Szeregi czasowe, dynamika zjawisk

(1)

Szeregi czasowe, dynamika zjawisk

Interesujące jest badanie pewnych zjawisk w czasie, np. dochodu narodowego brutto, liczby mieszkańców Łodzi od czasu jej powstania, czy cen benzyny w ciągu ostatnich kilku miesięcy. Takie dane zapisuje się w postaci szeregów czasowych.

termin wykładu Liczba studentów

19.02 90

05.03 70

19.03 60

02.04 50

23.04 50

30.04 70

15.05 100

t

i

y

_i

(2)

Rok Liczba ludności Łodzi

1534 650

1777 265

1793 250

1796 191

1800 428

1810 514

1815 799

1821 1855

1830 4343

1850 15 764

1857 27 890

1865 40 121

1872 100 000

1886 232 000

1897 283 206

1900 314 020

1903 320 500

1905 343 944

1913 477 862

1914 506 000

1915 600 000

Rok Liczba ludności Łodzi

1918 341 800

1919 433 500

1931 605 500

1939 672 000

1946 496 929

1950 620 273

1955 674 172

1960 709 698

1965 744 086

1970 762 699

1975 798 263

1980 835 658

1985 847 864

1990 848 258

1995 823 215

2000 793 217

2005 767 628

2010 730 633

Szereg czasowy Liczby Mieszkańców Łodzi

(3)

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000

1534 1777 1793 1796 1800 1810 1815 1821 1830 1850 1857 1865 1872 1886 1897 1900 1903 1905 1913 1914 1915 1918 1919 1931 1939 1946 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Szereg czasowy Liczby Mieszkańców Łodzi – przedstawienie graficzne

(4)

Def.

Szeregiem czasowym

nazywamy ciąg wyników obserwacji uporządkowanych czasowo.

Szereg taki to pary liczb:

 ^{t y} _i ^, _i 

Gdzie:

i i

t y

- Oznacza kolejne wartości czasu

- Oznacza wartość cechy Y

przypadającą na odpowiadający jej czas

czas wykładu Liczba studentów

19.02 90

05.03 70

19.03 60

02.04 50

23.04 50

30.04 70

15.05 100

ti y_i

(5)

Analiza szeregów czasowych obejmuje:

• Wyznaczanie średnich wartości poziomu cechy Y (zjawiska Y)

• Wyznaczanie dynamiki zmian (czyli porównywanie poziomu cechy Y w czasie)

• Wyznaczanie trendu zmian cechy Y

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000

1534 1793 1800 1815 1830 1857 1872 1897 1903 1913 1915 1919 1939 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

(6)

Dla potrzeb szeregów czasowych bada się

przeciętny poziom zjawiska,

czyli wyznacza się

średnią chronologiczną szeregu czasowego

określoną następującym wzorem:

1 2 2 3

...

1

2 2 2

1

n n

ch

y y y y y y

y n

    





 

1

2 3

...

1

2 2

1

n n

ch

y y

y y y

y n

   





 

którą po prostym przekształceniu możemy zapisać wzorem:

(7)

średni poziom zjawiska,

^czyli

wyznacza zwykłą średnią arytmetyczną:

1

...

_n

y y

y n

  

Przykład:

czas wykładu Liczba studentów

19.02 90

05.03 70

19.03 60

02.04 50

23.04 50

30.04 70

15.05 100

ti y_i ₉₀ ₁₀₀

70 60 50 50 70

2 2 65,83

ch 7 1 y

     

 



90 70 60 50 50 70 100 7 70

y      

 

(8)

dynamikę zjawiska,

^czyli

porównuje się poziom zjawiska w kolejnych momentach czasu. Możemy mówić o przyrostach i indeksach.

W celu badania dynamiki zjawisk omówimy różne typy przyrostów:

Przyrosty

Absolutne

Jednopodstawowe łańcuchowe

Względne

Jednopodstawowe łańcuchowe

(9)

Przyrosty absolutne jednopodstawowe

obliczane są w stosunku do jednego, ustalonego okresu (bazowego), poprzez liczenie różnic między poziomami zjawiska:

/1 1

1 1 2 1 3 1 1

,

, , ,...,

i i

n

y y

y y y y y y y y

  

   

• Mogą być liczone w stosunku do pierwszego okresu przyjętego jako bazowy:

• Mogą być liczone w stosunku do wybranego okresu przyjętego jako bazowy:

/

1 2 3

,

, , ,...,

i k i k

k k k n k

y y

y y y y y y y y

  

   

(10)

Przykład:

Data – czas Cena benzyny Eu 95

2013-09-07 1 5,71 0 0,39

2013-10-07 2 5,56 -0,15 0,24

2013-11-07 3 5,36 -0,35 0,04

2013-12-07 4 5,37 -0,34 0,05

2014-01-07 5 5,33 -0,38 0,01

2014-02-07 6 5,34 -0,37 0,02

2014-03-07 7 5,38 -0,33 0,06

2014-04-07 8 5,32 -0,39 0

y

i

t

i

i 

i/1



_{i n}_/

/1



i

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

1 2 3 4 5 6 7 8

/



i n

-0,4 -0,35 -0,3 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0

1 2 3 4 5 6 7 8

(11)

Przyrosty absolutne łańcuchowe

obliczane są poprzez liczenie różnic między kolejnymi czasowo poziomami zjawiska:

/ 1 1

2 1 3 2 4 3 1

,

, , ,...,

i i i i

n n

y y

y y y y y y y y

 



  

   

Data Kurs franka [PLN] przyrost absolutny łańcuchowy

2014-03-24 3,4448 0

2014-03-25 3,4365 -0,0083

2014-03-26 3,4211 -0,0154

2014-03-27 3,4309 0,0098

2014-03-28 3,4194 -0,0115

2014-03-31 3,4192 -0,0002

2014-04-01 3,4286 0,0094

2014-04-02 3,4258 -0,0028

2014-04-03 3,4176 -0,0082

2014-04-04 3,4052 -0,0124

2014-04-07 3,4178 0,0126

2014-04-08 3,4177 -0,0001

2014-04-09 3,4189 0,0012

2014-04-10 3,4262 0,0073

2014-04-11 3,4343 0,0081

2014-04-14 3,4437 0,0094

2014-04-15 3,4409 -0,0028

2014-04-16 3,4461 0,0052

2014-04-17 3,4471 0,001

2014-04-18 3,4293 -0,0083

t

i

y

ⁱ



_{i i}_{/ 1}_

 y

_i

 y

_i_₁

Przykład:

-0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

i i/ 1



(12)

Przyrosty względne jednopodstawowe obliczane są w stosunku do jednego, ustalonego okresu (bazowego), poprzez liczenie ilorazu przyrostu absolutnego do poziomu zjawiska w okresie bazowym:

/1 1

/1

1 1

i i

i

y y

d y y

 

 

• Mogą być liczone w stosunku do pierwszego okresu przyjętego jako bazowy:

• Mogą być liczone w stosunku do wybranego okresu przyjętego jako bazowy:

/ /

i k i k

i k

k k

y y

d y y

 

 

(13)

Przyrosty względne łańcuchowe obliczane są w stosunku do poprzedniego poziomu zjawiska, poprzez liczenie ilorazu przyrostu absolutnego do poziomu zjawiska w poprzednim okresie:

/ 1 1

/ 1

1 1

i i i i

i i

i i

y y

d y y

 



 

 

 

Przyrosty względne łańcuchowe służą do badania łańcuchowego tempa zmian.

(14)

Przyrosty względne zwykle wyraża się procentowo, wtedy określa się je

tempem zmian:

 ^%

/1 /1 100%

i i

d  d 

 ^%

/ / 100%

i k i k

d  d 

 ^%

/ 1 / 1 100%

i i i i

d _  d _ 

Tempo zmian

informuje, o ile procent zmienił się poziom zjawiska w danym okresie od poziomu z okresu bazowego.

- nazywane jest łańcuchowym tempem zmian

(15)

Przykład:

Rok Liczba

mieszkańców

1980 835 658 0,00%

1985 847 864 1,46%

1990 848 258 0,05%

1995 823 215 -2,95%

2000 793 217 -3,64%

2005 767 628 -3,23%

2010 730 633 -4,82%

 ^% /1

d

i

y

i

t

i

-6,00%

-5,00%

-4,00%

-3,00%

-2,00%

-1,00%

0,00%

1,00%

2,00%

1 2 3 4 5 6 7

Tempo zmian informuje, o ile procent zmieniła się liczba mieszkańców Łodzi w kolejnych pięciolatkach w stosunku do okresu bazowego, roku 1980-tego.

(16)

Indeksem

nazywamy iloraz poziomu zjawiska w dwóch porównywanych okresach czasu.

/

i i k

k

i y

 y

• Jeżeli i>1 to mówimy o wzroście poziomu zjawiska,

• Jeżeli i<1 to mówimy o spadku poziomu zjawiska,

• Jeżeli i=1 to mówimy, że poziom zjawiska nie zmienił się.

Indeksem może być też wyrażona w procentach.

 ^%

/ ⁱ

100%

i k

k

i y

 y 

• Jeżeli i>100% to mówimy o wzroście poziomu zjawiska,

• Jeżeli i<100% to mówimy o spadku poziomu zjawiska,

• Jeżeli i=100% to mówimy, że poziom zjawiska nie zmienił się.

(17)

Podobnie jak w przypadku przyrostów możemy mówić o indeksach

jednopodstawowych ( w mianowniku poziom z okresu bazowego) lub indeksach łańcuchowych (badamy stosunek poziomów z dwóch sąsiadujących okresów)

Rok

Liczba mieszkańców

1980 835 658

1990 848 258

2000 793 217

2010 730 633

2 2/1

1

3 3/1

1

4 4/1

1

848258

1, 02, 835 658

793 217

0, 95, 835 658

730 633

0, 87 835 658

i y

y i y

y

  

Przykład indeksów jednopodstawowych, okres bazowy rok 1980 – mieszkańcy Łodzi:

Rok

1980 835 658

1990 848 258

2000 793 217

2010 730 633

2 2/1

1

3 3/2

2

4 4/3

3

848258

1, 02, 835 658

793 217

0, 94, 848258

730 633

0, 92 793 217

i y

y i y

y

  

Przykład indeksów łańcuchowych:

(18)

Średnia geometryczna

, może służyć do badania średniego indeksu (średniej zmiany poziomu zjawiska)

Rok

1980 835 658

1990 848 258

2000 793 217

2010 730 633

2 2/1

1

3 3/2

2

4 4/3

3

848258

1, 02, 835 658

793 217

0, 94, 848258

730 633

0, 92 793 217

i y

y i y

y

  

1 2/1

...

/ 1

G n n n

y 

^

i   i

_

Przykład:

3

1, 02 0, 94 0, 92 0, 96

y

G

   

(19)

0 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000 900 000 1 000 000

650 000 700 000 750 000 800 000 850 000 900 000

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Trend - Linie trendu są liniami, które wyznaczają kierunek bieżącej tendencji.

Możemy wyznaczyć ją za pomocą aplikacji Excel, jednak przykład powyżej (liczba ludności Łodzi) pokazuje, że trend może się zmienić.

(20)

Prezentacja danych:

ocena

Liczba studentów

3,2 10

3,5 12

4 17

4,1 27

4,3 17

4,7 12

5 5

3,2 3,5 4 4,1 4,3 4,7 5

Wykres kołowy:

3,2 3,5 4 4,1 4,3 4,7 5

(21)

Ocena Liczba studentów

Grupa 1

Liczba studentów

Grupa 2

Liczba studentów

Grupa 3

3,2 10 14 2

3,5 12 15 5

4 17 15 8

4,1 27 15 15

4,3 17 15 18

4,7 12 14 22

5 5 12 30

3,2 3,5 4 4,1 4,3 4,7 5

Wykres kołowy, porównanie trzech populacji:

(22)

ocena

Liczba studentów

3,2 10

3,5 12

4 17

4,1 27

4,3 17

4,7 12

5 5

0 5 10 15 20 25 30

3,2 3,5 4 4,1 4,3 4,7 5

Wykres kolumnowy

(23)

ocena

Liczba studentów

3,2 10

3,5 12

4 17

4,1 27

4,3 17

4,7 12

5 5

Wykres liniowy

0 5 10 15 20 25 30

3,2 3,5 4 4,1 4,3 4,7 5

(24)

Ocena Liczba studentów

Grupa 1

Liczba studentów

Grupa 2

Liczba studentów

Grupa 3

3,2 10 14 2

3,5 12 15 5

4 17 15 8

4,1 27 15 15

4,3 17 15 18

4,7 12 14 22

5 5 12 30

0 5 10 15 20 25 30 35

1 2 3 4 5 6 7

Serie1 Serie2 Serie3

Wykres liniowy, porównywanie 3 populacji.

(25)

ocena

Liczba studentów

3,2 10

3,5 12

4 17

4,1 27

4,3 17

4,7 12

5 5

Wykres słupkowy

0 5

10 15

20 25

30 3,2

3,5 4 4,1 4,3 4,7 5

(26)

Szeregi czasowe, dynamika zjawisk