 = 0.2 A: a) Tx1z, b) Tx2z

Na rys. 7 i 8 pokazano porównanie wyników symulacji komputerowych z eksperymentem.

Zaobserwowano zgodność zarówno dla wartości współczynników przenoszenia drgań Tx1z oraz Tx2z jak również położenia częstotliwości rezonansowych fr1 i fr2.

Rys. 9 ÷ 11 przedstawiają przebiegi czasowe symulowanych wielkości dla I2 = 0i układu z odzyskiem energii (UG).

a) b)

Rys. 9. Przebiegi czasowe przemieszczenia z, x1 oraz x2 dla częstotliwości: a) fr1=3Hz b) fr2=8Hz

2 4 6 8 10 12 14 16

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

f [Hz]

T x1z

Symulacja Eksperyment

2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f [Hz]

T x2z

Symulacja Eksperyment

2 4 6 8 10 12 14 16

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

f [Hz]

T x1z

Symulacja Eksperyment

2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.5 1 1.5 2

f [Hz]

T x2z

Symulacja Eksperyment

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t [s]

z [mm], x 1 [mm], x 2 [mm]

z x₁ x₂

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t [s]

z [mm], x1 [mm], x2 [mm]

z x₁ x₂

Rys. 9 przedstawia przebiegi czasowe wymuszenia z oraz przemieszczeń x1 i x2. Dla częstotliwości rezonansowej fr1 (rys. 9a) widać, iż amplitudy x1 oraz z są porównywalne, natomiast amplituda x2 jest większa. Przesunięcia fazowe pomiędzy przemieszczeniem x1 a wymuszeniem z są pomijalnie małe. Zaobserwowano znaczne przesunięcie fazowe pomiędzy przemieszczeniem x2 o wymuszeniem z. W przypadku częstotliwości rezonansowej fr2 widać, że amplituda przemieszczenia x1 jest wyraźnie wyższa niż wymuszenia z, natomiast amplituda przemieszczenia x2 jest od niego wyraźnie niższa. W obu przypadkach przesunięcia fazowe są znaczne.

a) b)

Rys. 10. Przebiegi czasowe przemieszczenia z, napięcia u oraz natężenia prądu i1 dla częstotliwości: a) fr1=3Hz b) fr2=8Hz

Przebiegi czasowe napięciau na zaciskach cewki generatora oraz prądui1 płynącego przez cewkę sterującą pokazano na rys 10. Przy częstotliwości fr1 występuje nieznaczne ujemne przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem u a natężeniem prądu i1, natomiast dla częstotliwości fr2 przesunięcie fazowe ma znaczną wartość. Wzrost częstotliwości powoduje zwiększenie amplitudy zarówno napięcia u jak i prądu i1. Zaobserwowano również wzrost admitancji obwodu cewka sterująca tłumika - cewka generatora. Jest to związane ze zmniejszeniem stosunku amplitudy natężenia prądu i1 do amplitudy napięcia u.

a) b)

Rys. 11. Przebiegi czasowe przemieszczenia z oraz sił F1i F2 dla częstotliwości: a) fr1=3Hz b) fr2=8Hz Na rys. 11 przedstawiono przebiegi sił generowanych przez tłumiki MR1 i MR2. Ich wartości rosną wraz ze wzrostem częstotliwości wymuszenia. Obserwuje się również wyraźny wzrost przesunięć fazowych.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t [s]

z [mm], 10  u [V], 100  i 1 [A] ^z_u

i ₁

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

t [s]

z [mm], u [V], 10  i1 [A]

z u i₁

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

t [s]

10  z [mm], F1 [mm], F2 [mm]

z F₁ F₂

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-150 -100 -50 0 50 100 150

t [s]

10  z [mm], F 1 [mm], F 2 [mm]

z F₁ F₂

4. PODSUMOWANIE

Zbudowany model matematyczny zawieszenia magnetoreologicznego z odzyskiem energii drgań mechanicznych umożliwił przeprowadzenie symulacji komputerowych dla zbudowanego w Katedrze Automatyzacji Procesów AGH stanowiska badawczego [3]. Wszystkie parametry modelu zostały zidentyfikowane na podstawie badań elementów składowych, tj. tłumiki MR typu RD-1005-3 oraz eksperymentalnego generatora elektromagnetycznego [2]. Przedstawione w pracy symulacje komputerowe pokazały, iż układ redukcji drgań, wykorzystujący elektromagnetyczną metodę odzysku energii drgań, może skutecznie obniżyć współczynnik przenoszenia drgań w pewnym zakresie częstotliwości f. Efekt ten był szczególnie widoczny przy większym natężeniu prądu I2 płynącego prze cewkę sterującą tłumika MR2. Wstępna weryfikacja modelu z eksperymentem pokazana na rys. 7 i 8 pokazała dość dobrą zgodność uzyskanych wyników. Zbudowany model posłuży do wstępnej weryfikacji działania algorytmów sterowania, które będą implementowane na stanowisku badawczym.

LITERATURA:

1. Sapiński B., Jastrzębski Ł., Węgrzynowski M.: Modelowanie samozasilającego sięukładuredukcji drgań. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 41, t. 10, s. 353 – 362.

2. Sapiński B.: Vibration power generator for a linear MR damper. “Smart Materials and Structures” 2010, Vol. 19, No. 10, 12 pp.

3. SapińskiB., JastrzębskiŁ.: Laboratory setup for testing the models of MR suspensionswith energy recovery capability. “Mechanics and Control” 2011, Vol. 30, No. 3, p. 157 – 163.

4. Saveresi S. M., Poussot-Vassal C., Spelta C., Sename O., Dugard L.: Semi- activesuspension control design for vehicles. Elsevier, 2010.

5. Guo S., Yang S., Pan C.: Dynamic modeling of magnetorheological damper behaviours.

“Journal of Intelligent Material Systems and Structures” 2006, Vol. 17, No. 1, p. 3–14.

MAGNETORHEOLOGICAL SUSPENSION MODEL WITH ENERGY RECOVERY

Summary. In the paper a mathematical model of magnetorheological (MR) suspension with energy recovery is presented. The modelled suspension creates a mechanical system with two degrees of freedom, which contains two linear MR dampers and an electromagnetic generator. The task of the generator is to convert the mechanical energy of the vibration into the electricity which is then used to power the MR damper coil. The model of the suspension consists of following components: MR dampers (described by hyperbolic functions), the generator and the mechanical system with two degrees of freedom. It has been implemented in MATLAB/Simulink. The results of the simulation have been presented on the time passesand frequency characteristics.

Pracę wykonano w ramach badań statutowych nr 11.11.130.560