WrocławPodwójne szeregi Czebyszewa funkcji hipergeometrycznych dwóch zmiennych*

Seria III: M A T E M A T Y K A ST O SO W A N A X X II (1983)

K r y s t y n a Z i ę t a k

Wrocław

Podwójne szeregi Czebyszewa funkcji hipergeometrycznych dwóch zmiennych*

(Praca wpłynęła do Redakcji 19.06.1980)

wsTęp

V pracy podano wzory dla współczynników podwójnego szeregu Czebyszewa funkcji hipergeometrycznej dwóch zmiennych x,y • Współczynniki te wyrażają się przez inne funkcje hipergeome-tryczne dwóch zmiennych. W szczególności) dla funkcji hipergeo- metrycznych, które wyrażają się przez odpowiednie funkcje hi-pergeometryczne jednej zmiennej z argumentem postaci x + y , współczynniki Czebyszewa są wartościami innej funkcji hiper-geometryczne j jednej zmiennej.

W paragrafie 1 podano podstawowe informacje dotyczące po-dwójnych szeregów Czebyszewa. Znane są ich liczne numeryczne zastosowania (zob. np. Basu [2], Paszkowski [5], str. 3^0)• Opracowano również algorytmy obliczania sum częściowych takich szeregów. Basu [2] podaje uogólnienie algorytmu Clenshawa su-mowania pojedynczego szeregu na przypadek podwójnych

szeregów Czebyszewa.

W paragrafie 2 podano podstawowe informacje o funkcjach lipergeometrycznych dwóch zmiennych. W paragrafie 3 podano

V paragrafie 4 udowodniono dwa spośród tych wzorów. Dowody po-zostałych wzorów są podobne, więc z tego powodu zostały pomi-nięte.

Niniejsza praca została wykonana w ramach problemu mię-dzyresortowego "Teorie matematyczne i ich zastosowania"• Za-warte w niej wyniki są opublikowane częściowo w [7] i [8],

1. PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA

Niech Tlc1 (x,y) oznacza następujący iloczyn wielomianów Cze- byszewa pierwszego rodzaju

TjŁi(x,y) = Tjj.(x)T1 Cy) = cosfk arccos) x cos (1 arccos y) . Wiadomo, że wielomiany Tlr1 (x,y) tworzą układ zupełny i orto-gonalny z wagą

w kwadracie

K = [ (x,y) : —1 < x < 1, -1 < y < 1] .

Podwójnym szeregiem Czebyszewa funkcji f(x,y) określonej w kwadracie K nazywamy szereg

natomiast znale ' oznacza, że pierwszy składnik sumy trzeba podzielić przez 2. Współczynniki a ^ nazywamy współozynnika- mi Czebyszewa funkcji f (x,yj i czasami będziemy je oznaczać symbolami

dla podkreślenia tego, jaką funkcję f (x,y) rozwijamy w po-dwójny szereg Czebyszewa.

Dadanie jednostajnej zbieżności szeregu (1) sprowadza się do badania jednostajnej zbieżności szeregu

CD

gdzie

201 oo , oo

(2) a cos(kt)cos(lu), -JC < t,u C ji ,

k=0 1=0

łŁJ-który jest podwójnym szeregiem Fouriera funkcji f (cos t,oosu) zmiennych t, u . Hobson (zob. [4], str. 710) podaje proste kryterium zbieżności szeregu (2) dla funkcji rzeczywistych.

TWIERDZENIE 1. Jeśli funkcja g(t,u) ma wahanie skończo-ne w kwadracie -jtct < TU , -TC < u < 3T i jedna z

jej pochodnych cząstkowych jest ograniczona w tym kwa-dracie, to podwójny szereg Fouriera jest zbieżny jedno-stajnie do funkcji g (t,u) w punktach zbioru domknięte-go zawartedomknięte-go w zbiorze punktów ciągłości funkcji g(t,u). W przypadku, gdy ten zbiór domknięty ma punkty na brze-gu kwadratu, to w tych punktach funkcja okresowa otrzy-mana przez przedłużenie funkcji g (t,u) poza kwadrat musi być ciągła.

W naszym przypadku funkcja f(cos t, cos u) jest okreso-wa i jej pochodne cząstkowe są równe

( 3 ) . 1 / (c °3..,.t,l 008 u ? = _ a i n t a f ( x -y)

^ ' d t O X

(V a.f (003 t, cos u) _ _ sin _Sf (X,y)

o u dy X = cos t y = cos u x = cos t y = cos u t

Jeśli więc pochodna f_(x,y) (lub f (x,y)) jest ograniczo-_{x y}

&a w kwadracie K , to ińwnież pochodna cząstkowa (3) (lub (4))

jest ograniczona w kwadracie —JU < t, u < jc . Łatwo

spraw-dzić, że funkcje f (x,y) i f (cos t, cos u) mają (lub nie maÓą) jednocześnie wahanie skończone w odpowiednich kwadra-tach. Stąd otrzymujemy prosty wniosek z Twierdzenia 1.

WNIOSEK 1. Dla każdej funkcji f(x,y) ciągłej, o wahaniu skończonym i mającej jedną pochodną cząstkową ograniczo-ną w kwadracie K , jej podwójny szereg Czebyszewa (1)

Podwójne szeregi Czebyszewa mają własności analogiczne do własności pojedynczych szeregów Czebyszewa. I tak, na przy kład: .

(x,y)f O.y)] =

= W +ak-i,i+j W +afc+i,i-j W +aic+i,i+j ^ •

Własności tej dowodzi się analogicznie jak odpowiednich własności pojedynczych szeregów Czebyszewa (zob. Paszkowski [5], str. 1 2 3 , 128).

2. FUNKCJE HIPERGEOMETRYCZNE DWÓCH ZMIENNYCH

Funkcje hipergeometryczne dwóch zmiennych są określone jako podwójne szeregi potęgowe (zob. np. Bateman, Erdelyi [3]» str. 218) (5) Z(x,y) = 2 2 ^ m=0 n=0 ““ o współczynnikach postaci (6) A P (w .+u .m+v.n) A a _ i “T J - j j = T T fw ") “ " JJi n*j) JJ, ( J

gdzie w - dowolne liczby zespolone, u , v. - dowolne licz- _{j j J}

by całkowite, i - funkcja gamma ,

Ca(a+1)...(a+n-1) , n > 0 , (a)n = J 1 , n = 0 , l(-1)n/(1-a)_n . n < 0 . Niech v df m+1 1 xi „ / \ df m t n+1 (7) f (m,n) = S (m,n) = -£■*-— . Amn

(8) * = • lyl = ~ n ^ ) i - /**w > 0 • gdzie

(9) f(a,v) s lira f (u,t, yt), f(u9v) = lim g(at, v t) .

/ t— ► oo ' t — ►<»

Niech.

R = *** ■ ■

Wówczas (zob. Bateman, Erdelyi [3]» str. 221)

^ R = lt(l‘.0)| ’ S = If(0,1)| •

Łatwo sprawdzić, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji (5) są określone w takim samym obszarze, w jakim jest określona sama funkcja.

Ważną grupę funkcji hipergeometrycznych dwóch zmiennych stanowią funkcje wyrażające się funkcją hipergeometryczną je-dnej zmiennej z argumentem x + y . Mianowicie (zob. Appell, Kampe de Feriet [i] , str, 151) t i&two wykazać, że

s (11) ,Ft ( « Ł , fi, ^ J e g l = ^ n cV -s JTl (“i>ra+n x my n ” ^ 5 t mini*

Wiele znanych, często spotykanych w zastosowaniach funkcji należy właśnie do tej klasy funkcji.

3_{. PODWÓJNE SZEREGI CZEBYSZEWA FUNKCJI HIPERGEOMETRYCZNYCH} DWÓCH ZMIENNYCH

Rozważmy funkcję Z (px,qy) (zob. (5)) dla

(12) w < - | ^ . '^ T ’ lql< iT()*,v)i •

yu,v > o . Jest ona w tym obszarze zbieżna (zob. (7) - (9)) • Jej współ- ozynnikl Czebyszewa określa następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 2. Jeśli parametry p i q spełniają nie-równości (1 2) , to (13) [Z(p*,qy)] =^(1) (f) 2 2 “* P 2' ł l!“ . gdzie { ¥ ) ( ¥ ) ( ¥ ) ( ¥ ) n , . X n A x 'm x m x n 'n mu - 2m+k, 2n+l (Jc+1) „C1 +1J n (1)m (l)n Dowód tego twierdzenia jest podany w § 4.

W szczególnym przypadku, dla funkcji (11) jej współczyn-niki Czebyszewa wyrażają się przez wartości odpowiedniej funk*

cji hipergeometrycznej jednej zmiennej. Mianowicie, TWIERDZENIE 3 , Współczynniki Czebyszewa funkcji

sFt 6 *1 * Aj* p(x+y)) są równe

s . / ,k+1 J_J k+1 / V ptx+y))] = e r r l l ) ---« +k+l «1+k+l+1 k+l+1 k+1+2 2_{s+2 2t+3 \ 2 9 2 * 2 1 2} .+k+l A.+k+l+1 s-t,2 , lc+l+1 ,k+1,1+1 j(p2S~*)‘ gdzie i — 1,2,...,s| j — 1,2,..«,t .

W następnym twierdzeniu podamy wzory dla współczynników

Czebyszewa funkcji sFt (<*± • fi } p ( x + y ) 2 ) .

TWIERDZENIE 4. Współczynniki Czebyszewa funkcji sFt (K i ) A j ! p (x+y) ) równe (16) a2k,2ifsFt 6*1 * P y p Cx+y) = ‘•“ “ f e L r , i x (i) 0V (i; 01 “X ~ " s+3 t+3 (<v,k+1»2 j^k+l ^ 21 n <!><)■ j = i P+k+1, 1 +k+l; ^5j+k+l, 2k+2l+1 ,2k+1,21+1 ;4p), (17) a2k+1,2lH-l[sFt (“i i Aj' P(*+y>2)] =

'łpk+1+1fi') _{Wfa-1+1 A l lktlł1} TT («•), , , _{p , , , ,} ” W21C+1 <1)21+1 A S+3 t+3 i 1 ’ II fAjA+l+1 j “ I +k+l, | +k+l, 2+k+l; /3^+k+l+l , 21c+21+3, 2k+2,21+2; 4p) , a 2 k , 2 1 + 1 = a 2 k + 1 , 2 1 = 0 * / O

Zaś dla funkcji (x+y) fiFt (oc± ; ; p (x+y) J są równe

(18) a2k,2i+il>+y)sFt («i ; Aj* p(x+y)2 )] =

4px+1(i) f| (cc±)k+;l

k+1+1 i = 1 / 5

(21c) I (21+1) ! t s+31't+3 (0Ci+lŁ+1» 2 +lc+1i

n < « k+1

(19) a2k+1 ,21 l>+y) sFt 6*1 h ' P ^ 2 )1 = , t f r W w = (2^ 1 ) , ( m ) T T ' T 7 T — s+ / t ł3 K ^ 1 ’ f + k + 1 -jD; ^ j )k + i £ +k+l,1+k+l; /3^+k+l, 2k+21+2,2k+2,21+1 ; 4p) , a2k,21 = a2k+1,21+1 “ 0 *

Dowody powyższych trzech twierdzeń są podobne do sposobu otrzymania współczynników pojedynczego szeregu Czebyszewa dla funkcji hipergeometrycznej jednej zmiennej (zob. Paszkowski

[5] , str. 204). W następnym paragrafie wyprowadzimy wzory (13)1 (15) .

Wiadomo, że wielomiany Czebyszewa są funkcjami hipergeo- metrycznymi. Mianowicie (zob. Paszkowski [5 ]* str. 19)

T2h(x) = (_1)h 2Fl(łl> _h; \

Tgh+i (x) = (“1)h x2F1 (h+1, -h; 2 ; x2).

Wobec tego z twierdzenia *ł jako prosty wniosek otrzymuje się wzory dla współczynników Czebyszewa wielomianu Tn (p(x+y)) • Niech

aw ° 2 akl[Tn(p(x'y))5 * Wówczas

WNIOSEK 2. Dla dowolnego p oraz dla każdego k, 1 =

(2h) _ , h 2k+21+2 ^ k + 1 + 1 (~h)k+l+1 F u . 2k+1 ,21+1 “ p (2k+1) l (21+1) l 4 3 (h+k+ +1+1, -h+k+1+1, ~ +k+l,2+k+l; 2k+21+3>2k+2, +21+2; 4p2) , (2h) _ (2h) 2k,21+1 " 2k+1,21

Analogiczne wzory otrzymujemy dla współczynników

a ^ (zob. [8]). Ze względu na czynnik "*■

(-h)jt+^+^ występujący w tych wzorach mamy

a 2 k ^ 2 1 = ° ^ k + 1 > h »

a ^ i , 2 i + i = ° ^

Funkcje hipergeoraetryczne, przez które wyrażają się współczynniki a ^ ^ , są w istocie skończonymi sumami. Łatwo

sprawdzić, że na przykład dla h > 0 ,

h-k-1 l' 2 k , 2 1 ” ^ 2 * n = 0 (2h) , / .>.h+k+l 2k+21 2n a oV 2 1 = hp ( - D p x y _______ (h+k+l+n-1) 1 (2k+21+2ń) ! (h-k-l-n) ! (’2k+21+n) I (Źk+ń) ! (21+ń) ! n! * 4. DOWODY TWIERDZEŃ 2 1 3

Wiadomo, że (zob. Paszkowski [5] , str. 29)

(20) x2J = 2-2J+1 __ j > 0 ,

ks=0

(21) ^ = 2-^j ± ' (2£j)t21+1 w , j > o .

Niech oo ₁ oo _{. s 2m , . 2n}„ Z 1 = g H W p(PX) fqy) ' z2 _{= 2 2 A (px) 2m+1 (qy) 211 ,} A m = 0 n = 0 ’ oo oo Z3 = S S A 2mt1i2nł1(px)— (qy)2- ’ , m=0 n=0 1

H - S 2 A2m,2n+1 <px)2“ (qy)2n+1 •_{ra=0 n=0 7}

X

Ml 0-2ra-2n 2m 2n

(2k+l) (21+1) p g.

(2 k + ' 0 m (2 1 + 1 )n “ !“ ! *

W podobny sposób przekształcamy Z^ . Otóż

v |_{m = O n = 0}| v ^ , 2' 2m' 2n+1 p2” ^ 1 -■ [ § & > * « ] w 2ra 2n+1 „-2m-2n+1 X p q 2 oo Stąd (23) a2kf21+1 = ^ ^ A2m+2k,2n+21+1 (2m+2k) (2n+*l+1) x ^ _1-2m-2n-2k-21 2ra+2k 2n+21+1 X 2 p q — = i J E W a ')21* 1 ^ A x w U J ; ^ ^ 2m+2lŁ. 211+21+1 2ra v~-_r*v 2xi0-2m-2n 2m 2n (2k+l)m (21+2)nm!n! *

Wreszcie, przekształcając Z^ i Z^ otrzymamy wzory

(220 a2k+1,2l = 4( f ) ( f ) ^ A2m+2lc+1 ,2n+21X

,n „-2m-2n 2m 2n

(2k+2) 2m (21+1) 2n P q

t \2k+1 / \ 21+1 oo t oo t

(25) a2k+1,2l+1 = 4(f j (2 ) A2m+2k+1 ,2n+2l+1

(2k+2)2m(21+2)2n2-2”-2np2V n

* (2k+2)ra(21+2)^m!nl *

Zatem ze wzorów (22) - (25) wynika, że

,k , ^ 1 00 00 X akl = 4 (f) (2 ) / vk , v 1 00 00 A2m+k,2n+l* /, .v 0-2m-2n 2m 2n (k+D Cl+1) Orx2 _{2m v J 2n} P

(k+1)m (1+1) nmln!

Stąd natychmiast wynikają wzory (13) , (14) , gdyż

(

)

(k+D 2m2-2“ = (j^ i) f e a ) .

Należy jeszcze sprawdzić czy szereg (13) jest zbieżny. Otóż pokażemy, że podwójny szereg, przez który wyrażają się współ-czynniki a1<.1 , jest wartością odpowiedniej funkcji hipergeo- metrycznej dwóch zmiennych w punkcie (p2,q^)» Mianowicie, ła-two sprawdzić, że (porównaj (7) - (9)) '•

, „ D f (m,n) = HtliH = f (2m+k+1, 2n+l) f (2m+k, 2n+l) X ran (m + 1 + | )(a + 1 + |) (m V 1 + k)(m V 1 ) 9 $2 =f lim _{t 1 » 00} f2 Q*'t» Vt) = » p.,u > Oi

Y (jLŁ,v) =f lim

e 2 tytt, vt) = Y2 fy* »

A więc, jeśli funkcja Z(px,qy) jest określona w

obsza-rze wyznaczonym pobsza-rzez funkcje , T(/a,v) , zaś

y, Pi q spełniają nierówności (12) , to szereg (13) jest zbieżny w obszarze zdefiniowanym przez funkcje ^ ( /-S ^ ) 1

^f2( yu»v ) * ®dyż

lp2| < , lq2| <

l $ 2 | f z ( / * , » ) |

co kończy dowód twierdzenia 2 .

D o w ó d t w i e r d z e n i a 3* Łatwo udowodnić tożsamość

™ Ś C ) ( ' “ * ) ■ •

korzystając ze wzoru dla dwumianu Newtona. Z twierdzenia 2 wy-nika, że współczynniki Czebyszewa funkcji

(Ft ( *i; P(x+y^ s równe , k+1 00 00 __ 2m+2i_{E p} nm* / n k+1 00 00 V l [3Ft («i> W P (x+y^] = 4 (2) S s ] T 2ra+2n+k+l (k+1) 2m (1+1) 2n2~2m~2n Emn = t (k+1) m (1₊1_{) nm!n! (2m+k) ! (2n+l)l'} ] T (#j) 2m+2n+k+l ] T ^ k+1 1 T T (oći+k+1) 2m+2n 2-2m-2n * (k+i ) m M / i m *

. _ u _ /Ef +i U ("i W ^ - f l (*i+k+1) 2r (2S) “ki - kiII U/

n ^ k łl

TT

klll ^ 7 (k+l+r\ (v\ _ kil! (2r+k+l) I ^

r! (k+l+r) I ~ q \ 1 +n

J

Stąd oraz z (28) otrzymujemy (porównaj (26))

s s [Yoc.+k+lA /o(,+k+l+1 k ( s f * 1 L ] (“ i ) k + i a \ * ~ i ^kl “ kil! [2 ) t

r j ^ ) k+i

Dowód wzorów podanych w twierdzeniu k jest oparty na przekształceniach analogicznych do przekształceń zastosowanych w dwóch powyższych dowodach, dlatego go pomijamy.

PRACE CYTOWANE

1 | P.APPELL, J.KAMPE DE FERIET, Functlons hypergeometrigues et hyperspherigues, Paris 1926.

N.K.BASU, On double Ch.ebysh.ev series approxiiaation, SIAM J. Numer. Anal. 10, 3 (1973) » 496-505.

H.BATEMAN, A.ERDELYI, Wy s szyje transoendientnyje f uniccy i, I,

Moskwa 1973*

E.W.HOBSON, The theory of functlons of a real yariable on the theory Fouriera series, II. Cambridge 1926.

S.PASZKOWSKI, Zastosowania numeryczne wielomianów i szere-gów Czebyszewa, Warszawa 1975.

H.M.SRIVASTAVA, Some formulas of Hermite and Carlitz, Rev. Roumaine Math. Pure Appl. 17 (i972), 1257-1263.

K.ZięTAK, Double Chebyshey series for hypergeometric fun- ctions of two yąriables, Buli. Acad. Polon. Soi. 23 (1975)> 1107-1111.

--- , Współczynniki podwójnego szeregu Czebyszewa fun— kej i T^[p (x+y)] , Raport N-15» Instytut Informatyki

Uniwer-sytetu Wrocławskiego, Wrocław, grudzień 1976. Instytut Informatyki

Uniwersytet Wrocławski